数学(一)-【衡水金卷·先享题】2025-2026学年高三数学一轮复习摸底测试卷（B）

摸底卷B 数学（一） 2025一2026学年度高三一轮复习摸底测试卷 摸底卷B·数学（一）】 9 命题要素一览表 注： 1.能力要求： I.抽象概括能力Ⅱ.推理论证能力Ⅲ.运算求解能力下.空间想象能力V,数据处理能力 Ⅵ.应用意识和创新意识 2.学科素养： ①数学抽象②逻辑推理③数学建模④直观想象⑤数学运算⑥数据分析 知识点 能力要求 学科素养 预估难度 题号 分 题型 值 (主题内容) ⅢNVI①②③④⑤⑥ 档次系数 1 选择题 5 集合的运算，解不等式 易 0.80 2 选择题 5 由复数运算求参 易 0.78 3 选择题 5 等差数列的前n项和 易 0.72 选择题 5 与旋转体有关的数学文化题 中 0.65 5 选择题 5 利用倍角公式求值 中 0.55 6 选择题 5 条件概率 0.40 7 选择题 5 椭圆的离心率 中 0.35 选择题 5 复合函数的零点问题 难 0.28 9 选择题 6 频率分布直方图的应用 中 0.65 余弦型三角函数的图象及 10 选择题 6 中 0.55 性质 11 选择题 6 函数的导函数的应用 难 0.28 12 填空题 5 投影向量 易 0.78 13 填空题 5 抛物线定义的应用 0.60 14 填空题 5 多面体的外接球问题 中 0.30 利用正弦定理解三角形，利用 15 解答题 13 中 0.65 基本不等式求最值 线性回归分析，相互独立事件 16 解答题 15 / 中 0.55 的概率与期望 证明线面平行，平面与平面夹 17 解答题 15 / 中 0.35 角的余弦值 ·%1 摸底卷B 数学（一） 直线与双曲线的位置关系，求 18 解答题 17 0.28 参数的取值范围 19 解答题 17 函数与数列的综合 难 0.25 摸底卷B 数学（一） 参考答案及解析 数学（一） 一、选择题 排列，则有A=24种移动方法，所以机器狗仍回到 1.B【解析】由-x2+3x-2≥0，得(x-1)(x-2)≤0， 点P的移动方法共有12+24=36种.记事件A表示 解得1≤x≤2，.B=1,2],.CB=(-∞，1)U(2, “机器狗仍回到点P”,事件B表示“机器狗向右移动 十∞)，∴.A∩(CRB)={-1,0,3}.故选B. 2.C【解折】由兰=-i得} =-i,所以1十ai 了2次.则PB0-品古故选A 7.C 【解析】由cos∠F,FB=-sin∠AF1F2,得 -i(1-ai)=-a-i,又a∈R,所以a=-1.故选C. 3.A【解析】设数列{an}的公差为d,则2a1十3ag= co∠FF,B=cos(变+∠AFF),所以∠FFB- 2(a1+3d)十3(a1+8d)=5(a1十6d)=5,.a1+6d= +∠AFF,又∠FF,B=∠FAF+∠AFF, 1,即a=1,Su=13(a,a1=13a,=13.故选A. 2 4.D【解析】由题可得该圆台上、下底面的半径分别为 所以∠FAF:=受，因为A=2FB,设|BF: n=2m,r2=3m,高为1m,则母线长l=AD m,m>0,所以|AF2|=2|BF2|=2m,|AB|=3m, √I+(2一1)=√2m,所以该圆台的侧面积为S= 由椭圆的定义得|AF|十|AF:|=IBF|十 π(r+n)l=5√2πm2.故选D. |BF2|=2a,所以|AF|=2a-2m,|BF=2a m,由勾股定理得|AB|2+|AF|2=|BF2,即 5.B【解析】法一：由sina十cosa= 7>0,知a∈(0，x), 9m2+(2a-2m)2=(2a-m)2,化简得3m2-am 2sin号c0s号十cos -sin号 0,解得m=号，所以AR=号，AR|=2a-号 .'sin a+cos a=- sm号十co号 =号，又AE+AE=FF,所以g 9 2an分十1-ar之= 7 智2g=4,则号=所以=台-放 9 9 ,解得tan号=- ian号+l 或 选C. am号-号.