2.5 直线与圆、圆与圆的位置关系 2.5.1 直线与圆的位置关系(B) (Word课后习题)-【满分思维】2026-2027学年高中数学选择性必修第一册学生用书（人教A版）

**基本信息** 高中数学“直线与圆的位置关系(B)”同步练，分层设计梯度清晰，从基础公式应用到综合情境探究，覆盖知识完整，助力巩固概念、提升运算与推理能力，培养数学思维与应用意识。 **分层设计** |层次|知识覆盖|设计特色| |----|----------|----------| |基础层|直线与圆相切、弦长等单一公式应用|选择题为主，直接考查d=r等核心公式，如第1题用相切求参数| |提升层|切线性质、参数范围等综合概念|多选+填空，结合几何性质，如第6题融合切线长与切点弦方程| |综合层|实际情境与探究性问题|解答题+情境题，联系现实，如第14题台风影响问题，培养应用意识|

2.5.1　直线与圆的位置关系(B) 1.D　[解析] 由题得圆的圆心坐标为(1,1),半径为1,因为直线3x+4y=b与圆(x-1)2+(y-1)2=1相切,所以=1,解得b=12或b=2.故选D. 2.C　[解析] 设劣弧的两个端点为A,B,圆心为O,由题意可知△OAB为正三角形,圆心O到直线AB:x+y-3=0的距离为正三角形OAB的高r,故r=,解得r=,故选C. 3.A　[解析] 点(2,0)到圆心(0,0)的距离d=2,又圆的半径r=2,所以sin===,于是cos α=1-2sin2=1-2×=.故选A. 4.A　[解析] 因为l1:x-y+2=0,l2:x-y+6=0,所以l1∥l2,所以l1与l2之间的距离为=2,则圆心C到直线l1的距离为1.因为直线l1被圆C截得的弦长为2,所以圆C的半径r==,所以圆C的面积为πr2=2π.故选A. 5.D　[解析] 以圆拱拱顶O为坐标原点,与圆拱拱顶相切的直线为x轴,过圆拱拱顶的竖线为y轴,建立平面直角坐标系,如图所示.由题意可设圆的方程为x2+(y+r)2=r2(其中r为圆的半径),因为拱顶离水面2米时,水面宽为12米,所以点A(6,-2)在圆上,将点A的坐标代入圆的方程,可得r=10,所以圆的方程为x2+(y+10)2=100.当水面下降2米后,设A'(x0,-4)(x0>0)在圆上,将点A'的坐标代入圆的方程,可得+(-4+10)2=100,可得x0=8,所以此时水面宽为16米. 6.ACD　[解析] 根据题意,☉Q的圆心为Q(0,-2),半径为2,过点P的两条直线分别与☉Q相切于A,B两点,如图,则A(-2,-2),B(0,-4),所以|PA|=2,|AB|=2,所以A正确,B错误;连接AQ,易知四边形PAQB为正方形,其中心为(-1,-3),所以P,A,Q,B均在圆(x+1)2+(y+3)2=2上,所以C正确;A,B所在直线的方程为x+y+4=0,所以D正确.故选ACD. 7.±　[解析] 由题意得圆C的标准方程为x2+(y-3)2=3,其圆心坐标为(0,3),半径r=.直线y=ax与圆C:x2+y2-6y+6=0相交于A,B两点,若△ABC为等边三角形,则圆心C到直线y=ax的距离d=rcos 30°=,即=,解得a=±. 8.(6,10]　[解析] 圆C:x2+(y-1)2=25的圆心为C(0,1),半径r=5.直线l:mx-y+1-4m=0,即m(x-4)-y+1=0,令解得所以直线l过定点M(4,1),又42+(1-1)2<25,所以点M(4,1)在圆C内,所以|PQ|的最大值为直径,即|PQ|max=10.当|PQ|最小时,点M(4,1)为弦PQ的中点,连接CM,此时CM⊥PQ,|PQ|=2×=6,但此时直线l的斜率不存在,所以|PQ|取不到6,即|PQ|的取值范围是(6,10]. 9.解:(1)圆C的标准方程为(x-2)2+(y-3)2=9,故圆心为C(2,3),半径为3. 若直线l过原点,则直线l的方程为y=x,即3x-2y=0,符合题意; 若直线l不过原点,设直线l的方程为+=1(a≠0), 又C(2,3)在直线l上,所以=1,解得a=5,故直线l的方程为x+y-5=0. 