1.2 常用逻辑用语 1.2.3 充分条件、必要条件 第2课时 充要条件(PPT课件)-【满分思维】2026-2027学年高中数学必修第一册配套课件（人教B版）

该高中数学课件聚焦“充要条件”核心知识点，通过课前预习的定义梳理、集合关系解析及诊断分析题，衔接前期充分条件与必要条件内容，搭建从基础概念到综合应用的学习支架。 其亮点在于采用定义法与集合法双路径判断条件关系，结合充要条件证明的规范步骤，培养学生逻辑推理（数学思维）和规范表达（数学语言）能力。实例丰富如三角形等边条件证明，分层习题助力学生巩固，教师可高效开展逻辑教学。

1.2 常用逻辑用语 1.2.3 充分条件、必要条件 1 第2课时 充要条件 2 探究点一 充分不必要条件、必要不充分 条件、充要条件的判断 探究点二 充要条件的证明 探究点三 充分条件、必要条件、充要条 件的应用 ◆ ◆ ◆ ◆ 课前预习 课中探究 课堂评价 课后习题 3 【学习目标】 1.通过对典型数学命题的梳理，理解充要条件的意义，理解数学 定义与充要条件的关系； 2.能够判定充要条件． 4 知识点 充要条件 1.充分不必要条件和必要不充分条件 如果且，则称是的________________；如果 且 ，则称是 的________________. 充分不必要条件 必要不充分条件 2.充要条件 如果且，则称是 的______________（简称为________ ___），记作_______，读作“与等价”“当且仅当”.当是 的充要 条件时，也是 的充要条件. 充分必要条件 充要条件 课 前 预 习 5 3.集合关系 如果,,且 ，则_____________，因此 也就有是 的__________. 充要条件 课 前 预 习 6 【诊断分析】 判断正误.（请在括号中打“√”或“×”） （1）“”是“或 ”的充分不必要条件.( ) √ [解析] 因为或,或 ，所以 “”是“或 ”的充分不必要条件. （2）已知，，，则是 的既不充分也不必 要条件.( ) √ [解析] 因为，，， ，所 以是 的既不充分也不必要条件. 课 前 预 习 7 （3）已知，，，则是 的充要条件. ( ) √ [解析] 因为，，所以是的充分条件， 是的必要条件； 因为，，所以是 的充分条件，是的必要 条件.所以是 的充要条件. （4）“为正数”是“ ”的必要不充分条件.( ) × [解析] “为正数”是“ ”的充分不必要条件. 课 前 预 习 8 （5）已知或，，则与 等价. ( ) √ [解析] 当或时， 成立； 反之，当时，或，所以与 等价. 课 前 预 习 9 探究点一 充分不必要条件、必要不充分条件、充要条件的判断 例1 下列各题中,试分别指出是 的什么条件. （1）， ； 解：因为，而，所以是 的必要不 充分条件. （2）四边形的对角线相等， 四边形是正方形； 解：因为四边形的对角线相等 四边形是正方形，而四边形是正方 形 四边形的对角线相等，所以是 的必要不充分条件. 课 中 探 究 10 （3）是无理数, 是无理数； 解：因为是无理数是无理数,是无理数 是无理数， 所以是 的充要条件. （4）, . 解：因为，,所以是 的充要 条件. 例1 下列各题中,试分别指出是 的什么条件. 课 中 探 究 11 变式 下列各题中，是 的什么条件？ （1）有两个不等的实数根， ； 解：由 有两个不等的实数根，知 且，解得且 ，则 ，，所以是 的充分不必要条件. （2），， ； 解：，但，所以是 的充分不必要条件． （3）， ； 解：因为，所以是 的充要条件． 课 中 探 究 12 （4）或, . 解：方法一（定义法）或， ， ，，故是 的必要不充分条件. 方法二（集合法）：令或， ， 显然，故是 的必要不充分条件. 变式 下列各题中，是 的什么条件？ 课 中 探 究 13 ［素养小结］ 判断<m></m>是<m></m>的充要条件的两种思路： （1）命题角度：判断<m></m>是<m></m>的充要条件，主要是判断<m></m>及<m></m> 是否成立.若<m></m>成立，则<m></m>是<m></m>的充分条件，同时<m></m>是<m></m>的必要条件； 若<m></m>成立，则<m></m>是<m></m>的必要条件，同时<m></m>是<m></m>的充分条件；若二者 都成立，则<m></m>与<m></m>互为充要条件. 课 中 探 究 14 （2）集合角度：关于充分条件、必要条件、充要条件，当不容易判 断及 是否成立时，也可以从集合角度去判断，结合集合 中“小集合 大集合”的关系来理解，这对解决与逻辑有关的问题大 有益处. 