第一章 集合 章末整合提升——体系构建·素养培优-【学霸笔记·同步精讲】2026-2027学年高中数学必修第一册教师用书word（苏教版）

该高中数学讲义以“体系构建·素养培优”为核心，通过专题框架系统梳理集合知识体系，涵盖基本概念、关系、运算及补集思想，借助思维导图呈现知识内在逻辑，突出元素互异性、子集关系等重难点，形成清晰的知识脉络。 讲义亮点在于分层练习设计与方法指导，如集合真子集个数、参数取值范围等典型题，通过“一题多解”和“反思感悟”培养数学思维与推理能力，结合高考真题强化应用意识。基础题巩固概念，综合题提升能力，助力学生自主复习，也为教师精准教学提供支持。

章末整合提升——体系构建·素养培优 　　 培优一　集合的基本概念 　　理解集合的有关概念，元素与集合的表示方法、元素与集合之间的关系，能在自然语言和图形语言的基础上，用符号语言刻画集合. （1）设集合A＝{1，2，4}，集合B＝{x｜x＝a＋b，a∈A，b∈A}，则集合B的真子集的个数是（　C　） A.31　　　　B.32 C.63　　　　D.64 （2）若2∈{1，a2＋1，a＋1}，则a＝（　D　） A.2 B.1或－1 C.1 D.－1 （3）设集合A＝{x｜3x－1＜m}，若1∈A且2∉A，则实数m的取值范围为　（2，5]　. 解析：（1）∵a∈A，b∈A，x＝a＋b，∴x＝2，3，4，5，6，8，∴B中有6个元素，其真子集的个数为26－1＝63，故选C. （2）若2∈{1，a2＋1，a＋1}，则a＋1＝2或a2＋1＝2，所以a＝1或a＝－1，当a＝1时，a2＋1＝a＋1，与元素互异性相矛盾，舍去；当a＝－1时，a＋1＝0，a2＋1＝2，符合题意，所以a＝－1.故选D. （3）∵集合A＝{x｜3x－1＜m}，1∈A且2∉A，∴3×1－1＜m且3×2－1≥m，解得2＜m≤5. 反思感悟 解决集合的概念问题应关注两点 （1）研究一个集合，首先要看集合中的代表元素，然后再看元素的限制条件，当集合用描述法表示时，注意弄清其元素表示的意义是什么； （2）对于含有字母的集合，在求出字母的值后，要注意检验集合是否满足互异性. 培优二　集合的基本关系 　　能从实例中抽象并识别出子集、真子集、空集的概念，能根据集合间的关系，会利用数形结合和分类讨论的思想求参数的值（范围）. （1）已知集合M＝{xx＝k＋，k∈Z}，N＝{x｜x＝＋1，k∈Z}，则（　A　） A.M⊆N B.N⊆M C.M＝N D.M∩N＝⌀ （2）已知集合A＝{x｜0＜x＜4}，B＝{x｜x＜a}，若A⊆B，则实数a的取值范围是（　C　） A.{a｜0＜a＜4} B.{a｜－8＜a＜4} C.{a｜a≥4} D.{a｜a＞4} 解析：（1）M＝{x｜x＝k＋，k∈Z}＝{x｜x＝，k∈Z}，N＝{x｜x＝＋1，k∈Z}＝{x｜x＝，k∈Z}，因为2k＋1，k∈Z表示所有的奇数，k＋2，k∈Z表示所有的整数，所以M⊆N.故选A. （2）在数轴上标出A，B两集合如图所示，结合数轴知，若A⊆B，则a≥4. 反思感悟 破解集合间基本关系的方法 （1）若B⊆A，应分B＝⌀和B≠⌀两种情况讨论； （2）已知两个集合间的关系求参数时，关键是将两个集合间的关系转化为元素或区间端点间的关系，进而转化为参数满足的关系.解决这类问题常常要合理利用数轴、Venn图，化抽象为直观进行求解. 培优三　集合的基本运算 　　集合的运算主要包括交集、并集和补集运算.对于较抽象的集合问题，解题时需借助Venn图或数轴等进行数形分析，使问题直观化、形象化，进而能使问题简洁、准确地获解. （1）〔一题多解〕已知集合S＝{s｜s＝2n＋1，n∈Z}，T＝{t｜t＝4n＋1，n∈Z}，则S∩T＝（　C　） A.⌀　　　　B.S　　　　C.T　　　　D.Z （2）已知全集U＝{x｜x取不大于20的质数}，A，B是U的两个子集，且A∩（∁UB）＝{3，5}，（∁UA）∩B＝{7，19}，（∁UA）∩（∁UB）＝{2，17}，则集合A＝　{3，5，11，13}　，B＝{7，11，13，19}　. 