数学(一)-【衡水金卷·先享题】2025-2026学年高三数学一轮复习摸底测试卷（A）

2025一2026学年度高三一轮复习摸底测试卷 数学（一） 本试卷共4页，19题。全卷满分150分。考试用时120分钟。 注意事项： 1.答题前，先将自己的姓名、考号等填写在答题卡上，并将准考证号条形码粘贴在 答题卡上的指定位置。 2.选择题的作答：选出每小题答案后，用2B铅笔把答题卡上对应题目的答案标号 涂黑。写在试题卷、草稿纸和答题卡上的非答题区域均无效。 3.填空题和解答题的作答：用签字笔直接写在答题卡上对应的答题区域内。写在 试题卷、草稿纸和答题卡上的非答题区域均无效。 4.考试结束后，请将本试题卷和答题卡一并上交。 一、选择题：本题共8小题，每小题5分，共40分。在每小题给出的四个选项中，只有一 项是符合题目要求的。 1.已知集合A={-1,0,1,2,3},B=x +4≥1，则An(CB)= 2-x1 A.{3} B.{2,3} C.{-1,3} D.{-1,2,3} 2.已知x=1十ai(a∈R),且之=-i,则x的虚部为 A.-i B.±1 C.-1 D.1 3.已知等差数列{am}的前n项和为Sm,若2a4十3a9=5,则S13 A.13 B.14 C.16 D.20 4.亭是我国古典园林中最具特色的建筑形式，它是逗留赏景的场所，也是园林风景的重要 点缀.重檐圆亭（图1）是常见的一类亭，其顶层部分可以看作是一个圆锥和一个圆台的 组合体.已知某重檐圆亭圆台部分的直观图如图2所示，在其轴截面ABCD中，AB 4m,CD=6m,AD=√2m,P为下底面圆周上的一个动点，则△PAB面积的最大值为 P 图1 图2 A.√/10m2 B.4 m2 C.8 m2 D.2√10m2 5.已知e长c,},sm6十cos。=7则1m号 A.子 B号 C.-1 4 6.如图，某机器狗位于点P处，它可以向上、下、左、右四个方向自由 移动，每次移动一个单位.现机器狗从点P出发移动4次，则在机 器狗仍回到点P的条件下，它向右移动了2次的概率为 A B.3 1 C.2 号 数学（一）第1页（共4页） 衡水金卷·先 7已知椭圆C芳+ 京=1(a>b>0)的左、右焦点分别为F,F,A为C上一点，直线 AF2与C交于另一点B.若5|AF1|=3|BF|,△AFF2的面积是△BFF2面积的3 倍，则C的离心率为 A司 B.3 C.② 4 2 D.6 4 8.已知函数f(x)= 2+2x十1，≤0若函数g(x)=e2-ae+1恰有3个零点， In x, x>0, 则a的取值范围为 A.(e+2+o} B.(2,e+) C. D.[2,e+) 二、选择题：本题共3小题，每小题6分，共18分。在每小题给出的选项中，有多项符合 题目要求。全部选对的得6分，部分选对的得部分分，有选错的得0分。 9.在乡政府的大力支持下，原贫困村A村通过发展养殖业，顺利脱贫致富，村民收入也 大幅度提高.为了解该村村民具体收入情况，该村村委会对村民月收入情况进行了抽 样调查，并根据收集到的数据绘制了如图所示的月收入频率分布直方图，则（同一组 数据用该组区间的中点值作代表) 频率 0.275组距 0.225-- 0.175 0.125 0.100 0.075 0.025 /千元 A.样本数据的中位数位于区间[7,8)内 B.样本数据的第80百分位数约为8.909 C.样本中，该村村民月收入不低于8000元的村民所占比例为45% D.样本中，该村村民的月平均收入为7500元 10.函数f(x)=Acos(wx十g)+b(A>0,w>0,p<）)的部分图象如图所示，x1,z (x1≠x2)是f(x)的2个零点，则 A.f(x)的图象关于点（臣1）对称 Bx一x的最小值为罗 C.当x1-x2|取最小值时，|f(x1十a)-f(x2十a)川的最 大值为√3 D.若f(x)在区间(0，M]上至少有10个零点，则M的最 小值为受 享题·摸底卷 数学（一）第2页（共4页) 囚 11.函数的拐点指的是改变曲线凹凸性的点，其定义如下：记函数f(x)的导函数为 f'(x),f(x)的导函数为'(x),若方程f'(x)=0有实数解x=xo,且x,为f(x)的 极值点，则称(xf()为f(x)的拐点.