模块素养测评卷 -【满分思维】2026-2027学年高中数学选择性必修第一册学生用书（人教B版）

**基本信息** 聚焦立体几何与解析几何综合应用，以题载知构建从基础计算到复杂情境的逻辑链条，培养空间观念与运算推理能力。 **综合设计** |模块|题量/典例|题型特征|知识逻辑| |----|-----------|----------|----------| |立体几何|第2、4、9、11、13、17、19题|空间向量求法向量/距离/线面角，存在性探究与证明|从空间点线面关系到向量工具应用，构建“几何直观-代数运算-逻辑推理”链条| |解析几何|第1、3、8、10、14、16、18题|直线与圆位置关系，圆锥曲线性质及综合应用|从平面轨迹到曲线方程，体现“几何性质-代数表达-模型构建”的问题解决路径|

模块素养测评卷 1.D　[解析] 依题意得×=-1,解得a=-4.故选D. 2.B　[解析] 由题意可得该四棱锥的高h====2.故选B. 3.B　[解析] 圆C1:(x-2)2+(y+4)2=1的圆心为C1(2,-4),半径r1=1,圆C2:(x+2)2+(y+3)2=4的圆心为C2(-2,-3),半径r2=2,则圆心距d=|C1C2|==>1+2=r1+r2,∴两圆相离,∴-3≤|PQ|≤3+,故|PQ|的取值范围为[-3,+3].故选B. 4.B　[解析] 方法一:对于A,若M(0,1,2),则=(-2,-2,-2),∵n·=-2+2-2≠0,∴点(0,1,2)不在平面α内.对于B,若M(4,2,1),则=(2,-1,-3),∵n·=2+1-3=0,∴点(4,2,1)在平面α内.对于C,若M(1,2,3),则=(-1,-1,-1),∵n·=-1+1-1≠0,∴点(1,2,3)不在平面α内.对于D,若M(1,-1,-1),则=(-1,-4,-5),∵n·=-1+4-5≠0,∴点(1,-1,-1)不在平面α内.故选B. 方法二:设M(x,y,z),则=(x-2,y-3,z-4).若点M(x,y,z)在平面α内,则n·=x-2+3-y+z-4=0,则x-y+z=3.依次验证选项A,B,C,D中的坐标知,只有B选项中的坐标(4,2,1)满足x-y+z=3.故选B. 5.A　[解析] 易知直线AB的方程为y=-x+5.设点P(1,0)关于直线AB的对称点为P1(a,b),则解得所以P1(5,4).易知点P(1,0)关于y轴的对称点为P2(-1,0),由光的反射规律以及几何关系可知,光线所经过的路程长为|P1P2|==2.故选A. 6.A　[解析] 以D为坐标原点,,,的方向分别为x,y,z轴的正方向,建立如图所示的空间直角坐标系,设AB=2,则O(1,1,0),A(2,0,0),B1(2,2,2),D1(0,0,2),设=t,t∈[0,1],所以P(2t,2t,2),所以=(2t-1,2t-1,2),=(-2,0,2),=(0,2,2).设平面B1AD1的一个法向量为n=(x,y,z),则令x=1,得n=(1,-1,1),所以sin θ=|cos<,n>|=== .令f(t)=6(2t-1)2+12,t∈[0,1],则f(t)min=f=12,f(t)max=f(0)=f(1)=18,所以sin θ∈, 所以sin θ的取值范围为.故选A. 7.B　[解析] 由得则A,所以|AB|=|AF2|+|F2B|=+ 1=.显然当点P在半圆F1:(x+1)2+y2=1(y≥0)上且PF1⊥AB时,△PAB的面积最大.因为点F1(-1,0)到直线AB:3x-4y-3=0的距离d==,所以点P到直线AB的距离h≤d+|PF1|=+1=,所以S△PAB≤××=.故选B. 8.B　[解析] 将x=c代入双曲线的方程,可得y=±b=±,则点A的坐标为.因为|F2Q|>|F2A|,所以>,即3a2>2b2=2(c2-a2),所以e=<①.因为|PF1|+|PQ|>|F1F2|恒成立,所以2a+|PF2|+|PQ|>3c恒成立,当F2,P,Q三点共线且点P在F2,Q之间时,|PF2|+|PQ|取得最小值|F2Q|=,所以3c<2a+,所以e=<②.