又ae(0,x,号e(o,受) ∴am受=号故选B 7 法二：由sina十cosa=7,两边平方得1十2 sin acosa -(合）》广2snas&=(品）°-1= 289<0,又。 240 ∈(o,gae(受sina= 17:cos a= 1 8.A【解析】作出f(x)的图象如图所示， 8 2sincos夕 sin a i7心tan c0s号 2cos号 1十cosa =号赦连B 6.A【解析】要使机器狗仍回到点P,可分以下两种情 况：①相反方向各移动二次（如向上移动二次，向下移 动二次)，从2组相反方向（左与右、上与下）中选1 组，有2种选法，然后在4次移动中安排2次相同方 向的移动，有C=6种方法，所以有2×6=12种移动 由g(x)=0,得e2-ae+1=0,令t=e>0, 方法：②一组相反方向各移动1次，另一组相反方向 则t-at十1=0，令m=f(x)∈R,t=em单调递增，结 也各移动1次，然后对这4次不同方向的移动进行全 合f(x)的图象，当t∈(0,1)时，f(x)∈(-oo,0), 。1· 摸底卷B 数学（一） 此时g(x)只有1个零点；当t=1时，f(x)=0,此时 g(x)有2个零点：当t∈(1，e]时，f(x)∈(0,1]，此 If(a+a)-f(r.+a)l=f(o)-f(a+) 时g(x)有3个零点；当t∈(e,十o∞)时，f(x)∈ (1,十∞)，此时g(x)有2个零点.因为g(x)恰有3 =25os(2a+若)，其最大值为25，故C错 个零点，所以当关于t的方程t一at十1=0只有一个 根t∈(1，e]时，由△=a2-4=0,得a=2,此时t=1, 误：令f(x)=0,得1=否十kπ(1∈Z)或 矛盾，故舍去，所以关于t的方程t2-at十1=0的两 受十π(k:∈)，由图象可知f(x)在一个周期 根分布在区间(0,1)和(e,十o∞)内，令h(t)=P-at h(0)=1>0 (0,π)内有2个零点，则在五个周期(0,5π)内有10 +1,t>0,则h(1)=2-a<0 ,解得a>e e 个零点，所以M的最小值为4红十受-受，故D正 (h(e)=e2-ae+1<0 确.故选ABD. 故选A. 二、选择题 1.AC【解析】对于AB,因为f(x)=合2+3r+ 9.ABC【解析】由频率分布直方图得，月收入在区间 3x-9,所以f(x)=x2十6x十3，'(x)=2x十6， [4,7)内的频率为0.025+0.125十0.175=0.325< 令(x)=0,得x=-3,且当x<-3时，'(x)< 0.5,月收入在区间[4,8)内的频率为0.325十0.225 0,f(x)单调递减，当x>一3时，(x)>0, =0.55>0.5,所以样本数据的中位数位于区间 ∫'(x)单调递增，所以x=一3为∫(x)的极值点， [7,8)内，故A正确：月收入在区间[4,9)内的频率 所以f(x)只有1个拐点，故A正确：由A可知 为0.55+0.275=0.825>0.8，所以样本数据的第80 f(x)的拐点为(-3,0)，由f'(x)=x2+6x+3,得 百分位数在区间[8,9)内，设第80百分位数为，则 f'(-3)=9-18十3=-6，所以f(x)的图象在拐 0.55十(m-8)×0.275=0.8,解得m≈8.909，故B 点处的切线方程为y=-6(x十3)=一6x-18,故B 正确；月收入不低于8000元的频率为1一0.55= 错误；对于CD,由题可得g'(x)=ae-lnx一1 0.45,故C正确；月平均收入为4.5×0.025十5.5× 0.125+6.5×0.175+7.5×0.225+8.5×0.275+ (x心0)有两个变号零点，即a=血x史有两个不相 9.5×0.1十10.5×0.075=7.7千元=7700元，故D 错误.