综上,直线l的方程为3x-2y=0或x+y-5=0. (2)由题意知C(2,3)到直线y=x+b的距离为=,所以=,解得b=-或. 10.B　[解析] 由x2+y2-6x+8y+9=0,可得(x-3)2+(y+4)2=16,则圆M的圆心为M(3,-4),半径r=4,则圆心M到直线l:mx+y-3m=0的距离d==.要使圆M上至少有3个点到直线l的距离为3,则0≤≤1,即≤1,可得m2+1≥16,解得m≥或m≤-,所以实数m的取值范围是(-∞,-]∪[,+∞).故选B. 11.C　[解析] 因为2b=a+c,所以c=2b-a,代入直线方程ax+by+c=0得ax+by+2b-a=0,即a(x-1)+b(y+2)=0,令得故直线恒过点P(1,-2).圆的标准方程为x2+(y+2)2=5,设圆心为C,半径为r,则C(0,-2),r=,易知当PC⊥AB时,|AB|最小,又|PC|=1,|AC|=r=,所以|AB|min=2|AP|=2=2×=4.故选C. 12.BD　[解析] x2+y2-2x-2=0可化为(x-1)2+y2=3,可得圆的圆心为C(1,0),半径r=.对于A,x2+y2表示圆C上的点到定点O(0,0)的距离的平方,所以x2+y2的最大值为[+]2=4+2,所以A错误;对于B,表示圆C上的点与点P(-1,-1)的连线的斜率,设=k,即y+1=k(x+1),由圆心(1,0)到直线y+1=k(x+1)的距离d=≤,解得2-≤k≤2+,所以的最大值为2+,所以B正确;对于C,|x-y+3|表示圆上任意一点到直线x-y+3=0的距离的倍,圆心(1,0)到直线x-y+3=0的距离为=2,所以|x-y+3|的最小值为×(2-)=4-,所以C错误;对于D,因为点(0,)的坐标满足圆C的方程,所以点(0,)在圆C上,点(0,)与圆心(1,0)连线的斜率k1=-,设过点(0,)所作圆C的切线的斜率为k,根据圆的性质,可得k=-=,所以切线方程为y-=(x-0),即x-y+2=0,所以D正确.故选BD. 13.-1　[解析] 由可得2x2+2x-1=0,设M(x1,y1),N(x2,y2),则x1+x2=-1,x1x2=-,所以y1y2=(-x1-1)(-x2-1)=x1x2+x1+x2+1=-,所以·=x1x2+y1y2=-1. 14.解:(1)如图,以A为坐标原点,正东方向为x轴的正方向,正北方向为y轴的正方向,1 km为单位长度,建立平面直角坐标系,其中圆A是以坐标原点为圆心,75为半径的圆, 若此人不受台风影响,则骑行轨迹正好与圆A相切时,θ取得最大值,则tan θ取得最大值, 此时cos θ==,所以θ=, 则tan θ=,故tan θ的最大值为. (2)由题意得,此人的骑行轨迹所在直线的方程为x-y+150=0,则圆心A到直线的距离d==75,所以该直线与圆A相交所得弦的长为2×=150,故此人受台风影响持续时间为=3(h). 15.AD　[解析] 对于A,将y轴右侧黑色阴影部分补到左侧白色部分,即可知黑色阴影部分的面积是圆的面积的一半,A正确.对于B,当a=-时,直线y=ax+2a=a(x+2)=-(x+2)=-x-3过点(-2,0),(0,-3),所以直线y=ax+2a与白色部分在第一、四象限没有公共点.圆x2+(y+1)2=1的圆心为(0,-1),半径为1,圆心(0,-1)到直线y=-x-3,即直线3x+2y+6=0的距离为=>1,所以直线y=ax+2a与白色部分在第三象限没有公共点.综上所述,当a=-时,直线y=ax+2a与白色部分没有公共点,B错误.对于C,设l:z=x+y,当直线l与圆x2+(y-1)2=1相切且切点在第一象限时,z最大,由=1,解得z=+1或z=1-(舍去),C错误.对于D,要使得∠OPQ=45°,只需≥sin 45°=,即|OP|≤2,于是22+b2≤8,解得-2≤b≤2,D正确.故选AD. 16.解:(1)设圆C的方程为x2+y2+Dx+Ey+F=0(D2+E2-4F>0),则解得∴圆C的方程为x2+y2-6x+4y+4=0, 即(x-3)2+(y+2)2=9. (2)假设存在满足条件的直线l,其方程为y=x+b, 设A(x1,y1),B(x2,y2), 由消去y得2x2+2(b-1)x+b2+4b+4=0(*),∴ ∵以AB为直径的圆过原点O, ∴OA⊥OB,∴x1x2+y1y2=0, ∴x1x2+y1y2=x1x2+(x1+b)(x2+b)=2x1x2+b(x1+x2)+b2=0,即b2+4b+4+b(1-b)+b2=0, 即b2+5b+4=0,∴b=-1或b=-4,容易验证b=-1或b=-4时方程(*)的Δ>0, 故存在满足条件的直线l,其方程是y=x-1或y=x-4. 