2.2 第1课时 充分、必要、充要条件的判断-【学霸笔记·同步精讲】2026-2027学年高中数学必修第一册教师用书word（苏教版）

本讲义聚焦高中数学“充分条件、必要条件、充要条件”核心知识点，从“双刀”开关控制灯亮的现实情境引入，通过命题真假与推出关系定义概念，结合方程、几何实例判断条件关系，关联判定定理与性质定理，构建完整学习支架。 资料特色在于情境化引入培养数学观察能力，通过定义法推理强化逻辑思维，结合正方形判定等实例深化数学抽象，课中助教师引导学生逐步理解，课后练习题及解析帮学生查漏补缺，强化知识应用。

2.2　充分条件、必要条件、充要条件 课标 要求 1.通过对典型数学命题的梳理，理解必要条件的意义，理解性质定理与必要条件的关系（数学抽象、逻辑推理）. 2.通过对典型数学命题的梳理，理解充分条件的意义，理解判定定理与充分条件的关系（数学抽象、逻辑推理）. 3.通过对典型数学命题的梳理，理解充要条件的意义，理解数学定义与充要条件的关系（数学抽象、逻辑推理）. 第1课时　充分、必要、充要条件的判断 　　 某居民的卧室里安有一盏灯，在卧室门口和床头各有一个开关，任意一个开关都能够独立控制这盏灯.这就是电器上常用的“双刀”开关. 【问题】　（1）A开关闭合时B灯一定亮吗？B灯亮时A开关一定闭合吗？ （2）从数学的角度如何描述A开关与B灯亮这种关系？ 　 知识点一　充分条件与必要条件 命题真假 “若p，则q”是真命题 “若p，则q”是假命题 推出关系 p⇒q pq 条件关系 p是q的　充分　条件； q是p的　必要　条件 p不是q的充分条件； q不是p的必要条件 提醒：“p⇒q”含义的理解：一方面，一旦p成立，q一定也成立，即p对q的成立是充分的；另一方面，如果q不成立，那么p一定不成立，即q对p的成立是必要的. 【想一想】 1.p是q的充分条件与q是p的必要条件所表示的推出关系是否相同？ 提示：相同，都是p⇒q. 2.以下五种表述形式：①p⇒q；②p是q的充分条件；③q的充分条件是p；④q是p的必要条件；⑤p的必要条件是q.这五种表述形式等价吗？ 提示：这五种表述形式是等价的. 知识点二　充要条件 1.定义：如果　p⇒q　，且　q⇒p　，那么称p是q的充分且必要条件，简称为p是q的充要条件，也称q的充要条件是p. 2.记法：如果p是q的充要条件，就记作　p⇔q　，称为“p与q等价”，或“p等价于q”. 3.传递性：“⇒”和“⇔”都具有传递性，即 （1）如果p⇒q，q⇒s，那么　p⇒s　； （2）如果p⇔q，q⇔s，那么　p⇔s　. 【想一想】 1.若p是q的充要条件，则命题p和q是两个相互等价的命题，这种说法对吗？ 提示：正确.若p是q的充要条件，则p⇔q，即p等价于q. 2.“p是q的充要条件”与“p的充要条件是q”的区别在哪里？ 提示：p是q的充要条件说明p是条件，q是结论；p的充要条件是q说明q是条件，p是结论. 知识点三　判定定理和性质定理与充分、必要条件的关系 1.判定定理是指对象只要具有某具体的特征，就一定有该对象的　所有特征　，所以判定定理具有“　充分性　”. 2.性质定理是指某类对象具有的　具体特征　，所以性质定理具有“　必要性　”. 3.数学中的定义既可以作为判定，也可以作为性质，即数学中的定义具有“充要性”. 1.已知a，b∈R，则“a＝b＝0”是“｜a＋b｜＝0”的（　　） A.充分不必要条件 B.必要不充分条件 C.充要条件 D.既不充分又不必要条件 解析：A　若a＝b＝0，则｜a＋b｜＝0；反之，当a＝－1，b＝1时，符合｜a＋b｜＝0，不能得出a＝b＝0，即“a＝b＝0”是“｜a＋b｜＝0”的充分不必要条件.故选A. 2.设x∈R，则“x＜3”是“0＜x＜2”的（　　） A.充分不必要条件 B.必要不充分条件 C.充要条件 D.