数学(一)-【衡水金卷·先享题】2025-2026学年高三数学一轮复习摸底测试卷（C）

2025一2026学年度高三一轮复习摸底测试卷 数学（一） 本试卷共4页，19题。全卷满分150分。考试用时120分钟。 注意事项： 1.答题前，先将自己的姓名、考号等填写在答题卡上，并将准考证号条形码粘贴在 答题卡上的指定位置。 2.选择题的作答：选出每小题答案后，用2B铅笔把答题卡上对应题目的答案标号 涂黑。写在试题卷、草稿纸和答题卡上的非答题区域均无效。 3.填空题和解答题的作答：用签字笔直接写在答题卡上对应的答题区域内。写在 试题卷、草稿纸和答题卡上的非答题区域均无效。 4.考试结束后，请将本试题卷和答题卡一并上交。 一、选择题：本题共8小题，每小题5分，共40分。在每小题给出的四个选项中，只有一 项是符合题目要求的。 1.已知集合A={-1,0,1,2,3},B={x-x2+3x一2≥0}，则A∩B= A.{2,3} B.{1,2} C.{-1,0,3} D.{0,1,2} 2.已知x=1+ai(a∈R),且之=-i,则a= A.-2 B.±1 C.-1 D.1 3.已知等差数列{an}的前n项和为Sn,若a2十aa十a1十a12=4,则S3= A.13 B.14 C.16 D.20 4.亭是我国古典园林中最具特色的建筑形式，它是逗留赏景的场所，也是园林风景的重 要点缀.重檐圆亭（图1）是常见的一类亭，其顶层部分可以看作是一个圆锥和一个圆 台的组合体.已知某重檐圆亭圆台部分的直观图如图2所示，在其轴截面ABCD中， AB=4m,CD=6m,点A到CD的距离为1m,则该圆台的侧面积为 图1 图2 A.2√/2πm B.4πm C.5πm D.5√2πm 5.若c0s。-号）=-c0sa,则cos2a= A R C. D 6.如图，某机器狗位于点P处，它可以向上、下、左、右四个方向自由 移动，每次移动一个单位.现机器狗从点P出发移动4次，则在机 器狗仍回到点P的条件下，它向右移动了2次的概率为 1 A. B.3 c n号 数学（一）第1页（共4页） 衡水金卷·先 已知椭圆C:10>b>0)的左，右焦点分别为P,P,A为C上一点， AF2与C交于另一点B,若AF2=2F2B,cos∠FF2B=-sin∠AFF2,则C的离心 率为 A日 B.5 6 D是 8.已知西数x)=后士2十18：若购数)=心心ae+1恰有3个零点， x>0, 则a的取值范围为 A.(e+1,+o∞ B.(2,e+ e c[e+&,+e D[2.e+) 二、选择题：本题共3小题，每小题6分，共18分。在每小题给出的选项中，有多项符合 题目要求。全部选对的得6分，部分选对的得部分分，有选错的得0分。 9.在乡政府的大力支持下，原贫困村A村通过发展养殖业，顺利脱贫致富，村民收入也 大幅度提高.为了解该村村民具体收入情况，该村村委会对村民月收入情况进行了抽 样调查，并根据收集到的数据绘制了如图所示的月收入频率分布直方图，则（同一组 数据用该组区间的中点值作代表) 频率 0.275组距 0.225---------- 0.175 0.125 0.100------------ 0.075 0.025 10 1x千元 A.样本数据的中位数位于区间[7,8)内 B.样本数据的第80百分位数约为8.909 C.样本中，该村村民月收入不低于8000元的村民所占比例为45% D.样本中，该村村民的月平均收入为7500元 10.函数f(x)=Acos(wx十p)十bA>0,w>0,p<乏)的部分图象如图所示，x1,x2 (x1≠x2)是f(x)的2个零点，则 A.b=1 B.f(x)的最小正周期为π Cf(x)图象的对称中心为经+吾1小k∈Z刀 D.lx-2lom 享题·摸底卷 数学（一）第2页（共4页) @ 11.函数的拐点指的是改变曲线凹凸性的点，其定义如下：记函数f(x)的导函数为 f(x),f(x)的导函数为f"(x),若方程f(x)=0有实数解x=xo,且xo为f(x)的 极值点，则称(f()为f(x)的拐点.