第2章 §2 函数 2.2 函数的表示法(Word讲义)-【满分思维】2026-2027学年高中数学必修第一册学生用书（北师大版）

本高中数学讲义聚焦函数的表示法核心知识点，系统梳理解析法、列表法、图象法三种基本表示方法，通过定义辨析、解析式求解、图象绘制、列表应用及分段函数问题，构建从基础概念到实际应用的递进式学习支架。 资料以诊断分析判断正误夯实基础认知，探究点结合实例（如出租车收费分段函数）培养数学思维与模型意识，通过换元法、待定系数法等提升推理能力，课中辅助教师分层教学，课后助力学生查漏补缺，强化数形结合与分类讨论思想。

2.2　函数的表示法 【学习目标】 1.掌握函数常用的三种表示法. 2.能根据不同的需要选择恰当的方法表示函数,了解函数不同表示法的优缺点. 3.理解分段函数及其表示法,会处理某些简单的分段函数问题. 4.培养数形结合与分类讨论的数学思想,激发学习热情. ◆ 知识点　函数的表示法 函数的 表示 方法 解析法 一个函数的对应关系可以用　　　的解析表达式(简称解析式)表示出来,这种方法称为解析法  列表法 用　　　　的形式表示两个变量之间的函数关系的方法,称为列表法  图象法 用　　　　把两个变量间的函数关系表示出来的方法,称为图象法  【诊断分析】 判断正误.(请在括号中打“√”或“×”) (1)任何一个函数都可以用图象法表示. (　 ) (2)函数的图象一定是其定义域上的一条连续不断的曲线. (　 ) (3)函数f(x)=x+1与g(x)=x+1(x∈N)的图象相同. (　 ) ◆ 探究点一　函数的解析式 例1 根据下列条件,求f(x)的解析式. (1)已知f(x)满足f(x+1)=x2+4x+1; (2)已知f(x)是二次函数,且满足f(0)=1,f(x+1)-f(x)=2x; (3)已知f(x)满足f()=x-1; (4)已知f(x)满足2f+f(x)=x(x≠0). 变式 (1)已知f(-1)=2x-8+11,则函数f(x)的解析式为　　　　　　　　　　　.  (2)(多选题)已知一次函数f(x)满足f[f(x)]=81x+80,则f(x)的解析式可能为 (　 ) A.f(x)=9x+8 B.f(x)=-9x-8 C.f(x)=9x+10 D.f(x)=-9x-10 [素养小结] 求解函数解析式的几种常用方法: (1)待定系数法,如果已知函数的类型,通常用待定系数法; (2)换元法或配凑法,已知复合函数f[g(x)]的表达式可用换元法,当表达式较简单时也可用配凑法; (3)消参法,若已知抽象函数f(x)的表达式,则可用解方程组消参的方法求解f(x). 拓展 [2024·四川自贡高一期中] 已知f(x)+2f(-x)=9x+2,则f(x)的解析式为　　　　.  ◆ 探究点二　作函数图象 例2 作出下列函数的图象. (1)y=x+1(x∈Z); (2)y=x2-2x(x∈[0,3)). 变式 已知函数f(x)= (1)求f,f的值; (2)在给出的平面直角坐标系(如图)中,画出f(x)的图象; (3)由(2)中作出的图象指出函数f(x)的值域. [素养小结] 作函数图象时通常需通过列表、描点、连线三个步骤来完成,具体作图时需注意四点:(1)先确定函数的定义域,要在定义域内作图;(2)图象是实线还是虚线,定义域外的部分有时可用虚线来衬托整个图象;(3)作分段函数的图象时,应根据不同取值范围上的解析式分别作出;(4)函数图象可以是连续的曲线,也可以是直线、折线、离散的点等. ◆ 探究点三　列表法表示函数 例3 (1)已知函数f(x),g(x)分别由下表给出,则 x 1 2 3 f(x) 2 1 1 x 1 2 3 g(x) 3 2 1 ①f[g(1)]=　　　　;  ②若g[f(x)]=2,则x=　　　　.  (2)已知函数f(x)由下表给出, x x<1921 1921≤ x<1949 1949≤ x<2021 2021≤ x<2049 x≥2049 f(x) 1 2 3 4 5 则f[1949f(2022)]的值为 (　 )　　　　　 　　　　　 　　　　　 A.2 B.3 C.4 D.5 [素养小结] 用列表法表示函数时不用计算函数值,看表就知道函数值,列表法必须罗列出所有的自变量与函数值之间的对应关系.