由e>1,结合①②可得e的取值范围是.故选B. 9.ACD　[解析] 由D(0,2,0),N(2,1,0),M(1,0,0),P(0,1,1),得=(1,-1,-1),=(0,1,-1),=(-1,-1,0).·=0,故A正确;∵cos<,>===-,且<,>∈[0,π],∴与的夹角为,故B错误;设平面PDM的一个法向量为n=(x,y,z),则即令z=1,则n=(2,1,1),故C正确;设点N到平面PDM的距离为d,则d==,故D正确.故选ACD. 10.AC　[解析] 因为AB所在直线的斜率为k(k>0),AB⊥CD,所以kCD=-,设A(x1,y1),B(x2,y2),易知AB所在直线的方程为y=k,由消去y得k2x2-p(k2+2)x+k2p2=0,所以x1x2=p2,x1+x2=,所以|AB|=x1+x2+p=+p=,同理可得|CD|==2p(1+k2).对于A,+=+=,故A正确;对于B,若|AF|·|BF|=p2,则=x1x2+(x1+x2)+p2=p2+=p2+=p2,可得k=,故B错误;对于C,·=x1x2+y1y2=p2+k2=p2+k2=p2+k2p2-=-p2,同理可得·=-p2,所以·=·,故C正确;对于D,因为AB⊥CD,所以S四边形ABCD=|AB||CD|=··2p(1+k2)==2p2≥8p2,当且仅当k2=(k>0),即k=1时,等号成立,故D错误.故选AC. 11.ACD　[解析] 对于A,在正方体中,易知平面ACD1∥平面A1BC1,故动点M在运动的过程中,点M到平面ACD1的距离为定值,所以三棱锥M-ACD1的体积为定值,故A正确.对于B,当点M运动到点B处时,易知A1M不垂直于B1C,所以A1M不垂直于平面DB1C,故B错误.对于C,以D为坐标原点,,,的方向分别为x,y,z轴的正方向,建立如图①所示的空间直角坐标系,则B(2,2,0),A1(2,0,2),C1(0,2,2),所以=(0,-2,2),=(-2,0,2),设M(x,y,z),=λ+μ(0≤λ≤1,0≤μ≤1,λ+μ≤1),则=(-2μ,-2λ,2λ+2μ),所以M(2-2μ,2-2λ,2λ+2μ),设动点M到直线CD的距离为d,过点M作MH⊥平面ABCD于点H,过点H作HS⊥CD于点S,连接MS,则MS=d,则d2=(2λ+2μ)2+(2-2μ)2=4(λ2+2μλ+2μ2-2μ+1),当λ=0,μ=时,d2取得最小值,且最小值为2,则动点M到直线CD的距离的最小值为,故C正确.对于D,设点A到平面A1BC1的距离为h,由=,得××(2)2×h=×2×2×2×,解得h=.如图②,取A1B的中点Q,则Q(2,1,1),连接QC1,过点A作AI⊥平面A1BC1,垂足为I,易知点I在C1Q的延长线上.由选项C,可设平面内点I(2-2μ',2-2λ',2λ'+2μ'),因为A(2,0,0),所以=(-2μ',2-2λ',2λ'+2μ'),又=(2,2,2),∥,所以解得所以I,所以QI==.由已知,点M的轨迹是以I为圆心的圆弧,不妨设该圆弧的半径为r,则r==,则==,所以以I为圆心的圆弧所对的圆心角为,故M的轨迹长度为,故D正确.故选ACD. 12.27　[解析] ∵l⊥α,∴u∥n,∴==,即解得∴ab=27. 13.　[解析] 以C为原点,CD,CB,CG所在直线分别为x,y,z轴,建立如图所示的空间直角坐标系,则B(0,4,0),E(2,4,0),F(4,2,0),G(0,0,2),所以=(2,-2,0),=(2,4,-2),=(2,0,0).设平面EFG的法向量是n=(x,y,z),则取x=1,则y=1,z=3,所以n=(1,1,3),所以点B到平面GEF的距离为==. 14.+=1或+=1　[解析] 圆柱的轴截面如图所示.记平面α与上、下乒乓球的切点分别为A,A',平面α与轴截面的两条母线的交点分别为C,C',B,B'分别为两球的球心,O为BB'的中点.在直角三角形ABO中,AB=2,BO==8,所以AO==2,所以椭圆的焦距为2AO=4,因为椭圆的短轴长即为圆柱的底面直径4,所以椭圆的标准方程为+=1或+=1. 15.