已知函数f(x)=号2十3x2+3x-9 g(x)=6er-ax3-3x2,则 A.f(x)只有1个拐点 B.f(x)的图象在拐点处的切线方程为y=-6x一12 C.当a≤0时，(0，g(0))为g(x)的拐点 D.当0<a<1或a>1时，g(x)只有1个拐点 三、填空题：本题共3小题，每小题5分，共15分。 12.已知向量a=(3,4),b=(7,1),则b在a上的投影向量的坐标为 13.已知抛物线C:y2=2x(p>0)的焦点为F,若C上的点P(xo,2)到点F的距离等 于点P到x轴的距离，则力= 14.已知球O是三棱锥P-ABC的外接球，AB=2AC=2,∠CAB=否，若三棱锥 P-ABC体积的最大值为号，则球O的表面积为 四、解答题：本题共5小题，共77分。解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤。 15.(本小题满分13分) 记△ABC的内角A,B,C所对的边分别为a,b,c,已知sin B sin A-3simB-simC sin C sinA+sinB· (1)求A; (2)若a=√2，求△ABC面积的最大值. 16.(本小题满分15分) 某高科技公司开发了一款AI学习机，为了解市场销售情况，该公司统计了过去5 个月的月广告投入x(单位：十万元)与该款学习机的月销量y(单位：千台)的数据，如表 所示. 月份代码 1 2 3 4 10 20 30 40 50 58 59 60 64 65 (1)求x和y的样本相关系数r,并判断y与x是否具有较强的线性相关性；（结果 精确到0.01，若r≥0.75，则认为y与x具有较强的线性相关性) (2)求y关于x的经验回归方程，并估计月广告投入600万元时该款学习机的 月销量； (3)该款学习机目前售价为3000元/台，为提升销量，经销该款学习机的某专卖店 针对该款学习机推出了两种促销方案.方案一：买一台立减400元；方案二：一次性购买 两台可抽奖三次，每次中奖的概率均为？，且每次抽奖相互独立，中奖一次立减600元/台， 中奖两次立减800元/台，中奖三次立减1000元/台，若三次均未中奖，仍可享基础优 惠300元/台.某家长准备在该店购买两台该款学习机，请从付款总金额数学期望的角 度分析选哪种方案更优惠： 数学（一）第3页（共4页） 衡水金卷·先 参考公式：对于经验回归方程y=x十a,b= ,a=y-ix;样 ∑(x,-x)(y-y) 本相关系数r= -x)2 参考数据：∑(x-)(0y-)=190,∑(y-)2=38.8,V97≈9.85. 17.(本小题满分15分) 如图，在四棱锥P一ABCD中，底面ABCD为平行四边形，PC⊥平面ABCD,E,F 分别为棱BC,PA的中点，且BC=CD=2,∠ABC=T (1)证明：EF∥平面PCD: (2)若平面PAD与平面PAB夹角的余弦值为号，求三棱 锥A-BCP的体积. E、、 18.(本小题满分17分) 已知双曲线C兰言-1(a>0,6>0)的离心率为气，焦点到蒲近线的距离为厄。 (1)求C的方程； (2)C的下顶点为A,直线y=k:十号与C的上支交于M,N两点（点M在靠近） 轴的一侧)，直线y=号与直线AM,AN分别交于点P,Q,记直线OP,AQ的斜率分别 为k1,k2,其中O为原点， (i)求证：k1k2=1; (ⅱ)求△OAP外接圆的半径r的取值范围. 19.(本小题满分17分) 已知函数f(x)=5x2-alnx-1. (1)讨论f(x)的单调性； (2)若a=1,当x>0时，f(x)≥5.x2-be,求b的取值范围： (3)求证：e扇-ln(3n+1)>n,n∈N. 享题·摸底卷 数学（一）第4页（共4页） @摸底卷C 数学（一） 2025一2026学年度高三一轮复习摸底测试卷 摸底卷C·数学（一）】 9 命题要素一览表 注： 1.能力要求： I.抽象概括能力Ⅱ.推理论证能力Ⅲ.运算求解能力下.空间想象能力V,数据处理能力 Ⅵ.应用意识和创新意识 2.