2.5 直线与圆、圆与圆的位置关系 2.5.2 圆与圆的位置关系 (Word讲义)-【满分思维】2026-2027学年高中数学选择性必修第一册学生用书（人教A版）

本讲义聚焦高中数学“圆与圆的位置关系”核心知识点，系统梳理外离、外切、相交、内切、内含五种位置关系，衔接圆的方程及直线与圆位置关系的基础，通过定义阐释、代数法（判别式）与几何法（圆心距和半径关系）对比表格构建学习支架，并设置诊断分析题帮助学生自查理解。 该资料以问题链驱动探究，如探究点二公共弦问题通过两圆方程相减得公共弦直线方程，结合勾股定理求弦长，培养学生几何直观（数学眼光）与推理能力（数学思维）。课中助力教师系统授课，课后诊断题与变式练习帮助学生巩固，提升应用意识（数学语言），有效查漏补缺。

2.5.2　圆与圆的位置关系 【学习目标】 　　1.能描述圆与圆的位置关系. 　　2.能根据给定两圆的方程判断两个圆的位置关系. ◆ 知识点　圆与圆的位置关系 1.两圆的位置关系主要包括:外离、　　　　、　　　　、　　　　和内含.  2.两圆的位置关系的判断: (1)代数法:已知圆C1:x2+y2+D1x+E1y+F1=0(+-4F1>0),圆C2:x2+y2+D2x+E2y+F2=0(+-4F2>0),由消元后得到一元二次方程(若得到的是一元一次方程,则要求出方程组的解进行判断),计算判别式Δ的值,按下表中判断标准进行判断. (2)几何法:两圆的半径分别为r1,r2,计算两圆的圆心距d,按下表中判断标准进行判断. (3)判断标准: 位置关系 外离 外切 相交 内切 内含 图示 公共点个数 0 1 2 1 0 Δ的值 Δ<0 　　  　　  Δ=0 Δ<0 d与r1,r2的关系 　　  d=r1+r2 　　 　　  　　  d<|r1-r2| 【诊断分析】 判断正误.(请在括号中打“√”或“×”) (1)两圆的方程联立,若方程组有两个不同的解,则两圆相交. (　 ) (2)若两个圆没有公共点,则两圆一定外离. (　 ) (3)若两圆外切,则两圆有且只有一个公共点;反之也成立. (　 ) (4)当两圆的方程组成的方程组无解时,两圆一定外离. (　 ) ◆ 探究点一　两圆位置关系的判断及应用 例1 (1)已知圆 C1:(x+1)2+(y-2)2=16 ,圆 C2:(x-2)2+(y+2)2=81 ,则圆 C1 与圆 C2 的位置关系为 (　 )　　　　　 　　　　　 　　　　　 A.外离 B.外切 C.相交 D.内切 (2)圆(x-4)2+y2=9和圆(x-1)2+y2=r2(r>0)内含,则r的取值范围是　　　　.  变式 (1)若圆C1:x2+y2=4与圆C2:x2+y2-2mx+m2-m=0外切,则实数m的值为 (　 ) A.-1 B.1 C.1或4 D.4 (2)已知圆C1:x2+y2=m2(m>0)与圆C2:x2+y2-2x-4y-15=0恰有两条公切线,则实数m的取值范围是　　　　.  ◆ 探究点二　两圆公共弦问题 例2 (1)[2026·广州高二期中] 圆C1:x2+y2-4=0与圆C2:x2+y2-4x+4y-12=0的公共弦的长为 (　 ) A.2 B.2 C.3 D.3 (2)已知圆M:x2+=与圆x2+y2=m的公共弦经过点M,则m= (　 ) A. B. C. D. 变式 [2026·菏泽高二期中] 已知圆C1:x2+y2+2x+3y+1=0,圆C2:x2+y2+4x+3y+2=0. (1)证明:圆C1与圆C2相交; (2)求圆C1与圆C2的公共弦所在直线的方程; (3)求公共弦长. [素养小结] 解决两圆公共弦问题的方法如下: (1)当两圆相交时,利用两圆方程相减,可得公共弦所在直线的方程; (2)在由半径、弦心距、弦长的一半为三边边长的直角三角形中,利用勾股定理可求弦长; (3)根据公共弦的中垂线过两圆圆心,可得公共弦的中垂线所在直线的方程. ◆ 探究点三　圆与圆的位置关系的综合问题 例3 (1)若圆C与直线3x-4y-12=0相切,且与圆x2-2x+y2=0相切于点A(2,0),则圆C的标准方程为　.  (2)已知圆C与两圆C1:x2+(y+4)2=1,C2:x2+(y-2)2=1均外切,求圆C的圆心的轨迹方程. 变式 已知圆O:x2+y2=1,圆M:(x-2)2+(y-1)2=9,求圆O与圆M的公切线的交点P的坐标,并求公切线方程. [素养小结] 1.圆与圆的位置关系的综合问题常见的类型有公切线问题、公共弦问题、轨迹问题等,要注意利用图形的几何性质优化思路、减少运算量. 2.圆与圆的位置关系问题有时需要通过建立适当的平面直角坐标系,求得满足条件的动点的轨迹方程,从而得到动点的轨迹,通过研究它的轨迹方程与圆的方程的关系,判断所得的轨迹与圆的位置关系. 拓展 (多选题)在平面直角坐标系中,已知点A(2,0),B(0,2),圆C:(x-a)2+y2=1.若圆C上存在点M,使得|MA|2+|MB|2=12,则实数a的值可能是 (　 ) A.-2 B.0 C.2 D.4 学科网（北京）股份有限公司 $ 2.5.2　圆与圆的位置关系 【课前预习】 知识点 1.