第9卷 数列（教师讲解卷）2027版山西省（对口升学）《数学真题同源卷》(原卷版+解析版)

**基本信息** 聚焦数列专项，以“概念回顾-真题精讲-举一反三-拓展提升”为逻辑链，系统梳理公式体系，通过分层训练培养抽象能力与推理能力，实现考点精准突破。 **专项设计** |模块|题量/典例|方法提炼|知识逻辑| |----|-----------|----------|----------| |概念回顾|2类数列6公式|公式体系化梳理|定义→公式的生成关系| |真题精讲|2考点6真题|考点分类与解法示范|基础性质→综合应用递进| |举一反三|13题（含3真题）|变式训练与方法迁移|真题变式→方法巩固| |拓展提升|28题|综合应用与能力拔高|跨情境应用→推理深化|

编写说明：2027版山西省对口升学《数学真题同源卷》专辑，立足山西省对口升学数学真题深度研究，严格对标考纲要求、深挖核心考点。每份试卷聚焦一个专题，精选近三年高考真题，按“概念回顾+真题精讲+举一反三+拓展提升”的逻辑体系编写，每个专题配套两份试卷，分别为教师讲解卷与学生练习卷，且均配备PPT课件，方便教师开展课堂教学。助力师生夯实核心能力、贯通解题思路，达成精准对接考点、高效突破备考难点的目标。 2027版山西省对口升学《数学真题同源卷》 第9卷 数列 （教师讲解卷） 【概念回顾】 1.等差数列： 一般地，如果一个数列从第二项起，每一项与它前一项的差都等于同一个常数时，就称这个数列为等差数列，这个常数称为等差数列的公差，通常用字母d来表示． 2.等差数列必考公式： 定义 通项公式 推广公式 等差中项 等差中项推广公式 前n项和公式 3.等比数列 一般地，如果一个数列从第二项起，每一项与它前一项的比都等于同一个非零常数时，就称这个数列为等比数列，这个常数称为等比数列的公比，通常用字母q来表示． 4.等比数列必考公式： 定义 通项公式 推广公式 等比中项 等比中项推广 前n项和公式 【真题精讲】 考点01 数列的概念及性质 1．（2026·山西·真题T06）设为等差数列前项和，已知，，则的值为（ ） A. 10 B. 14 C. 64 D. 3 【答案】A 【解析】 【分析】根据题意，结合等差数列的性质，及等差数列的前n项和公式，即可求解. 【详解】因为等差数列中，，， 所以， 解得. 故选：A. 2．（2025·山西·真题T02）在等比数列中，，，则为（ ） A. B. C. D. 【答案】C 【解析】 【分析】根据等比数列通项公式即可求解． 【详解】∵在等比数列中，，， ∴， ∴， 故选：C． 3.（2024·山西·真题T02）等比数列中，，则（ ） A. 12 B. 9 C. 16 D. 24 【答案】D 【解析】 【分析】根据等比数列的定义求出公比，结合等比数列的通项公式即可得解. 【详解】等比数列中，， 则公比， 则， 故选：. 考点02 数列的综合应用 1．（2026·山西·真题T21）在等差数列中，，，求的最小值以及相对应的值. 【答案】当或时，取最小值 【解析】 【分析】由条件求出等差数列的首项和公差，进而得的表达式，利用二次函数的性质进行解答即可． 【详解】因为等差数列中，，， 则，解得， 所以， 又，所以当或时，取最小值． 2．（2025·山西·真题T22）等差数列满足，，求数列首项和公差. 【答案】首项，公差 【解析】 【分析】根据等差数列的通项公式与前n项和公式求解即可. 【详解】由等差数列的求和公式，即， 即， 又，即， 联立，解得， 所以数列首项，公差. 3.（2024·山西·真题T20）设等差数列满足，求该数列第10项． 【答案】. 【解析】 【分析】根据等差数列的求和公式及通项公式列出方程组求出首项及公差即可得解. 【详解】等差数列满足， 则，解得， 所以， 则. 【举一反三】 1．在等差数列中，，公差，则（    ） A．7 B．8 C．9 D．10 【答案】C 【分析】根据题意，结合等差数列的通项公式，即可代入求解. 【详解】因为等差数列中，，公差， 所以. 故选：C. 2．（25-26高三下·山西朔州·期中）已知等差数列中，，则公差（    ） A．2 B．3 C．4 D．5 【答案】A 【分析】根据等差数列的通项公式列方程求解即可. 【详解】已知等差数列中，， 由，得， 解得， 故选：A. 3．设为等差数列前项和，已知，，则的值为（     ） A．9 B．11 C．12 D．5 【答案】A 【分析】根据题意，结合等差数列的性质，及等差数列的前n项和公式，即可求解. 