学科素养： ①数学抽象②逻辑推理③数学建模④直观想象⑤数学运算⑥数据分析 知识点 能力要求 学科素养 预估难度 题号 分 题型 值 (主题内容) ⅢNVI①②③④⑤⑥ 档次系数 1 选择题 5 集合的运算，解不等式 易 0.80 2 选择题 5 由复数运算求参 易 0.78 3 选择题 5 等差数列的前n项和 易 0.72 选择题 5 与旋转体有关的数学文化题 中 0.65 5 选择题 5 利用倍角公式求值 中 0.55 6 选择题 5 条件概率 0.40 7 选择题 5 椭圆的离心率 中 0.35 选择题 5 复合函数的零点问题 难 0.28 9 选择题 6 频率分布直方图的应用 中 0.65 余弦型三角函数的图象及 10 选择题 6 中 0.55 性质 11 选择题 6 函数的导函数的应用 难 0.28 12 填空题 5 投影向量 易 0.78 13 填空题 5 抛物线定义的应用 分 0.60 14 填空题 5 多面体的外接球问题 中 0.30 利用正弦定理解三角形，利用 15 解答题 13 中 0.65 基本不等式求最值 线性回归分析，相互独立事件 16 解答题 15 中 0.55 的概率与期望 证明线面平行，平面与平面夹 17 解答题 15 / 中 0.35 角的余弦值 ·%1 摸底卷C 数学（一） 直线与双曲线的位置关系，求 18 解答题 17 0.28 参数的取值范围 19 解答题 17 函数与数列的综合 难 0.25 摸底卷C 数学（一） 参考答案及解析 数学（一） 一、选择题 m,由勾股定理得|AB|2+|AF|2=|BF|2,即 1.B【解析】由-x2+3x-2≥0，得(x-1)(x-2)≤0， 9m2十(2a-2m)2=(2a-m)2,化简得3m2-am 解得1≤x≤2，∴.B=[1,2],.A∩B={1,2.故选B. 2.C【解析】由兰=-i,得七ai=一i,所以1十ai 0,解得m=号，所以1AR:=号，AF=2a-号 1-ai -i(1-ai)=-a-i,又a∈R,所以a=-1.故选C =智义A+A=EF,所以g+ 3.A【解析】由a2十a3十a1十a12=4,得2(a2十a12)= 4a,=4,所以a,=1,所以Sa=13(a,+a）=13a, g-2%-4,则后=号所以=台-气故 9 9 0. 2 选C. 13.故选A. 4.D【解析】由题可得该圆台上、下底面的半径分别为 n=2m,r2=3m,高为1m,则母线长l=AD= √+(2-r)严=√2m,所以该圆台的侧面积为S= π(r1十z)l=5√2πm.故选D. 5.C【解折】由os(a-号) -c0sa,得号cosa十 3 sina=一cosa,化简得3cosa=一sina,则tana= 8.A【解析】作出f(x)的图象如图所示， V3,所以cos2a=cos'a-sin'a=cos'a-sina cosa十sina -分故速c 6.A【解析】要使机器狗仍回到点P,可分以下两种情 况：①相反方向各移动二次（如向上移动二次，向下移 动二次)，从2组相反方向（左与右、上与下）中选1 组，有2种选法，然后在4次移动中安排2次相同方 向的移动，有C=6种方法，所以有2×6=12种移动 方法：②一组相反方向各移动1次，另一组相反方向 由g(x）=0,得e2-ae十1=0，令t=ex>0, 也各移动1次，然后对这4次不同方向的移动进行全 则t-at十1=0，令m=f(x)∈R,t=em单调递增，结 排列，则有A=24种移动方法，所以机器狗仍回到 合f(x)的图象，当t∈(0,1)时，f(x)∈（一oo,0), 点P的移动方法共有12十24=36种.记事件A表示 此时g(x)只有1个零点；当t=1时，f(x)=0,此时 “机器狗仍回到点P”,事件B表示“机器狗向右移动 了2次”，则P(BA)=n(AB)=6=1 g(x)有2个零点；当t∈(1，e]时，f(x)∈(0,1]，此 n(A)36=6·故选A. 