第7卷 三角函数的图像性质及恒等变换（教师讲解卷）2027版山西省（对口升学）《数学真题同源卷》(原卷版+解析版)

**基本信息** 聚焦三角函数图像性质与恒等变换，以“概念回顾-真题精讲-举一反三-拓展提升”为逻辑链，系统整合知识与方法，适配中职复习需求。 **专项设计** |模块|题量/典例|方法提炼|知识逻辑| |----|-----------|----------|----------| |概念回顾|10个核心知识点|图像变换（平移伸缩两步法）、辅助角公式转化|从正弦/余弦函数基础性质到复合函数、恒等变换公式，构建“基础-复合-应用”递进链条| |真题精讲|4道近3年山西真题|公式逆用、性质综合应用技巧|精选真题覆盖周期、求值等高频考点，示范解题逻辑| |举一反三|11题|题型变式训练|承接真题考点，强化基础应用能力| |拓展提升|22题|综合变换与多公式联用|深化知识迁移，提升复杂问题解决能力|

编写说明：2027版山西省对口升学《数学真题同源卷》专辑，立足山西省对口升学数学真题深度研究，严格对标考纲要求、深挖核心考点。每份试卷聚焦一个专题，精选近三年高考真题，按“概念回顾+真题精讲+举一反三+拓展提升”的逻辑体系编写，每个专题配套两份试卷，分别为教师讲解卷与学生练习卷，且均配备PPT课件，方便教师开展课堂教学。助力师生夯实核心能力、贯通解题思路，达成精准对接考点、高效突破备考难点的目标。 2027版山西省对口升学《数学真题同源卷》 第7卷 三角函数的图像性质及恒等变换 （教师讲解卷） 【概念回顾】 1.正弦函数图像 2.正弦函数的性质 （1）定义域R （2）值域 （3）当时，取最大值1 （4）当时，取最小值-1， （5）函数周期为，最小正周期为 （6）函数是奇函数，关于原点对称 （7）函数在区间上单调递增 （8）函数在区间上单调递减 3.正弦型函数 (1)最大值是，最小值是 (2)最小正周期为 (3)是奇函数 4.余弦曲线 5.余弦函数的性质 （1）定义域R （2）值域 （3）当时，取最大值1 （4）当时，取最小值-1 （5）函数周期为，最小正周期为 （6）函数是偶函数，关于y轴对称 （7）函数在区间上单调递增 （8）函数在区间上单调递减 6.余弦型函数 (1)最大值是，最小值是 (2)最小正周期为 (3)是偶函数 7两角和与差的余弦、正弦、正切公式 8.二倍角公式 . 9.函数图像变换（） （1）先平移后伸缩 的图像的图像 的图像  的图像。 （2）先伸缩后平移 的图像 的图像  的图像 的图像。 10.辅助角公式 函数可转化为，其中，. 【真题精讲】 考点01 三角函数的图像性质及恒等变换 1.（2026·山西·真题T13）已知，且，则______． 2．（2025·山西·真题T18）已知，，则___________． 3.（2025·山西·真题T12）函数的最小正周期___________. 4.（2024·山西·真题T19）已知，求. 【举一反三】 1．（25-26高二下·山西朔州·期末）函数的最小正周期是（   ） A． B． C． D． 2．（25-26高一下·山西朔州·期末）已知，，则（   ） A． B． C． D． 3．（25-26高二下·山西朔州·期末）若，则等于（   ） A． B． C． D． 4．（25-26高二下·山西朔州·期末）已知，求的值. 5．（25-26高一下·山西朔州·期末）已知，求的值. 6．（25-26高三下·山西朔州·三模）已知函数.求的最小正周期. 7．（25-26高一下·山西朔州·期末）已知，则______． 8．已知，且，则______． 9．（25-26高二下·山西朔州·期末）已知，是锐角，则________. 10.（2023·山西·真题T17）函数的最小正周期为__________. 11.（2022·山西·真题T13）_________． 【拓展提升】 1．（25-26高一下·山西忻州·期中）函数，的最小正周期是（   ） A． B． C． D． 2．（25-26高二下·山西朔州·期中）下列式子中，恒成立的是（    ） A． B． C． D． 