【详解】因为等差数列中，，， 所以， 解得. 故选：A. 4．（25-26高三下·山西朔州·三模）已知等差数列的前n项和为，若，则=（   ） A．45 B．50 C．90 D．100 【答案】A 【分析】利用等差数列的性质和前项和公式求解. 【详解】已知，根据等差数列的性质可得， 所以. 故选：A. 5．（25-26高二下·山西朔州·期末）已知等比数列中，，公比，则________. 【答案】8 【分析】根据等比数列的通项公式即可求解. 【详解】因为在等比数列中，，公比， 所以. 故答案为：8. 6．（25-26高三下·山西朔州·三模）已知等比数列的前n项和为，若，则______. 【答案】或 【分析】设出等比数列的公比，根据题意列出等式，再根据通项公式求解即可. 【详解】设等比数列的公比为，已知，. 则，整理得. 因式分解得，解得或. 时，. 时，. 因此的值为或. 故答案为：或. 7．（25-26高二下·山西朔州·期末）在等差数列中，已知，，求公差和首项. 【答案】， 【分析】根据等差数列的通项公式即可求解. 【详解】设等差数列的公差为， 因为在等差数列中，，， 即，解得，. 所以公差，首项. 8．（25-26高二下·山西朔州·期末）已知等比数列的前项和为，，且，求公比和数列的通项公式，若，求数列的前项和. 【答案】或， 当时，，； 当时，，. 【分析】根据等比数列的通项公式列方程求出公比，再由等差数列与等比数列的前项和公式求解即可. 【详解】等比数列中，，， 整理得，解得或.   当时，通项公式， ，且， 因为，所以， 当时，通项公式， ，且， 因为，所以. 9．（25-26高三下·山西朔州·三模）已知等差数列的前n项和为，且.求数列的通项公式. 【答案】 【分析】根据等差数列的通项公式和前项和公式列方程求解出公差和首项，再将其代入通项公式求值即可. 【详解】已知为等差数列，设公差为， 由得， 即，解得， 所以. 10．（25-26高三下·山西朔州·期中）已知等差数列满足，求. 【答案】 【分析】根据等差数列的性质求出的值，再由等差数列的前项和公式求值即可. 【详解】已知等差数列满足， 因为， 所以，得， 所以. 11.（2023·山西·真题T09） 各项均为正数等比数列中，公比，则（ ） A. 1 B. 2 C. 3 D. 4 【答案】D 【解析】 【分析】根据等比中项求解，再由等比数列的通项公式求解即可. 【详解】因为，所以，又因为各项均为正数， 故，所以. 故选：D. 12.（2023·山西·真题T23）设为等差数列的前项和，若，求和. 【答案】， 【解析】 【分析】根据等差数列的通项公式和前项和公式列式求解即可. 【详解】解：， ， ， . 13.（2022·山西·真题T19）已知等比数列满足，求数列的通项公式． 【答案】 【解析】 【分析】根据等比数列的性质求解通项公式即可. 【详解】∵， ∴，解得， ∴，解得， ∴． 【拓展提升】 1．（24-25高二上·山西忻州·期末）在等比数列中，，则等于（    ）． A．243 B． C．729 D． 【答案】D 【分析】由等比数列中任意两项的关系求解即可. 【详解】在等比数列中，. 故选：D. 2．（20-21高二上·山西晋中·期末）等比数列， ，，，的公比为 （    ） A．2 B． C． D． 【答案】C 【分析】根据等比数列的定义求公比即可. 【详解】已知等比数列， ，，，， 则公比， 故选：C. 3．（21-22高一上·山西晋中·期中）数列的前4项为，则数列的通项公式可能为（    ） A． B． C． D． 【答案】A 【分析】观察数列前4项的特点：依次为，由此可得答案. 【详解】观察数列前4项的特点：依次为， 所以数列的通项公式为. 故选：A. 4．等比数列中，，则（    ） A．12 B．15 C．30 D．40 【答案】D 【分析】根据等比数列的定义求出公比，结合等比数列的通项公式即可得解. 【详解】等比数列中，， 则公比， 则， 故选：. 5．（24-25高三上·山西吕梁·期末）等比数列中，，则（   ） A．2 B．16 C．32 D．8 【答案】C 【分析】根据题意求出等比数列的公比，结合等比数列的通项公式即可得解. 【详解】等比数列中，， 则公比， 则， 故选：. 6．在等比数列中，，，则为（    ） A． B． C． D． 【答案】C 【分析】根据等比数列通项公式即可求解． 【详解】∵在等比数列中，，， ∴， ∴， 故选：C． 7．