时g(x)有3个零点；当t∈(e,十oo)时，f(x)∈ 7.C【解析】由cos∠F,F2B=-sin∠AF1F,得 (1,十∞)，此时g(x)有2个零点，因为g(x)恰有3 个零点，所以当关于t的方程t2一at十1=0只有一个 cos∠FF,B=cos(5+∠AFF),所以∠RFB= 根t∈（1，e]时，由△=a2一4=0，得a=2,此时t=1, +∠AFF,又∠FFB=∠FAF:+∠AFF, 矛盾，故舍去，所以关于t的方程t2一at+1=0的两 根分布在区间(0,1)和(e,十o∞)内，令h(t)=t一at 所以∠FAF,=受，因为A=2F点，设BF:| h(0)=1>0 +1,t>0,则h(1)=2-a<0 m,m>0,所以|AF2|=2|BF2|=2m,|AB|=3m, ,解得a>e+ h(e)=e2-ae+1<0 由椭圆的定义得|AF|+IAF2|=|BF| 故选A |BF2|=2a,所以|AF|=2a-2m,|BF1|=2a ·%1 摸底卷C 数学（一） 二、选择题 数h(x)=e的图象与直线y=ax十1交点的个数， 9.ABC【解析】由频率分布直方图得，月收入在区间 如图，当a≤0时，h(x)=e的图象与直线y=ax十1 [4,7)内的频率为0.025十0.125十0.175=0.325< 只有一个交点(0,1)，即g"(0)=0,且当x<0时， 0.5,月收入在区间[4,8)内的频率为0.325十0.225 g"(x)<0,g'(x)单调递减，当x>0时，g”(x)>0, =0.55>0.5,所以样本数据的中位数位于区间 g'(x)单调递增，则x=0为g'(x)的极值点，所以 [7,8)内，故A正确；月收入在区间[4,9)内的频率 (0,g(0))为g(x)的拐点，故C正确： 为0.55+0.275=0.825>0.8，所以样本数据的第80 百分位数在区间[8,9)内，设第80百分位数为m,则 0.55+(m-8)X0.275=0.8,解得m≈8.909，故B 正确；月收入不低于8000元的频率为1一0.55= 0.45,故C正确：月平均收入为4.5×0.025十5.5× 0.125十6.5×0.175+7.5×0.225+8.5×0.275+ 9.5×0.1十10.5×0.075=7.7千元=7700元，故D 如图，当0<a<1或a>1时，h(x)=e'的图象与直 错误.故选ABC. 线y=ax十1有两个交点，其中一个交点为(0,1)， 10.ABD【解析】由图象可得，b=f八x)十fx)m 2 设另一个交点的横坐标为x0(xo≠0)，则g”(0)= 3士卫=1，故A正确：号-语-号=受，所以 g"(x0)=0, 2 T=π，故B正确：A=fx）ma一f()-3-(-1少 2 2 =2w=祭=2.所以f(x)=2c0s(2x十g)+1,则 f(号)=2os(2×号+p)+1=-1,即 cos(+)=-1,又<受，所以9=受，所以 f(x)=2os(2x+号)+1，令2x+号-受十km (k∈2)，得x=是十(k∈Z),所以f()图象的 对称中心为（臣十经，1）k∈Z,故C错误：令 结合图象可得，当0<a<1时，x。<0,则当x<x f(x)=0,得2x1十吾-红+26x(k:∈Z)或2十 时，g”(x)>0,g'(x)单调递增，当xo<x<0时， g"(x)<0,g(x)单调递减，当x>0时，g”(x)>0, 2经+2k元(：∈Z),所以|x- g'(x)单调递增，所以x=x为g'(x)的极大值点， x=0为g'(x)的极小值点，所以(x,g(x0)), 经+-=|经+红(k长，所以 (0,g(0))均为g(x)的拐点，同理可得当a>1时， x=0为g'(x)的极大值点，x=x为g(x)的极小值 |z一m=号，故D正确.故选ABD, 点，所以(0，g(0),(0,g(x))均为g(x)的拐 点.综上，当0<a<1或a>1时，g(x)恰有2个拐 11.AC【解析】对于AB,因为f(x)=言x十3x 点，故D错误.故选AC. 3x-9,所以f(x)=x2十6x十3，(x)=2x十6， 三、填空题 令'(x)=0,得x=-3,且当x<-3时，'(x)< 12.(3,4)【解析】由题可得b在a上的投影向量的坐 0,f(x)单调递减，当x>一3时，(x)>0, 、标为9·a=3X741·a=a=(3,4). 