已知函数f(x)=3x3+3x2+3x-9, g(x)=x2-3x+2lnx+3,则 A.f(x)只有1个拐点 B.f(x)的图象在拐点处的切线方程为y=-6x一12 C.g(x)只有1个拐点 D.若g(x1)十g(x2)=2(x1≠x2),则x1十x2<2 三、填空题：本题共3小题，每小题5分，共15分。 12.已知向量a=4,b=(2,1),且a一2b=2,则a在b上的投影向量的坐标为 13.已知P为抛物线C:y2=4mx(m>0)上的动点，A(m,m),B(m,0)为两个定点，若 △ABP周长的最小值为18，则m的值为 14.在四棱锥S-ABCD中，SA⊥平面ABCD,AB=AD=4,BC=2,CD=6,SA= 4⑤，则当四棱锥S一ABCD的体积最大时，三棱锥S一ABD外接球的表面 3 积为 四、解答题：本题共5小题，共77分。解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤。 15.(本小题满分13分) 记△ABC的内角A,B,C的对边分别为a,b,c,已知2 bcos C=asin2B. (1)若tanA=2,求B; (2)求simA的最大值。 asin C 16.(本小题满分15分) 某高科技公司开发了一款A】学习机，为了解市场销售情况，该公司统计了过去5 个月的月广告投人x(单位：十万元)与该款学习机的月销量y(单位：千台)的数据，如表 所示. 月份代码 1 2 4 x 10 20 30 40 50 y 58 59 60 64 65 (1)求x和y的样本相关系数r,并判断y与x是否具有较强的线性相关性；（结果 精确到0.01，若r≥0.75，则认为y与x具有较强的线性相关性) (2)求y关于x的经验回归方程，并估计月广告投入600万元时该款学习机的 月销量； (3)该款学习机目前售价为3000元/台，为提升销量，经销该款学习机的某专卖店 针对该款学习机推出了两种促销方案.方案一：买一台立减400元；方案二：一次性购买 两台可抽奖三次，每次中奖的概率均为，且每次抽奖相互独立，中奖一次立减600元/台， 中奖两次立减800元/台，中奖三次立减1000元/台，若三次均未中奖，仍可享受基础 优惠300元/台.某家长准备在该店购买两台该款学习机，请从付款总金额数学期望的 角度分析选哪种方案更优惠 数学（一）第3页（共4页) 衡水金卷·先 参考公式：对于经验回归方程y=x十a,b= ,a=y-ibx;样 ∑(x:-x)(y-y) 本相关系数r= G-7) ∑y-y)2 参考数据：∑(x-x)(-y)=190,∑(y-y)2=38.8,97≈9.85. 17.(本小题满分15分) 如图，在四棱锥P一ABCD中，底面ABCD为平行四边形，PC⊥平面ABCD,E,F 分别为棱BC,PA的中点，且PC=BC=CD=2,∠ABC=8∈(O,受 (1)证明：EF∥平面PCD; (2)若平面PAD与平面PAB夹角的余弦值为号，求四棱锥 P一ABCD的体积. 18.(本小题满分17分) 已知双曲线C兰 言-1a>0,6>0)的离心率为9，焦点到蒲近线的距离为。 (1)求C的方程； (2)C的下顶点为A,直线y=kx十号与C的上支交于M,N两点（点M在靠近y 轴的一侧>，直线y=号与直线AM,AN分别交于点P,Q,记直线OP,AQ的斜率分别 为k1,k2,其中O为原点. (1)求证：k1k2=1; (ⅱ)求△OAP外接圆的半径r的取值范围. 19.(本小题满分17分) 已知函数f(x)=alnx+ T (1)讨论f(x)的单调性； (2)若Hx∈(1，十o∞)，f(x)<x,求a的取值范围； (3)若a,=血n卫，数列a,)的前n项积为，求证：(n+2)T.<e.(注：ln2≈ n十1 0.693,√e≈1.649) 享题·摸底卷 数学（一）第4页（共4页） A摸底卷A 数学（一） 2025一2026学年度高三一轮复习摸底测试卷 摸底卷A·数学（一） 9 命题要素一览表 注： 1.能力要求： I.抽象概括能力Ⅱ.推理论证能力Ⅲ.