故选ABC. 等的正实根，令h(x)=血卫，x>0,则(x) e 10.ABD【解析】由图象可得，A=f）msfx)画 1 2 Thx-1 3-（9-业=2，b=fx)mtfx)恤=3+（9-1D 2 2 2 三1 e 易知y=士-nx一1在(0，十∞)上 单调递减，且当x=1时，y=0,所以当x∈ 子-警-晋=受，所以T=,所以。=2，所以 (0,1)时，h'(x)>0,h(x)单调递增，当x∈ (1,十o∞)时，h'(x)<0,h(x)单调递减，所以 f(x)=2os(2x+9)+1,则f(号) h(x)<)=。且0时，h)→-6一 2c0s(2×号十g)+1=-1,即c0s(径+）=-1， 十∞时，h(x)0,所以0<a<,故C正确： 又l<受，所以9=号，所以f(x) 2o(2x+号)+1.令2x+号=受+km(k∈)，得 e x=臣十誓(k∈Z),所以f(x)图象的对称中心为 (臣十经，1)k∈Z,故A正确：令f(x)=0,得 2a+晋-号+2kx(k1∈刀或2十吾=-5+ 3 2:x:∈Z,所以--5+(k-:) 不妨设x1<x2,由题意可知x1,x2是g'(x)的两个 变号零点，则0<x<xo<x2,由g(x)=ae一lnx =经+k∈，所以x一lm=晋，故B -1(>0),得g“x)=ac-士，由C可知，0<a 正确：由B知|一xm=号，不妨设<x,则 <日，易知(x)在0，十∞)上先减后增，则 g'(x)<0=g'(1)=g'(x2),所以g'(x0)<0 x=x1+5,则f(m十a)-f(x:十a) 女，故D销说，放选AC (x1十a)-f(x1十晋+a),令x十a=a,则 ·%2· 摸底卷B 数学（一） 三、填空题 所以tanA>0,tanB>0, (8分) 12.(-品，是) 【解析】由题得AB=(-5,3),CA 因为sinC=sin(A十B), (-1,-1),所以AB.Ci=-5×(-1)+3× 所以由正弦定理得sin'A-sin'Asin B asin C sin Asin C (-1)=2,|AB|=√(-5)+3=√34，所以CA sin Asin B sin Asin B sin(A+B) 在上的投影向量的坐标为，·店 sin Acos B+cos Asin B 1ABI tan Atan B tan Atan B2 =（是是) tanA+tanB≤2√/tan Atan B 2， 当且仅当tanA=tanB=√2时等号成立， (12分) 13.6【解析】由题意可知点B(m,0)为抛物线C的焦 (13分) 点，△ABP的周长为PA|+|PB十|AB| 所以sinA asin C的最大值为2 2 |PA|十|PB|十m.过点P作抛物线C的准线x= 一m的垂线，垂足为K,由抛物线的定义可知 16.解：1)由题意得云=号×(10+20+30+40+50) IPB|=|PK|,所以IPA|+IPB|=IPA|+ =30, |PK|≥|AK|=2m,当A,P,K三点共线时等号 成立，所以△ABP周长的最小值为3m,则3m=18, 则∑(x,-x)2=400+100+0+100+400=1000, i- 所以m=6. (2分) 因为∑(y-y)2=38.8,∑(x-)(%-) =190, ∑(-)(%-y) 所以r= 19 19 19 (4分) √388 2√97 2×9.85≈0.96， 14.【解析】在△ABC中，由余弦定理得BC 又0.96>0.75， 所以y与x具有较强的线性相关性， (5分) AB+AC-2AB·AC0s号=4+1-2=3，所以 BC十AC=AB,则BC⊥AC,所以△ABC所在小 (2)由(1)知x=30,∑(x,-x)2=1000, i=l 圆的圆心为AB的中点，且半径r=1.