解析：（1）法一　在集合T中，令n＝k（k∈Z），则t＝4n＋1＝2（2k）＋1（k∈Z），而集合S中，s＝2n＋1（n∈Z），所以必有T⊆S，所以S∩T＝T，故选C. 法二　S＝{…，－3，－1，1，3，5，…}，T＝{…，－3，1，5，…}，观察可知，T⊆S，所以S∩T＝T，故选C. （2）全集U＝{x｜x取不大于20的质数}＝{2，3，5，7，11，13，17，19}，由（∁UA）∩（∁UB）＝{2，17}，可知∁U（A∪B）＝{2，17}，这说明元素2，17既不属于A，又不属于B.由A∩（∁UB）＝{3，5}，可知元素3，5属于集合A，但不属于集合B.由（∁UA）∩B＝{7，19}，可知元素7，19属于集合B，但不属于集合A.故剩余元素11，13既属于集合A，又属于集合B，检验可知符合题意.画出Venn图，如图所示.故由图可知A＝{3，5，11，13}，B＝{7，11，13，19}. 反思感悟 求解集合基本运算的方法步骤 培优四　补集思想及应用 　　在讨论一些较为复杂的集合问题时，可以先求解问题的反面，采用“正难则反”的解题策略，这就是补集思想.具体地讲，就是将研究对象的全体视为全集，求出使问题反面成立的集合A，则A的补集即为所求. 设集合A＝{x｜a≤x≤a＋4}，B＝{x｜x＜－1，或x＞5}，若A∩B≠⌀，求实数a的取值范围. 解：当A∩B＝⌀时，如图所示，则解得－1≤a≤1. 即A∩B＝⌀时，实数a的取值范围为M＝{a｜－1≤a≤1}. 而A∩B≠⌀时，实数a的取值范围显然是集合M在R中的补集，故实数a的取值范围为{a｜a＜－1，或a＞1}. 反思感悟 “正难则反”——补集思想的应用 　　补集的性质A＝∁U（∁UA）为我们提供了“正难则反”的解题思想——补集思想，有些数学问题，若直接从正面解决，要么解题思路不明朗，要么需要考虑的因素太多，因此，用补集思想考虑其对立面，从而化繁为简，化难为易，开拓新的解题思路. 　　 1.（2025·北京高考1题）已知集合M＝{x｜2x－1＞5}，N＝{1，2，3}，则M∩N＝（　　） A.{1，2，3} B.{2，3} C.{3} D.⌀ 解析：D　因为M＝{x｜2x－1＞5}＝{x｜x＞3}，所以M∩N＝⌀.故选D. 2.（2024·北京高考1题）已知集合M＝{x｜－3＜x＜1}，N＝{x｜－1≤x＜4}，则M∪N＝（　　） A.{x｜－1≤x＜1} B.{x｜x＞－3} C.{x｜－3＜x＜4} D.{x｜x＜4} 解析：C　由集合的并运算，得M∪N＝{x｜－3＜x＜4}. 3.（2024·全国甲卷2题）已知集合A＝{1，2，3，4，5，9}，B＝{x｜∈A}，则∁A（A∩B）＝（　　） A.{1，4，9} B.{3，4，9} C.{1，2，3} D.{2，3，5} 解析：D　B＝{1，4，9，16，25，81}，A∩B＝{1，4，9}，则∁A（A∩B）＝{2，3，5}.故选D. 4.（2025·全国Ⅰ卷2题）已知集合U＝{x｜x是小于9的正整数}，A＝{1，3，5}，则∁UA中元素的个数为（　　） A.0 B.3 C.5 D.8 解析：C　U＝{1，2，3，4，5，6，7，8}，A＝{1，3，5}，故∁UA＝{2，4，6，7，8}，故∁UA中有5个元素.故选C. 5.（2023·新高考Ⅱ卷2题）设集合A＝{0，－a}，B＝{1，a－2，2a－2}，若A⊆B，则a＝（　　） A.2 B.1 C. D.－1 解析：B　由题意，得0∈B.又B＝{1，a－2，2a－2}，所以a－2＝0或2a－2＝0.当a－2＝0时，a＝2，此时A＝{0，－2}，B＝{1，0，2}，不满足A⊆B，舍去.当2a－2＝0时，a＝1，此时A＝{0，－1}，B＝{1，－1，0}，满足A⊆B.综上所述，a＝1.故选B. 1 / 2 学科网（北京）股份有限公司 $