第10卷 平面向量（教师讲解卷）2027版山西省（对口升学）《数学真题同源卷》(原卷版+解析版)

**基本信息** 立足山西对口升学考纲，以“概念回顾-真题精讲-举一反三-拓展提升”为逻辑链，系统梳理平面向量知识，精选近三年真题及变式题，培养抽象能力、运算能力与应用意识，实现知识点与解题能力的递进式突破。 **专项设计** |模块|题量/典例|题型特征|知识逻辑| |----|-----------|----------|----------| |概念回顾|系统梳理向量概念、线性运算、坐标运算等核心知识点|基础概念辨析|从向量定义到线性运算、坐标表示，构建“概念-运算-应用”完整逻辑链条| |真题精讲|4道近三年山西对口升学真题|选择、填空题，聚焦坐标运算|紧扣高频考点，示范真题解题路径| |举一反三|13题|选择、填空为主，涵盖平行、垂直、模的计算|强化真题考点变式训练，巩固运算能力| |拓展提升|23题|选择、填空、解答题，涉及夹角、空间向量等|深化知识应用，培养推理意识与综合解题能力|

编写说明：2027版山西省对口升学《数学真题同源卷》专辑，立足山西省对口升学数学真题深度研究，严格对标考纲要求、深挖核心考点。每份试卷聚焦一个专题，精选近三年高考真题，按“概念回顾+真题精讲+举一反三+拓展提升”的逻辑体系编写，每个专题配套两份试卷，分别为教师讲解卷与学生练习卷，且均配备PPT课件，方便教师开展课堂教学。助力师生夯实核心能力、贯通解题思路，达成精准对接考点、高效突破备考难点的目标。 2027版山西省对口升学《数学真题同源卷》 第10卷 平面向量 （教师讲解卷） 【概念回顾】 平面向量的概念 1.向量：既有大小又有方向的量叫做向量；向量的大小叫做向量的长度(或模). 3.向量的模：向量的大小也称为该向量的模，记为． 4.单位向量：模为1的向量称为单位向量． 5.零向量：模为零的向量称为零向量，记作0或．零向量的方向是任意的． 6.平行向量（共线向量）：一般地，方向相同或相反的两个向量称为平行向量．当向量a与b平行时，记．零向量与任何一个向量平行，即对于任意向量a，都有．任意一组平行向量都可以平移到同一直线上．因此，平行向量也称共线向量． 平面向量的线性运算 1.向量的加法 ①对于零向量与任意向量，我们规定. ②三角形法则：首尾相连，第一个向量的终点是第二个向量的起点。 ③平行四边形法则：共起点，和向量为对角线向量。 2.向量的减法 ①定义：向量加上的相反向量，叫做与的差，即. ②向量减法的三角形法则（共起点，连终点，指向被减向量） 3.向量的数乘 ① ②当时，的方向与的方向相同；当时，的方向与的方向相反；当时，. ③向量的数乘运算满足以下法则： (λ μ)=λ(μ)= μ(λ) ； (λ+μ)=λ +μ； λ(+)=λ+λ． 4.共线向量定理 ①定义：向量与非零向量共线，则存在唯一一个实数，. ②向量共线定理的注意问题：定理的运用过程中要特别注意；特别地，若，实数仍存在，但不唯一． 5.平面向量的夹角 （1）已知两个非零向量a和b，作＝a，＝b，则∠AOB＝θ叫做向量a与b的夹角． （2）向量夹角θ的范围是0°≤θ≤180°．a与b同向时，夹角θ＝ 0°；a与b反向时，夹角θ＝180°. （3）如果向量a与b的夹角是90°，我们就说a与b垂直，记作a⊥b． 6.平面向量的坐标运算 （1）如果A(x1，y1)，B(x2，y2)，则＝(x2－x1，y2－y1). （2）如果a＝(x1，y1)，b＝(x2，y2)(b≠0)，则a // b的充要条件是x1y2－x2y1＝0． （3）设 7.向量的内积 （1）当=时，称向量与向量互相垂直，记作⊥． （2）向量内积 向量与的数量积记作，即；零向量与任一向量的数量积为0； 向量内积的性质及坐标表示 1．向量数量积的性质 设都是非零向量，是单位向量，θ为与(或)的夹角．则 (1)； (2)当与同向时，；当与反向时，；特别地，或； (3)； (4) 2．向量内积的坐标表示 (1)若，则； (2)向量数量积：若，则； (3)若向量，则 【真题精讲】 考点01 平面向量的坐标运算 1.（2026·山西·真题T05）已知平面向量，平面向量.若，则（    ） A. B. C. D. 2.（2026·山西·真题T16）已知平面向量，，且，则_____． 3.（2025·山西·真题T14）已知平面向量，且，则___________. 4.（2024·山西·真题T06）已知向量，则向量有可能是（ ） A. B. C. D. 