运算求解能力下.空间想象能力V,数据处理能力 Ⅵ.应用意识和创新意识 2.学科素养： ①数学抽象②逻辑推理③数学建模④直观想象⑤数学运算⑥数据分析 知识点 能力要求 学科素养 预估难度 题号 分 题型 值 (主题内容) ⅢNVI①②③④⑤⑥ 档次系数 1 选择题 5 集合的运算，解不等式 易 0.80 2 选择题 5 由复数运算求参 易 0.78 3 选择题 5 等差数列的前n项和 易 0.72 选择题 5 与旋转体有关的数学文化题 中 0.65 5 选择题 5 利用倍角公式求值 中 0.55 6 选择题 5 条件概率 0.40 7 选择题 5 椭圆的离心率 中 0.35 选择题 5 复合函数的零点问题 难 0.28 9 选择题 6 频率分布直方图的应用 中 0.65 余弦型三角函数的图象及 10 选择题 6 中 0.55 性质 11 选择题 6 函数的导函数的应用 难 0.28 12 填空题 5 投影向量 易 0.78 13 填空题 5 抛物线定义的应用 0.60 14 填空题 5 多面体的外接球问题 中 0.30 利用正弦定理解三角形，利用 15 解答题 13 0.65 基本不等式求最值 线性回归分析，相互独立事件 16 解答题 15 / 中 0.55 的概率与期望 证明线面平行，平面与平面夹 17 解答题 15 / 中 0.35 角的余弦值 ·%1 摸底卷A 数学（一） 直线与双曲线的位置关系，求 18 解答题 17 0.28 参数的取值范围 19 解答题 17 函数与数列的综合 难 0.25 摸底卷A 数学（一） 参考答案及解析 数学（一） 一、选择题 1.B【解析】由>1，得中4,2≥0，整理得 ∈(o,要)a∈（Ξx)sima= 17,cos a 2-x (x十+1)(x-2)≤0，且x≠2，解得-1≤x<2,即B= 2sin分cos受 [-1,2),.CRB=(-o∞，-1)U[2,十o∞)，A∩ 7,tan sin号 sin a a 2cos2号 1+cos a (CRB)={2,3}.故选B. 5 2.C【解析】兰=-i,得士a=-i所以1十ai =子故选B 1-ai 6.A【解析】要使机器狗仍回到点P,可分以下两种情 -i(1-ai)=-a-i,又a∈R,所以a=-l,所以z 的虚部为-1.故选C. 况：①相反方向各移动二次（如向上移动二次，向下移 动二次)，从2组相反方向（左与右、上与下）中选1 3.A【解析】设数列{an}的公差为d,则2a1十3ag= 组，有2种选法，然后在4次移动中安排2次相同方 2(a1十3d)+3(a1十8d)=5(a1+6d)=5,∴.a1十6d= 向的移动，有C?=6种方法，所以有2×6=12种移动 1,即4=1Se=13(a,a)=13a1=13.故选A 2 方法；②一组相反方向各移动1次，另一组相反方向 4.D【解析】如图，取上、下底面的圆心分别为M,N, 也各移动1次，然后对这4次不同方向的移动进行全 连接MN,MP,NP,AP,BP, 排列，则有A=24种移动方法，所以机器狗仍回到 点P的移动方法共有12十24=36种.记事件A表示 “机器狗仍回到点P”,事件B表示“机器狗向右移动 了2次则PB)-吧-品=合故选A 7.C【解析】设|AF|=3m,则|BF1|=5m(m>0), ·△AFF2的面积是△BFF2面积的3倍，且 由圆台的性质可知MN⊥NP,且MN= |FF2|=|F1F2|,.|AF2|=3|BF2,设 √AD'-(DN-AM)F=√/2-(3-2)7=1m,又 |AF2=3n,|BF2|=n(n>0).由椭圆的定义得 NP=3m,所以MP=MN+NP=√+3= |AF1|+|AF2|=|BF1|+|BF2|=2a,∴.3m+3n √0m,则当MP为△PAB以AB为底的高时，△PAB =5m+n,.m=n,.AF2|=3m=|AF|, 的面积最大，最大值为号×4X=2而m,故 |BF2|=m,.△AFF2为等腰三角形，且|OA|= b,|AB|=3m+m=4,.