既不充分也不必要条件 解析：B　因为x＜30＜x＜2，但0＜x＜2⇒x＜3，故x＜3是0＜x＜2的必要不充分条件.故选B. 3.（2026·宿迁月考）“ab＝0”是“a≠0”的（　　） A.充分不必要条件　B.必要不充分条件 C.充要条件 D.既不充分也不必要条件 解析：D　若ab＝0，则a＝0或b＝0，不能推出a≠0，所以充分性不成立；若a≠0，不一定有ab＝0成立，所以必要性不成立.故“ab＝0”是“a≠0”的既不充分也不必要条件.故选D. 4.若p是q的充要条件，q是r的充要条件，则p是r的　充要条件　.（用“充分条件”“必要条件”“充要条件”填空） 　 题型一　充分条件的判断 （链接教科书第31页例1）下列所给的各组p，q中，p是q的充分条件的有哪些？ （1）p：x＝3，q：x2－2x－3＝0； （2）p：四边形的对角线垂直，q：四边形是菱形； （3）p：内错角相等，q：两条直线平行； （4）p：x＞2，q：x＞3. 解：（1）因为p⇒q，所以p是q的充分条件. （2）因为pq，所以p不是q的充分条件. （3）因为p⇒q，所以p是q的充分条件. （4）因为pq，所以p不是q的充分条件. 通性通法 定义法判断充分条件 （1）确定谁是条件，谁是结论； （2）尝试从条件推结论，若条件能推出结论，则条件为充分条件，否则就不是充分条件. 　〔多选〕下列所给的各组p，q中，p是q的充分条件的是（　　） A.p：x－3＝0，q：（x－2）（x－3）＝0 B.p：两个三角形相似，q：两个三角形全等 C.p：a＞b，q：ac＞bc D.p：a＞2且b＞2，q：a＋b＞4，ab＞4 解析：AD　A中，x－3＝0⇒（x－2）（x－3）＝0，故p是q的充分条件；B中，两个三角形相似两个三角形全等，故p不是q的充分条件；C中，a＞bac＞bc，故p不是q的充分条件；D中，由a＞2且b＞2⇒a＋b＞4，ab＞4，故p是q的充分条件.故选A、D. 题型二　必要条件的判断 （链接教科书第31页例2）下列所给的各组p，q中，p是q的必要条件的有哪些？ （1）p：｜x｜＝2，q：x＝－2； （2）p：四边形的对角线相等，q：四边形是平行四边形； （3）p：内错角相等，q：两条直线平行； （4）p：x∈Z，q：x∈R. 解：（1）因为q⇒p，所以p是q的必要条件. （2）因为qp，所以p不是q的必要条件. （3）因为q⇒p，所以p是q的必要条件. （4）因为qp，所以p不是q的必要条件. 通性通法 定义法判断必要条件 （1）确定谁是条件，谁是结论； （2）尝试从结论推条件，若结论能推出条件，则条件为必要条件，否则就不是必要条件. 　〔多选〕下列命题中，p是q的必要条件的是（　　） A.p：两个三角形相似，q：两个三角形全等 B.p：四边形的对角线相等，q：四边形是矩形 C.p：x＞2，q：｜x｜＞2 D.p：x＞2且y＞3，q：x＋y＞5 解析：AB　A中，q：两个三角形全等⇒p：两个三角形相似，所以p是q的必要条件；B中，q：四边形是矩形⇒p：四边形的对角线相等，所以p是q的必要条件；C中，由｜x｜＞2，得x＞2或x＜－2，不一定有x＞2，所以p不是q的必要条件；D中，x＋y＞5x＞2且y＞3，p不是q的必要条件.故选A、B. 题型三　充分、必要、充要条件的判断 （链接教科书第32页例3）指出下列各题中，p是q的什么条件？（用“充分不必要条件”“必要不充分条件”“充要条件”“既不充分又不必要条件”回答） （1）p：四边形是正方形，q：四边形的对角线互相垂直平分； （2）p：△ABC两个角相等，q：△ABC是等边三角形； （3）p：a＞b，q：｜a｜＞｜b｜； （4）p：xy＞0，q：x＞0，y＞0或x＜0，y＜0. 解：（1）若一个四边形是正方形，则它的对角线互相垂直平分，即p⇒q.反之，若四边形的对角线互相垂直平分，该四边形不一定是正方形，即qp.