解:(1)设圆A的半径为R,由圆A与直线l1:x+2y+7=0相切得R==2,所以圆A的标准方程为(x+1)2+(y-2)2=20. (2)①当直线l与x轴垂直时,直线l的方程为x=-2,此时|MN|=2×=2,符合题意. ②当直线l不与x轴垂直时,设直线l的方程为y=k(x+2),即kx-y+2k=0,设Q是MN的中点,因为|MN|=2,所以|AQ|==1,即|AQ|==1,解得k=, 所以直线l的方程为3x-4y+6=0. 综上所述,直线l的方程为x=-2或3x-4y+6=0. 16.解:(1)由题得抛物线的准线方程为x=-, 又点A(2,y0)到准线的距离为4,∴2-=4,解得p=4, 故抛物线的方程为y2=8x. (2)①当m=-2时,直线l的方程为y=2x-2, 由得y2-4y-8=0,则Δ=16+32>0. 设P(x1,y1),Q(x2,y2),直线PQ与x轴的交点为C, 则C(1,0),y1+y2=4,y1y2=-8,故S△OPQ=S△OCP+S△OCQ=|OC|·|y1-y2|=×1×=2. ②由可得y2-4y+4m=0. 设P(x1,y1),Q(x2,y2),则y1y2=4m,x1=,x2=. ∵OP⊥OQ,∴x1x2+y1y2=0, ∴+4m=0,解得m=-16或m=0. 当m=0时,直线与抛物线的交点中有一个与原点O重合,不符合题意; 当m=-16时,Δ=16-16×(-16)>0,符合题意. 综上可知,实数m的值为-16. 17.解:(1)证明:在四棱锥P-ABCD中,底面ABCD为直角梯形, 且AB∥CD,∠BAD=90°,所以CD⊥AD, 又PA⊥CD,且PA∩AD=A,所以CD⊥平面PAD, 又CD⊂平面ABCD,所以平面PAD⊥平面ABCD. (2)连接BD,设BD∩AC=O,连接OE. 假设PB∥平面ACE. 因为PB⊂平面PBD,平面PBD∩平面ACE=OE,所以PB∥OE, 又AB∥CD,AB=2CD,所以===2. 故当=2时,PB∥OE, 又PB⊄平面ACE,OE⊂平面ACE,所以PB∥平面ACE. (3)如图,以D为原点,分别以,的方向为x轴、y轴的正方向,过点D作平面ABCD的垂线,以该直线向上的方向为z轴的正方向,建立空间直角坐标系, 则D(0,0,0),A(3,0,0),C(0,2,0),B(3,4,0), 所以=(0,2,0),=(-3,2,0). 不妨设∠PDA=θ,则P(3cos θ,0,3sin θ), 所以=(3cos θ,0,3sin θ).设平面PCD的法向量为n=(x,y,z), 则不妨取x=sin θ,则n=(sin θ,0,-cos θ). 因为AC与平面PCD所成的角为30°, 所以sin 30°=|cos<,n>|===,解得sin θ=,故cos θ=, 则P,所以=,=. 不妨取n=(,0,-5).设平面PBC的法向量为m=(x1,y1,z1), 则不妨取x1=-,则m=(-,3,). 设平面PBC与平面PCD所成的角为α, 则cos α=|cos<m,n>|===, 故平面PBC与平面PCD所成的角的余弦值为. 18.解:(1)设圆C的标准方程为(x-a)2+(y-b)2=r2(r>0), 由已知可得可得 所以圆C的标准方程为(x-1)2+y2=1. (2)①由(1)知P(2,0),因为k1·k2=-1,所以P1P⊥P2P, 则直线P1P2经过圆心C,△PP1P2是直角三角形,且|P1P2|=2. 设|P1P|=c,|P2P|=d,则c2+d2=4, 又4=c2+d2≥2cd,所以cd≤2,当且仅当c=d=时取等号,所以的最大值为cd=1. ②由已知得,直线P1P2的斜率一定存在. 设直线P1P2的方程为y=kx+m,P1(x1,y1),P2(x2,y2), 由消去y得(k2+1)x2+2(km-1)x+m2=0, 所以Δ=4(km-1)2-4m2(k2+1)>0,x1+x2=-,x1x2=. 因为k1·k2=·===4,所以(4-k2)x1x2-(km+8)(x1+x2)+16-m2=(4-k2)+(km+8)+16-m2=0,可得3m2+14km+16k2=0, 即(m+2k)(3m+8k)=0,解得m=-2k或m=-k. 