第20卷 综合训练卷二 2027年河南省（对口招生考试）《数学45分钟训练卷》(原卷版+解析版)

**基本信息** 以“概念-运算-应用”递进逻辑整合集合、函数、几何等核心知识，通过45分钟限时检测实现中职高考复习的即时反馈与能力强化。 **综合设计** |模块|题量/典例|题型特征|知识逻辑| |----|-----------|----------|----------| |基础概念|选择1-3题|概念辨析与逻辑判断|集合、函数同一等概念为运算提供定义支撑| |数学运算|选择4-10题/填空11-14题|符号运算与推理|函数性质、向量、概率等运算能力服务综合应用| |综合应用|解答15-17题|知识整合与问题解决|直线与圆、立体几何、数列综合体现推理意识与应用能力|

编写说明：2027年河南省对口招生《数学45分钟训练卷》，以河南省对口招生数学科目最新考试要求及历年真题为依据，聚焦中职高考复习“时效适配、综合检测”需求。采用“一考一讲”模式，助力师生实现“课堂检测—即时讲解—快速巩固”的复习闭环，是复习中检验学习效果、强化应试能力的核心资源。 河南省对口招生《数学45分钟训练卷》 第20卷 综合训练卷二 时间：45分钟 总分：100分 班级_______ 姓名_______ 学号_______ 成绩_______ 一、选择题(本大题共10小题，每小题5分，共50分). 1．已知集合，则（   ） A． B． C． D． 2．“两条直线没有公共点”是“两条直线平行”的（   ） A．充分条件 B．必要条件 C．充要条件 D．既不充分又不必要条件 3．下列函数为同一函数的是（    ） A． B． C． D． 4．已知函数，对任意实数，有，那么下列关系式一定成立的是（   ） A． B． C． D． 5．已知函数则的值是（   ） A． B．4 C． D． 6．函数的值域为（    ） A． B． C． D． 7．已知，则（   ） A． B． C． D． 8．已知向量，，若，则实数（   ） A． B．1 C． D．0 9．已知集合，点的坐标是，且．则点在第二象限的概率是（   ） A． B． C． D． 10．复数满足（其中为虚数单位），则复数对应点位于第（   ）象限 A．一 B．二 C．三 D．四 二、填空题(本大题共4小题，每小题5分，共20分). 11．①，；②，；③，；④，．在上述命题中，真命题是___________． 12．双曲线的离心率是______． 13．点到直线的距离为______. 14．如果样本数据3，6，，4，2的样本均值为4，则样本方差为 _______ 三、解答题(本大题共3小题，每小题10分，共30分). 15．过且与直线平行的直线l与圆交于P，Q两点，求： (1)直线l的方程． (2)线段PQ的长度． 16．如图所示，在中，已知．，，，点P是空间内一点，且平面，．求： (1)与平面所成角的余弦值； (2)二面角的大小； (3)三棱锥的体积． 17．在等比数列中，已知，且.求： (1)该数列的通项公式； (2)的值. 试卷第6页，共6页 原创精品资源学科网独家享有版权，侵权必究！ 学科网（北京）股份有限公司 $ 编写说明：2027年河南省对口招生《数学45分钟训练卷》，以河南省对口招生数学科目最新考试要求及历年真题为依据，聚焦中职高考复习“时效适配、综合检测”需求。采用“一考一讲”模式，助力师生实现“课堂检测—即时讲解—快速巩固”的复习闭环，是复习中检验学习效果、强化应试能力的核心资源。 河南省对口招生《数学45分钟训练卷》 第20卷 综合训练卷二 时间：45分钟 总分：100分 班级_______ 姓名_______ 学号_______ 成绩_______ 一、选择题(本大题共10小题，每小题5分，共50分). 1．已知集合，则（   ） A． B． C． D． 【答案】A 【分析】先化简计算出集合和集合，再结合交集的定义及运算求解即可. 【详解】解不等式，解得：， 所以集合， 由得集合， 所以， 故选：A. 2．“两条直线没有公共点”是“两条直线平行”的（   ） A．充分条件 B．必要条件 C．充要条件 D．既不充分又不必要条件 【答案】B 【分析】根据充分条件与必要条件的概念，结合空间中直线的关系，即可求解 【详解】当两条直线异面时，满足“两条直线没有公共点”，但不能得到“两条直线平行”，故充分性不成立； 当“两条直线平行”时，可以得到“两条直线没有公共点”，故必要性成立； 所以“两条直线没有公共点”是“两条直线平行”的必要不充分条件； 故选：B 3．下列函数为同一函数的是（    ） A． B． C． D． 【答案】D 【分析】分析两函数的定义域与对应法则，从而判断两函数是否相等，从而得知. 【详解】选项A，，定义域为， ，定义域为， 两函数定义域不同，不是同一函数，故A错误； 选项B，，定义域为， ，定义域为， 两函数定义域不同，不是同一函数，故B错误； 选项C，，定义域为； ，定义域为； 两函数对应关系不同，不是同一函数，故C错误； 选项D，，由得，其定义域为； ，由且得，其定义域为； 又， 两函数定义域和对应关系都相同，是同一函数，故D正确. 故选：D. 4．