3．的值为（    ） A． B． C． D． 4．（24-25高三下·山西·三模）计算：（   ） A． B． C． D． 5．（25-26高二下·山西朔州·期中）若，为锐角，则的值为（    ） A． B． C． D． 6．（25-26高三下·山西朔州·期中）已知，则（    ） A． B． C． D． 7．（25-26高二下·山西朔州·期中）若，则的值为（    ） A． B． C． D． 8．函数的最大值是（   ）． A．1 B．2 C． D． 9．已知锐角满足，则（      ） A． B．或 C． D． 10．（24-25高三上·山西吕梁·期末）____________． 11.已知，，则___________． 12．（25-26高二下·山西朔州·期中）若，，则________. 13．（25-26高三下·山西朔州·期中）函数的最大值为 ______. 14．（25-26高二下·山西朔州·期中）若，则=________. 15．函数的最小正周期___________. 16．已知，求. 17．（24-25高三上·山西吕梁·期末）已知，求． 18．已知函数． (1)将化为正弦型函数形式并求最小正周期 (2)写出函数的单调增区间 19．已知为锐角，且. (1)求的值； (2)求的值. 20．（25-26高二下·山西朔州·期中）已知，求和的值. 21．（25-26高二下·山西朔州·期中）已知，求和的值. 22．已知，，且，. (1)求，的值； (2)求的值. 原创精品资源学科网独家享有版权，侵权必究！ 学科网（北京）股份有限公司 学科网（北京）股份有限公司 学科网（北京）股份有限公司 $ 编写说明：2027版山西省对口升学《数学真题同源卷》专辑，立足山西省对口升学数学真题深度研究，严格对标考纲要求、深挖核心考点。每份试卷聚焦一个专题，精选近三年高考真题，按“概念回顾+真题精讲+举一反三+拓展提升”的逻辑体系编写，每个专题配套两份试卷，分别为教师讲解卷与学生练习卷，且均配备PPT课件，方便教师开展课堂教学。助力师生夯实核心能力、贯通解题思路，达成精准对接考点、高效突破备考难点的目标。 2027版山西省对口升学《数学真题同源卷》 第7卷 三角函数的图像性质及恒等变换 （教师讲解卷） 【概念回顾】 1.正弦函数图像 2.正弦函数的性质 （1）定义域R （2）值域 （3）当时，取最大值1 （4）当时，取最小值-1 （5）函数周期为，最小正周期为 （6）函数是奇函数，关于原点对称 （7）函数在区间上单调递增 （8）函数在区间上单调递减 3.正弦型函数 (1)最大值是，最小值是 (2)最小正周期为 (3)是奇函数 4.余弦曲线 5.余弦函数的性质 （1）定义域R （2）值域 （3）当时，取最大值1 （4）当时，取最小值-1， （5）函数周期为，最小正周期为 （6）函数是偶函数，关于y轴对称 （7）函数在区间上单调递增 （8）函数在区间上单调递减 6.余弦型函数 (1)最大值是，最小值是 (2)最小正周期为 (3)是偶函数 7两角和与差的余弦、正弦、正切公式 8.二倍角公式 . 9.函数图像变换（） （1）先平移后伸缩 的图像的图像 的图像  的图像。 （2）先伸缩后平移 的图像 的图像  的图像 的图像。 10.辅助角公式 函数可转化为，其中，. 【真题精讲】 考点01 三角函数的图像性质及恒等变换 1.（2026·山西·真题T13）已知，且，则______． 【答案】 【解析】 【分析】根据题意，结合同角三角函数的平方关系，及两角和的正弦公式，即可求解. 【详解】因为，且， 所以， 所以. 故答案为：. 2．（2025·山西·真题T18）已知，，则___________． 【答案】 【解析】 【分析】根据正切的和角公式即可计算． 【详解】∵，， ∴， 故答案为：． 3.（2025·山西·真题T12）函数的最小正周期___________. 【答案】 【解析】 【分析】利用辅助角公式将函数进行化简，再根据三角函数的周期公式即可求解. 【详解】因为函数， 所以函数的最小正周期为. 故答案为：. 4.