17.抛物线-【三新金卷】2027年高三数学一轮复习周测阶梯卷

2027高考总复习·周测阶梯卷·数学（十七） 17.抛物线 班级 姓名 考号 得分 本试卷满分100分，考试时间45分钟 一、选择题：本题共6小题，每小题7分，共42分。在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的。 1.若抛物线y=2px(p>0)上的动点到其焦点的距离的最小值为1，则p= A.1 B.3 C.2 D.4 2.已知抛物线E:y=2px(p>0)与圆x2十y=5交于A,B两点，且E的焦点F在直线AB上，则p= A.1 B.√2 C.2 D.√5 3.在平面直角坐标系xOy中，抛物线y=一2px(p>0)的焦点F与双曲线x2一8y2=8的左焦点重合，点A在抛物 : 线上，且AF=6,若P是抛物线准线上一动点，则|PO十|PA的最小值为 A.35 B.4√3 C.3√7 D.3/13 4已知抛物线C:y=2z的焦点为F,A(zM),B2)是C上两点，若2=1则肥=☐ A.2 B② C.√2 D.2 5.已知F为抛物线C:y2=2px(p>0)的焦点，O为坐标原点，过点F且斜率为1的直线l交抛物线C于A、B两点， 则直线OA、OB的斜率之和为 A.-2 B.-2P C.-4 D.-4P 6.设抛物线C:y=2px(p>0)的焦点为F,准线为L,P为C上一点，以P为圆心作圆与l切于点Q,与y轴交于M, N两点，若1MNI=PN,则直线PF的斜率为 2 A号 B.士1 C.±√5 D.±2 高考总复习·周测阶梯卷 二、选择题：本题共2小题，每小题7分，共14分。在每小题给出的选项中，有多项符合题目要求。全部选对的得 7分，部分选对的得部分分，有选错的得0分。 7.已知抛物线C的焦点在直线2x一y+4=0上，则抛物线C的标准方程为 A.y2=8x B.y2=-8x C.x2=16y D.x2=-16y 8.已知抛物线C:y=4x的焦点为F,准线为1，过点F的直线与抛物线交于P(x1,),Q(x2,y2)两点，点P在L上 的射影为P,,则下列说法正确的是 A.若x1十x2=5,则|PQ=7 B.以PQ为直径的圆与准线L相交 C.设M(0,1),则|PM+|PPI≥√2 D.过点M(0,1)与抛物线C有且仅有一个公共点的直线有3条 选择题答题栏 题号 1 2 3 4 5 6 8 答案 三、填空题：本题共2小题，每小题7分，共14分。 9.已知抛物线C的准线与圆M:(x一1)2十(y+1)2=4相切，请写出一个抛物线C的标准方程为 10.已知抛物线C:y=2px,O为坐标原点，过抛物线的焦点F的直线与抛物线交于A,B两点（点A在第一象限）， 且AF=6,直线AO交抛物线的准线于点C,△AOF与△ACB的面积之比为4：9，则p的值为 ·数学（十七）P17-1 四、解答题：本题共2小题，共30分。解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤。 11.(15分) 已知点A(-2,1),B(2,4),C(2,1)中恰有两个点在抛物线E:x2=2py(p>0)上. (1)求E的标准方程； (2)若点M(x1,y1),N(x2,y2)在E上，且x1x2=-4,证明：直线MN过定点. 12.(15分) 已知F为抛物线C:y=2px(p>0)的焦点，直线x-y十1=0与C相切，T(t,0),P为C上一点. (1)求C的方程及PT的最小值； (2)设直线L与C交于A,B两点，若C上存在点P,使得四边形APBF为平行四边形，证明：l过定点. 高考总复习·周测阶梯卷·数学（十七）P17一2(+七) 题号 1 2 3 4 5 6 7 8 答案 C C D D C C BC ACD 1.【答案】C 【解析由y=2px(p>0),得焦点F(号，0），设抛物线上一点P(x,),则由抛物线的定义知，PF=x十号≥号， 所以1=专，解得=2。 2.【答案C 【解析】由题意得F(兮，0）小，抛物线E:y=2px(p>0)中，当x=号时，y=±p,不妨设A (?,p小，则()十p=5,解得p=2,负值舍去 3.【答案】D 【解析】双曲线x2一8y2=8的左焦点为（一3,0），则-=一3，解之得=6，则抛物线方程为yY=一12x,其准线 为x=3,由|AF|=6,可得xA=一3，不妨令A(-3,6),点A(-3,6)关于准线x=3的对称点为A(9,6),则 |PO+|PA|≥|OA'|=√92+6=3√13 4.【答案】D y吃L1 师迪抛物线定义可得F专小侧然 2十之2干2喔+1 2y+1+1=2. y听+1 5.【答案】C 【解析】抛物线C:y=2px(p>0)的焦点F坐标为F(号，0)，所以直线1的方程为y=x-号，设A(,), (y2=2px B(x2,y2)则 ·消去y得-36r+套=0,4=(-3p)-4X套-8p>0,所以十=3p,1G y=x- 2 ,则ka+aB三兰+业一号 2 =2- .