（24-25高三下·山西·三模）在各项均为正数的等比数列中，若，则其公比（    ）． A．9 B． C． D．3 【答案】D 【分析】根据题意结合等比数列的通项公式即可得解. 【详解】等比数列中，若 因为，即，解得， 又各项均为正数，所以公比． 故选：. 8．（24-25高三下·山西·二模）在等差数列中，若，，则（   ） A．24 B．48 C．60 D．72 【答案】B 【分析】利用等差数列的通项公式以及前n项和公式，即可求解. 【详解】由题意知在等差数列中，，， 所以，化简得， 解得，， 所以. 故选：B. 9．（22-23高三·山西长治·模拟预测）在等差数列中，若，则（    ） A． B． C． D． 【答案】D 【分析】根据等差数列的性质及前项和公式求解. 【详解】因为等差数列中，， 因为，所以， 即，所以， 故选：D. 10．（24-25高三下·山西·三模）已知各项均为正数的等比数列中，，则数列的前项的和（   ） A．63 B．84 C．105 D．147 【答案】D 【分析】设等比数列的公比为，根据等比数列的通项公式结合题干条件列出方程，求出公比和首项，从而利用等比数列的前n项和公式求出答案. 【详解】设等比数列的公比为， 因为， 则，即， 又因为各项均为正数的等比数列，所以， 将代入为，解得， 所以数列的前项的和. 故选：D. 11．（25-26高三上·山西·期末）在等比数列中，前n项和为，已知，则（    ） A．16 B．14 C．26 D．12 【答案】C 【分析】由等比数的性质可知，成等比数列，据此可求解. 【详解】由题可知，成等比数列， 所以， 由代入，可得， 解得. 故选：C 12．已知等比数列中，，，则公比 ______. 【答案】2 【分析】根据等比数列的通项公式求解即可. 【详解】因为等比数列中，，， 所以. 故答案为：2. 13．（24-25高三上·山西吕梁·期末）与的等差中项为____________． 【答案】 【分析】根据等差中项的定义求解. 【详解】与的等差中项为. 故答案为：. 14．（24-25高三下·山西·三模）在等差数列中，则______． 【答案】6 【分析】根据等差数列的前项和公式结合等差数列的性质即可解答. 【详解】在等差数列中，， 所以，解得， 故答案为：. 15．（24-25高二上·山西晋中·期末）记等差数列的前项和为，若，，则______． 【答案】 【分析】根据题意，结合等差数列的性质，先求出公差，继而求得首项，结合等差数列的通项公式，即可求解. 【详解】因为等差数列的前项和为，且，， 所以， 即，解得， 又，得到， 因此. 故答案为：. 16．（24-25高二上·山西忻州·期末）在等差数列中，已知，则________ 【答案】 【分析】根据等差数列下标和性质以及前项和公式求解即可. 【详解】等差数列中， 所以. 故答案为：. 17．已知等差数列的前项和为，若，则______. 【答案】72 【分析】根据等差数列的性质及前项和公式求解. 【详解】若，则， 则. 故答案为：72. 18．（22-23高三·山西长治·模拟预测）在等差数列中，，，则____________. 【答案】 【分析】根据题意，结合等差数列的性质，结合等差数列的前n项和公式，即可求解. 【详解】因为等差数列中，， 又， 所以，所以， 所以，解得. 故答案为：10. 19．已知数列是等比数列，，，成等差数列，则数列的公比q=__________. 【答案】2或4 【分析】根据等差中项性质以及等比数列的通项公式求解即可. 【详解】因为，，成等差数列，所以， 即，所以，解得或4. 故答案为：2或4. 20．等差数列满足，，求数列首项和公差. 【答案】首项，公差. 【分析】根据等差数列的通项公式与前n项和公式求解即可. 【详解】由等差数列的求和公式，即， 即， 又，即， 联立，解得， 所以数列数列首项，公差. 21．（24-25高三下·山西·三模）已知为等差数列的前n项和，，求. 【答案】 【分析】利用等差数列的通项公式和前n项和公式求解即可. 【详解】解法一：设等差数列的公差为d， 由题知， 解得，          所以， .     解法二：因为，     ，得，             所以，                  ，                     所以. 22．设二次函数，若，，成等比数列，求的值. 【答案】或 【分析】首先分别将，，代入解析式中，表示出，，，再由等比中项的定义列方程求解即可. 