当m=-2k时,直线P1P2的方程为y=k(x-2),过定点P(2,0),不符合题意; 当m=-k时,直线P1P2的方程为y=k,过定点. 故当k1·k2=4时,动弦P1P2过定点. 19.解:(1)证明:在正方形ABCD中,AD⊥DC, 因为PD⊥DC,AD∩PD=D,AD,PD⊂平面PAD,所以DC⊥平面PAD, 又PA⊂平面PAD,所以DC⊥PA. 因为BC⊥BA,PB⊥BC,PB∩BA=B,PB,BA⊂平面PBA,所以BC⊥平面PBA,又PA⊂平面PBA,所以BC⊥PA,又BC∩DC=C,BC,DC⊂平面ABCD,所以PA⊥平面ABCD. (2)由已知可得AD,AB,AP两两垂直,以A为坐标原点,,,的方向分别为x,y,z轴的正方向,建立空间直角坐标系,如图所示,连接AC,可得AC=. 因为PA⊥AC,所以PA===1, 所以B(0,1,0),P(0,0,1),D(1,0,0),C(1,1,0), 所以=(0,-1,1),=(1,0,-1),=(0,1,0). 设平面BPD的一个法向量为m=(x1,y1,z1), 则令x1=1,则m=(1,1,1). 设平面CPD的一个法向量为n=(x2,y2,z2), 则 令x2=1,则n=(1,0,1). 因为cos<m,n>===, 所以平面BPD与平面CPD所成角的余弦值为. (3)存在满足条件的点E,理由如下: 假设在棱PD上存在一点E满足条件,设=λ=(λ,0,-λ),λ∈[0,1], 则=-=(1,1,-1)-(λ,0,-λ)=(1-λ,1,λ-1). 因为PA⊥平面BCD,所以平面BCD的一个法向量为=(0,0,1), 所以|cos<,>|===sin 30°=, 可得λ=1-,则||=×||=×=-1,所以在棱PD上存在一点E,使直线EC与平面BCD所成的角是30°,此时PE的长为-1. 学科网（北京）股份有限公司 $ 模块素养测评卷  (时间:120分钟　分值:150分) 一、选择题:本题共8小题,每小题5分,共40分.在每小题给出的四个选项中,只有一项是符合题目要求的. 1.若直线ax+2y+1=0与直线x+2y-2=0互相垂直,则实数a的值是 (　　) A.1 B.-1 C.4 D.-4 2.在四棱锥P-ABCD中,已知平面ABCD的一个法向量为n=(3,12,4),=(-6,2,-8),则该四棱锥的高为 (　　) A.1 B.2 C.3 D.4 3.已知点P,Q分别为圆C1:(x-2)2+(y+4)2=1与圆C2:(x+2)2+(y+3)2=4上的任意一点,则|PQ|的取值范围是 (　　) A.[-4,+4] B.[-3,+3] C.[-2,+2] D.[-1,+1] 4.已知点M0(2,3,4),平面α={M|n·=0},其中α的法向量n=(1,-1,1),则下列各点中在平面α内的是 (　　) A.(0,1,2) B.(4,2,1) C.(1,2,3) D.(1,-1,-1) 5.如图,已知A(5,0),B(0,5),从点P(1,0)射出的光线经直线AB反射后再射到直线OB上,最后经直线OB反射后又回到点P,则光线所经过的路程长为 (　　) A.2 B.2 C.2 D.4 6.[2026·重庆南开中学高二期末] 在正方体ABCD-A1B1C1D1中,O是AC的中点,点P在面对角线B1D1上(含端点),若直线OP与平面B1AD1所成的角为θ,则sin θ的取值范围是 (　　) A. B. C. D. 7.如图,曲线C由三部分构成:半圆F1:(x+1)2+y2=1(y≥0),半圆F2:(x-1)2+y2=1(y≥0),半椭圆Γ:+=1(y<0).直线AB:y=(x-1)交C于A,B两点,若动点P在曲线C上,则△PAB的面积的最大值为 (　　) A. B. C. D.4 8.设双曲线C:-=1(a>0,b>0)的左、右焦点分别为F1,F2,|F1F2|=2c,过点F2作x轴的垂线与双曲线在第一象限交于点A,已知Q,|F2Q|>|F2A|,点P是双曲线C右支上的动点,且|PF1|+|PQ|>|F1F2|恒成立,则双曲线的离心率e的取值范围是 (　　) A. B. C. D. 