已知函数，对任意实数，有，那么下列关系式一定成立的是（   ） A． B． C． D． 【答案】C 【分析】先由已知条件求出二次函数的对称轴，再根据二次函数的对称性及在对称轴两侧的单调性即可得函数值的大小关系． 【详解】因为为二次函数，且有，所以对称轴为， 又因为函数的图像开口向上，所以当时取最小值，离对称轴越近值越小，反之越大， 当时，离对称轴最远的是，最近的是， 所以. 故选：C. 5．已知函数则的值是（   ） A． B．4 C． D． 【答案】C 【分析】由分段函数的解析式代入求值即可. 【详解】因为函数 所以， 所以． 故选：C. 6．函数的值域为（    ） A． B． C． D． 【答案】C 【分析】根据辅助角公式化简，再由正弦函数的最值公式即可解答. 【详解】令， 所以 ， 当时，， 当时，， 所以函数的值域为， 故选：C. 7．已知，则（   ） A． B． C． D． 【答案】D 【分析】根据同角的三角函数的基本关系式和诱导公式进行求解. 【详解】因为，所以为第一或第二象限角； 当是第一象限角时，易得， 此时. 当是第二象限角时，易得， 此时. 综上，的值为． 故选：D. 8．已知向量，，若，则实数（   ） A． B．1 C． D．0 【答案】A 【分析】根据向量线性运算的坐标表示，向量垂直的坐标表示即可求解. 【详解】因为向量，，所以，， 因为，所以， 即，解得. 故选：A. 9．已知集合，点的坐标是，且．则点在第二象限的概率是（   ） A． B． C． D． 【答案】C 【分析】由分步计数原理求出基本事件数，再由古典概型概率公式计算即可. 【详解】集合，点的坐标是，且， 则点的取法共有种， 若点在第二象限，即， 此时点的取法共有种， 故在第二象限的概率是. 故选：C. 10．复数满足（其中为虚数单位），则复数对应点位于第（   ）象限 A．一 B．二 C．三 D．四 【答案】C 【分析】根据复数的运算求得复数，进而得到其对应点的坐标确定象限； 【详解】因为复数满足，所以， 所以其对应点的坐标为，则其对应点位于第三象限， 故选：C 二、填空题(本大题共4小题，每小题5分，共20分). 11．①，；②，；③，；④，．在上述命题中，真命题是___________． 【答案】①③ 【分析】根据空间中直线与平面、直线与直线的位置关系相关定理，逐一分析求解即可. 【详解】①中，若，则存在，使得， 又，，得到，故，正确， ②中，若，，则直线与直线可能相交，可能平行，可能异面，错误， ③中，若，，根据线面垂直的性质定理，，正确， ④中，若，，只能说明直线垂直于平面内的一条直线， 无法得出直线垂直于平面，错误， 故真命题有①③. 故答案为：①③. 12．双曲线的离心率是______． 【答案】 【分析】根据双曲线的标准方程及性质求解即可. 【详解】因为双曲线的方程为， 所以，，且， 所以，， 所以． 故答案为：. 13．点到直线的距离为______. 【答案】 【分析】利用点到直线的距离公式即可得解. 【详解】因为直线可化为， 所以点到直线的距离为. 故答案为：. 14．如果样本数据3，6，，4，2的样本均值为4，则样本方差为 _______ 【答案】 【分析】根据均值的定义求出值，代入方差公式即可得解. 【详解】样本数据3，6，，4，2的样本均值为4， 则，解得， ， 故答案为：. 三、解答题(本大题共3小题，每小题10分，共30分). 15．过且与直线平行的直线l与圆交于P，Q两点，求： (1)直线l的方程． (2)线段PQ的长度． 【答案】(1) (2) 【分析】（1）根据直线平行先设出直线方程，再将点代入直线方程即可求解； （2）求出圆心和半径，再由圆心到直线的距离结合垂径定理即可得解. 【详解】（1）因为与直线平行， 设直线l的方程为：， ∵直线l过点，∴， ∴， 即直线l的方程为：； （2）由， 可得圆心，半径， 圆心到的距离， ∴， ∴， 即线段PQ的长为. 16．如图所示，在中，已知．，，，点P是空间内一点，且平面，．求： (1)与平面所成角的余弦值； (2)二面角的大小； (3)三棱锥的体积． 【答案】(1) (2) (3) 【分析】（1）先根据线面垂直的判定定理证明平面，然后找出与平面所成角，根据直角三角形进行求解即可； （2）先找出二面角的平面角，再根据直角三角形进行求解即可； （3）利用等体积法可知，利用体积公式求解即可. 【详解】（1），，，， 是直角三角形，且， 平面，平面，， 又，且与交于点A，平面， 平面， 与平面所成的角为． ，，， 在中，， 与平面所成角的余弦值为． （2）由（1）得， 又， 为二面角的平面角． 在中，，平面， ，即二面角的大小为． （3）． 17．在等比数列中，已知，且.求： (1)该数列的通项公式； (2)的值. 【答案】(1) (2) 【分析】（1）利用等比数列的通项公式求得，进而得解； （2）利用对数的运算性质，结合等比数列的性质即可得解. 【详解】（1）设等比数列的公比为， 因为，且， 所以，解得， 所以该数列的通项公式为. （2）因为在等比数列中，， 所以， 则 . 试卷第6页，共6页 原创精品资源学科网独家享有版权，侵权必究！ 学科网（北京）股份有限公司 $