第15卷 立体几何（B卷 能力提升）2027年河南省（对口招生考试）《数学45分钟训练卷》(原卷版+解析版)

**基本信息** 聚焦立体几何能力提升，以空间几何体计算与位置关系为核心，构建从概念到应用的逻辑训练体系，培养空间观念与推理能力。 **专项设计** |模块|题量/典例|题型特征|知识逻辑| |----|-----------|----------|----------| |空间几何体计算|选择1-5、填空14|表面积体积对角线计算|从基本量到组合体，强化几何直观| |空间位置关系|选择3、7-10、填空11|线面位置关系判断与命题辨析|从概念到逻辑推理，提升推理能力| |综合应用|填空12-13、解答15-17|折叠问题与空间角证明计算|从静态到动态转化，深化应用意识|

编写说明：2027年河南省对口招生《数学45分钟训练卷》，以河南省对口招生数学科目最新考试要求及历年真题为依据，聚焦中职高考复习“时效适配、综合检测”需求。采用“一考一讲”模式，助力师生实现“课堂检测—即时讲解—快速巩固”的复习闭环，是复习中检验学习效果、强化应试能力的核心资源。 河南省对口招生《数学45分钟训练卷》 第15卷 立体几何 （B卷 能力提升） 时间：45分钟 总分：100分 班级_______ 姓名_______ 学号_______ 成绩_______ 一、选择题(本大题共10小题，每小题5分，共50分). 1．已知圆锥的表面积为，它的侧面展开图是一个半圆，则此圆锥的体积为（    ） A． B． C． D． 2．正方体的对角线长为a，则它的表面积为（    ） A． B． C． D． 3．如图，长方体中，，那么异面直线与所成角的正弦值是（    ）    A． B． C． D． 4．已知矩形的长为6、宽为4，将矩形卷成圆柱侧面，则圆柱底面积为（    ） A． B． C．或 D．或 5．长方体的长，宽，高分别为，，，其顶点都在球的球面上，则球的体积为（    ）． A． B． C． D． 6．某几何体的三视图如图所示，则该几何体的表面积为（    ）    A． B． C． D． 7．直线和平面，能得出的一个条件是（    ）. A． B． C． D． 8．若平面存在关系则（   ）. A．垂直 B．平行 C．相交 D．以上三种情况均有可能 9．给出下列四个命题： ①垂直于同一直线的两条直线互相平行 ②垂直于同一平面的两个平面互相平行 ③若直线与同一平面所成的角相等，则互相平行 ④若直线是异面直线，则与都相交的两条直线是异面直线. 其中假命题的个数是（     ） A．1 B．2 C．3 D．4 10．已知平面，两条不重合的直线，则“存在直线，使”是“”的（ ） A．充分不必要条件 B．必要不充分条件 C．充要条件 D．既不充分也不必要条件 二、填空题(本大题共4小题，每小题5分，共20分). 11．在正方体中，平面与平面的位置关系是____________. 12．在菱形中，，，现将其沿对角线折成直二面角（如图），则______. 13．若正方体的棱长为，则异面直线与之间的距离为___________. 14．已知圆柱的底面积为，母线为4，则轴截面的面积是______. 三、解答题(本大题共3小题，每小题10分，共30分). 15．已知圆锥的轴截面是正三角形，求证：它的侧面积是底面积的2倍. 16．在直三棱柱中，顶面 是边长为 2 的等边三角形，侧棱 .求直线 与所成的角.    17．如图所示，在正方体中，为中点． (1)求证：平面； (2)若正方体棱长为2，求三棱锥的体积． 试卷第6页，共6页 原创精品资源学科网独家享有版权，侵权必究！ 学科网（北京）股份有限公司 $ 编写说明：2027年河南省对口招生《数学45分钟训练卷》，以河南省对口招生数学科目最新考试要求及历年真题为依据，聚焦中职高考复习“时效适配、综合检测”需求。