第6卷 三角函数的概念及诱导公式（教师讲解卷）2027版山西省（对口升学）《数学真题同源卷》(原卷版+解析版)

**基本信息** 立足山西对口升学考纲，以“概念回顾-真题精讲-举一反三-拓展提升”为逻辑链，系统整合三角函数概念、诱导公式等核心考点，通过真题同源训练培养数学抽象与推理能力。 **专项设计** |模块|题量/典例|方法提炼|知识逻辑| |----|-----------|----------|----------| |概念回顾|5个核心概念（终边相同角、定义等）|诱导公式“奇变偶不变，符号看象限”，同角关系变形，符号口诀|从角的概念→三角函数定义→符号与特殊值→同角关系→诱导公式，形成“概念-性质-应用”递进链条| |真题精讲|4道近三年山西真题|结合定义与公式拆解求值、象限判断类问题|聚焦高频考点，示范真题解题规范| |举一反三|9题（含2道真题）|迁移应用同角关系与诱导公式解决变式问题|强化题型与方法对应，培养推理意识| |拓展提升|22题（含阶段检测题）|综合运用概念解决弧长计算、函数奇偶性等复杂问题|拓展知识应用场景，发展数学思维|

编写说明：2027版山西省对口升学《数学真题同源卷》专辑，立足山西省对口升学数学真题深度研究，严格对标考纲要求、深挖核心考点。每份试卷聚焦一个专题，精选近三年高考真题，按“概念回顾+真题精讲+举一反三+拓展提升”的逻辑体系编写，每个专题配套两份试卷，分别为教师讲解卷与学生练习卷，且均配备PPT课件，方便教师开展课堂教学。助力师生夯实核心能力、贯通解题思路，达成精准对接考点、高效； 2027版山西省对口升学《数学真题同源卷》 第6卷 三角函数的概念及诱导公式 （教师讲解卷） 【概念回顾】 1.终边相同的角的集合 所有与角终边相同的角连同在内可表示为. 2.任意角的三角函数的定义 (1)任意角的三角函数的定义：设α是一个任意角，它的终边上任意一点P(x，y)与原点的距离为r(r>0)，则正弦函数y＝sin x，x∈R，余弦函数y＝cos x，x∈R，正切函数y＝tan x，x≠＋kπ，k∈Z． (2)三角函数值在各象限的符号： 符号坐标图：（口诀：一全正，二正弦，三正切，四余弦） 3.特殊角的三角函数值： 角度 0° 30° 45° 60° 90 120° 135 150° 180° 270 360° 弧度 0 π 2π sin 0 1 0 -1 0 cos 1 0 - - - -1 0 1 tan 0 1 / - -1 - 0 / 0 4.同角三角函数间的基本关系式： （1）平方关系：sin²α+ cos²α =1 变形公式： ； （2）商数关系：． （3）sin α＋cos α，sin α cos α，sin α－cos α三者之间的关系 ①(sin α＋cos α)2＝1＋sin2α； ② (sin α－cos α)2＝1－sin2α； ③(sin α＋cos α)2＋(sin α－cos α)2＝2； ④(sin α＋cos α)2－(sin α－cos α)2＝2sin2α. 5.诱导公式 公式 一 二 三 四 五 六 角 2kπ＋α(k∈Z) π＋α －α π－α －α ＋α 正弦 sin α －sin α －sin α sin α cos α cos α 余弦 cos α －cos α cos α －cos α sin α －sin α 正切 tan α tan α －tan α －tan α 口诀 奇变偶不变，符号看象限 【真题精讲】 考点01 三角函数的概念及诱导公式 1．（2026·山西·真题T04）已知，则等于（ ）． A. B. C. D. 2．（2025·山西·真题T07）（ ） A. B. C. D. 3．（2025·山西·真题T08）设，则角为（ ） A. 第一象限角 B. 第二象限角 C. 第三象限角 D. 