【举一反三】 1．已知向量，则向量有可能是（   ） A． B． C． D． 2．（25-26高二下·山西朔州·期末）平面向量，，则等于（   ） A．5 B． C．1 D． 3．（25-26高三下·山西朔州·期中）已知向量，则（    ） A．0 B．1 C．2 D．3 4．（24-25高二上·山西·期末）空间向量，，若，则（    ） A．2 B．1 C． D．3 5．（24-25高二上·山西忻州·期末）已知向量，则（    ） A． B． C． D． 6．（25-26高三上·山西朔州·期末）已知向量若，则（    ） A．10 B． C．2 D． 7．已知平面向量，且，则___________. 8．（25-26高二下·山西朔州·期末）若平面向量，，且，则________. 9．（25-26高三下·山西·对口/高职单招）已知平面向量，，且，则_____． 10．（24-25高二上·山西忻州·期末）已知向量，如果与垂直，则x的值是________ 11．（20-21高二上·山西晋中·期末）已知，， (1) (2)求 12.（2023·山西·真题T07）已知向量.若，则（ ） A. 10 B. C. 2 D. 13.（2022·山西·真题T22）设数组，求． 【拓展提升】 1．（20-21高二上·山西晋中·期末）已知，则（      ） A． B． C． D． 2．（20-21高二上·山西晋中·期末）已知，则（   ） A． B． C． D． 3．（20-21高二上·山西晋中·期末） （   ） A． B． C． D． 4．（20-21高二上·山西晋中·期末）已知，，则（     ） A． B． C． D． 5．（22-23高二下·山西晋中·期末）已知，，则与（    ） A．相等 B．平行 C．垂直 D．以上均不对 6．已知向量，，则的坐标是（    ） A． B． C． D． 7．（25-26高二下·山西朔州·期末）已知平面向量，，则等于（   ） A． B． C． D． 8．（22-23高二上·山西晋中·阶段检测）已知，且，则等于（   ） A． B． C． D．1 9．（22-23高二上·山西晋中·阶段检测）若直线的方向向量为，平面的法向量为，则（   ） A． B． C． D．与相交 10．（22-23高二上·山西晋中·阶段检测）已知，则（   ） A． B．1 C．0 D． 11．（22-23高二上·山西晋中·阶段检测）已知，如果与为共线向量，则（   ） A． B． C．D． 12．（22-23高二上·山西晋中·阶段检测）已知两条异面直线的方向向量分别是，则这两条异面直线所成的角满足（   ） A． B． C． D． 13．（20-21高二上·山西晋中·期末）已知与，则___ 14．（20-21高二上·山西晋中·期末）已知，，且平行于，则___ 15．（20-21高二上·山西晋中·期末）已知，则___，___， ___ 16．（20-21高二上·山西晋中·期末）已知点，，且平行于，求y. 17．（22-23高二下·山西晋中·期末）平面向量，，，已知，，求， 18．（23-24高二上·山西·阶段检测）已知向量，，. (1)求； (2)若，求实数，的值. 19．（23-24高二上·山西晋中·期末）已知点，和向量，且，求的值． 20．（22-23高二上·山西晋中·阶段检测）已知向量，点． (1)求线段的中点M的坐标； (2)若点满足，求与的值． 21．（25-26高二下·山西朔州·期末）已知平面向量，，求，以及与夹角的余弦值. 22．（23-24高二上·山西·阶段检测）已知空间三点，，，设，. (1)若，，求； (2)若与互相垂直，求； (3)若向量与平行，求. 23．（20-21高二上·山西晋中·期末）计算 (1) (2) 原创精品资源学科网独家享有版权，侵权必究！ 学科网（北京）股份有限公司 学科网（北京）股份有限公司 学科网（北京）股份有限公司 $ 编写说明：2027版山西省对口升学《数学真题同源卷》专辑，立足山西省对口升学数学真题深度研究，严格对标考纲要求、深挖核心考点。每份试卷聚焦一个专题，精选近三年高考真题，按“概念回顾+真题精讲+举一反三+拓展提升”的逻辑体系编写，每个专题配套两份试卷，分别为教师讲解卷与学生练习卷，且均配备PPT课件，方便教师开展课堂教学。助力师生夯实核心能力、贯通解题思路，达成精准对接考点、高效突破备考难点的目标。 