（2024·山西·真题T19）已知，求. 【答案】 【解析】 【分析】根据两角和的正切公式即可得解. 【详解】， 则. 【举一反三】 1．（25-26高二下·山西朔州·期末）函数的最小正周期是（   ） A． B． C． D． 【答案】B 【分析】根据正弦函数的性质即可求解. 【详解】函数的最小正周期为. 故选：B. 2．（25-26高一下·山西朔州·期末）已知，，则（   ） A． B． C． D． 【答案】B 【分析】根据同角三角函数的平方关系求值即可. 【详解】已知，， 则， 故选：B. 3．（25-26高二下·山西朔州·期末）若，则等于（   ） A． B． C． D． 【答案】B 【分析】使用二倍角的余弦公式计算. 【详解】已知，则. 故选：B. 4．（25-26高二下·山西朔州·期末）已知，求的值. 【答案】1 【分析】根据同角三角函数的关系式及二倍角公式化简求值即可. 【详解】已知， 则. 5．（25-26高一下·山西朔州·期末）已知，求的值. 【答案】 【分析】根据诱导公式和同角三角函数的基本关系式求值即可. 【详解】由诱导公式得， 所以. 6．（25-26高三下·山西朔州·三模）已知函数.求的最小正周期. 【答案】 【分析】根据二倍角的正弦公式和余弦公式结合辅助角公式化简，再由正弦函数的周期公式求值即可. 【详解】已知函数 ， 其中，则最小正周期为. 7．（25-26高一下·山西朔州·期末）已知，则______． 【答案】 【分析】利用三角函数的基本关系，将原式转化为只含有的式子即可求解. 【详解】由，可知， 则. 故答案为：. 8．已知，且，则______． 【答案】 【分析】根据题意，结合同角三角函数的平方关系，及两角和的正弦公式，即可求解. 【详解】因为，且， 所以， 所以. 故答案为：. 9．（25-26高二下·山西朔州·期末）已知，是锐角，则________. 【答案】 【分析】先根据同角三角函数的平方关系求出的值，再利用两角和的正弦公式计算. 【详解】因为是锐角，所以， 已知，则， 所以， 故答案为：. 10.（2023·山西·真题T17）函数的最小正周期为__________. 【答案】 【解析】 【分析】利用二倍角的余弦公式把函数的解析式化为，从而求得它的最小正周期． 【详解】∵函数， ∴函数的最小正周期为. 故答案为：． 11.（2022·山西·真题T13）_________． 【答案】 【解析】 【分析】将转化为，然后利用两角和的余弦公式求解即可. 详解】， ， ， . 故答案为：. 【拓展提升】 一、单选题 1．（25-26高一下·山西忻州·期中）函数，的最小正周期是（   ） A． B． C． D． 【答案】C 【分析】根据正弦函数的周期公式求值即可. 【详解】已知函数中，， 所以该函数的最小正周期为， 故选：C. 2．（25-26高二下·山西朔州·期中）下列式子中，恒成立的是（    ） A． B． C． D． 【答案】A 【分析】根据二倍角公式，和差角公式逐项判断即可. 【详解】，A选项正确； ，B错误； ，C错误； ，D错误. 故选：A. 3．的值为（    ） A． B． C． D． 【答案】B 【分析】根据两角差的余弦公式求值即可. 【详解】 ​， 故选：B. 4．（24-25高三下·山西·三模）计算：（   ） A． B． C． D． 【答案】A 【分析】根据题意，结合三角函数诱导公式和正弦的二倍角公式，即可求解. 【详解】. 故选：A. 5．（25-26高二下·山西朔州·期中）若，为锐角，则的值为（    ） A．                   B．                  C．                  D． 【答案】A 【分析】根据二倍角公式及同角三角函数平方关系，结合正余弦齐次式解法求解即可. 【详解】 . 故选：A. 6．（25-26高三下·山西朔州·期中）已知，则（    ） A． B． C． D． 【答案】B 【分析】利用三角函数的基本关系和二倍角公式求解. 【详解】已知，可得：， 因为，所以， 所以， 故选：B. 7．