第8卷 解三角形（教师讲解卷）2027版山西省（对口升学）《数学真题同源卷》(原卷版+解析版)

**基本信息** 2027版山西省对口升学数学解三角形专项，以“概念回顾+真题精讲+举一反三+拓展提升”为逻辑体系，系统整合正弦定理、余弦定理及面积公式，提炼边化角/角化边等核心方法，构建从基础概念到综合应用的完整知识链。 **专项设计** |模块|题量/典例|方法提炼|知识逻辑| |----|-----------|----------|----------| |概念回顾|正弦定理/余弦定理等核心概念|正弦定理边化角/角化边变形，余弦定理适用范围分类，面积公式应用|从定理公式（概念生成）到适用场景（原理推导），建立方法基础| |真题精讲|2道山西近三年真题|定理直接应用于求角、求边，展示规范解题步骤|以真题为载体，呈现考点应用逻辑| |举一反三|13道变式题|针对不同已知条件（两边夹角/三边/两角一边）的解法迁移|强化题型与方法的对应关系，深化应用逻辑| |拓展提升|16道综合题|多解问题分析，三角形形状判断，面积与定理综合应用|拓展知识边界，构建从基础到综合的逻辑链条|

编写说明：2027版山西省对口升学《数学真题同源卷》专辑，立足山西省对口升学数学真题深度研究，严格对标考纲要求、深挖核心考点。每份试卷聚焦一个专题，精选近三年高考真题，按“概念回顾+真题精讲+举一反三+拓展提升”的逻辑体系编写，每个专题配套两份试卷，分别为教师讲解卷与学生练习卷，且均配备PPT课件，方便教师开展课堂教学。助力师生夯实核心能力、贯通解题思路，达成精准对接考点、高效突破备考难点的目标。 2027版山西省对口升学《数学真题同源卷》 第8卷 解三角形 （教师讲解卷） 【概念回顾】 1.正弦定理： ＝＝＝2R.(R为△ABC外接圆半径) 2.适用范围： (1)已知两角和任一边，求其他两边和一角； (2)已知两边和其中一边的对角，求另一边和其他两角 3.变形形式： (1)a＝2Rsin A，b＝2Rsin B，c＝2Rsin C；（边化角） (2)a∶b∶c＝sin A∶sin B∶sin C； (3)sin A＝，sin B＝，sin C＝（角化边） 4．三角形常用面积公式 (1) S＝a·h(h表示底边上的高)； (2) S＝a b sin C＝a c sin B＝b c sin A．（三角形的面积等于它的任意两边及其夹角的正弦乘积的一半）； (3)S＝r(a＋b＋c)(r为△ABC内切圆半径)． 5．常用公式： A＋B＋C＝π，则A＝π－(B＋C)， sin A＝sin(B＋C)；cos A＝－cos(B＋C)；tan A＝－tan(B＋C) 6.余弦定理： a＝b＋c－2bc·cos A； cos A＝； b＝c＋a－2ca·cos B； cos B＝； c＝a＋b－2ab·cos C； cos C＝ 7.适用范围： (1)已知三边，求三个角； (2)已知两边和它们的夹角，求第三边和其他两角 【真题精讲】 考点01 解三角形 1.（2026·山西·真题T22）在中，角的对边分别为，已知． （1）求角C的大小； （2）求的值． 2．（2024·山西·真题T24）在中，，，所对的边分别为，，，已知，，，求． 【举一反三】 1．（25-26高二下·山西朔州·期末）在中，，，，则________. 2．（23-24高三下·山西·二模）在中，已知，，，则______． 3．（23-24高三下·山西朔州·模拟预测）在中，，则___________. 4．（23-24高三·山西·一模）在中，已知，则__________. 5．（23-24高三下·山西·对口/高职单招）在中，所对的边分别为，已知求. 6．（22-23高三下·山西晋中·阶段检测）在中，已知，，，求. 7．（23-24高三下·山西·二模）在中，已知，且的面积为，求边． 8．（25-26高三下·山西朔州·三模）已知的内角的对边分别为，且满足.求角B的大小. 9．（24-25高三下·山西·二模）的内角A，B，C的对边分别为a，b，c，已知，． (1)求B； (2)若的面积为，且，求c的值． 10．（23-24高三·山西·一模）在中，，求边的长及的面积. 11.（2023·山西·真题T15）中，已知，则__________. 12.