|AF|2+|AB|2= 选D. |BF2,∴AF1⊥AF2,△AFF2为等腰直角三角 5.B【解析】法一：由sina十cosa= 7>0,知a∈(0，)， 形，OF-1AR,:1OF=,AF .sina十cosa= 2snos号十co号-sin V7-ae台-9放选C sim号十cos号 2an号+1-tam号 1 7,解得an号=-或 tam2号+1 am受=号又e∈(0.x÷∈(0，受)： an号-故选B 8.A【解析】作出f(x)的图象如图所示， 法二：由sina十cosa=7,两边平方得1十2 sin acosa =(）)2snas。()-1=<0，又a 摸底卷A 数学（一） =是十受(k∈Z),所以f(x)图象的对称中心为 (臣+经，1)k∈)，故A正确：令∫(x)=0,得 2x:十晋=牙+2kπ（∈Z或2：+受=-牙 2x∈Z,所以1-x=受+(6-)m =+ak∈，所以x-m=吾，放B 由g(x)=0,得e2-ae)十1=0，令t=en>0, 则t一at十1=0，令m=f(x)∈R,t=em单调递增， 正确：由B知x一血=号，不妨设x1<,则 结合f(x)的图象，当t∈(0,1)时，f(x)∈ (-o∞，0)，此时g(x)只有1个零点：当t=1时，f(x) x2=x1十 号，则|f(x十a)-f(x十a)川 =0,此时g(x)有2个零点：当t∈(1，e]时，f(x)∈ (0,1],此时g(x)有3个零点；当t∈(e,十∞)时， f(+a)-f(m+号+a)儿，令十a=a,则 f(x)∈(1，十o∞)，此时g(x)有2个零点.因为g(x) 恰有3个零点，所以当关于t的方程t2-at十1=0只 If(x+a)-f(z:+a)l=f(a)-f(a+) 有一个根t∈(1，e]时，由△=a2-4=0,得a=2,此 =2os(2a+),其最大值为2，故C错 时t=1,矛盾，故舍去，所以关于t的方程t一at十1= 0的两根分布在区间(0,1)和(e,十∞)内，令h(t)= 误：令f(x)=0,得1=否十k1π(k1∈Z)或x h(0)=1>0 t-at+1,t>0,则{h(1)=2-a<0 ,解得a> 变十xk:∈Z),由图象可知f(r)在一个周期 h(e)=e2-ae+1<0 (0,π)内有2个零点，则在五个周期(0,5π)内有10 e叶日故选A 个零点，所以M的最小值为r十受-受，故D正 二、选择题 确.故选ABD. 9.ABC【解析】由频率分布直方图得，月收入在区间 [4,7)内的频率为0.025+0.125十0.175=0.325 1.AC【解析】对于AB,因为f(x)=子+3 0.5,月收入在区间[4,8)内的频率为0.325十0.225 3x-9,所以f(x)=x2+6x+3,”(x)=2x+6, =0.55>0.5,所以样本数据的中位数位于区间 令(x)=0,得x=-3,且当x<-3时，f”(x)< [7,8)内，故A正确；月收入在区间[4,9)内的频率 0,f(x)单调递减，当x>-3时，”(x)>0, 为0.55十0.275=0.825>0.8，所以样本数据的第80 f'(x)单调递增，所以x=一3为∫(x)的极值点， 百分位数在区间[8,9)内，设第80百分位数为，则 所以f(x)只有1个拐点，故A正确：由A可知 0.55十(m-8)×0.275=0.8,解得m≈8.909，故B f(x)的拐点为(-3,0)，由f'(x)=x2十6x十3，得 正确：月收入不低于8000元的频率为1一0.55= f'(-3)=9-18十3=一6，所以f(x)的图象在拐 0.45,故C正确；月平均收入为4.5×0.025十5.5× 点处的切线方程为y=-6(x十3)=一6x一18，故B 0.125+6.5×0.175+7.5×0.225+8.5×0.275+ 错误；对于CD,因为g(x)=x-3x十2nx十3，x> 9.5×0.1+10.5×0.075=7.7千元=7700元，故D 错误.故选ABC. 