【详解】已知二次函数， 则，， ， 由，，成等比数列， 得成等比数列， 即，整理得， 解得， 当时，，，， 即成等比数列，符合题意， 当时，，，， 即成等比数列，符合题意， 所以或. 23．已知等差数列中，，，求的值. 【答案】 【分析】根据等差数列的通项公式和前项和公式列方程求出公差和首项，再由等差数列的通项公式求值即可. 【详解】已知等差数列中，，， 设公差为，首项为， 则，即， 解得， 所以， 则， 所以. 24．已知等比数列中，，. (1)求通项； (2)若，试求数列的前n项和. 【答案】(1) (2) 【分析】（1）利用等比数列通项公式，即可求解. （2）利用等差数列的求和公式，即可求解. 【详解】（1）设等比数列首项为公比为q， 由题意知，， 所以， 解得：， 所以. （2）由（1）知， 所以， 则. 综上所述，数列的前n项和为. 25．（23-24高二下·山西朔州·阶段检测）已知是一个等差数列，且. (1)求的通项； (2)求的前15项和. 【答案】(1) (2) 【分析】（1）由等差数列的定义和通项公式即可得解； （2）由等差数列的前n项和公式即可得解. 【详解】（1）因为是一个等差数列，设公差为， 由题意，得， ∴，， ∴. （2）. 26．在等差数列中，前项和为，且满足，. (1)求； (2)若数列满足，求的前项和. 【答案】(1) (2) 【分析】（1）利用等差数列前项和公式及通项公式可求； （2）证明数列为等比数列，再利用等比数列前项和公式可求. 【详解】（1）设等差数列首项为，公差为，，， 则，，解得，， 所以； （2）由（1）知， 则，，， 则，，， 所以数列为首项为，公比为的等比数列； 则的前项和. 27．已知数列的前项和为，满足． (1)求，； (2)求数列的通项公式； (3)设，求数列的前项和． 【答案】(1)， (2) (3) 【分析】（1）由，分别令即可求出，； （2）由化简，得出数列是等比数列，再由等比数列通项公式求解即可； （3）利用分组求和，分别用等比数列和等差数列求和公式求解即可. 【详解】（1）数列的前项和为，满足， ， ． ， ． （2）当时，，联立， 得，．又， 数列是首项，公比为的等比数列， ． （3）由题意得，， ． 28．（25-26高三上·山西朔州·期末）在等差数列中，，公差.求数列的前n项和. 【答案】. 【分析】根据题意结合等差数列的通项公式求出首项，代入求和公式即可得解. 【详解】等差数列中，，公差， ，解得， 则. 原创精品资源学科网独家享有版权，侵权必究！ 学科网（北京）股份有限公司 学科网（北京）股份有限公司 学科网（北京）股份有限公司 $ 编写说明：2027版山西省对口升学《数学真题同源卷》专辑，立足山西省对口升学数学真题深度研究，严格对标考纲要求、深挖核心考点。每份试卷聚焦一个专题，精选近三年高考真题，按“概念回顾+真题精讲+举一反三+拓展提升”的逻辑体系编写，每个专题配套两份试卷，分别为教师讲解卷与学生练习卷，且均配备PPT课件，方便教师开展课堂教学。助力师生夯实核心能力、贯通解题思路，达成精准对接考点、高效突破备考难点的目标。 2027版山西省对口升学《数学真题同源卷》 第9卷 数列 （教师讲解卷） 【概念回顾】 1.等差数列： 一般地，如果一个数列从第二项起，每一项与它前一项的差都等于同一个常数时，就称这个数列为等差数列，这个常数称为等差数列的公差，通常用字母d来表示． 2.等差数列必考公式： 定义 通项公式 推广公式 等差中项 等差中项推广公式 前n项和公式 3.等比数列 一般地，如果一个数列从第二项起，每一项与它前一项的比都等于同一个非零常数时，就称这个数列为等比数列，这个常数称为等比数列的公比，通常用字母q来表示． 4.等比数列必考公式： 定义 通项公式 推广公式 等比中项 等比中项推广 前n项和公式 【真题精讲】 考点01 数列的概念及性质 1．（2026·山西·真题T06）设为等差数列前项和，已知，，则的值为（ ） A. 10 B. 14 C. 64 D. 3 2．（2025·山西·真题T02）在等比数列中，，，则为（ ） A. B. C. D. 3.（2024·山西·真题T02）等比数列中，，则（ ） A. 12 B. 9 C. 16 D. 24 考点02 数列的综合应用 1．（2026·山西·真题T21）在等差数列中，，，求的最小值以及相对应的值. 2．（2025·山西·真题T22）等差数列满足，，求数列首项和公差. 3.（2024·山西·真题T20）设等差数列满足，求该数列第10项． 