2.5 直线与圆、圆与圆的位置关系 2.5.2 圆与圆的位置关系 (Word课后习题)-【满分思维】2026-2027学年高中数学选择性必修第一册学生用书（人教A版）

**基本信息** 高中数学新授课同步练，聚焦圆与圆的位置关系，分层覆盖基础应用、综合运算及拓展探究，通过选择、填空、解答题梯度推进，强化从概念辨析到动态轨迹的知识巩固，培养几何直观、推理能力与模型观念。 **分层设计** |层次|知识覆盖|设计特色| |----|----------|----------| |基础|基本位置关系判定（内切/外切等）、公切线条数|直接应用圆的方程与位置关系公式，如第1题判断两圆位置关系| |中档|轨迹方程、公共弦长、参数范围（无公共点）|结合动态问题与开放题，如第4题动圆相切轨迹、第7题开放写圆方程| |提升|跨知识点综合（对称/平分周长）、探究性解答|设置多选题与解答题，如第12题两圆性质综合、第16题轨迹与参数范围探究|

2.5.2　圆与圆的位置关系 1.B　[解析] 根据题意,圆C1:x2+y2=2的圆心为C1(0,0),半径r1=,圆C2:x2+y2+4y+3=0的标准方程为x2+(y+2)2=1,其圆心为C2(0,-2),半径r2=1,则|C1C2|==2,|r1-r2|=-1,r1+r2=+1,因为|r1-r2|<|C1C2|<r1+r2,所以两圆相交.故选B. 2.C　[解析] 由x2+y2+8x-2y+8=0可得(x+4)2+(y-1)2=9,所以两圆的圆心分别为C(0,-2),D(-4,1).设两圆的半径分别为r1,r2,则r1+r2=2+3=5,又圆心距|CD|==5=r1+r2,所以两圆外切,则公切线的条数为3,故选C. 3.C　[解析] 因为两圆有且只有一个公共点,所以两圆内切或外切.当两圆内切时,|a|=2-1=1,当两圆外切时,|a|=2+1=3,所以实数a的取值集合是{1,-1,3,-3}.故选C. 4.D　[解析] 设动圆圆心的坐标为(x,y),若动圆与圆(x-5)2+(y+7)2=16外切,则=4+1,所以(x-5)2+(y+7)2=25;若动圆与圆(x-5)2+(y+7)2=16内切,则=4-1,所以(x-5)2+(y+7)2=9.故选D. 5.D　[解析] 由x2+y2-12x-2y-13=0得(x-6)2+(y-1)2=50,则圆心为C1(6,1),半径R1=5,由圆C1:x2+y2-12x-2y-13=0和圆C2:x2+y2+12x+16y-25=0的方程相减可得公共弦所在直线的方程为24x+18y-12=0,即4x+3y-2=0,由圆心C1(6,1)到公共弦的距离d==5,可得公共弦长为2×=10,故选D. 6.BC　[解析] 易知圆C1:x2+y2=1的圆心为C1(0,0),半径r1=1,将x2+y2-6x+8y+24=0化为(x-3)2+(y+4)2=1,可知圆C2的圆心为C2(3,-4),半径r2=1.对于A,两圆的圆心距|C1C2|=5>r1+r2,所以两圆外离,所以两个圆的公切线有4条,故A错误;对于B,易知|PQ|的最小值为|C1C2|-r1-r2=3,最大值为|C1C2|+r1+r2=7,所以|PQ|的取值范围为[3,7],故B正确;对于C,显然两圆的圆心C1(0,0),C2(3,-4)都在直线4x+3y=0上,因此直线4x+3y=0为圆C1的对称轴,也为圆C2的对称轴,故C正确;对于D,由选项A可知两圆外离,即不存在公共弦,故D错误.故选BC. 7.(x-3)2+(y-4)2=16(答案不唯一)　[解析] 由条件②可设圆的方程为(x-a)2+(y-b)2=b2,由条件①可得a2+b2=(1+|b|)2,整理可得a2=2|b|+1,令b=4,a=3,则圆的方程为(x-3)2+(y-4)2=16. 8.(0,4)∪(6,+∞)　[解析] 圆C1的圆心为C1(-2,-3),半径为r(r>0),圆C2的圆心为C2(1,1),半径为1,则|C1C2|==5.因为两圆没有公共点,所以两圆的位置关系为外离或内含.若外离,则解得0<r<4;若内含,则解得r>6.