此外，对于较复杂的关系，常用 ，， 等符号进行传递，画 出它们的综合结构图，可降低解题难度. 课 中 探 究 15 探究点二 充要条件的证明 例2 ［2025·重庆八中高一期中］已知的三边长为,, ，其中 .求证： 为等边三角形的充要条件是 . 证明：充分性:方法一：当时， 可 化为，即 ， 所以 ， 则，所以 ， 即，所以 为等边三角形，充分性成立. 课 中 探 究 16 方法二：因为 ，所以 ，则 ，所以，即 , 所以 为等边三角形，充分性成立. 必要性:由为等边三角形，且，得 ，则 ， ，所以 ，必要性成立． 故 为等边三角形的充要条件是 . 课 中 探 究 17 变式 求证：关于的方程 有一个根为1的充要条件 是 . 证明：充分性（由条件推出结论）:因为 ,所以 ,代入方程中,得 ,即 ，所以方程有一个根为1,所以 关于的方程 有一个根为1. 必要性（由结论推出条件）:因为关于的方程 有一 个根为1,所以满足方程 ,所以有 ,即，所以关于 的方程 有一个根为.故关于 的方程 有一个根为1的充要条件是 ． 课 中 探 究 18 ［素养小结］ 证明充要条件时要从充分性和必要性两个方面分别证明，首先分清 哪个是条件，哪个是结论，然后确定推出方向，即充分性需要证明 “条件”<m></m> “结论”，必要性需要证明“结论”<m></m> “条件”. 课 中 探 究 19 探究点三 充分条件、必要条件、充要条件的应用 例3 已知集合， .若 ，，且是的充分不必要条件，求 的取值范围. 解：， ， ，，且是的充分不必要条件， ， 解得 ， 的取值范围为 . 课 中 探 究 20 变式 已知集合， .设 ，，若是的必要不充分条件，求实数 的取值范围. 解：因为，所以 . 因为是的必要不充分条件，所以，只需 解得 . 综上，实数的取值范围为 . 课 中 探 究 21 ［素养小结］ 应用充分不必要条件、必要不充分条件及充要条件求参数值（范围） 的一般步骤： （1）根据已知将充分不必要条件、必要不充分条件或充要条件转化 为集合间的关系； （2）根据集合间的关系构建关于参数的方程（组）或不等式（组） 求解. 课 中 探 究 22 1.（多选题）设集合， 且 .若是的充分不必要条件，则实数 的值可以为 ( ) A. B. C. D. √ √ 课 堂 评 价 23 [解析] 由题得,， . 因为是的充分不必要条件，所以是的真子集. 因为 ，所以 ，即或 当时， ，解得； 当时，，解得. 故 的值可以是，.故选 . 课 堂 评 价 2.（多选题）设是全集，，是的两个子集，则“ ”的 充要条件是( ) A. B. C. D. [解析] 由可得，由，可得 ， 故“”是“”的充要条件，故A正确，B错误； 由 可得，故C正确； 由可得 ，不能得到“”，故D错误.故选 . √ √ 课 堂 评 价 25 3.若,，则“”是“且 ”的____________条件. （填“充分不必要”“必要不充分”“充要”或“既不充分也不必要”） 必要不充分 [解析] 当,时，一定成立； 当, 时，有，即当时， 不一定有且 .故应填“必要不充分”. 课 堂 评 价 26 4.若集合A={x|x>-2},B={x|x≤m,m∈R},试写出: (1)A∪B=R的一个充要条件; 解:集合A={x|x>-2},B={x|x≤m,m∈R},若A∪B=R,则m≥-2, 故A∪B=R的一个充要条件是m≥-2. 课 堂 评 价 27 4.若集合A={x|x>-2},B={x|x≤m,m∈R},试写出: (2)A∪B=R的一个必要不充分条件. 解: 由(1)知A∪B=R的充要条件是m≥-2,所以A∪B=R的一个必要 不充分条件可以是m≥-3. 课 堂 评 价 28 课后习题 29 1.已知p:-1<x<5,q:0<x<3,则p是q的 ( ) A.充分不必要条件 B.必要不充分条件 C.充要条件 D.既不充分也不必要条件 [解析] 因为集合{x|0<x<3}是{x|-1<x<5}的真子集,所以p是q的必要不 充分条件.故选B. √ 课 后 习 题 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 16 30 2. [2026·湖南衡阳高一期中] 已知p:A∩B=∅,q:A与B中有一个为空集, 则p是q的 ( ) A.充分不必要条件 B.必要不充分条件 C.充要条件 D.既不充分也不必要条件 [解析]若A与B中有一个为空集,则A∩B=∅,必要性成立; 反之,取A={1,2},B={3,4},满足A∩B=∅,但A与B均不是空集,充分性不成立. 