（2023·山西·真题T24）在中，的对边分别是，且， （1）求锐角的大小； （2）若且，求三角形的周长. 13.（2022·山西·真题T14）中，对应边a，b，c，其中，则_________． 【拓展提升】 1．已知满足，则角C的度数为（    ） A． B． C． D． 2．在中，，则（　　） A． B． C． D． 3．（23-24高一下·山西晋中·期中）已知中，，，，则等于（   ） A．76 B． C．27 D． 4．在中，已知，，，则（   ） A． B． C． D．1 5．（23-24高三下·山西·对口/高职单招）在△ABC中，所对的边分别为，若则（    ） A．4 B． C．2 D． 6．（24-25高三上·山西吕梁·期末）在中，已知，则（   ） A． B． C． D．2 7．（24-25高三下·山西·三模）在中，，则（    ）． A．或 B． C． D．或 8．（24-25高三下·山西·二模）在中，已知，，则（   ） A． B． C． D． 9．（22-23高三下·山西晋中·阶段检测）在中，若，则（   ） A．或 B．或 C．或 D．或 10．若三角形三条边满足 ，则三角形的形状是（    ） A．直角三角形 B．锐角三角形 C．钝角三角形 D．等腰三角形 11．（24-25高三下·山西·三模）钝角的面积为，，则（   ） A．1 B．2 C． D．5 12．（24-25高三上·山西·一模）在中，，则边（    ） A． B． C． D． 13．（24-25高二上·山西忻州·期中）在中，，则为（   ） A． B．或 C． D．或 14．（23-24高二下·山西晋中·期中）在三角形中，，则三角形ABC的面积为（    ） A． B． C． D．10 15．（25-26高二下·山西朔州·期末）在中，若，，，则等于（   ） A． B．或 C． D． 16．在中，，，，则的面积等于（   ） A． B． C． D． 原创精品资源学科网独家享有版权，侵权必究！ 学科网（北京）股份有限公司 学科网（北京）股份有限公司 学科网（北京）股份有限公司 $ 编写说明：2027版山西省对口升学《数学真题同源卷》专辑，立足山西省对口升学数学真题深度研究，严格对标考纲要求、深挖核心考点。每份试卷聚焦一个专题，精选近三年高考真题，按“概念回顾+真题精讲+举一反三+拓展提升”的逻辑体系编写，每个专题配套两份试卷，分别为教师讲解卷与学生练习卷，且均配备PPT课件，方便教师开展课堂教学。助力师生夯实核心能力、贯通解题思路，达成精准对接考点、高效突破备考难点的目标。 2027版山西省对口升学《数学真题同源卷》 第8卷 解三角形 （教师讲解卷） 【概念回顾】 1.正弦定理： ＝＝＝2R.(R为△ABC外接圆半径) 2.适用范围： (1)已知两角和任一边，求其他两边和一角； (2)已知两边和其中一边的对角，求另一边和其他两角 3.变形形式： (1)a＝2Rsin A，b＝2Rsin B，c＝2Rsin C；（边化角） (2)a∶b∶c＝sin A∶sin B∶sin C； (3)sin A＝，sin B＝，sin C＝（角化边） 4．三角形常用面积公式 (1) S＝a·h(h表示底边上的高)； (2) S＝a b sin C＝a c sin B＝b c sin A．（三角形的面积等于它的任意两边及其夹角的正弦乘积的一半）； (3)S＝r(a＋b＋c)(r为△ABC内切圆半径)． 5．常用公式： A＋B＋C＝π，则A＝π－(B＋C)， sin A＝sin(B＋C)；cos A＝－cos(B＋C)；tan A＝－tan(B＋C) 6.余弦定理： a＝b＋c－2bc·cos A； cos A＝； b＝c＋a－2ca·cos B； cos B＝； c＝a＋b－2ab·cos C； cos C＝ 7.适用范围： (1)已知三边，求三个角； (2)已知两边和它们的夹角，求第三边和其他两角 【真题精讲】 考点01 解三角形 1.（2026·山西·真题T22）在中，角的对边分别为，已知． （1）求角C的大小； （2）求的值． 【答案】（1） （2） 【解析】 【分析】（1）利用余弦定理计算即可. （2）利用正弦定理结合（1）的结论求出即可. 【小问1详解】 ， ， 又，所以. 【小问2详解】 由（1）可知，，且， ， ， ， . 2．