（25-26高二下·山西朔州·期中）若，则的值为（    ） A． B． C． D． 【答案】A 【分析】根据同角三角函数的平方关系求出的值，再利用两角和的正弦公式求解即可. 【详解】因为，所以， 所以. 故选：A. 8．函数的最大值是（   ）． A．1 B．2 C． D． 【答案】C 【分析】先由辅助角公式化简函数，再由正弦函数的性质求解即可. 【详解】因为， 又， 所以函数的最大值是． 故选：C. 9．已知锐角满足，则（      ） A． B．或 C． D． 【答案】C 【分析】根据同角三角函数的平方关系求出，再由两角和的余弦公式求出，即可确定的值. 【详解】已知锐角满足， 则， 所以 ， 因为，所以， 所以. 故选：C. 10．（24-25高三上·山西吕梁·期末）____________． 【答案】/0.5 【分析】根据两角和的正弦公式及特殊角的三角函数值求解. 【详解】. 故答案为：. 11．已知，，则___________． 【答案】 【分析】根据正切的和角公式即可计算． 【详解】∵，， ∴， 故答案为：． 12．（25-26高二下·山西朔州·期中）若，，则________. 【答案】 【分析】根据两角差的正切公式求解即可. 【详解】， 故答案为：. 13．（25-26高三下·山西朔州·期中）函数的最大值为 ______. 【答案】2 【分析】利用辅助角公式化简函数解析式，由正弦函数的性质求解最大值． 【详解】， 当，即时，， 此时函数取最大值，最大值为. 故答案为：2． 14．（25-26高二下·山西朔州·期中）若，则=________. 【答案】 【分析】根据角的范围判断出，再由同角三角函数平方关系算出，再代入二倍角公式计算即可. 【详解】因为，所以， 且，则， 故. 故答案为：. 15．函数的最小正周期___________. 【答案】 【分析】利用辅助角公式将函数进行化简，再根据三角函数的周期公式即可求解. 【详解】因为函数， 所以函数的最小正周期为. 故答案为：. 16．已知，求. 【答案】 【分析】根据两角和的正切公式即可得解. 【详解】， 则. 17．（24-25高三上·山西吕梁·期末）已知，求． 【答案】. 【分析】根据题意结合两角差的正切公式即可得解. 【详解】， 则. 18．已知函数． (1)将化为正弦型函数形式并求最小正周期 (2)写出函数的单调增区间 【答案】(1)； (2) 【分析】（1）根据题意，结合正、余弦的二倍角公式和辅助角公式，将函数化为正弦型函数，结合正弦型函数的周期性，即可求解； （2）根据题意，结合正弦函数的单调性，即可求解. 【详解】（1）因为， 所以函数的最小正周期为； （2）由（1）知， 令，则， 所以函数的单调增区间为. 19．已知为锐角，且. (1)求的值； (2)求的值. 【答案】(1) (2) 【分析】（1）根据同角三角函数的平方关系，再根据角的范围得到三角函数的符号，即可求解. （2）先根据两角和的正弦公式化解代数式，再根据（1）中的结论，即可求解. 【详解】（1）因为为锐角，所以， 又，所以. （2） 20．（25-26高二下·山西朔州·期中）已知，求和的值. 【答案】， 【分析】根据角的范围及正弦值算出角的余弦值，再代入和差角公式与二倍角公式求解即可. 【详解】因为， 所以， 则， . 21．（25-26高二下·山西朔州·期中）已知，求和的值. 【答案】，不存在 【分析】根据两角差的正切公式以及二倍角的正切公式求解即可. 【详解】∵，且， ∴， ∴，分母为零，不存在. 综上，，不存在. 22．已知，，且，. (1)求，的值； (2)求的值. 【答案】(1)， (2) 【分析】（1）根据已知条件利用诱导公式求得，根据平方关系求出，再利用二倍角公式计算即可； （2）根据已知条件可得的范围，从而可求出，再根据，利用两角差的余弦公式即可求解. 【详解】（1）∵，∴，即， ∵，∴， ∴， . （2）∵，，∴， ∵，∴， ∴ . 原创精品资源学科网独家享有版权，侵权必究！ 学科网（北京）股份有限公司 学科网（北京）股份有限公司 学科网（北京）股份有限公司 $