第14卷 立体几何（A卷 基础巩固）2027年河南省（对口招生考试）《数学45分钟训练卷》(原卷版+解析版)

**基本信息** 聚焦立体几何基础巩固，以“一考一讲”模式整合空间几何体性质、位置关系及表面积体积计算，构建从概念到应用的知识逻辑链，培养空间观念与几何直观。 **专项设计** |模块|题量/典例|题型特征|知识逻辑| |----|-----------|----------|----------| |空间几何体性质|选择1-3、6、8、10，填空11、14|围绕圆柱、圆锥、长方体等基本几何体结构特征命题|从几何体构成要素（棱长、半径、高）到轴截面、侧面积等性质推导| |位置关系判断|选择2、4、5、7、9|结合正方体展开图、线面平行等考查空间线线、线面关系|通过直观图与几何模型建立空间观念，培养几何直观| |表面积体积计算|填空12、13，解答15-17|涉及组合体侧面积比值、球的小圆距离及实际应用（帐篷侧面积）|从公式应用到实际问题转化，体现数学语言表达现实世界的能力|

编写说明：2027年河南省对口招生《数学45分钟训练卷》，以河南省对口招生数学科目最新考试要求及历年真题为依据，聚焦中职高考复习“时效适配、综合检测”需求。采用“一考一讲”模式，助力师生实现“课堂检测—即时讲解—快速巩固”的复习闭环，是复习中检验学习效果、强化应试能力的核心资源。 河南省对口招生《数学45分钟训练卷》 第14卷 立体几何 （A卷 基础巩固） 时间：45分钟 总分：100分 班级_______ 姓名_______ 学号_______ 成绩_______ 一、选择题(本大题共10小题，每小题5分，共50分). 1．用长为8，宽为4的矩形做侧面围成一个圆柱，则圆柱的轴截面的面积为（    ）． A．32 B． C． D． 2．如图是一个正方体的平面展开图，则在正方体中，与的位置关系为（ ） A．平行 B．相交 C．异面而且垂直 D．异面但不垂直 3．如图，已知一个直四棱柱的侧棱长为6，底面是对角线长分别是9和13的菱形，则这个四棱柱的侧面积是（    ）．    A． B． C． D． 4．已知直线平行于平面，直线，则与的位置关系是（    ） A．平行 B．异面 C．平行或异面 D．相交 5．下列命题中，是真命题的是（    ） A．若直线在平面外，则 B．若直线，直线，则 C．若直线，直线，那么直线就平行于平面内的无数条直线 D．若直线，直线，则 6．已知圆锥的轴截面是等腰直角三角形，且面积为4，则圆锥的体积为（    ） A． B． C． D． 7．如图所示，在正方体中，分别是的中点，则异面直线与所成角的大小是（   ） A． B． C． D． 8．已知圆锥的高为3，底面半径为4，若一球的表面积与此圆锥的侧面积相等，则该球的半径为（　　） A．5 B． C．9 D．3 9．如图，矩形，下列结论中不正确的是（    ）    A． B． C． D． 10．过长方体的一个顶点的三条棱长分别为，则长方体的一条体对角线的长为（    ） A． B． C．5 D．6 二、填空题(本大题共4小题，每小题5分，共20分). 11．长方体水箱的底面积是，高是，这个水箱的容积是______. 12．陀螺是中国民间最早的娱乐工具之一，也称陀罗．图1是一种木陀螺，可近似地看作是一个圆锥和一个圆柱的组合体，其直观图如图2所示，其中B，C分别是上、下底面圆的圆心，且，则该陀螺下半部分的圆柱的侧面积与上半部分的圆锥的侧面积的比值是______． 13．球的半径为5，球的一个小圆半径为3，则小圆圆心到球心的距离是________. 14．若圆柱轴截面是边长为的正方形，则圆柱的表面积是_________. 三、解答题(本大题共3小题，每小题10分，共30分). 15．如图，在长方体中，，，．求异面直线和距离． 16．户外搭建的帐篷形状为正四棱锥，底面边长为 3 米，高为 2 米. (1)求该帐篷的侧面积； (2)若帐篷布料每平方米价格为 120 元，求制作帐篷布料的总费用. 17．如图，在四棱锥中，底面ABCD为梯形，，，，，且在中，，． (1)求证：； (2)若，求四棱锥的体积． 