第四象限角 4.（2024·山西·真题T13）______________ 【举一反三】 1．若，则a终边在（   ）. A．第一象限 B．第四象限 C．第二或第三象限 D．第一或第四象限 2．（   ） A． B． C． D． 3．已知，，则（   ） A． B． C． D． 4．已知，则（   ） A． B． C．2 D．1 5．若，求的值. 6．已知，求的值. 7．已知，则______． 8.（2023·山西·真题T06） 的值为（ ） A. B. C. D. 9.（2022·山西·真题T05）若x是第二象限角，且，则（ ） A. B. C. D. 【拓展提升】 1．（24-25高一下·山西晋中·期中）的值是（    ）． A． B． C． D． 2．（25-26高三上·山西朔州·阶段检测）若，则角θ的终边在（   ） A．第四象限 B．第三象限 C．第二象限 D．第一象限 3．（25-26高三上·山西朔州·阶段检测）已知2弧度的圆心角所对弦长为6，那么这个圆心角所对的弧长为（   ） A．6 B． C． D． 4．（24-25高三上·山西·期末）若是第二象限角，且，则（   ） A． B． C． D． 5．（    ） A． B． C． D． 6．已知，为第二象限角，则（    ） A． B． C． D． 7．下列选项中，与角终边相同的角是（    ） A． B． C． D． 8．某扇形的圆心角为，半径为2，则该扇形的弧长为（    ） A．60 B． C． D． 9．下列函数中是奇函数的是（    ） A． B． C． D． 10．若，且为第三象限角，则的值等于（   ） A． B． C． D． 11．下列函数中，在其定义域内为奇函数的是（    ） A． B． C． D． 12．（24-25高一下·山西朔州·期末）若，，则的终边在（    ） A．第一、三象限 B．第二、四象限 C．第一、三象限或在x轴的非负半轴上 D．第二、四象限或在x轴上 13．（24-25高一下·山西朔州·期末）如图，2弧度的圆心角所对的弦长为2，这个圆心角所对应的弧长为（ ） A． B． C． D． 14．若,且,则角是（    ） A．第一象限 B．第二象限 C．第三象限 D．第四象限 15．已知且是第二象限的角，则（    ） A． B． C． D． 16．（25-26高三上·山西朔州·阶段检测）若，则是第________象限角. 17．已知角α的终边经过点 ，求的值 18．已知函数． (1)化简； (2)若，求的值． 19．已知函数，． (1)若，且，求及的值； (2)若，求的最大值和最小值，并求取得最大值及最小值时的值． 20．（25-26高三上·山西朔州·阶段检测）已知角的终边在直线上，求的值. 21．证明：. 22．（24-25高三上·山西晋中·期中）计算 (1) (2) 原创精品资源学科网独家享有版权，侵权必究！ 学科网（北京）股份有限公司 学科网（北京）股份有限公司 学科网（北京）股份有限公司 $ 编写说明：2027版山西省对口升学《数学真题同源卷》专辑，立足山西省对口升学数学真题深度研究，严格对标考纲要求、深挖核心考点。每份试卷聚焦一个专题，精选近三年高考真题，按“概念回顾+真题精讲+举一反三+拓展提升”的逻辑体系编写，每个专题配套两份试卷，分别为教师讲解卷与学生练习卷，且均配备PPT课件，方便教师开展课堂教学。助力师生夯实核心能力、贯通解题思路，达成精准对接考点、高效； 2027版山西省对口升学《数学真题同源卷》 第6卷 三角函数的概念及诱导公式 （教师讲解卷） 【概念回顾】 1.终边相同的角的集合 所有与角终边相同的角连同在内可表示为. 2.