综上,r的取值范围是(0,4)∪(6,+∞). 9.解:将两圆的方程化为标准方程,得圆C1:(x-1)2+(y-3)2=9,圆C2:(x-5)2+(y-6)2=61-m, 则圆C1的圆心为C1(1,3),半径r1=3,圆C2的圆心为C2(5,6),半径r2=(m<61). (1)若两圆外切,则|C1C2|=r1+r2, 即=3+,解得m=57. (2)若两圆内切,则|C1C2|=|r1-r2|, 即=|3-|,解得m=-3. 10.A　[解析] 由题意知,圆C1关于y轴的对称圆为圆C3:(x+1)2+y2=r2,根据题意,圆C3与圆C2有交点,又圆C3与圆C2的圆心距d=,所以|r-1|≤≤r+1,解得r∈[-1,+1].故选A. 11.D　[解析] 与点A(1,-2)距离为1的直线可看作以A(1,-2)为圆心,1为半径的圆的切线,与点B(-2,2)距离为2的直线可看作以B(-2,2)为圆心,2为半径的圆的切线,故所求直线为两圆的公切线,又|AB|==5>1+2,故两圆外离,所以公切线有4条,故选D. 12.ABD　[解析] 圆C1:x2+y2-2x-4y=0的圆心为C1(1,2),半径r1=,圆C2:x2+y2+mx+ny=0的圆心为C2,半径r2=.对于A,圆C1和圆C2都一定过原点(0,0),则圆C1,C2恒有公共点,故A正确;对于B,由选项A可得两圆一定不外离,所以至多有三条公切线,故B正确;对于C,若圆C2平分圆C1的周长,则两圆的公共弦必过C1(1,2),由两式作差可得(m+2)x+(n+4)y=0,所以m+2+2(n+4)=0,即m+2n=-10,故C不正确;对于D,由C可得m+2n=-10,即m=-2n-10,所以n2-m=n2+2n+10=(n+1)2+9≥9,当且仅当n=-1时取等号,故D正确.故选ABD. 13.x2+y2-2x-2y=0　[解析] 由题可设C1(t,t),t>0,因为圆C1经过坐标原点,所以圆C1的半径为t,则圆C1的方程为(x-t)2+(y-t)2=2t2,即x2+y2-2tx-2ty=0,与圆C2的方程相减,化简可得直线MN的方程为(t-1)x+(t+1)y-1=0.圆C2的标准方程为(x-1)2+(y+1)2=4,则其圆心为C2(1,-1),半径r=2.设C2(1,-1)到直线MN的距离为d,则|MN|=2=2=,可得d=.由点到直线的距离公式得d==,整理得(t-1)2+(t+1)2=4,可得t=1,故圆C1的方程为x2+y2-2x-2y=0. 14.解:(1)当r=2时,因为圆心距|OC|=5,且4-2<|OC|<4+2,所以圆O与圆C相交,由 两式相减得8x+6y-13=0,所以直线DE的方程是8x+6y-13=0. (2)当r=1时,|OC|=r+4,即圆O与圆C外切,则圆O与圆C有3条公切线l,l1,l2,如图, 显然公切线的斜率存在,设公切线方程为y=kx+t,则整理得或解得 解得或 因此公切线l的方程为y=-x+,即4x+3y-5=0, 公切线l1的方程为y=-1,公切线l2的方程为y=x+,即24x-7y+25=0. 15.B　[解析] 圆C:(x+2)2+y2=1的圆心为C(-2,0),半径r=1,圆C1:(x-2)2+y2=3的圆心为C1(2,0),半径r1=.由弦长公式知,|AB|=2=2,可得|C1N|=1,所以点N在以C1(2,0)为圆心,1为半径的圆上,易知|MN|的最小值为|CC1|-r-1=4-1-1=2.故选B. 16.解: (1)设M(x0,y0),由点Q(4,0),点M是线段PQ的中点可得P(2x0-4,2y0), 因为点P在圆x2+y2=r2(r>0)上,所以(2x0-4)2+(2y0)2=r2,整理可得(x0-2)2+=r2, 即曲线C的方程为(x-2)2+y2=r2(r>0). (2)设N(x,y),因为=2,所以=2,整理得(x+1)2+(y-1)2=8. 由题意知圆(x-2)2+y2=r2(r>0)与圆(x+1)2+(y-1)2=8有公共点,所以≤≤r+2,解得2-4≤r≤2+4, 所以r的取值范围是[2-4,2+4]. 