设外接球的球 心到小圆圆心的距离为d,外接球的半径为R,三棱 所以方= 公-00》 190 锥P一ABC的高为h,则R2=d+r2=1十d,当三 1000 =0.19, 棱锥P一ABC的体积最大时，点P与△ABC在球 2- 心的两侧，则haax=d十R,由(Vp-Axc)max= (6分) 5am=号×号=得=8，所以 因为=号×(58+59+60+64+65)=61.2， R-1十(2-R),解得R=号，所以外接球的表面 所以a=y-bx=61.2-0.19×30=55.5, 所以y关于x的经验回归方程为y=0.19x十55.5， 积为代=4标×得-2织 (8分) 当x=60时，y=0.19×60+55.5=66.9, 四、解答题 所以当月广告投入为600万元时，该款学习机的月 15.解：(1)因为2 bcos C=asin'B, 销量约为66900台 (9分) 所以由正弦定理得2 sin Bcos C=sin AsinB, (3)若选方案一：需付款6000一800=5200元. 因为B∈(0，π)，所以sinB≠0， (10分) 所以2cosC=sin Asin B, (3分) 若选方案二：设需付款X元， 所以-2cos(A+B)=-2 cos Acos B+2 sin Asin B 则X的可能取值为4000,4400,4800,5400， =sin Asin B, 所以sin Asin B=2 cos Acos B, 则P(X=4000)= (传)广动 因为A,B∈(0，π)，所以sin Asin B>0, 则cos Acos B>0, p(x=440)=Cx(》×号-号 所以tan Atan B=2. (7分) (2)由(1)可得tan Atan B=2>0, P(X=4800)=C× ×（）广=合 ·3· 摸底卷B 数学（一） P(X=5400)= 号)广= 0= 3 所以E(X)=400×7十4400 2+4800× 4 sm=2x7×2×2Xsim吾=25. +5400×27 8 131200≈4859.26， 27 (14分) v,-m=子X25×2=1 3 (15分) 4859.265200, 所以选择方案二更优惠。 (15分) a 2 17.解：(1)取PD的中点G,连接FG,CG, 18.解：(1)由题意得 bc F为PA的中点， √a+形 =2 ∴FG/∥AD,FG=号AD, a2十b2=c2 BC∥AD,BC=AD, 解得a=4,b2=2,c2=6, FPG/BC,FG=号BC, 所以C的方程为学-苦-1 (4分) ∴.FG∥CE,FG=CE, (2)设M(1,y),N(x2,2), .四边形ECGF为平行四边形， (3分) y2_ ∴.EF∥CG, 联立 4 2=1 ,得9(-2)x2+12kx-32=0, EF￠平面PCD,CGC平面PCD, y=kx十3 .EF∥平面PCD. (5分) 9(k2-2)≠0 (2)以C为原点，CD,CP所在直线分别为x,2轴，建 △=144k2+49(k2-2)×32>0 立如图所示的空间直角坐标系， 则x1十x2= 4k 3(k-2) 32 x1x2= k2=2)>0 解得5<<2 (6分) (1)由1)可得A(0,-2), 所以直线AMy=当十2z-2. 号得即P(号 令y= 8x1 .A(2-2cos0,2sin0,0),B(-2cos0,2sin0,0), 2 D(2,0,0),P(0,0,2), 3 则k1= =4十2，，=kN=业十2 ∴.AD=(2cos0,-2sin0,0),PD=(2,0,-2), 8x1 4x1 3y十6 AB=(-2,0,0),Pi=(-2c0s0,2sin0,-2). (7分) 所以：=4十2.