0,所以()=2x-3十是8()=2-是令 10.ABD【解析】由图象可得，A=fx)m一fx)恤 g"(x)=0,得x=1,当0<x<1时，g"(x)<0,g(x) 2 单调递减，当x>1时，g"(x)>0,g(x)单调递增，所 3-（D=2,6=fx)m十fx)m=3+（G1D=1, 2 以x=1为g'(x)的极值点，所以g(x)只有1个拐 2 2 点，故C正确：由C可得g'(x)≥g'(1)=1>0,所以 子-晋-吾=受所以T=,所以=2，所以 g(x)在(0，十∞)上单调递增，因为g(1)=1,所以若 g(x1)+g(x2)=2,可设0<x1<1<x2<2,由 f(x)=2cos(2x+9)+1,则f（号) g(x1)十g(x2)=2,得g(x2)=2-g(x1).令h(x)= 2cos(2×号+)+1=-1，即cos(+)=-1, g(2-x)十g(x)=(2-x)2-3(2-x)+2ln(2-x) +3+x2-3x十2lnx十3=2ln(2-x)+2lnx+2x 又l<,所以9=ξ，所以f(x) -红+4,0<<1，则)=2是十是红-4 20s(2x+号）+1.令2x+号=受+kx(k∈Z),得 4(x-1)3 x(x-2) >0,所以h(x)在(0,1)上单调递增，所以 ·%2· 摸底卷A 数学（一） 当x∈(0,1)时，h(x)<h(1)=2,即g(2-x)十g(x) <2,又0<x1<1,所以g(2-x)十g(x1)<2,即 =4②T,则，=22I,所以三棱锥S-ABD外接 3 3 g(2-x1)<2-g(xm1),则g(2-x1)<g(x2）.又2 x1>1,所以2-x1<x2,则x1十x2>2,故D错误.故 球的半径R=√P+(学)-√四+罗=4，则其 选AC. 表面积为4πR2=64π. 三、填空题 12.(侣，号)【解析1由b=(21),得61= =√5，由|a-2b川=2，得|a-2b|2=a2-4a·b+ 4b2=16-4a·b+20=4,解得a·b=8,所以a在b 上的投影向量的坐标为品·6=号6 =(): 13.6【解析】由题意可知点B(,0)为抛物线C的焦 点，△ABP的周长为|PA|+IPB|十|AB|= 四、解答题 |PA|十|PB|十m.过点P作抛物线C的准线x= 15.解：(1)因为2 bcos C=asin2B, 一m的垂线，垂足为K,由抛物线的定义可知 所以由正弦定理得2 sin Bcos C=sin Asin'B, IPB|=IPK|,所以PA|+IPB|=|PA|+ 因为B∈(0，π)，所以sinB≠0， |PK|≥|AK|=2m,当A,P,K三点共线时等号 所以2cosC=sin Asin B, (2分) 成立，所以△ABP周长的最小值为3m,则3m=18, 所以-2cos(A+B)=-2 cos Acos B+2 sin Asin B 所以m=6. =sin Asin B, 所以sin Asin B=2 cos Acos B, 因为A,B∈(0，π)，所以sin Asin B>0, 则cos Acos B>0, 所以tan Atan B=2, (5分) 又tanA=2,所以tanB=l, 所以B=平 (6分) (2)由(1)可得tan Atan B=2>0, 所以tanA>0,tanB>0, (8分) 14.64π【解析】因为SA⊥平面ABCD,所以四棱锥 因为sinC=sin(A十B), S-ABCD的高为SA=4压，要使四棱锥的体积 所以由正弦定理得sinA-sin'Asin B 3 asin C sin Asin C 最大，只需底面四边形ABCD的面积最大.设 =sin Asin B sin Asin B ∠BAD=a,∠BCD=B,则在△ABD中，由余弦定理 sin(A+B)sin Acos B+cos Asin B 得BD=AB十AD-2AB·ADcos a=32-32cosa,在 =tan Atan B tan Atan B2 △BCD中，由余弦定理得BD=BC十CD-2BC tanA十tanB2√an Atan B 2 ·CDcos B-=40-24cosB,所以32-32cosa=40 当且仅当tanA=tanB=√2时等号成立， (12分) 24cosB,则3cosB-4cosa=1①，因为Sg边形A(D= Sam+SaaD=2AB·ADsina+号BC·CDsin B 所以色的最大值为号 (13分) asin C =8sina十6sinB②，由(2①)2十②2，得4十 16.