学科网（北京）股份有限公司 $ 2.5.1　直线与圆的位置关系(B) 1.直线3x+4y=b与圆(x-1)2+(y-1)2=1相切,则b的值是 (　 )　　　　　 　　　　　 　　　　　 A.-2或12 B.2或-12 C.-2或-12 D.2或12 2.直线x+y-3=0截圆x2+y2=r2(r>0)所得劣弧所对的圆心角为,则r的值为 (　 ) A. B. C. D. 3.若过点(2,0)与圆x2+y2=4相切的两条直线的夹角为α,则cos α= (　 ) A. B. C. D. 4.已知两条直线l1:x-y+2=0与l2:x-y+6=0被圆C截得的弦长均为2,则圆C的面积为 (　 ) A.2π B.3π C.4π D.5π 5.有一座圆拱桥,当水面在如图所示的位置时,拱顶离水面2米,水面宽为12米,则当水面下降2米后,水面宽为 (　 ) A.13米 B.14米 C.15米 D.16米 6.(多选题)已知点P(-2,-4)和☉Q:x2+(y+2)2=4,过点P的两条直线分别与☉Q相切于A,B两点,下列说法正确的是 (　 ) A.|PA|=2 B.|AB|=2 C.P,A,Q,B均在圆(x+1)2+(y+3)2=2上 D.A,B所在直线的方程为x+y+4=0 7.已知直线y=ax与圆C:x2+y2-6y+6=0相交于A,B两点,若△ABC为等边三角形,则a的值为　　　　.  8.已知直线l:mx-y+1-4m=0(m∈R)与圆C:x2+(y-1)2=25交于P,Q两点,则弦长|PQ|的取值范围是　　　　.  9.(13分)已知圆C:x2+y2-4x-6y+4=0. (1)求过圆心C且在两坐标轴上的截距相等的直线l的方程; (2)若直线y=x+b与圆C相交所得的弦长为4,求实数b的值. 10.[2026·遵义航天高级中学高二期中] 若圆M:x2+y2-6x+8y+9=0上至少有3个点到直线l:mx+y-3m=0的距离为3,则m的取值范围是 (　 ) A.[-,] B.(-∞,-]∪[,+∞) C.[-,] D.(-∞,-]∪[,+∞) 11.已知2b=a+c,若直线ax+by+c=0与圆x2+y2+4y-1=0交于A,B两点,则|AB|的最小值为 (　 ) A.1 B.2 C.4 D.2 12.(多选题)已知点(x,y)在圆x2+y2-2x-2=0上,则下列选项正确的是 (　 ) A.x2+y2的最大值是+1 B.的最大值是2+ C.|x-y+3|的最小值是2- D.过点(0,)作该圆的切线,则切线方程为x-y+2=0 13.若直线x+y+1=0与圆x2+y2=2交于M,N两点,O为坐标原点,则·=　　　　.  14.(15分)某台风中心位于A处,在台风中心正西方向距离为150 km的B处有一人,正沿北偏东θ(θ为锐角)方向骑摩托车行进,其速度为50 km/h,已知距离台风中心75 km及以内的区域会受台风影响. (1)若此人不受台风影响,求tan θ的最大值. (2)若此人的骑行方向改为北偏东45°,此人受台风影响持续多长时间? 15.(多选题)众所周知的“太极图”,其形状如对称的阴阳两鱼互抱在一起,也被称为“阴阳鱼太极图”.如图是放在平面直角坐标系中的“太极图”,整个图形是一个圆形,其中黑色阴影区域在y轴右侧部分的边界为一个半圆.给出以下说法,其中正确的是 (　 ) A.太极图中黑色阴影部分的面积是整体的 B.当a=-时,直线y=ax+2a与白色部分有公共点 C.对于黑色阴影部分(包括黑白交界处)内任一点(x,y),x+y的最大值为2 D.设点Q在此太极图上,若存在P(-2,b),使得∠OPQ=45°,则b的取值范围是[-2,2] 16.(15分)已知圆C过点M(0,-2),N(3,1),且圆心C在直线x+2y+1=0上. (1)求圆C的标准方程. (2)是否存在满足以下两个条件的直线l? ①斜率为1;②被圆C截得的弦为AB,以AB为直径的圆过原点O.若存在这样的直线l,请求出其方程;若不存在,请说明理由. 学科网（北京）股份有限公司 $