试卷第6页，共6页 原创精品资源学科网独家享有版权，侵权必究！ 学科网（北京）股份有限公司 $ 编写说明：2027年河南省对口招生《数学45分钟训练卷》，以河南省对口招生数学科目最新考试要求及历年真题为依据，聚焦中职高考复习“时效适配、综合检测”需求。采用“一考一讲”模式，助力师生实现“课堂检测—即时讲解—快速巩固”的复习闭环，是复习中检验学习效果、强化应试能力的核心资源。 河南省对口招生《数学45分钟训练卷》 第14卷 立体几何 （A卷 基础巩固） 时间：45分钟 总分：100分 班级_______ 姓名_______ 学号_______ 成绩_______ 一、选择题(本大题共10小题，每小题5分，共50分). 1．用长为8，宽为4的矩形做侧面围成一个圆柱，则圆柱的轴截面的面积为（    ）． A．32 B． C． D． 【答案】B 【分析】利用圆柱的轴截面的面积求法求解. 【详解】当圆柱的高时，， 所以圆柱的轴截面的面积为； 当圆柱的高，， 所以圆柱的轴截面的面积为， 故选：B 2．如图是一个正方体的平面展开图，则在正方体中，与的位置关系为（ ） A．平行 B．相交 C．异面而且垂直 D．异面但不垂直 【答案】A 【分析】将展开图还原成正方体，即可判断两直线的位置关系. 【详解】将展开图还原成正方体，由下图可知， 直线与的位置关系为平行. 故选：A. 3．如图，已知一个直四棱柱的侧棱长为6，底面是对角线长分别是9和13的菱形，则这个四棱柱的侧面积是（    ）．    A． B． C． D． 【答案】D 【分析】利用直四棱柱的结构特征及已知条件求相关棱长，进而求棱柱的侧面积. 【详解】如图，连接交点为O，    则对角线，，所以， 因为直四棱柱的底面是菱形，所以， 所以， ∴直四棱柱的侧面积. 故选：D. 4．已知直线平行于平面，直线，则与的位置关系是（    ） A．平行 B．异面 C．平行或异面 D．相交 【答案】C 【分析】根据线面平行的概念即可解答. 【详解】线面平行时，直线与平面内的直线无公共点， 所以若直线平行于平面，直线， 则与平行或异面. 故选：C. 5．下列命题中，是真命题的是（    ） A．若直线在平面外，则 B．若直线，直线，则 C．若直线，直线，那么直线就平行于平面内的无数条直线 D．若直线，直线，则 【答案】C 【分析】根据直线与平面的位置关系逐项判断即可. 【详解】若直线在平面外，则直线与平面相交或，A选项错误； 若直线，直线，则或，B选项错误； 若直线，直线，则或， 以上两种情况的直线都平行于平面内的无数条直线，C选项正确； 若直线，直线，则与可能平行，也可能异面，D选项错误. 故选：C. 6．已知圆锥的轴截面是等腰直角三角形，且面积为4，则圆锥的体积为（    ） A． B． C． D． 【答案】D 【分析】利用等腰直角三角形的结构特征与其面积求得其底与高，从而得到圆锥的体高与底面半径，再利用圆的锥的体积公式即可得解. 【详解】依题意，设圆锥的轴截面等腰直角三角形的腰长为，则，解得， 所以轴截面等腰直角三角形的底为，高为， 则圆锥的高、底面半径均为， 所以圆锥的体积为. 故选：D. 7．如图所示，在正方体中，分别是的中点，则异面直线与所成角的大小是（   ） A． B． C． D． 【答案】D 【分析】根据题意，结合线面垂直的判定定理，易证平面，继而可得，即可求得两异面直线的夹角． 【详解】 连接交于点E， 因为四边形是正方形，, 所以按逆时针方向旋转后成为，旋转角为， 由旋转的性质，旋转到的位置，所以， 又平面，平面，所以， 又，平面，平面，平面， 所以平面， 因为平面，所以， 所以异面直线与的所成角的大小为． 故选：D． 8．已知圆锥的高为3，底面半径为4，若一球的表面积与此圆锥的侧面积相等，则该球的半径为（　　） A．5 B． C．9 D．3 【答案】B 【分析】根据圆锥的侧面积，球的表面积公式即可求解. 【详解】因为圆锥的底面半径，高，所以圆锥的母线， 所以圆锥的侧面积. 设球的半径为，则，所以. 故选：B. 9．如图，矩形，下列结论中不正确的是（    ）    A． B． C． D． 