解：1)由题意得x=号×(10十20十30十40+50) S%边形AwD=100-96(cos acos B-sin asin B)=100 =30, 96cos(a十B),所以S品边形acD=96-96cos(a十B),当 a十B=π时，(S四边形AcD)mx=8√3，则8sina十6sin3 则∑(x,-x)2=400+100+0+100+400=1000, =8sina+6sin(π-a)=l4sina=83,所以sina= (2分) 3,又3cosB-4cosa=3c0s(x-a)4cosa☐ 因为∑(y-)=38.8,∑(x-(%- -7cosa=1,所以cosa=-子，所以BD2=32 =190, 32cosa=,所以△ABD外接圆的直径2r=D sin a ·3· 摸底卷A 数学（一） ∑(，-x)(y-y) (2)以C为原点，CD,CP所在直线分别为x,z轴，建 立如图所示的空间直角坐标系， 所以r= Z年 19 19 19 √3882√97 ≈2×9.85≈0.96， (4分) 又0.96>0.75， 所以y与x具有较强的线性相关性。 (5分) (2)由(1)知x=30,∑(x,-x)2=1000, =1 (x-x)(y-y) 所以方= 190 =0.19, ∴.A(2-2cos0,2sin0,0),B(-2cos0,2sin0,0), 1000 (x,-x) D(2,0,0),P(0,0,2), ∴.AD=(2cos0,-2sin0,0),PD=(2,0,-2), (6分) 因为y=日×(58+59+60+64+6)=61. Ai=(-2,0,0),PB=(-2cos0,2sin0,-2). (7分) 所以a=y-6x=61.2-0.19×30=55.5, 设平面PAD的法向量为n1=(x1y1,), 所以y关于x的经验回归方程为y=0.19x十55.5， n·At-2xeos0-2in9=0 (8分) {n1·PD=2x1-2x1=0 当x=60时，y=0.19×60十55.5=66.9， 取x1=sin0,得y1=cos0,1=sin0, 所以当月广告投入为600万元时，该款学习机的月 .n=(sin 0,cos 0,sin ) (9分) 销量约为66900台. (9分) 设平面PAB的法向量为n2=(x2,,2), (3)若选方案一：需付款6000-800=5200元. /n2·AB=-2x2=0 (10分) 2·PB=-2x2cos0+2y2sin0-2x2=01 若选方案二：设需付款X元， 取y2=1,得x2=0,2=sin0, 则X的可能取值为4000,4400,4800,5400， .2=(0,1,sin8). (11分) 则P(X=4000)= 设平面PAD与平面PAB的夹角为a, n1·n2 P(X=440)=C心×（号）×号-号 2 则os&=1cosm,)l=Tm·1mT P(X=4800)=C××（号）广=号， 999e(0,号] 1sin0 1 PX=540)=(号)=， cos月+sim2g 1sin0 -号解得60s0= 所以E(X)=400×+4400X号+480× ∴0= 3 9 +5400×27 131200≈4859.26， (14分) Sm=2××2×2Xsi号=25 27 4859.26<5200, .VP-ABCD= X25×2=4yE 3 3 (15分) 所以选择方案二更优惠。 (15分) 17.解：(1)取PD的中点G,连接FG,CG, =6 a 2 F为PA的中点， 18.解：(1)由题意得 bc ÷FG∥AD,FG=之AD, ==2 √a+ :BC∥AD,BC=AD, a2+b2=c2 解得a2=4,b2=2,c2=6, ∴PG/BC,FG=BC. .FG∥CE,FG=CE, 所以C的方程为号一苦-1 (4分) .