学科网（北京）股份有限公司 $ 2.5.2　圆与圆的位置关系 1.[2026·厦门一中高二期中] 已知圆C1:x2+y2=2,圆C2:x2+y2+4y+3=0,则两圆的位置关系为 (　 )　　　　　 　　　　　 　　　　　 A.内切 B.相交 C.外切 D.相离 2.圆C:x2+(y+2)2=4与圆D:x2+y2+8x-2y+8=0的公切线的条数为 (　 ) A.1 B.2 C.3 D.4 3.已知圆O1的方程为x2+y2=4,圆O2的方程为(x-a)2+y2=1,如果这两个圆有且只有一个公共点,那么a的所有取值构成的集合是 (　 ) A.{1,-1} B.{3,-3} C.{1,-1,3,-3} D.{5,-5,3,-3} 4.已知半径为1的动圆与圆(x-5)2+(y+7)2=16相切,则动圆圆心的轨迹方程是 (　 ) A.(x-5)2+(y+7)2=25 B.(x-5)2+(y-7)2=17或(x-5)2+(y+7)2=15 C.(x-5)2+(y+7)2=9 D.(x-5)2+(y+7)2=25或(x-5)2+(y+7)2=9 5.圆C1:x2+y2-12x-2y-13=0和圆C2:x2+y2+12x+16y-25=0的公共弦长是 (　 ) A.4 B.5 C.8 D.10 6.(多选题)点P在圆C1:x2+y2=1上,点Q在圆C2:x2+y2-6x+8y+24=0上,则 (　 ) A.两个圆的公切线有2条 B.|PQ|的取值范围为[3,7] C.两个圆上任意一点关于直线4x+3y=0的对称点仍在该圆上 D.两个圆的公共弦所在直线的方程为6x-8y-25=0 7.写出一个同时满足条件①②的圆的方程:　.  ①与圆x2+y2=1相切;②与x轴相切. 8.[2026·河北强基联盟高二期中] 已知圆C1:(x+2)2+(y+3)2=r2(r>0)与圆C2:(x-1)2+(y-1)2=1没有公共点,则r的取值范围是　　　　.  9.(13分)已知圆C1:x2+y2-2x-6y+1=0,圆C2:x2+y2-10x-12y+m=0. (1)当m取何值时,圆C1和圆C2外切? (2)当m取何值时,圆C1和圆C2内切? 10.[2026·南京高二期中] 若圆C1:(x-1)2+y2=r2(r>0)上存在点P,其关于y轴的对称点Q在圆C2:(x+2)2+(y-2)2=1上,则r的取值范围为 (　 ) A.[-1,+1] B.(-1,] C.[1,] D.(1,+1] 11.在平面直角坐标系中,与点A(1,-2)距离为1,且与点B(-2,2)距离为2的直线共有 (　 ) A.1条 B.2条 C.3条 D.4条 12.(多选题)已知圆C1:x2+y2-2x-4y=0,圆C2:x2+y2+mx+ny=0,则下列说法正确的是 (　 ) A.圆C1,C2恒有公共点 B.圆C1,C2至多有三条公切线 C.若圆C2平分圆C1的周长,则m+2n=10 D.若圆C2平分圆C1的周长,则n2-m的最小值为9 13.已知圆C1的圆心在第一象限,且圆心到两坐标轴的距离相等,若圆C1 经过坐标原点且与圆C2 : x2+y2-2x+2y-2=0 相交于 M,N 两点,|MN|=,则圆C1的方程为　.  14.(15分)[2026·盐城六校联盟高二联考] 已知圆O:x2+y2=r2(r>0)与圆C:(x-4)2+(y-3)2=16. (1)若r=2,且圆O与圆C有两个不同的交点D,E,求直线DE的方程; (2)若r=1,求圆O与圆C的公切线方程. 15.点M是圆C:(x+2)2+y2=1上任意一点,AB为圆C1:(x-2)2+y2=3的弦,且|AB|=2,N为AB的中点,则|MN|的最小值为 (　 ) A.1 B.2 C.3 D.4 16.(15分)已知点P为圆x2+y2=r2(r>0)上的动点,点Q(4,0),点M是线段PQ的中点,点M的轨迹为曲线C. (1)求曲线C的方程; (2)若A(3,5),B(0,2)且曲线C上存在点N,使得=2,求r的取值范围. 学科网（北京）股份有限公司 $