（2024·山西·真题T24）在中，，，所对的边分别为，，，已知，，，求． 【答案】26 【解析】 【分析】根据同角三角函数关系求出，，再利用正弦的和角公式求出，最后利用正弦定理即可求出a． 【详解】∵，∴， ∵在中，∴； 同理，∵，∴， ∵在中，； ∴ ， ∴在中，由正弦定理得， 即． 【举一反三】 1．（25-26高二下·山西朔州·期末）在中，，，，则________. 【答案】 【分析】根据余弦定理即可求解. 【详解】在中，，，， 则. 故答案为：. 2．（23-24高三下·山西·二模）在中，已知，，，则______． 【答案】 【分析】由正弦定理即可求出. 【详解】在中，，，， 由正弦定理得，解得 因为，所以或， 又因为，需舍去，所以. 故答案为：. 3．（23-24高三下·山西朔州·模拟预测）在中，，则___________. 【答案】 【分析】根据正弦定理即可求解. 【详解】中，∵， ∴由正弦定理得，，则. 故答案为：. 4．（23-24高三·山西·一模）在中，已知，则__________. 【答案】 【分析】利用余弦定理求解即可. 【详解】已知，即， 由余弦定理得， 在中，，所以. 故答案为：. 5．（23-24高三下·山西·对口/高职单招）在中，所对的边分别为，已知求. 【答案】 【分析】根据题意结合正弦定理求出的值即可得解. 【详解】由正弦定理得，，所以， 又 ∴， 即，又， ∴或， 因为，则不成立， ∴. 6．（22-23高三下·山西晋中·阶段检测）在中，已知，，，求. 【答案】 【分析】根据正弦定理求值即可. 【详解】在中，已知，，， 则由正弦定理得， ，解得， 因为，所以或， 若，则，不合题意舍去， 所以. 7．（23-24高三下·山西·二模）在中，已知，且的面积为，求边． 【答案】 【分析】根据三角形的面积公式求，再由余弦定理求值即可. 【详解】已知，且的面积为， 根据三角形的面积公式可知， 即，解得， 根据余弦定理可知 ，即． 8．（25-26高三下·山西朔州·三模）已知的内角的对边分别为，且满足.求角B的大小. 【答案】 【分析】根据两角和的正弦公式、正弦定理以及诱导公式化解，再根据三角形的性质即可求解. 【详解】在中，由得，， 即， 则， 又， 所以， 显然，解得， 又，所以角. 9．（24-25高三下·山西·二模）的内角A，B，C的对边分别为a，b，c，已知，． (1)求B； (2)若的面积为，且，求c的值． 【答案】(1) (2) 【分析】（1）利用余弦定理，即可求解. （2）利用正弦定理求面积公式，即可求解. 【详解】（1）由题意知， 所以由余弦定理得， 因为，所以， 又因为， 所以， 因为，所以. （2）由题意知的面积为， 所以由正弦定理得， 将和代入上式，得，解得. 10．（23-24高三·山西·一模）在中，，求边的长及的面积. 【答案】， 【分析】先由正弦定理即可求解边c，再由两角和的正弦公式求解，再由三角形面积公式即可求解面积. 【详解】因为在中，， 由正弦定理，得， 即， 因为， 所以 ， 所以. 11.（2023·山西·真题T15）中，已知，则__________. 【答案】 【解析】 【分析】由正弦定理求解即可. 【详解】因为， 所以由正弦定理，，即， 解得：. 故答案为：. 12.（2023·山西·真题T24）在中，的对边分别是，且， （1）求锐角的大小； （2）若且，求三角形的周长. 【答案】（1） （2） 【解析】 【分析】（1）由正弦定理得边角互化求解角的大小即可. （2）由余弦定理求解a，b的值进而求解周长即可. 【小问1详解】 因为， 所以由正弦定理得：， 解得， 又因为在中，为锐角， 所以. 【小问2详解】 由余弦定理， ， ， 解得或（舍）， 三角形的周长为：. 13.（2022·山西·真题T14）中，对应边a，b，c，其中，则_________． 【答案】 【解析】 【分析】由正弦定理即可得解. 【详解】在中，， 由正弦定理，得， 即， 又，所以. 故答案为：. 【拓展提升】 一、单选题 1．已知满足，则角C的度数为（    ） A． B． C． D． 【答案】C 【分析】逆用余弦定理，即可求解. 【详解】由题意知，在中， 所以，又， 所以角C的度数为. 故选：C. 2．在中，，则（　　） A． B． C． D． 【答案】D 【分析】利用三角形面积公式可求. 