四边形ECGF为平行四边形， (3分) (2)设M(x1,y),V(x2y), .EF∥CG, （y2x2 :'EF丈平面PCD,CGC平面PCD, 联立 42 2,得9(k2-2)x2+12kx-32=0, ∴.EF∥平面PCD. (5分) y=kx+ 3 ·4· 摸底卷A 数学（一） 9(k2-2)≠0 所以外接圆的半径r=|OT|=√+1∈ △=144k2+4×9(k2-2)×32>0 则 4k (号) (17分) x1十x2= 3(k2-2) 32 x1=-9(k2)>0 解得5<k<2. (6分) (i)由1)可得A(0,-2), 所以直线AM:y=十 x-2, 2 3 则k1= =M+2 8x1 4.x1 6:=kav=当十2 T? 3y1十6 所以k6=4十2.业十2 19.解：(1)因为f(x)=alnx+ xx>0, 4x1 (+)(k+)】 所以r)号- 2 (1分) 当a≤0时，f(x)<0,f(x)单调递减； (2分) 4x1x2 发西十是（十）+ 当a>0时，令了(x)>0,得> 9 Ax1x2 令fx)<0,得0<<日 32k2 32k2 9-2)9k-2)大8 =1. (10分) 所以f(x)在(0，二)上单调递减，在（二，+∞）上 128 9(k2-2) 单调递增 (3分) (ⅱ)不妨设点M,N均在第一象限，由()得1=1， 综上，当a≤0时，f(x)在(0，十o∞)上单调递减； 所以∠POr+∠PQA=受， 当a>0时，f(x)在(0，)上单调递诚，在 所以∠AOP+∠PQA=受+受=， (12分) (日，+)上单调递增 (4分) 所以O,A,Q,P四点共圆， 所以△OAP的外接圆即为四边形OAQP的外接圆. (2)令H)=fx)-=alnx+是-x,x>1, (13分) 则H(x)=二x+ax-1 设外接圆的圆心为T,则yr=-1, (魔产同理得。 当a≤0时，H(x）<0, 8x2 所以H(x)在(1，十oo)上单调递减， 所以x=十Q=4 则H(x)<H(1)=0,即f(x)<x,符合题意. 4.x2 2 3yM十63y十6 (5分) 。 当a>0时，对于-x2十ax-1=0, = 当△=a2-4≤0，即0<a≤2时，-x2十a.x-1≤0， 则H'(x)≤0， 此时H(x)在(1，十o)上单调递减， 4 所以H(x)<H(1)=0,即f(x)<x,符合题意； 64 (7分) 32 4k 当△=a2-4>0,即a>2时，-x2十ax-1=0有两 4 2k· 9(2-k)千3‘3(2-k) 个不等实根，记为x1x(x1<2), 32 4k,64 =k, 则x==4<1,=十41， 2 2 所以T(k,-1), (15分) 所以H'(x)在(1，十∞)上有唯一的零点x2, 因为9<<2， 则当x∈(1，x2)时，H'(x)>0,H(x)单调递增， ·%5 摸底卷A 数学（一） 此时H(x)>H(1)=0,即f(x)>x,不符合 当n≥2时，令v(x)=2ln(x十2)-(x十1)ln2 题意. 综上，a的取值范围为（一o∞，2] (9分) 1n(x+1)-1+受，≥2， (3)由(2)知，当a=2,x>1时，f(x)<x, 2 即21nx<-1 则()=是2h2六名 x+1+2, 令)=子2ln2- 2 1 所以0<nx<x2-1 x十1十2x≥2， I 2x (10分) 2 1 令x=n+1,n∈N*, 则(x)=-(x十2)(x+1) 则0<1n(n+1<n+1)2-1=n(n+2) -x2十2 n+1 2(n十1)22(n十1)z =(x+1)(x2)<0, 故T.=h2.h3.n4.….n(n十1) 所以s(x)即u'(x)在[2，十)上单调递减， 2 3 4 n+1 (15分) <2.X3.2.35..-1)n+ 22 32 42 n 所以(z)≤d(2)=号-ln2<0. 器-动分剂 所以v(x)在[2，十o∞)上单调递减， 所以u(x)v(2)=4ln2-3ln2-ln3=ln2-n3 所以要证(n十2)Tn<e-受， 0, (16分) 即证动·子洁 所以Hn∈N,2ln(n+2)-(n+1)ln2-ln(n+1) -1+号<0， 两边取对数并整理得2ln(n十2)-(n十1)ln2 n(n+1)-1+受<0， 所以(n+2)Tn<e-受. (17分) 当n=1时，23-3h2-号=ln号-h6<0, (13分) ·%6