所以p是q的充分不必要条件. （2）△ABC两个角相等△ABC是等边三角形，但△ABC是等边三角形⇒△ABC两个角相等，即pq，q⇒p，所以p是q的必要不充分条件. （3）取a＝1，b＝－2，此时a＞b，但｜a｜＜｜b｜，即pq.反之，取a＝－2，b＝－1，此时｜a｜＞｜b｜，但a＜b，即qp.所以p是q的既不充分又不必要条件. （4）因为xy＞0时，x＞0，y＞0或x＜0，y＜0.故p⇒q，且q⇒p，即p⇔q.所以p是q的充要条件. 通性通法 定义法判断充分、必要、充要条件 （1）若p⇒q，qp，则p是q的充分不必要条件； （2）若pq，q⇒p，则p是q的必要不充分条件； （3）若p⇒q，q⇒p，则p是q的充要条件； （4）若pq，qp，则p是q的既不充分又不必要条件. 1.〔多选〕已知实数集R，集合A＝{x｜1＜x＜2}，B＝{x｜x≤2}，则下列说法正确的是（　　） A.“x∈A”是“x∈B”的充分条件 B.“x∈A”是“x∈B”的必要条件 C.“x∈∁RA”是“x∈∁RB”的充分条件 D.“x∈∁RA”是“x∈∁RB”的必要条件 解析：AD　由题意得，A⫋B，且∁RB⫋∁RA，所以“x∈A”是“x∈B”的充分条件，但不是必要条件，且“x∈∁RA”是“x∈∁RB”的必要条件，但不是充分条件.故选A、D. 2.〔多选〕下列说法正确的是（　　） A.“＞”是“a＜b”的充分不必要条件 B.A∩B＝⌀是A＝⌀的必要不充分条件 C.若a，b，c∈R，则“ab2＞cb2”的充要条件是“a＞c” D.若a，b∈R，则“a2＋b2≠0”是“｜a｜＋｜b｜≠0”的充要条件 解析：BD　A中，当a＝2，b＝－2时，有＞，此时a＞b，因此＞a＜b，反之当a＝－2，b＝2时，a＜b，但＜，即a＜b＞，所以是既不充分又不必要条件，故A错误；B中，当A＝{1}，B＝{2}时，A∩B＝⌀，但A≠⌀，当A＝⌀时，A∩B＝⌀，故B正确；C中，当ab2＞cb2时，b2＞0，从而a＞c，反之，a＞c时，若b＝0，则ab2＝cb2，所以不是充要条件，故C错误；D中，a2＋b2≠0⇔a≠0或b≠0⇔｜a｜＋｜b｜≠0，D正确.故选B、D. 题型四　判定定理、性质定理与充分条件、必要条件 指出下面的定理是判定定理还是性质定理，并用充分、必要条件的语言来表述： （1）对角线互相垂直且相等的平行四边形是正方形； （2）正方形的对角线互相垂直且相等. 解：（1）是判定定理，用充分条件的语言表述为“一个平行四边形是正方形”的充分条件是“这个平行四边形的对角线互相垂直且相等”. （2）是性质定理，用必要条件的语言表述为“四边形的对角线互相垂直且相等”是“这个四边形为正方形”的必要条件. 通性通法 判定定理、性质定理与充分、必要条件关系的判断 （1）判定定理阐述了结论成立的依据，给出了结论成立的充分条件； （2）性质定理阐述了一个数学研究对象所具有的重要性质，其作用是揭示这个研究对象的某个特征，给出了结论成立的必要条件. 指出下面的定理是判定定理还是性质定理，并用充分、必要条件的语言来表述： （1）有一个角是直角的菱形是正方形； （2）如果两条平行直线同时和第三条直线相交，那么它们的同位角相等. 解：（1）是判定定理，用充分条件的语言表述为“一个菱形是正方形”的充分条件是“这个菱形有一个角是直角”. （2）是性质定理，用必要条件的语言表述为“两条直线同时和第三条直线相交，它们的同位角相等”是“这两条直线平行”的必要条件. 1.（2026·苏州月考）荀子曰：“不积跬步，无以至千里；不积小流，无以成江海.”这句话阐述了做事情不一点一点积累，就永远无法达成目标的哲理.由此可得，“至千里”是“积跬步”的（　　） A.充分不必要条件 B.必要不充分条件 C.充要条件 D.既不充分也不必要条件 解析：A　荀子的名言表明至千里必须积跬步，积跬步未必能至千里，故“至千里”是“积跬步”的充分不必要条件.故选A. 2.