业十2 4x1 设平面PAD的法向量为n1=(x1,M,之1)， 帝m9- (十号)(k+g) 4x1x2 取x1=sin0,得M=cos0,21=sin0, k2x1x2十 (m+)+g 9 .'n=(sin 0,cos 0,sin 0), (9分) 4x1x2 设平面PAB的法向量为n2=(x2,y2,2), 32k2 32k2 9(k-2) m.pi=-24c090+2,sing-22=0' 128 =1 (10分) 取y2=1,得x2=0,2=sin0, 9(k2-2) ..n2=(0,1,sin0). (11分) (i)不妨设点M,N均在第一象限，由(i)得k2=1, 设平面PAD与平面PAB的夹角为a, n1·2 所以∠POx+∠PQA=受， 则cosa=|cos(n,m)|=Tn·Tn (12分) os9时sm0,0∈(o,受]， 所以∠A0P+∠PQA=受+受=， 1十sin20 所以O,A,Q,P四点共圆， :9g9-=号解得os0=合 所以△OAP的外接圆即为四边形OAQP的外接圆. 1 sin20 (13分) ·4 摸底卷B 数学（一） 设外接圆的圆心为T,则y灯=一1， 综上，当a≤0时，f(x)在(0，十o)上单调递减； 由(1咖同理得0产。 8x2 当a>0时，f(x)在(o,)上单调递减，在 所以灯=p十Q=4 4x2 2 3y1十63y2+6 (合，十e)上单调递增 (5分) 4 8 8 (2)H(x)=f(x)-x=aln x+1 kx,十3 x -x,x>1, 3 、8 则H(x)=二x+ax-1 4 2kxx+分(x+） 当a≤0时，H'(x)<0, 3 k题十名(n+a)+哥 所以H(x)在(1，+十∞)上单调递减， 9 则H(x)<H(1)=0,即f(x)<x,符合题意. 32 8 4k (7分) 4 2k·9(2k53·3(2-) 3 4164 =k, 当a>0时，对于-x2十ax-1=0, 当△=a2-4≤0，即0<a≤2时，-x2十ax-1≤0， 所以T(k,-1), (15分) 则H'(x)≤0， 因为5<<2， 此时H(x)在(1，+∞)上单调递减， 所以H(x)<H(1)=0,即f(x)<x,符合题意； 所以外接圆的半径r=|OT|=√+I∈ (9分) 当△=a2-4>0,即a>2时，-x2十ax-1=0有两 (号) (17分) 个不等实根，记为x1x2（x<x), 则4=a-<1=a十>1， 2 2 所以H(x)在(1，十∞)上有唯一的零点x2, 则当x∈(1，x2)时，H'(x)>0,H(x)单调递增， 此时H(x)>H(1)=0,即f(x)>x,不符合 题意 综上，a的取值范围为(-oo,2]. (11分) (3)由(2)知，当a=2,x>1时，f(x)<x, 即2lnr<-1 x 所以0<lnxx2-1 x <2x2 (12分) 令x=n十1，n∈N*, 19,解：(1)因为f(x)=alnx+1 ,x>0, 则0<nn十1D<(n+1)2-1=n(n+2) n十1 2(n+1)22(n+1)F 所以f(x)=兰-2- (1分) =I2.In3.In4....In(n+1 2 3 4 n+1 当a≤0时，f(x)<0,f(x)单调递减： (2分) <13..5…D 32 42 n 当a>0时，令了(x)>0,得>己： n(n十2)=1.1.n十2=1 (n+1)22m2n+12m+‘ 令f)<0,得0<日 +) (16分) 所以f(x)在(0，)上单调递减，在（日，十）上 所以2+1T<1+n 1 (17分) 单调递增. (4分) ·%52025一2026学年度高三一轮复习摸底测试卷 数学（一） 本试卷共4页，19题。全卷满分150分。考试用时120分钟。 注意事项： 1.答题前，先将自己的姓名、考号等填写在答题卡上，并将准考证号条形码粘贴在 答题卡上的指定位置。 