2027版山西省对口升学《数学真题同源卷》 第10卷 平面向量 （教师讲解卷） 【概念回顾】 平面向量的概念 1.向量：既有大小又有方向的量叫做向量；向量的大小叫做向量的长度(或模). 3.向量的模：向量的大小也称为该向量的模，记为． 4.单位向量：模为1的向量称为单位向量． 5.零向量：模为零的向量称为零向量，记作0或．零向量的方向是任意的． 6.平行向量（共线向量）：一般地，方向相同或相反的两个向量称为平行向量．当向量a与b平行时，记．零向量与任何一个向量平行，即对于任意向量a，都有．任意一组平行向量都可以平移到同一直线上．因此，平行向量也称共线向量． 平面向量的线性运算 1.向量的加法 ①对于零向量与任意向量，我们规定. ②三角形法则：首尾相连，第一个向量的终点是第二个向量的起点。 ③平行四边形法则：共起点，和向量为对角线向量。 2.向量的减法 ①定义：向量加上的相反向量，叫做与的差，即. ②向量减法的三角形法则（共起点，连终点，指向被减向量） 3.向量的数乘 ① ②当时，的方向与的方向相同；当时，的方向与的方向相反；当时，. ③向量的数乘运算满足以下法则： (λ μ)=λ(μ)= μ(λ) ； (λ+μ)=λ +μ； λ(+)=λ+λ． 4.共线向量定理 ①定义：向量与非零向量共线，则存在唯一一个实数，. ②向量共线定理的注意问题：定理的运用过程中要特别注意；特别地，若，实数仍存在，但不唯一． 5.平面向量的夹角 （1）已知两个非零向量a和b，作＝a，＝b，则∠AOB＝θ叫做向量a与b的夹角． （2）向量夹角θ的范围是0°≤θ≤180°．a与b同向时，夹角θ＝ 0°；a与b反向时，夹角θ＝180°. （3）如果向量a与b的夹角是90°，我们就说a与b垂直，记作a⊥b． 6.平面向量的坐标运算 （1）如果A(x1，y1)，B(x2，y2)，则＝(x2－x1，y2－y1). （2）如果a＝(x1，y1)，b＝(x2，y2)(b≠0)，则a // b的充要条件是x1y2－x2y1＝0． （3）设 7.向量的内积 （1）当=时，称向量与向量互相垂直，记作⊥． （2）向量内积 向量与的数量积记作，即；零向量与任一向量的数量积为0； 向量内积的性质及坐标表示 1．向量数量积的性质 设都是非零向量，是单位向量，θ为与(或)的夹角．则 (1)； (2)当与同向时，；当与反向时，；特别地，或； (3)； (4) 2．向量内积的坐标表示 (1)若，则； (2)向量数量积：若，则； (3)若向量，则 【真题精讲】 考点01 平面向量的坐标运算 1.（2026·山西·真题T05）已知平面向量，平面向量.若，则（    ） A. B. C. D. 【答案】A 【解析】 【分析】根据向量垂直的坐标表示列方程求解即可. 【详解】因为平面向量，平面向量， 且，则， 解得. 故选：A. 2.（2026·山西·真题T16）已知平面向量，，且，则_____． 【答案】 【解析】 【分析】根据题意，结合向量线性运算的坐标表示，及向量垂直的坐标表示，即可求解. 【详解】因为向量，， 所以， 又，所以， 解得. 故答案为：. 3.（2025·山西·真题T14）已知平面向量，且，则___________. 【答案】4 【解析】 【分析】根据向量的平行的性质列式求解即可. 【详解】∵平面向量，且， ∴，解得. 故答案为：4. 4.（2024·山西·真题T06）已知向量，则向量有可能是（ ） A. B. C. D. 【答案】B 【解析】 【分析】根据平面向量平行的坐标表示逐项判断即可得解. 【详解】向量， 选项，，所以不平行，故错误； 选项，，所以平行，故正确； 选项，，所以不平行，故错误； 选项，，所以不平行，故错误， 故选：. 【举一反三】 1．已知向量，则向量有可能是（   ） A． B． C． D． 【答案】B 【分析】根据平面向量平行的坐标表示逐项判断即可得解. 【详解】向量， 选项，，所以不平行，故错误； 选项，，所以平行，故正确； 选项，，所以不平行，故错误； 选项，，所以不平行，故错误， 故选：. 2．（25-26高二下·山西朔州·期末）平面向量，，则等于（   ） A．5 B． C．1 D． 【答案】B 【分析】根据向量的内积计算即可. 【详解】平面向量，， ， 故选：B. 3．（25-26高三下·山西朔州·期中）已知向量，则（    ） A．0 B．1 C．2 D．3 【答案】A 【分析】根据向量内积的坐标公式求解即可. 【详解】因为向量，则. 