二、选择题:本题共3小题,每小题6分,共18分.在每小题给出的选项中,有多项符合题目要求,全部选对的得6分,部分选对的得部分分,有选错的得0分. 9.已知空间中四个点D(0,2,0),N(2,1,0),M(1,0,0),P(0,1,1),则下列结论正确的是 (　　) A.·=0 B.与的夹角为 C.平面PDM的一个法向量为n=(2,1,1) D.点N到平面PDM的距离为 10.已知点F是抛物线y2=2px(p>0)的焦点,AB,CD是经过点F的弦且AB⊥CD,弦AB所在直线的斜率为k,且k>0,C,A两点在x轴上方,O为坐标原点,则下列说法正确的是 (　　) A.+= B.若|AF|·|BF|=p2,则k= C.·=· D.四边形ABCD的面积的最小值为16p2 11.如图,在棱长为2的正方体ABCD-A1B1C1D1中,动点M是△A1BC1内部一点(含边界),则下列说法正确的是 (　　) A.在动点M运动的过程中,三棱锥M-ACD1的体积为定值 B.对于任意M,A1M⊥平面DB1C C.动点M到直线CD的距离的最小值为 D.满足AM=的M的轨迹长度为 三、填空题:本题共3小题,每小题5分,共15分. 12.已知u=(3,a-b,a+b)(a,b∈R)是直线l的一个方向向量,n=(1,2,4)是平面α的一个法向量.若l⊥α,则ab=　　　　.  13.如图,已知正方形ABCD的边长为4,CG⊥平面ABCD,CG=2,E,F分别是AB,AD的中点,则点B到平面GEF的距离为　　　　.  14.如图,在一个高为20,底面半径为2的圆柱形乒乓球筒的上壁和下壁分别粘有一个乒乓球,下壁的乒乓球与球筒下底面和侧面相切,上壁的乒乓球与球筒上底面和侧面相切(球筒和乒乓球厚度均忽略不计).一个平面α与两个乒乓球均相切,已知该平面截球筒边缘所得的图形为一个椭圆, 请写出此椭圆的一个标准方程　　　　　　　　　　.  四、解答题:本题共5小题,共77分.解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤. 15.(13分)已知以点A(-1,2)为圆心的圆与直线l1:x+2y+7=0相切,过点B(-2,0)的直线l与圆A相交于M,N两点,|MN|=2. (1)求圆A的标准方程; (2)求直线l的方程. 16.(15分)[2026·长春高二月考] 已知抛物线y2=2px(p>0)过点A(2,y0),且点A到其准线的距离为4. (1)求抛物线的方程. (2)设直线l:y=2x+m与抛物线交于异于原点的P,Q两点. ①当m=-2时,求△OPQ的面积S△OPQ; ②若OP⊥OQ,求实数m的值. 17.(15分)[2026·哈尔滨高二期末] 如图,在四棱锥P-ABCD中,底面ABCD是直角梯形,AB∥CD,∠BAD=90°,AB=2CD=4,PA⊥CD,在锐角三角形PAD中,AD=PD=3. (1)求证:平面PAD⊥平面ABCD. (2)在棱PD上是否存在一点E,使PB∥平面ACE?若存在,求出的值;若不存在,请说明理由; (3)若直线AC与平面PCD所成的角为30°,求平面PBC与平面PCD所成的角的余弦值. 18.(17分)在平面直角坐标系中,已知圆C经过原点和点A(1,-1),并且圆心在x轴上,圆C与x轴正半轴的交点为P. (1)求圆C的标准方程. (2)设P1P2为圆C的动弦,且P1P2不经过点P,记k1,k2分别为弦P1P,P2P的斜率. ①若k1·k2=-1,求△PP1P2面积的最大值. ②若k1·k2=4,请判断动弦P1P2是否过定点?若过定点,求该定点的坐标;若不过定点,请说明理由. 19.(17分)如图,在四棱锥P-ABCD中,底面ABCD是边长为1的正方形,PB⊥BC,PD⊥DC,且PC=. (1)证明:PA⊥平面ABCD. (2)求平面BPD与平面CPD所成角的余弦值. (3)在棱PD上是否存在一点E,使直线EC与平面BCD所成的角是30°?若存在,求PE的长;若不存在,请说明理由. 学科网（北京）股份有限公司 $