2.选择题的作答：选出每小题答案后，用2B铅笔把答题卡上对应题目的答案标号 涂黑。写在试题卷、草稿纸和答题卡上的非答题区域均无效。 3.填空题和解答题的作答：用签字笔直接写在答题卡上对应的答题区域内。写在 试题卷、草稿纸和答题卡上的非答题区域均无效。 4.考试结束后，请将本试题卷和答题卡一并上交。 一、选择题：本题共8小题，每小题5分，共40分。在每小题给出的四个选项中，只有一 项是符合题目要求的。 1.已知集合A={-1,0,1,2,3},B={x-x2+3x-2≥0}，则A∩(CB)= A.{0,1,2} B.{-1,0,3} C.{1,2} D.{-1,3} 2.已知x=1+ai(a∈R),且之=-i,则a= A.-2 B.±1 C.-1 D.1 3.已知等差数列{an}的前n项和为Sm,若2a4十3ag=5,则S13= A.13 B.14 C.16 D.20 4.亭是我国古典园林中最具特色的建筑形式，它是逗留赏景的场所，也是园林风景的重 要点缀.重檐圆亭（图1）是常见的一类亭，其顶层部分可以看作是一个圆锥和一个圆 台的组合体.已知某重檐圆亭圆台部分的直观图如图2所示，在其轴截面ABCD中， AB=4m,CD=6m,点A到CD的距离为1m,则该圆台的侧面积为 图1 图2 A.2√2πm B.4πm2 C.5πm3 D.5√2πm 5.已知e∈(0，）sina十cosa=7则tam号- A号 C.-1 4 6.如图，某机器狗位于点P处，它可以向上、下、左、右四个方向自由 移动，每次移动一个单位.现机器狗从点P出发移动4次，则在机 器狗仍回到点P的条件下，它向右移动了2次的概率为 A.6 B. 1 1 C.2 n号 数学（一）第1页（共4页） 衡水金卷·先 7.已知桶圆C:子+若=1a>6>0)的左，右焦点分别为r,R,A为C上一点，直线 AF2与C交于另一点B,若AF2=2F2B,cos∠FF2B=-sin∠AFF2,则C的离心 率为 A号 B. 6 C5 3 D 8.已知函数f(x)= x+2x+1x≤0若函数g(x)=e2-ae+1恰有3个零点， In x, x>0, 则a的取值范围为 A{e+&+o） B.(2,e+） c[e+是，+e∞) D.「2，e+&】 二、选择题：本题共3小题，每小题6分，共18分。在每小题给出的选项中，有多项符合 题目要求。全部选对的得6分，部分选对的得部分分，有选错的得0分。 9.在乡政府的大力支持下，原贫困村A村通过发展养殖业，顺利脱贫致富，村民收入也 大幅度提高.为了解该村村民具体收入情况，该村村委会对村民月收入情况进行了抽 样调查，并根据收集到的数据绘制了如图所示的月收入频率分布直方图，则（同一组 数据用该组区间的中点值作代表) 外频率 0.275组距 0.225 0.175 0.125 0.100 0.075 0.025 0 千元 A.样本数据的中位数位于区间[7,8)内 B.样本数据的第80百分位数约为8.909 C.样本中，该村村民月收入不低于8000元的村民所占比例为45% D.样本中，该村村民的月平均收入为7500元 10.函数f(x)=Acos(wx十p)十b(A>0,w>0,g<5)的部分图象如图所示，x1, (x1≠x2)是f(x)的2个零点，则 A.f(x)的图象关于点（臣1）对称 B.x一的最小值为罗 C.当x1一x2|取最小值时，|f(x1十a)-f(x2十a)|的最 大值为√3 D.若f(x)在区间(0，M]上至少有10个零点，则M的最 小值为受 享题·摸底卷 数学（一）第2页（共4页） ® 11.函数的拐点指的是改变曲线凹凸性的点，其定义如下：记函数f(x)的导函数为 f(x),f(x)的导函数为f"(x),若方程f(x)=0有实数解x=xo,且xo为f(x)的 极值点，则称(xf()为f(x)的拐点.