任意角的三角函数的定义 (1)任意角的三角函数的定义：设α是一个任意角，它的终边上任意一点P(x，y)与原点的距离为r(r>0)，则正弦函数y＝sin x，x∈R，余弦函数y＝cos x，x∈R，正切函数y＝tan x，x≠＋k π，k∈Z． (2)三角函数值在各象限的符号： 符号坐标图：（口诀：一全正，二正弦，三正切，四余弦） 3.特殊角的三角函数值： 角度 0° 30° 45° 60° 90 120° 135 150° 180° 270 360° 弧度 0 π 2π sin 0 1 0 -1 0 cos 1 0 - - - -1 0 1 tan 0 1 / - -1 - 0 / 0 4.同角三角函数间的基本关系式： （1）平方关系：sin²α+ cos²α =1 变形公式： ； （2）商数关系：． （3）sin α＋cos α，sin α cos α，sin α－cos α三者之间的关系 ①(sin α＋cos α)2＝1＋sin2α； ② (sin α－cos α)2＝1－sin2α； ③(sin α＋cos α)2＋(sin α－cos α)2＝2； ④(sin α＋cos α)2－(sin α－cos α)2＝2sin2α. 5.诱导公式 公式 一 二 三 四 五 六 角 2kπ＋α(k∈Z) π＋α －α π－α －α ＋α 正弦 sin α －sin α －sin α sin α cos α cos α 余弦 cos α －cos α cos α －cos α sin α －sin α 正切 tan α tan α －tan α －tan α 口诀 奇变偶不变，符号看象限 【真题精讲】 考点01 三角函数的概念及诱导公式 1．（2026·山西·真题T04）已知，则等于（ ）． A. B. C. D. 【答案】B 【分析】根据题意，结合同角三角函数的平方关系，即可求解. 【详解】因为，所以， 即， 解得. 故选：B. 2．（2025·山西·真题T07）（ ） A. B. C. D. 【答案】A 【分析】利用诱导公式及特殊角的三角函数值计算即可. 【详解】. 故选：A. 3．（2025·山西·真题T08）设，则角为（ ） A. 第一象限角 B. 第二象限角 C. 第三象限角 D. 第四象限角 【答案】A 【分析】由正弦值和余弦值的符号即可判断角所在象限. 【详解】因为，所以角是第一或第二象限角或y轴正半轴， 因为，所以角是第一或第四象限角或x轴正半轴， 综上，所以角为第一象限角. 故选:A. 4.（2024·山西·真题T13）______________ 【答案】1 【分析】根据同角三角函数基本关系式即可得解. 【详解】， 故答案为：. 【举一反三】 1．若，则a终边在（   ）. A．第一象限B．第四象限C．第二或第三象限D．第一或第四象限 【答案】D 【分析】根据三角函数在各象限符号规则可得结果. 【详解】由可知：与同号. 若与同为正，则a终边在第一象限； 若与同为负，则a终边在第四象限. 综上所述，a终边在第一或第四象限. 故选：D 2．（   ） A． B． C． D． 【答案】A 【分析】根据特殊角的三角函数值即可求解. 【详解】根据特殊角的三角函数值可知， ， 故选：A 3．已知，，则（   ） A． B． C． D． 【答案】B 【分析】根据同角三角函数的平方关系求值即可. 【详解】已知，， 则， 故选：B. 4．已知，则（   ） A． B． C．2 D．1 【答案】A 【分析】由题意，利用商数关系对化简，变成关于的分式，再代入的值计算即可求解. 【详解】因为，所以， 则 . 故选：A. 5．若，求的值. 【答案】 【分析】首先将的分子分母同时除以，化简得出关于的方程，再求解即可. 【详解】已知，若，则等式不成立， 所以，得， 可化为， 解得. 6．已知，求的值. 【答案】 【分析】根据诱导公式和同角三角函数的基本关系式求值即可. 【详解】由诱导公式得， 所以. 7．已知，则______． 