（2026·无锡月考）已知p：x＞1，且y＞2，q：x＋y＞3，则q是p的（　　） A.充分不必要条件 B.必要不充分条件 C.充要条件 D.既不充分也不必要条件 解析：B　由x＞1，且y＞2，由不等式性质可得x＋y＞3，所以由p可以推出q，所以q是p的必要条件，取x＝4，y＝0，此时x＋y＞3，但y＜2，所以由q不能推出p，所以q不是p的充分条件，所以q是p的必要不充分条件.故选B. 3.已知集合M与N，则M⊆N是M∩N＝M的（　　） A.充分不必要条件 B.必要不充分条件 C.充要条件 D.既不充分也不必要条件 解析：C　若M⊆N，则有M∩N＝M，故充分性成立，若M∩N＝M，则有M⊆N，故必要性成立，故M⊆N是M∩N＝M的充要条件. 4.设a，b是实数，则“a＋b＞0”是“ab＞0”的（　　） A.充分不必要条件 B.必要不充分条件 C.充要条件 D.既不充分又不必要条件 解析：D　若a＋b＞0，取a＝3，b＝－2，则ab＞0不成立；反之，若ab＞0，取a＝－2，b＝－3，则a＋b＞0也不成立，因此“a＋b＞0”是“ab＞0”的既不充分又不必要条件. 　　 1.下列命题中，p是q的充分条件的是（　　） A.p：ab≠0，q：a≠0 B.p：a2＋b2≥0，q：a≥0且b≥0 C.p：x3＞0，q：x＞1 D.p：a＞b，q：＞ 解析：A　对于A：p⇒q，故p是q的充分条件；对于B：pq，故p不是q的充分条件；对于C：pq，故p不是q的充分条件；对于D：pq，故p不是q的充分条件.故选A. 2.老子《道德经》有云“天下难事，必作于易；天下大事，必作于细”，根据这句话，说明“做容易题”是“做难题”的（　　） A.充分不必要条件　 B.必要不充分条件 C.充要条件 D.既不充分也不必要条件 解析：B　由题意可知，“做容易题”不一定能推出“做难题”，但“做难题”一定可以推出“做容易题”，故“做容易题”是“做难题”的必要不充分条件.故选B. 3.“x是整数”是“2x＋1是整数”的（　　） A.充分不必要条件 B.必要不充分条件 C.充要条件 D.既不充分也不必要条件 解析：A　若x是整数，则2x＋1为整数，所以充分性成立；当x＝时，2x＋1为整数，但x不是整数，所以必要性不成立.故“x是整数”是“2x＋1是整数”的充分不必要条件. 4.“x＜2”是“＜0”的（　　） A.充要条件 B.必要不充分条件 C.充分不必要条件 D.既不充分又不必要条件 解析：A　由＜0，得x－2＜0，x＜2，即“x＜2”是“＜0”的充要条件. 5.若p：a∈（M∪N），q：a∈M，则p是q的（　　） A.充分不必要条件 B.必要不充分条件 C.既不充分又不必要条件 D.充要条件 解析：B　由a∈（M∪N）a∈M，但a∈M⇒a∈（M∪N），故p是q的必要不充分条件. 6.（2026·启东中学期中）“a＞b”是“a2＞b2”的（　　） A.充分不必要条件 B.必要不充分条件 C.充要条件 D.既不充分又不必要条件 解析：D　当a＝0，b＝－1时，满足a＞b，此时a2＜b2，充分性不成立；当a＝－1，b＝0时，满足a2＞b2，此时a＜b，必要性不成立，所以“a＞b”是“a2＞b2”的既不充分又不必要条件.故选D. 7.〔多选〕设计如图所示的四个电路图，若p：开关S闭合，q：灯泡L亮，则p是q的充要条件的电路图是（　　） 解析：BD　由题知，电路图A中，开关S闭合，灯泡L亮，而灯泡L亮开关S不一定闭合，故A中p是q的充分不必要条件；电路图B中，开关S闭合，灯泡L亮，且灯泡L亮，则开关S一定闭合，故B中p是q的充要条件；电路图C中，开关S闭合，灯泡L不一定亮，灯泡L亮则开关S一定闭合，故C中p是q的必要不充分条件；电路图D中，开关S闭合，灯泡L亮，灯泡L亮，则一定有开关S闭合，故D中p是q的充要条件.故选B、D. 8.a，b都是偶数　⇒　a＋b是偶数（用符号“⇒”或“”或“⇔”填空）. 