32十49 (x)单调递增，所以x=一3为f(x)的极值点， 所以∫(x)只有1个拐点，故A正确；由A可知 13.2 【解析】由题可得PF⊥x轴，所以x=专，则 f(x)的拐点为(-3,0)，由f(x)=x2十6.x十3，得 f(-3)=9-18十3=一6，所以f(x)的图象在拐 2=2p·号=P,解得p=2. 点处的切线方程为y=-6(x十3)=-6x-18,故B 错误；对于CD,因为g(x)=6e-a.x3-3.x2,所以 14.25 【解析】在△ABC中，由余弦定理得BC= g'(x)=6e-3a.x2-6x,g"(x)=6e-6ax-6,令 g"(x)=0,得e=ax十1，g”(x)的零点个数即为函 AB+AC-2AB·ACc0s号=4+1-2=3，所以 ·%2· 摸底卷C 数学（一） BC+AC=AB,则BC⊥AC,所以△ABC所在小 圆的圆心为AB的中点，且半径=1.设外接球的球 (2)由(1)知=30,∑(x,-)=1000, =1 心到小圆圆心的距离为d,外接球的半径为R,三棱 锥P-ABC的高为h,则R2=d+2=1十d,当三 (x,-(- 所以方= i= 190 棱锥P-ABC的体积最大时，点P与△ABC在球 1000 =0.19, 心的两侧，则hmax=d十R,由(Vp-Ac)mx ∑(x-x) 子5a=×号9得a=2.所以 (6分) R=1十(2一R),解得R=号，所以外接球的表面 因为y= 169+60+64+65 所以a=y-bx=61.2-0.19×30=55.5, 25_25π 积为4πR=4π×6=全， 所以y关于x的经验回归方程为y=0.19x十55.5， (8分) 四、解答题 当x=60时，y=0.19×60+55.5=66.9, l5.解：(1)由sinB-sinA-3simB-sinC 所以当月广告投入为600万元时，该款学习机的月 sin C sin A+sin B 销量约为66900台， (9分) 得sin2B-sin2A=√3 sin Bsin C-sinC, (3)若选方案一：需付款6000-800=5200元. 则由正弦定理得一a2=√3bc-c2, (3分) (10分) 即b2+c2-a2=√5bc, 若选方案二：设需付款X元， 所以由余弦定理得cosA=+c-一a-c=区 则X的可能取值为4000,4400,4800,5400， 2bc 2bc 2' (5分) 则Px=40)=(兮）广=7 又0<A<π，所以A=吾 (7分) P(X=440)=C×()×号= (2)由(1)可得b2-a2=√5bc-c2, P(X=4800)=C× 所以2+√3bc=B+c2≥2bc, 则bc≤2(2十√3)， P(X=540)=(号)广-， 当且仅当b=c=√3+1时等号成立， (11分) 所以E(X)=4000×27 2 4400×号+4800×号 所以Sx=号6csnA≤号×2(2+万)X司 ,8_131200≈4859.26， +5400×7= (14分) 27 =2+ 4859.26<5200, 21 所以选择方案二更优惠， (15分) 故△ABC面积的最大值为士E 17,解：(1)取PD的中点G,连接FG,CG, 21 (13分) :F为PA的中点， 16.解：(1)由题意得云=号×10+20十30十40+50) FG/AD,FG=合AD, =30, :BC∥AD,BC=AD, 则∑(g-)=400+100+0+100+40=100 FG/BC.FG- (2分) .FG∥CE,FG=CE, 因为∑(-y)=38.8, ∴.四边形ECGF为平行四边形， (3分) ,-x)(y,-y) .EF∥CG, =190, :EF丈平面PCD,CGC平面PCD, ∑(x,-x)(y-) ∴.EF∥平面PCD. (4分) 所以r= (2)取AB的中点H,连接CH,易得CH」DC.