【答案】 【分析】利用三角函数的基本关系，将原式转化为只含有的式子即可求解. 【详解】由，可知， 则. 故答案为：. 8.（2023·山西·真题T06） 的值为（ ） A. B. C. D. 【答案】A 【解析】 【分析】由诱导公式进行求解即可. 【详解】. 故选：A. 9.（2022·山西·真题T05）若x是第二象限角，且，则（ ） A. B. C. D. 【答案】B 【解析】 【分析】已知由同角三角函数的平方关系式求出，再利用三角函数值在各象限的符号判断的符号即可得解. 【详解】因为， 所以， 又x第二象限角，所以， 故. 故选：B 【拓展提升】 1．（24-25高一下·山西晋中·期中）的值是（    ）． A． B． C． D． 【答案】D 【分析】利用特殊角的三角函数求值. 【详解】 . 故选：D. 2．（25-26高三上·山西朔州·阶段检测）若，则角θ的终边在（   ） A．第四象限 B．第三象限 C．第二象限 D．第一象限 【答案】D 【分析】根据题意结合即可得解. 【详解】因为，则， 所以角θ的终边在第一象限， 故选：. 3．（25-26高三上·山西朔州·阶段检测）已知2弧度的圆心角所对弦长为6，那么这个圆心角所对的弧长为（   ） A．6 B． C． D． 【答案】D 【分析】根据题意，结合解直角三角形先求出半径，结合弧长公式即可求解. 【详解】 因为2弧度的圆心角所对弦长为6， 所以扇形的半径， 所以弧长. 故选：D. 4．（24-25高三上·山西·期末）若是第二象限角，且，则（   ） A． B． C． D． 【答案】A 【分析】由条件利用同角三角函数的基本关系，以及三角函数在各个象限中的符号即可求解. 【详解】因为是第二象限角，所以，又， 则. 故选：A. 5．（    ） A． B． C． D． 【答案】C 【分析】利用诱导公式及特殊角的三角函数值计算即可. 【详解】. 故选：C. 6．已知，为第二象限角，则（    ） A． B． C． D． 【答案】B 【分析】由同角三角函数平方关系求解即可. 【详解】因为，为第二象限角， 所以. 故选：B. 7．下列选项中，与角终边相同的角是（    ） A． B． C． D． 【答案】D 【分析】根据终边相同角的表示逐项判断即可得解. 【详解】设与角终边相同的角为，则， 当时，，解得，故错误； 当时，，解得，故错误； 当时，，解得，故错误； 当时，，解得，故正确， 故选：. 8．某扇形的圆心角为，半径为2，则该扇形的弧长为（    ） A．60 B． C． D． 【答案】D 【分析】先把角度数化为弧度，再利用扇形的弧长公式即可得解. 【详解】因为扇形的圆心角为，半径为2， 所以该扇形的弧长为. 故选：D. 9．下列函数中是奇函数的是（    ） A． B． C． D． 【答案】C 【分析】依据定义域关于原点对称且进行判断. 【详解】对于，定义域为关于原点对称，，，，故不是奇函数； 对于，定义域为关于原点对称，，，，故不是奇函数； 对于，定义域为关于原点对称，，，，故是奇函数； 对于，定义域为关于原点对称，，，，故不是奇函数； 故选：. 10．若，且为第三象限角，则的值等于（   ） A． B． C． D． 【答案】C 【分析】利用同角三角函数基本关系式即可求解. 【详解】因为，且为第三象限角， 所以， 所以. 故选：C 11．下列函数中，在其定义域内为奇函数的是（    ） A． B． C． D． 【答案】A 【分析】根据对数函数、二次函数、余弦函数、指数函数的奇偶性，结合奇偶函数的定义，即可判断求解. 【详解】选项A，因为函数的定义域为实数集R，关于原点对称， 又， 所以函数在定义域内是奇函数，故选项A符合题意； 选项B，因为函数的定义域为实数集R，关于原点对称， 又， 所以函数在定义域内是偶函数不是奇函数，故选项B不符合题意； 选项C，因为函数的定义域为，关于原点对称， 又， 所以函数在定义域内是偶函数不是奇函数，故选项C不符合题意； 选项D，因为是指数函数，故该函数是非奇非偶函数，故选项D不符合题意； 故选：A. 12．