故选：A. 4．（24-25高二上·山西晋中·期末）空间向量，，若，则（    ） A．2 B．1 C． D．3 【答案】A 【分析】根据空间向量的垂直性质，即可求解. 【详解】因为空间向量和，且， 所以， 化简得，解得， 所以，当时，的值为2. 故选：A. 5．（24-25高二上·山西忻州·期末）已知向量，则（    ） A． B． C． D． 【答案】B 【分析】根据模长与内积的关系式，结合内积定义求解即可. 【详解】向量， 则. 故选：B. 6．（25-26高三上·山西朔州·期末）已知向量若，则（    ） A．10 B． C．2 D． 【答案】B 【分析】根据题意，结合向量垂直的坐标表示，求得参数x，继而求得，结合向量的模的坐标表示，即可求解. 【详解】因为向量，且， 所以，解得， 所以，所以， 所以. 故选：B. 7．已知平面向量，且，则___________. 【答案】1 【分析】根据向量的平行的性质列式求解即可. 【详解】∵平面向量，且， ∴，解得. 故答案为：1. 8．（25-26高二下·山西朔州·期末）若平面向量，，且，则________. 【答案】9 【分析】根据向量平行的坐标表示求值即可. 【详解】若平面向量，， 由，得，解得， 故答案为：. 9．（25-26高三下·山西·对口/高职单招）已知平面向量，，且，则_____． 【答案】 【分析】根据题意，结合向量线性运算的坐标表示，及向量垂直的坐标表示，即可求解. 【详解】因为向量，， 所以， 又，所以， 解得. 故答案为：. 10．（24-25高二上·山西忻州·期末）已知向量，如果与垂直，则x的值是________ 【答案】/ 【分析】根据向量线性运算的坐标公式以及两向量垂直的坐标公式计算即可. 【详解】因为向量，所以， 如果与垂直，则有， 解得. 故答案为：. 11．（20-21高二上·山西晋中·期末）已知，， (1) (2)求 【答案】(1)，，. (2). 【分析】（）根据平面向量的坐标表示即可得解. （）根据平面向量的线性运算及数乘运算即可得解. 【详解】（1），，， 则，，， （2）. 12.（2023·山西·真题T07）已知向量.若，则（ ） A. 10 B. C. 2 D. 【答案】B 【解析】 【分析】根据得，从而求出，进而求解的值即可. 【详解】由得，即，解得， 所以， 所以 所以. 故选：B. 13.（2022·山西·真题T22）设数组，求． 【答案】 【解析】 【分析】利用坐标运算求解. 【详解】∵ ∴， ∴，解得： ∴ 【拓展提升】 1．（20-21高二上·山西晋中·期末）已知，则（      ） A． B． C． D． 【答案】B 【分析】利用向量的坐标表示可求. 【详解】因为， 则； 故选：B. 2．（20-21高二上·山西晋中·期末）已知，则（   ） A． B． C． D． 【答案】B 【分析】根据向量的坐标表示运算即可. 【详解】已知， 则， 故选：B. 3．（20-21高二上·山西晋中·期末） （   ） A． B． C． D． 【答案】C 【分析】利用向量的加法运算可求. 【详解】； 故选：C. 4．（20-21高二上·山西晋中·期末）已知，，则（     ） A． B． C． D． 【答案】A 【分析】根据向量线性运算的坐标表示即可求解. 【详解】，， 则， 故选：A. 5．（22-23高二下·山西晋中·期末）已知，，则与（    ） A．相等 B．平行 C．垂直 D．以上均不对 【答案】C 【分析】根据向量垂直的坐标表示可得结论. 【详解】由题可得， ，所以. 故选：C 6．已知向量，，则的坐标是（    ） A． B． C． D． 【答案】C 【分析】利用向量线性运算的坐标表示可求. 【详解】向量，， 则； 故选：C. 7．（25-26高二下·山西朔州·期末）已知平面向量，，则等于（   ） A． B． C． D． 【答案】A 【分析】根据平面向量加法的坐标运算规则计算. 【详解】已知，，可得：， 故选：A. 8．（22-23高二上·山西晋中·阶段检测）已知，且，则等于（   ） A． B． C． D．1 【答案】B 【分析】由向量内积的运算律即可得解. 【详解】∵， 且， ∴， 即，解得. 故选：B. 9．（22-23高二上·山西晋中·阶段检测）若直线的方向向量为，平面的法向量为，则（   ） A． B． C． D．与相交 【答案】C 【分析】根据向量平行的坐标表示和法向量的概念即可解得. 