采用“一考一讲”模式，助力师生实现“课堂检测—即时讲解—快速巩固”的复习闭环，是复习中检验学习效果、强化应试能力的核心资源。 河南省对口招生《数学45分钟训练卷》 第15卷 立体几何 （B卷 能力提升） 时间：45分钟 总分：100分 班级_______ 姓名_______ 学号_______ 成绩_______ 一、选择题(本大题共10小题，每小题5分，共50分). 1．已知圆锥的表面积为，它的侧面展开图是一个半圆，则此圆锥的体积为（    ） A． B． C． D． 【答案】C 【分析】设圆锥的底面圆的半径为r，母线长为l，利用侧面展开图是一个半圆，求得母线长与底面半径之间的关系，代入表面积公式求r，然后求解圆锥的高和体积． 【详解】设圆锥的底面半径为r，高为h，母线长为l， 因为圆锥的表面积为，所以，即， 因为它的侧面展开图是一个半圆， 所以，即 所以圆锥高， 所以此圆锥的体积. 故选：C 2．正方体的对角线长为a，则它的表面积为（    ） A． B． C． D． 【答案】B 【分析】先根据已知条件求出棱长，进而求解. 【详解】    设正方体棱长为，体对角线 ， 得， 表面积：， 故选：B 3．如图，长方体中，，那么异面直线与所成角的正弦值是（    ）    A． B． C． D． 【答案】C 【分析】先找出为异面直线与所成角，再根据勾股定理，余弦定理，同角三角函数的平方关系即可求解. 【详解】连接，，在长方体中，， 所以是平行四边形，则， 则异面直线与所成角即为. 因为，所以设，则， 因为，所以，所以， 则，则， 所以. 故选：C.    4．已知矩形的长为6、宽为4，将矩形卷成圆柱侧面，则圆柱底面积为（    ） A． B． C．或 D．或 【答案】D 【分析】根据两种情况分别由周长求出底面半径，即可求得底面积. 【详解】矩形长6宽4卷成圆柱， 若以6为底面圆的周长，则底面圆的半径为，所以底面圆的面积为； 若以4为底面圆的周长，则底面圆的半径为，所以底面圆的面积为； 所以圆柱底面积为或. 故选：D. 5．长方体的长，宽，高分别为，，，其顶点都在球的球面上，则球的体积为（    ）． A． B． C． D． 【答案】A 【分析】根据球的体积公式以及几何体的切接问题，即可求解. 【详解】长方体的体对角线是球的直径， 体对角线长为， 则球的半径为， 球的体积为． 故选：A. 6．某几何体的三视图如图所示，则该几何体的表面积为（    ）    A． B． C． D． 【答案】C 【分析】由三视图可知，该几何体是一个圆锥，再分别求出底面积和侧面积即可. 【详解】由三视图可得这个几何体是一个母线长为，底面半径的圆锥， 圆锥的底面积为，侧面积为， 所以求圆锥的表面积为. 故选：C. 7．直线和平面，能得出的一个条件是（    ）. A． B． C． D． 【答案】C 【分析】根据空间中直线与平面、平面与平面的位置关系的判定定理来逐一分析选项. 【详解】选项A，已知，平面与可能平行、相交，无法得出，错误， 选项B，已知，此时平面与相交，但不一定垂直，错误， 选项C，因为，所以，又，由面面垂直判定定理，，正确， 选项D，已知，又因为，所以，错误. 故选：C. 8．若平面存在关系则（   ）. A．垂直 B．平行 C．相交 D．以上三种情况均有可能 【答案】D 【分析】根据正方体进行分析验证即可. 【详解】   平面平面，平面平面， 且平面平面. 平面平面，平面平面， 且平面平面，两平面也相交. 所以平面存在关系则可能垂直、平行、相交. 故选：D. 9．给出下列四个命题： ①垂直于同一直线的两条直线互相平行 ②垂直于同一平面的两个平面互相平行 ③若直线与同一平面所成的角相等，则互相平行 ④若直线是异面直线，则与都相交的两条直线是异面直线. 