解析：a，b都是偶数⇒a＋b是偶数，但a＋b是偶数a，b是偶数，故填⇒. 9.对于集合A，B及元素x，若A⊆B，则x∈B是x∈（A∪B）的　充要　条件.（填“充分不必要”“必要不充分”“充要”或“既不充分又不必要”） 解析：由x∈B，可得x∈（A∪B）；反之，因为A⊆B，A∪B＝B，所以由x∈（A∪B），可得x∈B，故x∈B是x∈（A∪B）的充要条件. 10.指出下列命题中，p是q的什么条件？（用“充分不必要”“必要不充分”“充要”“既不充分又不必要”回答） （1）p：x2＝2x＋1，q：x＝； （2）p：a2＋b2＝0，q：a＋b＝0； （3）p：（x－1）2＋（y－2）2＝0，q：（x－1）（y－2）＝0. 解：（1）∵x2＝2x＋1⇒/x＝，x＝⇒x2＝2x＋1，∴p是q的必要不充分条件. （2）∵a2＋b2＝0⇒a＝b＝0⇒a＋b＝0，a＋b＝0⇒/a2＋b2＝0，∴p是q的充分不必要条件. （3）∵（x－1）2＋（y－2）2＝0⇒x＝1且y＝2⇒（x－1）（y－2）＝0，而（x－1）·（y－2）＝0（x－1）2＋（y－2）2＝0，∴p是q的充分不必要条件. 11.给出定理“等腰梯形在同一底上的两个角相等”，下列说法正确的是（　　） A.该定理是判定定理，可用充分条件的语言来表述 B.该定理是判定定理，可用必要条件的语言来表述 C.该定理是性质定理，可用充分条件的语言来表述 D.该定理是性质定理，可用必要条件的语言来表述 解析：D　此定理揭示了等腰梯形的某个特征，是性质定理，可用必要条件的语言来表述，故选D. 12.〔多选〕（2026·扬州期中）下列说法正确的有（　　） A.“A∩B≠⌀”是“A⊆B”的必要不充分条件 B.“方程x2－x＋m＝0在R上无解”的充要条件是“m＞” C.若xy≠0，则“x＋y＝0”是“＋＝－2”的充要条件 D.“x＞y”是“｜x｜＞｜y｜”的充分不必要条件 解析：BC　对于A，当A＝⌀时，A⊆B推不出A∩B≠⌀，故A∩B≠⌀不是A⊆B的必要条件，故A错误；对于B，方程x2－x＋m＝0在R无解⇔Δ＝1－4m＜0⇔m＞，故B正确；对于C，因为xy≠0，x＋y＝0，所以x＝－y，所以＋＝＋＝－1－1＝－2，所以x＋y＝0是＋＝－2的充分条件；因为xy≠0，且＋＝－2，所以x2＋y2＝－2xy，即x2＋y2＋2xy＝0，即（x＋y）2＝0，所以x＋y＝0，所以x＋y＝0是＋＝－2的必要条件，所以“x＋y＝0”是“＋＝－2”的充要条件，故C正确；对于D，当x＝1，y＝－5时，｜x｜＜｜y｜，故“x＞y”不是“｜x｜＞｜y｜”的充分条件，故D错误.故选B、C. 13.若p是r的充分不必要条件，r是q的必要条件，r又是s的充要条件，q是s的必要条件，则s是p的必要不充分　　　　条件（填“充分不必要”或“必要不充分”或“充要”或“既不充分也不必要”）. 解析：p，q，r，s之间的关系如图所示， 由图可知p⇒s，但sp，故s是p的必要不充分条件. 14.指出下列各组命题中，p是q的什么条件： （1）p：x＝1，q：x－1＝； （2）p：－1≤x≤5，q：x≥－1且x≤5； （3）p：x＋2≠y，q：（x＋2）2≠y2； （4）p：a是自然数，q：a是正数. 解：（1）当x＝1时，x－1＝成立； 当x－1＝时，x＝1或x＝2. 所以p是q的充分不必要条件. （2）因为－1≤x≤5⇔x≥－1且x≤5， 所以p是q的充要条件. （3）由q：（x＋2）2≠y2，得x＋2≠y， 且x＋2≠－y， 又p：x＋2≠y，故p是q的必要不充分条件. （4）0是自然数，但0不是正数，故p⇒/q；是正数，但不是自然数，故q⇒/p.故p是q的既不充分又不必要条件. 10 / 10 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