【答案】C 【分析】根据直线与平面位置关系即可判断直线与直线位置关系. 【详解】对于A，矩形，∴，又，平面，平面， ∴平面，∴，故A正确. 对于B，矩形，∴，又，平面，平面， ∴平面，∴，故B正确. 对于C，若，由矩形，∴，则， 平面，平面，∴平面． ∵，，，平面，平面， ∴平面，则过平面外一点有两条直线与平面垂直，不成立，故C项错误． 对于D，∵矩形，平面，∴．故D正确. 故选：C. 10．过长方体的一个顶点的三条棱长分别为，则长方体的一条体对角线的长为（    ） A． B． C．5 D．6 【答案】B 【分析】根据长方体体对角线公式求值即可. 【详解】已知过长方体的一个顶点的三条棱长分别为， 得长方体的一条体对角线的长， 故选：B. 二、填空题(本大题共4小题，每小题5分，共20分). 11．长方体水箱的底面积是，高是，这个水箱的容积是______. 【答案】120 【分析】由柱体的体积公式即可得解. 【详解】因为长方体水箱的底面积是，高是， 所以水箱的容积为. 故答案为：. 12．陀螺是中国民间最早的娱乐工具之一，也称陀罗．图1是一种木陀螺，可近似地看作是一个圆锥和一个圆柱的组合体，其直观图如图2所示，其中B，C分别是上、下底面圆的圆心，且，则该陀螺下半部分的圆柱的侧面积与上半部分的圆锥的侧面积的比值是______． 【答案】 【分析】设，则，，则可求出圆柱的侧面积与圆锥的侧面积，即可求出答案. 【详解】设，则， 因为，所以， 则圆柱的侧面积， 圆锥的侧面积， 故． 故答案为：. 13．球的半径为5，球的一个小圆半径为3，则小圆圆心到球心的距离是________. 【答案】4 【分析】利用球的半径、小圆半径以及小圆圆心到球心的距离构成直角三角形这一关系，通过勾股定理来求解. 【详解】设球的半径为，小圆半径为，小圆圆心到球心的距离为， 已知球的半径，小圆半径， 由勾股定理，可得， 故答案为：4. 14．若圆柱轴截面是边长为的正方形，则圆柱的表面积是_________. 【答案】 【分析】分别求出上下两底和侧面面积，即可得到圆柱体的表面积. 【详解】由题意可知上下两底为半径等于2的两个圆，面积为， 圆的周长为， 所以侧面展开图是长为，高为4的矩形， 则侧面面积， 所以圆柱的表面积， 故答案为：. 三、解答题(本大题共3小题，每小题10分，共30分). 15．如图，在长方体中，，，．求异面直线和距离． 【答案】 【分析】根据线线垂直，找到直线和的公垂线，由边的关系求解即可. 【详解】连接交于点M，交于点，连接， 由长方体的性质，得是的中点，是的中点． 在矩形中，可得， ∵平面，平面， ∴，∴，同理， ∴就是异面直线和的距离． ∵， ∴异面直线和的距离是． 16．户外搭建的帐篷形状为正四棱锥，底面边长为 3 米，高为 2 米. (1)求该帐篷的侧面积； (2)若帐篷布料每平方米价格为 120 元，求制作帐篷布料的总费用. 【答案】(1)平方米 (2)元. 【分析】（1）先求出正四棱锥的斜高，再利用正棱锥的侧面积公式即可得解； （2）由（1）知该帐篷的侧面积，根据总费用=总面积每平方米价格进行计算即可得解. 【详解】（1）因为正四棱锥的底面边长为 3 米，高为 2 米， 所以斜高米， 所以侧面积平方米. （2）因为帐篷布料每平方米价格为 120 元， 所以总费用元. 17．如图，在四棱锥中，底面ABCD为梯形，，，，，且在中，，． (1)求证：； (2)若，求四棱锥的体积． 【答案】(1)证明见解析 (2) 【分析】（1）利用线面垂直先证明，得到平面PAD即可； （2）利用面面垂直找到P到底面的距离PH，再用棱锥的体积公式求出即可. 【详解】（1） 如图，取CD的中点E，连接BE． ∵，∴．∵且， ∴四边形ABED是矩形， ∴． 又∵，即，且，平面PAD，平面PAD， ∴平面PAD． ∵平面PAD， ∴． （2）由题可得，． 又平面PAD，平面ABCD，∴平面平面ABCD． ∵平面平面，∴过P作于H，则平面ABCD． ∵，，∴． ∴． 故四棱锥的体积为． 试卷第6页，共6页 原创精品资源学科网独家享有版权，侵权必究！ 学科网（北京）股份有限公司 $