西十也=2-卫.32=2-6=-4. 2 xIT2 2p2 6.【答案】C 【解析】因为>0，侧抛物线C的焦点F(台，0小，准线为1：=一台，设点P(带)，则圆 P的半径为器+号点P到￥抽的距离为可得MN=2√（器+号）-( V2②+P,因为MN-号PN,即2+p-号（第+号）解得w=士5，可得P y=2px 高考总复习·周测阶梯卷·数学（十七）·答案P41J (碧，士p),所以直线PF的斜率km=专50=士5. 3饣卫 22 7.【答案】BC 【解析】由于焦点在直线2x一y十4=0上，当焦点在y轴上时，令x=0,可得y=4,所以焦点坐标为(0,4)，设方程 为x2=2y(p>0),由焦点坐标知p=8,所以抛物线C的标准方程为x2=16y;当焦点在x轴上时，令y=0,可 得x=一2，所以焦点坐标为（一2,0），设方程为y2=一2px(p>0),由焦点坐标知p=4,所以抛物线C的标准方 程为y2=-8x. 8.【答案】ACD 【解析】抛物线C:y2=4x焦点F(1,0),准线l:x=一1，由题意PQ=x1十x2十p=7,A正 确：因为PQ=G十，十2，则以PQ为直径的圆的半径r=型十1，线段PQ的中点坐 2 标为（色产，”士），则线段PQ的中点到准线的距离为产十1=，所以以PQ为直 2 径的圆与准线l相切，B错误；抛物线C:y2=4x的焦点为F(1,0),PM+PP1=PM +|PF≥MF|=√2，当且仅当M,P,F三点共线时，取等号，所以|PM|+|PP,|≥2，C正确：D.当直线斜率 不存在时，直线方程为x=0,与抛物线只有一个交点，当直线斜率存在时，设直线方程为y=x+1,联立 y=kx+1 ,消x得ky2一4y十4=0，当k=0时，方程的解为y=1,此时直线与抛物线只有一个交点，当k≠0时， y2=4x 则△=16-16k=0,解得=1，综上所述，过点M(0,1)与抛物线C有且仅有一个公共点的直线有3条，D正确. 9.【答案】x2=-4y(x2=-4y,x2=12y,y2=4x,y2=-12x任意一个均可以) 【解析】与圆M:(x一1)2+(y+1)2=4相切且与坐标轴平行或垂直的直线有y=1,y=一3，x=-1,x=3,对应 的抛物线方程有：x2=一4y,x2=12y,y2=4xy2=一12x. 10.【答案】4 【解析】设A(xA,yA),B(xB,yB),则y=2xA, 设直线AB的方程为x一号=y,联立抛物线方程有)-2py一p2=0,4=4p?十4p >0,yA·yB=一p2, 则yg=二卫，直线A0的方程为y=必x, 令x=一多，则=4.2=学= =yg,则OF∥CB, .|AB=9,∴.BF|=3,yA=-2yB,又yA·yB=-p2, 则yA=巨p,∴点A(p,Ep),AF=p十号=6，解得b=4. 11.【解析】(1)解：因为点A(一2,1)，C(2,1)关于y轴对称，抛物线E也关于y轴对称， 所以点A(-2,1),C(2,1)在E上， 高考总复习·周测阶梯卷·数学（十七）·答案P42J 将点A(一2,1)代人抛物线E:x2=2py(p>0)得，4=2p,即p=2, 所以抛物线E的标准方程为：x=4y; (2)证明：由题意可知，直线MN的斜率一定存在，则设直线MN的方程为y=kx十m, (y=kx+m 由 消y得：x2一4kx-4m=0, x2=4y 由韦达定理得x1x2=一4m=-4→m=1, 所以直线MN:y=x+1,显然恒过定点(0,1). [y=2px 12.【解析】(1)解：因为直线x-y十1=0与C相切，联立直线x-y+1=0与C的方程 x-y+1=0 得y2一2py十2p=0有两个相等实数根，故△=4p2一8p=0,所以p=2, 即C的方程为y2=4x, 设P(xo,yo)(x≥0)，则|PT=√(xo一t)2十y8=√x6十(4-2t)x十平， 当t一2<0，即t<2时，PTmm=t(在xo=0处取得)， 当t一2≥0，即t≥2时，PT|mm=2√-I(在x=t-2处取得). (2)证明：由题意可设直线l的方程为x=my十n,A(x1,y),B(x2,y2),P(xo,y%)(xo≥0)， y2=4x 与C的方程联立 ,得y2-4my-4n=0, x=my+n 则△=16m2+16n>0,且y1+y2=4m,y1y2=-4n. 因为在C上存在点P,使得四边形APBF为平行四边形， 所以F市=F才+F克，由F(1,0),则F泸=(.x-1,),F才=(x1-1,M),F克=(.2-1，y2) x0=x1十x2一1 xo=4m2+2n-1 所以 ,所以 y0=y1十y2 y%=4m 又点P在C上，所以y=4x。,即(4m)2=4(4m2+2n-1), 所以2-1=0，所以n=3, 所以1的方程为x=my+2,所以直线1过定点（合，0） 高考总复习·周测阶梯卷·数学（十七）·答案P43J