外切　相交　内切 2.(3)Δ=0　Δ>0　d>r1+r2　|r1-r2|<d<r1+r2 d=|r1-r2| 诊断分析 (1)√　(2)×　(3)×　(4)×　[解析] (1)由两圆相交的概念知结论正确. (2)若两个圆没有公共点,则这两个圆可能外离也可能内含,故结论不正确. (3)若两圆外切,则两圆有且只有一个公共点,但反之不成立,若两圆有且只有一个公共点,则两圆可能外切也可能内切,故结论不正确. (4)当两圆的方程组成的方程组无解时,两圆外离或内含,故结论不正确. 【课中探究】 探究点一 例1　(1)D　(2)(6,+∞)　[解析] (1)由题意可得圆C1的圆心为C1(-1,2),半径r1=4,圆C2的圆心为C2(2,-2),半径r2=9,所以|C1C2|==5,r2-r1=5,所以|C1C2|=r2-r1,所以两圆内切,故选D. (2)圆(x-4)2+y2=9的圆心为(4,0),半径为3,圆(x-1)2+y2=r2的圆心为(1,0),半径为r,所以两圆的圆心距为3.因为两圆内含,所以3<|r-3|,解得r>6或r<0(舍去),故r的取值范围是(6,+∞). 变式　(1)D　(2)(,3)　[解析] (1)圆C2的方程可化为(x-m)2+y2=m,所以m>0,则两圆的圆心分别为C1(0,0),C2(m,0).设圆C1,C2的半径分别为r1,r2,则r1=2,r2=,所以|C1C2|=m=r1+r2=2+,可得m=4.故选D. (2)易知圆C1的圆心为C1(0,0),半径为m,由x2+y2-2x-4y-15=0,得(x-1)2+(y-2)2=20,所以圆C2的圆心为C2(1,2),半径为2.因为圆C1与圆C2恰有两条公切线,所以圆C1与圆C2相交,所以|2-m|<|C1C2|<2+m,又|C1C2|==,所以可得<m<3,即m的取值范围是(,3). 探究点二 例2　(1)A　(2)B　[解析] (1)由 得两圆公共弦所在直线的方程为x-y+2=0.圆心C1(0,0)到直线x-y+2=0的距离d==,所以公共弦的长为2=2.故选A. (2)由题得M,两圆的公共弦所在直线的方程为x2+--(x2+y2-m)=0,即m-3y-4=0,又公共弦经过点M,所以m-3×-4=0,解得m=.故选B. 变式　解:(1)证明:圆C1的标准方程为(x+1)2+=,所以圆心为C1,半径r1=; 圆C2的标准方程为(x+2)2+=,所以圆心为C2,半径r2=. 两圆的圆心距d=|C1C2|=1,|r1+r2|=+>d,|r1-r2|=-<d, 所以圆C1与圆C2相交. (2)由(1)知,圆C1与圆C2相交, 所以将圆C1与圆C2的方程相减,得两圆的公共弦所在直线的方程为x2+y2+2x+3y+1-(x2+y2+4x+3y+2)=0,化简得2x+1=0. (3)圆心C1到直线2x+1=0的距离为,圆C1的半径r1=, 此时弦长为2=2,即公共弦长为2. 探究点三 例3　(1)(x+1)2+y2=9或+y2=　[解析] 设圆C的半径为r(r>0),圆心C到直线3x-4y-12=0的距离为d.由题知两圆心所在的直线过点A(2,0),因为圆x2-2x+y2=0的圆心为(1,0),半径为1,所以圆C的圆心C在x轴上.若两圆内切,则C(2-r,0),由题意可得d==r,所以r=3,所以圆C的标准方程为(x+1)2+y2=9;若两圆外切,则C(2+r,0),由题意可得d==r,所以r=,所以圆C的标准方程为+y2=.综上,圆C的标准方程为(x+1)2+y2=9或+y2=. (2)解:由题意,知圆C1和C2的半径都为1,圆心分别为C1(0,-4),C2(0,2). 由题意得|CC1|=|CC2|,可知圆心C的轨迹是线段C1C2的垂直平分线, 又因为线段C1C2的中点坐标为(0,-1),直线C1C2的斜率不存在,所以圆C的圆心的轨迹方程为y=-1. 变式　解:如图所示,因为|OM|==,3-1<<1+3, 所以圆O和圆M相交. 因为O到直线x=-1的距离为1,M到直线x=-1的距离为3, 所以直线x=-1为两圆的一条公切线. 因为kOM=,所以直线OM的方程为y=x, 由解得即P. 易知另一条公切线的斜率存在,设另一条公切线的方程为y+=k(x+1),即2kx-2y+2k-1=0, 由O到直线2kx-2y+2k-1=0的距离d==1,解得k=-, 所以另一条公切线的方程为3x+4y+5=0.综上,P,公切线方程为3x+4y+5=0和x=-1. 拓展　BC　[解析] 设M(x,y),则由|MA|2+|MB|2=12得(x-2)2+y2+x2+(y-2)2=12,整理得(x-1)2+(y-1)2=4,所以点M的轨迹是以D(1,1)为圆心,半径r1=2的圆.圆C:(x-a)2+y2=1的圆心为C(a,0),半径r2=1,由题知圆C与圆D有公共点,所以2-1≤|CD|≤2+1,即1≤≤3,即1≤(a-1)2+1≤9,其中1≤(a-1)2+1恒成立,由(a-1)2+1≤9得(a-1)2≤8,即|a-1|≤2,即-2≤a-1≤2,所以1-2≤a≤1+2,故选BC. 学科网（北京）股份有限公司 $