所以A∩B=∅是A与B中有一个为空集的必要不充分条件.故选B. √ 课 后 习 题 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 16 31 3.已知p:-1<x<1,q:x>m,若p是q的充分不必要条件,则实数m的取值范围是 ( ) A.[-1,+∞) B.(-∞,-1) C.(-1,0) D.(-∞,-1] [解析]设集合A={x|-1<x<1},集合B={x|x>m},因为p是q的充分不必要条件, 所以A是B的真子集,可得m≤-1.故选D. √ 课 后 习 题 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 16 32 4.“关于的方程 有实根”的充要条件为( ) A. B. C. D. [解析] 当时，，方程有实根； 当 时，，解得，此时且 . 综上可得，“方程有实根”的充要条件为 . 故选A. √ 课 后 习 题 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 16 33 5.“两个三角形相似”是“两个三角形的三边对应成比例”的( ) A.充分不必要条件 B.必要不充分条件 C.充要条件 D.既不充分也不必要条件 [解析] 根据相似三角形的性质得，由“两个三角形相似”可得到“两个 三角形的三边对应成比例”，即充分性成立； 反之，由“两个三角形的三边对应成比例”可得到“两个三角形相似”， 即必要性成立.所以“两个三角形相似”是“两个三角形的三边对应成比例” 的充要条件.故选C. √ 课 后 习 题 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 16 34 6.［2025·重庆八中高一月考］已知是的充分条件，是 的充分不 必要条件，是的必要条件，是的必要条件，现有下列命题： 是的必要不充分条件；是的充分不必要条件；是 的充分不 必要条件；是 的充要条件.其中所有的真命题是( ) A.①④ B.②③ C.③ D.④ √ 课 后 习 题 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 16 35 [解析] 因为是的充分条件，所以.因为是 的充分不必要条 件，所以，.因为是的必要条件，所以.因为是 的必要条件，所以.由，，可得.则 是的充要条件，命题①为假命题； 是 的充要条件，命题②为假命题； 因为，，所以，，故是 的充分不必要条件， 命题③为真命题； 易得，，所以是 的必要不充分条件，命题④为假命题. 故选C. 课 后 习 题 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 16 36 7.（多选题） 的一个充分不必要条件可以是( ) A., B. C., D., [解析] 由，可以推出 ，反之推不出，故A满足题意. 当,时，满足，但不满足 ，故B不满足题意. 由，可以推出 ，反之推不出，故C满足题意. 由，可以推出，反之推不出，故D满足题意.故选 . √ √ √ 课 后 习 题 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 16 37 8.已知A={x|1≤x≤2},若p:“∀x∈A,x2-a≤0”是真命题,q:{a||a-8|≤3},则q是p 的　　　　　　　　条件.(填“充分不必要”“必要不充分”“充要”或“既不 充分也不必要”)  充分不必要 [解析] 因为“∀x∈A,x2-a≤0”是真命题,所以a≥(x2)max=4,设集合B={a|a≥4}. 记集合C={a||a-8|≤3},则C={a|5≤a≤11}. 因为C是B的真子集,所以q是p的充分不必要条件.  课 后 习 题 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 16 38 9.（13分）求证：一次函数 的图象经过坐标原点 的充要条件是 ． 证明：充分性：如果，那么，当时， ，所以 一次函数 的图象经过坐标原点. 必要性：因为一次函数 的图象经过坐标原点，所 以当时，，即，所以 . 综上，一次函数 的图象经过坐标原点的充要条件 是 ． 课 后 习 题 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 16 39 10.