【详解】由题，直线的方向向量为， 且平面的法向量， 故，则，则. 故选：C 10．（22-23高二上·山西晋中·阶段检测）已知，则（   ） A． B．1 C．0 D． 【答案】A 【分析】根据向量坐标的综合运算即可解得. 【详解】由题，， 则， . 故选：A 11．（22-23高二上·山西晋中·阶段检测）已知，如果与为共线向量，则（   ） A． B． C．D． 【答案】C 【分析】根据共线向量的坐标表示列出等式即可解得. 【详解】由题，且二者共线， 则，解得. 故选：C 12．（22-23高二上·山西晋中·阶段检测）已知两条异面直线的方向向量分别是，则这两条异面直线所成的角满足（   ） A． B． C． D． 【答案】C 【分析】根据空间向量的内积的坐标表示，和模的坐标表示求出，和，再由内积的定义求值即可. 【详解】已知两条异面直线的方向向量分别是， 则， ， 因为异面直线所成的角为， 所以， ， 故选：C. 13．（20-21高二上·山西晋中·期末）已知与，则___ 【答案】 【分析】根据向量线性运算的坐标表示，即可求解. 【详解】因为，， 所以. 故答案为：. 14．（20-21高二上·山西晋中·期末）已知，，且平行于，则___ 【答案】/ 【分析】根据向量平行的坐标表示，列方程求解即可. 【详解】已知，， 且平行于，则，解得， 故答案为：. 15．（20-21高二上·山西晋中·期末）已知，则___，___， ___ 【答案】 【分析】根据向量的运算方法即可求解. 【详解】已知， 则， ，， 故答案为：，， 16．（20-21高二上·山西晋中·期末）已知点，，且平行于，求y. 【答案】 【分析】利用向量的坐标表示求出向量，然后利用向量平行求参数即可. 【详解】因为点，则， 又，且平行于， 则，则. 17．（22-23高二下·山西晋中·期末）平面向量，，，已知，，求， 【答案】， 【分析】根据向量共线的坐标表示，可求；根据向量垂直的坐标表示可求. 【详解】因为，，且， 所以，解得， 所以； 又因为，，且， 所以，解得， 所以. 18．（23-24高二上·山西·阶段检测）已知向量，，. (1)求； (2)若，求实数，的值. 【答案】(1) (2)， 【分析】（1）根据空间向量运算的坐标表示即可求解； （2）根据空间共线向量的坐标表示计算即可求解. 【详解】（1），， ； （2），， 若，则，解得，， 经检验，符合题意， 所以，. 19．（23-24高二上·山西晋中·期末）已知点，和向量，且，求的值． 【答案】 【分析】先由向量的坐标运算求出，再利用向量平行的坐标表示公式求解即可. 【详解】因为点，，所以， 向量， ，， ． 20．（22-23高二上·山西晋中·阶段检测）已知向量，点． (1)求线段的中点M的坐标； (2)若点满足，求与的值． 【答案】(1) (2) 【分析】（1）先求解出点B和点D的坐标，再根据中点坐标公式即可求解； （2）根据向量共线的坐标表示列式求解即可. 【详解】（1）因为，且， 设， 所以， 则有，解得； 又， 则有，解得， 所以， 设，因为为线段的中点， 所以，所以； （2）由（1）知，， 所以， ， 因为， 即， 所以，解得. 21．（25-26高二下·山西朔州·期末）已知平面向量，，求，以及与夹角的余弦值. 【答案】5， 【分析】根据向量的线性运算的坐标表示求出，再由向量模的坐标表示和向量夹角的公式求值即可. 【详解】已知平面向量，， ， 所以， 所以. 22．（23-24高二上·山西·阶段检测）已知空间三点，，，设，. (1)若，，求； (2)若与互相垂直，求； (3)若向量与平行，求. 【答案】(1)或 (2)或 (3)或 【分析】（1）根据空间向量的坐标表示与共线定理，利用模长公式，即可求出； （2）利用两向量垂直数量积为0，列方程求出k的值； （3）根据向量共线定理，列出方程求出k的值. 【详解】（1）点，，，所以， 由，设，且， 所以，解得， 所以或. （2），， 若与互相垂直，则， 所以， 即， 化简得， 解得或. （3）向量，， 由向量与平行，则， 则，解得或. 23．（20-21高二上·山西晋中·期末）计算 (1) (2) 【答案】(1) (2) 【分析】由向量的加法，减法以及数乘运算计算即可. 【详解】（1） . （2） . 原创精品资源学科网独家享有版权，侵权必究！ 学科网（北京）股份有限公司 学科网（北京）股份有限公司 学科网（北京）股份有限公司 $