其中假命题的个数是（     ） A．1 B．2 C．3 D．4 【答案】D 【分析】根据直线与直线，直线与平面及平面与平面的位置关系判断. 【详解】垂直于同一直线的两条直线可能平行，相交或异面，①错误； 垂直于同一平面的两条平面可能平行，也可能相交，②错误； 若直线与同一平面所成的角相等，则可能平行，相交或异面，③错误； 若直线是异面直线，则与都相交的两条直线可能相交或异面，④错误， 故选：D. 10．已知平面，两条不重合的直线，则“存在直线，使”是“”的（ ） A．充分不必要条件 B．必要不充分条件 C．充要条件 D．既不充分也不必要条件 【答案】B 【详解】如果，此时也能找到且，但并不平行于，而是在内，所以充分性不成立； 根据线面平行的性质定理：如果直线平行于平面，那么过作一个平面与相交，交线就满足，且，所以必要性成立. 即“存在直线，使”是“”的必要不充分条件. 二、填空题(本大题共4小题，每小题5分，共20分). 11．在正方体中，平面与平面的位置关系是____________. 【答案】平行 【分析】根据线面平行及面面平行的判定定理求解即可. 【详解】在正方体中，平面， 所以平面， 又平面， 所以平面， 又平面，, 所以平面平面. 故答案为：平行.    12．在菱形中，，，现将其沿对角线折成直二面角（如图），则______. 【答案】 【分析】取中点，连接，，根据直二面角的定义得出，结合勾股定理即可得解. 【详解】 取中点，连接，， 因为四边形为菱形，所以，， 将菱形沿对角线折成直二面角，则为二面角的平面角即， 因为即菱形的边长为，且，所以， 在中，， 故答案为：. 13．若正方体的棱长为，则异面直线与之间的距离为___________. 【答案】1 【分析】根据题意结合公垂线的定义即可得解. 【详解】    如图：∵与、均垂直，∴即为两异面直线的距离， 异面直线与之间的距离为， 故答案为：1. 14．已知圆柱的底面积为，母线为4，则轴截面的面积是______. 【答案】24 【分析】根据轴截面的面积公式求解即可. 【详解】设圆柱底面半径为, 则底面面积为，解得. 母线为4，所以轴截面面积. 故答案为：24. 三、解答题(本大题共3小题，每小题10分，共30分). 15．已知圆锥的轴截面是正三角形，求证：它的侧面积是底面积的2倍. 【答案】见解析 【解析】设圆锥的底面半径为，则圆锥的母线长为，计算侧面积和底面积得到证明. 【详解】设圆锥的底面半径为，由题意知，圆锥的母线长为， 则 侧面积是底面积的2倍. 16．在直三棱柱中，顶面 是边长为 2 的等边三角形，侧棱 .求直线 与所成的角.    【答案】 【分析】直三棱柱中棱互相平行且相等，且垂直于底面和顶面，通过平移找到两条异面直线所成的角，再计算即可. 【详解】在直三棱柱中： 底面是边长为的等边三角形，侧棱，且所有侧棱均垂直于底面， 又因为直线 与是异面直线，与 平行且相等， 所以是与 所成的角， 在中，， 所以为等腰直角三角形， 所以直线与所成的角即直线 与所成的角为. 17．如图所示，在正方体中，为中点． (1)求证：平面； (2)若正方体棱长为2，求三棱锥的体积． 【答案】(1)证明见解析. (2). 【分析】（1）根据直线与平面的关系，再结合正方体的性质以及三角形的相关知识求解. （2）结合正方体的性质及三棱锥的体积公式求解. 【详解】（1）连接交于O，连接，则正方形中，为中点， 因为分别为中点， 所以是的中位线，所以． 又面，面， 所以平面． （2）正方体中，平面， 所以. 试卷第6页，共6页 原创精品资源学科网独家享有版权，侵权必究！ 学科网（北京）股份有限公司 $