（24-25高一下·山西朔州·期末）若，，则的终边在（    ） A．第一、三象限 B．第二、四象限 C．第一、三象限或在x轴的非负半轴上 D．第二、四象限或在x轴上 【答案】D 【分析】根据题意得到是第四象限或x轴正半轴，结合角的表示方法，进求得所在的象限，得到答案. 【详解】因为，可得，则是第一、四象限或x轴正半轴， 又因为，可得，则是二、四象限或x轴， 所以是第四象限或x轴正半轴， 所以， 可得， 令，可得， 则在二象限或x轴负半轴； 令，可得， 则在四象限或x轴正半轴， 综上可得，的终边在第二、四象限或在x轴上. 故选：D. 13．（24-25高一下·山西朔州·期末）如图，2弧度的圆心角所对的弦长为2，这个圆心角所对应的弧长为（ ） A． B． C． D． 【答案】B 【分析】作出图像，根据条件求出半径，再由弧长公式求解即可. 【详解】过点作于点， 设圆的半径为，这个圆心角所对应的弧长为， 则，，， ，则， . 故选：B. 14．若,且,则角是（    ） A．第一象限 B．第二象限 C．第三象限 D．第四象限 【答案】B 【分析】根据，判断角的象限. 【详解】由得角的终边在第一或第二象限, 由得角的终边在第二或第三象限. 综上所述角所在的象限为第二象限. 故选：B 15．已知且是第二象限的角，则（    ） A． B． C． D． 【答案】B 【分析】由同角三角函数的基本关系式结合三角函数值在各象限的符号即可求解. 【详解】由且是第二象限的角， 可得， 所以. 故选：B. 16．（25-26高三上·山西朔州·阶段检测）若，则是第________象限角. 【答案】二或四 【分析】根据三角函数在各象限的符号规则可得结果. 【详解】由题可知：与异号， 若，⇒ 是第二象限， 若， ⇒ 是第四象限， 所以是第二或四象限角. 故答案为：二或四 17．已知角α的终边经过点 ，求的值 【答案】 【分析】根据题意，结合任意角三角函数的定义，先求得的值，代入即可求解. 【详解】因为角α的终边经过点 ， 所以， 所以. 18．已知函数． (1)化简； (2)若，求的值． 【答案】(1)； (2)． 【分析】（1）利用诱导公式化简即可； （2）由可得，然后给等式两边分别平方与可求出的值. 【详解】（1） ， ． （2）因为，即，所以， 整理得，因为， 即，即． 19．已知函数，． (1)若，且，求及的值； (2)若，求的最大值和最小值，并求取得最大值及最小值时的值． 【答案】(1)， (2)最大值，此时，最小值，此时 【分析】（1）将代入解析式，利用三角函数在各象限的符号可求； （2）利用正弦函数的性质求最值，再由所给范围求取得最大值及最小值时的值即可. 【详解】（1），即，则， 因为，则，则； （2）若，则， 当时，函数有最大值，此时； 当时，函数有最小值，此时. 20．（25-26高三上·山西朔州·阶段检测）已知角的终边在直线上，求的值. 【答案】 【分析】根据任意角的三角函数的定义可得，再由正余弦化为正切求解即可. 【详解】∵角的终边在直线上， ∴斜率，显然， ∴， 将代入上式， 则. 21．证明：. 【答案】证明见详解 【分析】根据正余弦函数的单调性，同角三角函数的基本关系即可证明. 【详解】因为，， 所以， 则左边 右边. 22．（24-25高三上·山西晋中·期中）计算 (1) (2) 【答案】(1) (2) 【分析】利用三角函数的基本运算和诱导公式即可求解. 【详解】（1） （2） 原创精品资源学科网独家享有版权，侵权必究！ 学科网（北京）股份有限公司 学科网（北京）股份有限公司 学科网（北京）股份有限公司 $