已知函数f(x)=号2+32+3x-9, g(x)=aer-xlnx,则 A.f(x)只有1个拐点 B.f(x)的图象在拐点处的切线方程为y=-6x一12 C.若g(x)恰有2个极值点，则a的取值范围为0，) D.若g(x)的2个极值点分别为，2，拐点为(g(),则g'()>1 I2 三、填空题：本题共3小题，每小题5分，共15分。 12.已知点A(1,0),B(一4,3)，C(2,1),则CA在AB上的投影向量的坐标为 13.已知P为抛物线C:y2=4mx(m>0)上的动点，A(m,m),B(m,0)为两个定点，若 △ABP周长的最小值为18，则m的值为 14.已知球0是三棱锥P-ABC的外接球，AB=2AC=2,∠CAB=答，若三棱锥 PABC体积的最大值为，则球O的表面积为 四、解答题：本题共5小题，共77分。解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤。 15.(本小题满分13分) 记△ABC的内角A,B,C的对边分别为a,b,c,已知2 bcos C=asin2B. (1)证明：tan Atan B=2; (2)求sinA asin C的最大值. 16.(本小题满分15分) 某高科技公司开发了一款AI学习机，为了解市场销售情况，该公司统计了过去5 个月的月广告投入x(单位：十万元)与该款学习机的月销量y(单位：千台)的数据，如表 所示. 月份代码 2 4 5 x 10 20 30 40 50 y 58 59 60 64 65 (1)求x和y的样本相关系数r,并判断y与x是否具有较强的线性相关性；（结果 精确到0.01，若r≥0.75，则认为y与x具有较强的线性相关性) (2)求y关于x的经验回归方程，并估计月广告投入600万元时该款学习机的 月销量； (3)该款学习机目前售价为3000元/台，为提升销量，经销该款学习机的某专卖店 针对该款学习机推出了两种促销方案.方案一：买一台立减400元；方案二：一次性购买 两台可抽奖三次，每次中奖的概率均为？，且每次抽奖相互独立，中奖一次立减600元/台， 中奖两次立减800元/台，中奖三次立减1000元/台，若三次均未中奖，仍可享基础优 数学（一）第3页（共4页） 衡水金卷·先 惠300元/台.某家长准备在该店购买两台该款学习机，请从付款总金额数学期望的角 度分析选哪种方案更优惠. ,-x)(y:-y) 参考公式：对于经验回归方程y=x十a,石 -,a=y-bz;样 (x-x)2 ∑(x,-x(y-y) 本相关系数r 参考数据：∑(x-x)(y-y)=190,∑(0y,-y)2=38.8,V97≈9.85. 17.(本小题满分15分) 如图，在四棱锥P-ABCD中，底面ABCD为平行四边形，PC⊥平面ABCD,E,F 分别为棱BC,PA的中点，且PC=BC=CD=2,∠ABC=8e(O,], (1)证明：EF∥平面PCD; (2)若平面PAD与平面PAB夹角的余弦值为号，求四棱锥 P一ABCD的体积 18.(本小题满分17分) 已知双曲线C:若一希-1(a>0,6>0)的离心率为，焦点到渐近线的距离为vE。 (1)求C的方程； (2)C的下顶点为A,直线y=kz十号与C的上支交于M,N两点（点M在靠近y 轴的一侧)，直线y=号与直线AM,AV分别交于点P,Q,记直线OP,AQ的斜率分别 为k1,k2,其中O为原点. (1)求证：k1k2=1; (ⅱ)求△OAP外接圆的半径r的取值范围. 19.(本小题满分17分) 已知函数f(x)=alnx十马 (1)讨论f(x)的单调性； (2)若Hx∈(1，十∞)，f(x)<x,求a的取值范围； (3)者4-，数列a的前项积为T,求证：2T.<1+如 享题·摸底卷 数学（一）第4页（共4页) 回