不是所有函数都可以用列表法表示,如函数f(x)=x. ◆ 探究点四　求分段函数的解析式 [提问] 如何求分段函数的解析式?     例4 某市出租汽车收费标准如下:路程在3 km以内(含3 km)按起步价11元收费,超过3 km的路程按2.4元/km收费. (1)试写出收费额y(单位:元)关于路程x(单位:km)的函数解析式; (2)若王先生某次乘车付车费35元,求此次出租车行驶的路程. 变式 已知函数f(x)的图象如图所示,则f(x)的解析式是　　　　　　　　.  [素养小结] 求实际问题中的分段函数,应结合实际问题的意义进行分段,求出自变量在各个取值范围内的对应关系(解析式或图象)即可. 学科网（北京）股份有限公司 $ 2.2　函数的表示法 【课前预习】 知识点 自变量　表格　图象 诊断分析 (1)×　(2)×　(3)×　[解析] (1)有些函数是不能画出图象的,如f(x)= (2)函数图象可以是连续不断的曲线,也可以是直线、折线、孤立的点等.如f(x)=的图象就不是连续不断的曲线. (3)两函数的定义域不同,故图象不同. 【课中探究】 探究点一 例1　解:(1)f(x+1)=x2+4x+1=(x+1)2+2(x+1)-2, 所以f(x)=x2+2x-2. (2)设f(x)=ax2+bx+c(a≠0),因为f(0)=1,所以c=1, 因为f(x+1)-f(x)=2x,所以a(x+1)2+b(x+1)+1-ax2-bx-1=2x,整理得2ax+a+b=2x, 所以解得所以f(x)=x2-x+1. (3)令t=,则t≥0,所以x=t2-1,则f(t)=t2-1-1=t2-2,t≥0,所以f(x)=x2-2(x≥0). (4)在2f+f(x)=x(x≠0)①中,用替换x得2f(x)+f=(x≠0)②, 由②得f=-2f(x)③, 将③代入①得f(x)=-(x≠0). 变式　(1)f(x)=2x2-4x+5(x≥-1)　(2)AD [解析] (1)设t=-1,则t≥-1,=t+1,所以f(t)=2(t+1)2-8(t+1)+11=2t2-4t+5,所以f(x)的解析式为f(x)=2x2-4x+5(x≥-1). (2)设f(x)=kx+b(k≠0),则f[f(x)]=k(kx+b)+b=k2x+kb+b=81x+80,所以解得或则f(x)=9x+8或f(x)=-9x-10.故选AD. 拓展　f(x)=-9x+　[解析] 因为f(x)+2f(-x)=9x+2,所以f(-x)+2f(x)=-9x+2,两式联立解得f(x)=-9x+. 探究点二 例2　解:(1)这个函数的图象由一些点组成,这些点都在直线y=x+1上,其部分图象如图①所示. (2)因为0≤x<3,所以这个函数的图象如图②所示. 变式　解:(1)因为f(x)= 所以f=+2×=-, f=-+2×=. (2)f(x)的图象如图所示. (3)由f(x)的图象可知函数f(x)的值域为[-1,1]. 探究点三 例3　(1)①1　②1　(2)D　[解析] (1)①由表知g(1)=3,∴f[g(1)]=f(3)=1. ②由表知g(2)=2,∵g[f(x)]=2,∴f(x)=2,由表知x=1. (2)∵f(2022)=4,∴f[1949f(2022)]=f(1949×4)=5.故选D. 探究点四 提问 解:根据不同“段”上的自变量,分段求出解析式. 例4　解:(1)由题意知当0≤x≤3时,y=11,当x>3时,y=11+2.4(x-3)=2.4x+3.8, 因此y关于x的函数解析式为y= (2)由(1)可知y=由y=35, 得2.4x+3.8=35,解得x=13, 即此次出租车行驶的路程为13 km. 变式　f(x)=　[解析] 函数f(x)的图象由两条线段组成,结合图象知f(x)= 学科网（北京）股份有限公司 $