设;，若是 的必要不充分条件，则 实数 的取值范围是( ) A. B. C. D. [解析] 因为，，是 的必要不充分条件， 所以且两个等号不同时成立，解得 ， 经检验满足题意.故选D. √ 课 后 习 题 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 16 40 11.(多选题)[2026·河北石家庄高一期中] 已知p:x≤1,若q是p的充分 不必要条件,则q可以是 ( ) A.x≥3 B.x≤0 C.x>2 D.x>1 √ √ 课 后 习 题 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 16 41 [解析] 由p:x≤1,可得p:x>1.因为q是p的充分不必要条件, 所以由q能推出p, p不能推出q,即q对应的集合是p对应集合的真子集. 因为{x|x≥3}是{x|x>1}的真子集,所以x≥3是x>1的充分不必要条件,故A正确; 因为{x|x≤0}与{x|x>1}没有包含关系,所以x≤0不是x>1的充分不必要条件, 故B错误; 因为{x|x>2}是{x|x>1}的真子集,所以x>2是x>1的充分不必要条件,故C正确; 因为{x|x>1}={x|x>1},所以x>1是x>1的充要条件,不是充分不必要条件, 故D错误.故选AC. 课 后 习 题 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 16 42 12.设集合 ，，或， 则“”是“ ”的______条件.（填“充分不必要”“必要不 充分”“充要”或“既不充分也不必要”） 充要 [解析] 由题意可得或，即 ，所以 “”是“ ”的充要条件. 课 后 习 题 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 16 43 13.二次函数的图象关于直线 对称的充要条件 是 ____. [解析] 若二次函数的图象关于直线 对称,则 ;反之也成立.所以二次函数 的图象关于直线 对称的充要条件是 . 课 后 习 题 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 16 44 14.（15分）［2025·陕西西安高一期中］ 已知集合 ，非空集合 . （1）是否存在实数，使是 的充要条件？若存在，求出 的取值范围；若不存在，请说明理由. 解：不存在实数，使是 的充要条件.理由如下： 假设是的充要条件，则 ， 所以 此方程组无解， 故不存在实数，使是 的充要条件. 课 后 习 题 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 16 45 （2）是否存在实数，使是 的必要条件？若存在，求出 的取值范围；若不存在，请说明理由. 解：由是的必要条件，得 . 因为 ，所以，解得，因为 ，所以 解得，所以 . 所以实数的取值范围为 . 14.（15分）［2025·陕西西安高一期中］ 已知集合 ，非空集合 . 课 后 习 题 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 16 46 15.已知集合点不在第一、三象限 ，集合 ，若“”是“”的必要条件，则实数 的取 值范围是__________. 课 后 习 题 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 16 47 [解析] 由“”是“”的必要条件，得.又 中元素为整数， 故只可能为，，.由点 不在第一、三象限， 得或 即或. 当时，①无解，由②得 ，此时， 故，则； 当 时，，则，满足题意； 当 时，②无解，由①得，此时， 因为， ，所以. 综上，实数的取值范围是 . 课 后 习 题 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 16 48 16.（15分）已知，，，.判断“ ”是“一元二 次方程有一根为 ”的什么条件？并说明理由． 解：“”是“一元二次方程有一根为 ” 的充要条件．理由如下： 若，则 ，则 ，故 满足一元二次方程 ， 即一元二次方程有一根为 ，充分性成立； 若一元二次方程有一根为，则 ， 必要性成立． 综上所述，“”是“一元二次方程 有一根 为 ”的充要条件． 课 后 习 题 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 16 49 $