【详解】由题可知； 故选：D. 3．（23-24高一下·山西晋中·期中）已知中，，，，则等于（   ） A．76 B． C．27 D． 【答案】B 【分析】根据余弦定理，即可求解. 【详解】由余弦定理，得， 所以. 故选：B. 4．在中，已知，，，则（   ） A． B． C． D．1 【答案】C 【分析】根据正弦定理即可求得. 【详解】在中，因为，，， 由正弦定理可得. 故选：C. 5．（23-24高三下·山西·对口/高职单招）在△ABC中，所对的边分别为，若则（    ） A．4 B． C．2 D． 【答案】B 【分析】根据余弦定理求解即可. 【详解】因为，所以. 因为，所以. 故选：B. 6．（24-25高三上·山西吕梁·期末）在中，已知，则（   ） A． B． C． D．2 【答案】A 【分析】根据题意结合正弦定理即可得解. 【详解】在中，已知， 由正弦定理可知， 故选：. 7．（24-25高三下·山西·三模）在中，，则（    ）． A．或 B． C． D．或 【答案】B 【分析】根据题意结合正弦定理求出的值即可得解. 【详解】在中，， 由正弦定理，得， 因为，所以或， 因为，所以，故． 故选：. 8．（24-25高三下·山西·二模）在中，已知，，则（   ） A． B． C． D． 【答案】D 【分析】利用正弦定理以及三角形内角和，即可求解. 【详解】由题意知在中，，，， 所以由正弦定理得，即， 解得， 因为，所以， 所以， 所以. 故选：D. 9．（22-23高三下·山西晋中·阶段检测）在中，若，则（   ） A．或 B．或 C．或 D．或 【答案】D 【分析】根据正弦定理进行边角互化即可得解. 【详解】在中，若， 由正弦定理得， 因为，所以≠， 所以，即， 因为，所以或， 故选：D. 10．若三角形三条边满足 ，则三角形的形状是（    ） A．直角三角形 B．锐角三角形 C．钝角三角形 D．等腰三角形 【答案】C 【分析】由题意得，设，根据余弦定理求出的值即可判断. 【详解】三角形三条边满足 ， 可得，角为最大角， 设， 所以， 所以角为钝角，且， 所以三角形的形状是钝角三角形. 故选：C. 11．（24-25高三下·山西·三模）钝角的面积为，，则（   ） A．1 B．2 C． D．5 【答案】C 【分析】由已知；利用三角形的面积公式求出的值，利用同角三角函数的基本关系可求得，进而根据余弦定理即可求解. 【详解】 因为钝角的面积为，， 所以， 解得， 当为钝角时，， 利用余弦定理得，即， 此时，符合题意； 当为锐角时，， 利用余弦定理得，即， 此时，即为直角三角形，不符合题意，舍去； 综上所述，. 故选：C. 12．（24-25高三上·山西·一模）在中，，则边（    ） A． B． C． D． 【答案】A 【分析】根据正弦定理求值即可. 【详解】在中，， 则有， 由正弦定理， 得，即， 解得， 故选：A. 13．（24-25高二上·山西忻州·期中）在中，，则为（   ） A． B．或 C． D．或 【答案】C 【分析】根据正弦定理求出的值即可得解. 【详解】在中，， 根据正弦定理可知，解得， 因为为的内角，所以或， 又因为，所以， 所以， 故选：. 14．（23-24高二下·山西晋中·期中）在三角形中，，则三角形ABC的面积为（    ） A． B． C． D．10 【答案】A 【分析】根据三角形的面积公式即可求解. 【详解】因为在三角形中，， 所以. 故选：A. 15．（25-26高二下·山西朔州·期末）在中，若，，，则等于（   ） A． B．或 C． D． 【答案】B 【分析】先根据正弦定理求出的值，再结合大边对大角以及三角形内角的范围确定的值. 【详解】已知，，，将其代入正弦定理中， 可得，即，解得， 因为，根据大边对大角可知， 又因为，则， 所以或. 故选：B. 16．在中，，，，则的面积等于（   ） A． B． C． D． 【答案】B 【分析】先利用正弦定理、余弦定理求出边，再利用三角形的面积公式求解即可. 【详解】在中，，，， 由正弦定理，得， 由余弦定理，得 ，解得，故， 所以的面积为. 故选：B. 原创精品资源学科网独家享有版权，侵权必究！ 学科网（北京）股份有限公司 学科网（北京）股份有限公司 学科网（北京）股份有限公司 $