【举一反三】 1．在等差数列中，，公差，则（    ） A．7 B．8 C．9 D．10 2．（25-26高三下·山西朔州·期中）已知等差数列中，，则公差（    ） A．2 B．3 C．4 D．5 3．设为等差数列前项和，已知，，则的值为（     ） A．9 B．11 C．12 D．5 4．（25-26高三下·山西朔州·三模）已知等差数列的前n项和为，若，则=（   ） A．45 B．50 C．90 D．100 5．（25-26高二下·山西朔州·期末）已知等比数列中，，公比，则________. 6．（25-26高三下·山西朔州·三模）已知等比数列的前n项和为，若，则______. 7．（25-26高二下·山西朔州·期末）在等差数列中，已知，，求公差和首项. 8．（25-26高二下·山西朔州·期末）已知等比数列的前项和为，，且，求公比和数列的通项公式，若，求数列的前项和. 9．（25-26高三下·山西朔州·三模）已知等差数列的前n项和为，且.求数列的通项公式. 10．（25-26高三下·山西朔州·期中）已知等差数列满足，求. 11.（2023·山西·真题T09） 各项均为正数等比数列中，公比，则（ ） A. 1 B. 2 C. 3 D. 4 12.（2023·山西·真题T23）设为等差数列的前项和，若，求和. 13. （2022·山西·真题T19）已知等比数列满足，求数列的通项公式． 【拓展提升】 1．（24-25高二上·山西忻州·期末）在等比数列中，，则等于（    ）． A．243 B． C．729 D． 2．（20-21高二上·山西晋中·期末）等比数列， ，，，的公比为 （    ） A．2 B． C． D． 3．（21-22高一上·山西晋中·期中）数列的前4项为，则数列的通项公式可能为（    ） A． B． C． D． 4．等比数列中，，则（    ） A．12 B．15 C．30 D．40 5．（24-25高三上·山西吕梁·期末）等比数列中，，则（   ） A．2 B．16 C．32 D．8 6．在等比数列中，，，则为（    ） A． B． C． D． 7．（24-25高三下·山西·三模）在各项均为正数的等比数列中，若，则其公比（    ）． A．9 B． C． D．3 8．（24-25高三下·山西·二模）在等差数列中，若，，则（   ） A．24 B．48 C．60 D．72 9．（22-23高三·山西长治·模拟预测）在等差数列中，若，则（    ） A． B． C． D． 10．（24-25高三下·山西·三模）已知各项均为正数的等比数列中，，则数列的前项的和（   ） A．63 B．84 C．105 D．147 11．（25-26高三上·山西·期末）在等比数列中，前n项和为，已知，则（    ） A．16 B．14 C．26 D．12 12．已知等比数列中，，，则公比 ______. 13．（24-25高三上·山西吕梁·期末）与的等差中项为____________． 14．（24-25高三下·山西·三模）在等差数列中，则______． 15．（24-25高二上·山西晋中·期末）记等差数列的前项和为，若，，则______． 16．（24-25高二上·山西忻州·期末）在等差数列中，已知，则________ 17．已知等差数列的前项和为，若，则______. 18．（22-23高三·山西长治·模拟预测）在等差数列中，，，则____________. 19．已知数列是等比数列，，，成等差数列，则数列的公比q=__________. 20．等差数列满足，，求数列首项和公差. 21．（24-25高三下·山西·三模）已知为等差数列的前n项和，，求. 22．设二次函数，若，，成等比数列，求的值. 23．已知等差数列中，，，求的值. 24．已知等比数列中，，. (1)求通项； (2)若，试求数列的前n项和. 25．（23-24高二下·山西朔州·阶段检测）已知是一个等差数列，且. (1)求的通项； (2)求的前15项和. 26．在等差数列中，前项和为，且满足，. (1)求； (2)若数列满足，求的前项和. 27．已知数列的前项和为，满足． (1)求，； (2)求数列的通项公式； (3)设，求数列的前项和． 28．（25-26高三上·山西朔州·期末）在等差数列中，，公差.求数列的前n项和. 原创精品资源学科网独家享有版权，侵权必究！ 学科网（北京）股份有限公司 学科网（北京）股份有限公司 学科网（北京）股份有限公司 $