以C 为原点，CD,CH,CP所在直线分别为x,y,之轴，建 立如图所示的空间直角坐标系， 19 19 19 √/3882√/97 ≈2×9.85 ≈0.96. (4分) 又0.96>0.75， 所以y与x具有较强的线性相关性. (5分) ·3· 摸底卷C 数学（一） 所以C的方程为号苦-1 (4分) (2)设M(x1,y),V(x2,y), ( G F 联立 ,得9(k2-2)x2十12k.x-32=0, y=kx十3 D 9(k2-2)≠0 △=144k2+4×9(k-2)X32>0 E 4k H 则x1十x=一 (k2-2) 设PC=t,t>0, x1x2= 32 k-2)>0 A(15,0),B(-1√/5,0)，D(2,0,0),P(0,0, t), 解得9<<2 (6分) ∴AD=(1,-5,0),Pi=(2,0-t),Ai=(-2, (1)由(1)可得A(0,-2), 0,0),PB=(-1,W3,-t). (6分) 所以直线AM:y=当+2x-2. 设平面PAD的法向量为n1=(x1,Mz1), :n·A访=5y=0 令y=2 即P(号 n1·PD=2x1-tx=0 则k1= 3 4十2，k:=kN=-当十2 取1=5，得M=1,=2E 8x1 4x1 3y十6 ÷m=(51,25) (8分) 所以62=4十2.业十2 4x1 设平面PAB的法向量为n2=(x2,y2,2), (ha+号)(k+g】 /n·AB =-2x2=0 4x1x2 m·pi=-x十By-t=0' k2x1x2十 （十）盟 9 取⅓=1，得=0，= 4x1x2 t 32k2 ∴m=(01,）) (10分) 9(k2-2) 2万号 32k2 =1 (10分) 128 设平面PAD与平面PAB的夹角为0， 9(k2-2) 则cos9=|com)1=Tn” n1·n2 (ⅱ)不妨设点M,N均在第一象限，由()得kk2=1, 所以∠POx+∠PQA=受， 1+ 6 1+月 5 所以∠AOP+∠PQA=受+受=元， (12分) 2(1+)】 所以O,A,Q,P四点共圆， 解得t=2, 所以△OAP的外接圆即为四边形OAQP的外接圆. 即PC的长为2. (12分) (13分) 所以三棱锥A一BCP的体积为VA-xP=Vp-Ac 设外接圆的圆心为T,则yr=一1， 8x1 8xx }sae·PC= ××2x2×9×2-2 1 3 2 · 由()知=3同理得0· 4x2 (15分) 所以， 2 =6 a-2 4 18.解：(1)由题意得 be va+2, 4 a2+b2=c2 解得a2=4,b2=2,c2=6, ·4 摸底卷C 数学（一） 32 4k (2)当a=1时，f(x)=5x2-lnx-1,x>0, 4 2k·9(2）十33(2=】 =k, 则由f(x)≥5x2-be,得be-lnx-1≥0， k2· 4k164 则b≥lnx十1 (6分) 所以T(k,-1), (15分) 因为9<k<2, 令h(x)=lnx十 er ,x>0, 所以外接圆的半径r=OT|=√+I∈ 则h'(x)= 1-In-1 e (号) (17分) 易知y=士-n-1在(0，十∞)上单调递减，且 当x=1时，y=0, 所以当x∈(0,1)时，h(x)>0,h(x)单调递增： 当x∈(1，十o)时，h'(x)<0,h(x)单调递减， 所以h()m=h()=是 (10分) 则≥女， 故6的取值范围为[日，十) (12分) (3)由(2)知当a=1.6=。时，f()≥5x-e恒 成立， 19,解：(1)因为f(x)=5x2-alnx-1,x>0, 即e-1≥lnx+1, 所以f(x)=10x-4=10x-a」 所以e≥ln(x十1)+1，当且仅当x=0时等号成 立， (14分) 当a≤0时，f(x)>0,f(x)单调递增： (2分) 3 当a>0时，令∫(x)>0,得x>0@ 令x=3m2n∈N, 10 3 所以e->ln(3m2十1)+1=lh(3m+1)-ln(3n 令f(x)<0,得0<x<10@ 10 -2)十1， (15分) 所以f(x)在（0,0a)上单调递减，在（ √10a 所以e+e号+e子+…+en>[(ln4-ln1)+ 10 10 (ln7-ln4)+…+ln(3n+1)-ln(3n-2)]+n =ln(3n+1)+n, 十∞)上单调递增 (4分) 综上，当a≤0时，f(x)在(0，十∞)上单调递增； 即∑c-ln(3m十1)>n,n∈N. (17分) 当a>0时，f(x)在(0，)上单洞递减，在 (,十∞)上单调递增。 (5分) ·%5