专题47 正态分布 《数学》人教版拓展模块一《同步必备知识清单》(原卷版+解析版)

专题47 正态分布 一、知识梳理 1. 正态曲线知识 若 x∈(-∞,+∞)，其中实数和(>0)为参数，我们称的图象为正态分布密度曲线，简称正态曲线. 2. 正态分布 如果对于任何实数a,b(a<b)，连续性随机变量X满足P(a<X≤b)等于正态曲线下（x轴上方）x=a到x=b的面积，则称随机变量X服从正态分布。正态分布完全由参数和确定，因此正态分布常记作。如果随机变量X服从正态分布，则记为 提示：参数μ是反映随机变量取值的平均水平的特征数，可以用样本的均值去估计；是衡量随机变量总体波动大小的特征数，可以用样本的标准差去估计. 3. 正态曲线的特点 1）曲线位于x轴上方，与x轴不相交； （2）曲线是单峰的，它关于直线x=对称； （3）曲线在x=处达到峰值 （4）曲线与x轴之间的面积为1； （5）当一定时，曲线的位置由确定，曲线随着的变化而沿x轴平移； （6）当一定时，曲线的形状由确定，越小，曲线越高瘦，表示总体的分布越集中；越大，曲线越“矮胖”，表示总体的分布越分散. 4. 正态分布的概率计算公式和3σ原则 （1）如果随机变量X服从正态分布，即记为X~.则有如下概率计算公式： （2）正态分布在三个特殊区间内取值的概率： P(-<X≤+)≈0.6827, P(-2<X≤+2)≈0.9545, P(-3<X≤+3)≈0.9973. 通常认为服从于正态分布的随机变量X只取(-3,+3)之间的值，并简称之为3原则. 二、题型精练 题型1 正态曲线及其性质 【典例1】．某次我市高三教学质量检测中，甲、乙、丙三科考试成绩的直方图如图所示（由于人数众多，成绩分布的直方图可视为正态分布），则由如图所示曲线可得下列说法中正确的一项是（ ） A.甲科总体的标准差最小 B.丙科总体的平均数最小 C.乙科总体的标准差及平均数都居中 D.甲、乙、丙的总体的平均数不相同 【典例2】．设两个正态分布和的密度函数图象如图所示，则有 ( ) A. B. C. D. 题型2 正态分布下的概率计算 【典例1】．已知随机变量ξ服从正态分布N(2，，且P(ξ<4)=0.8，则P(0<ξ<2)= ( ) A.0.6 B.0.4 C.0.3 D.0.2 【典例2】．在某项测量中，测量结果服从正态分布N(1，4)，求正态总体X在（-1,1）内取值的概率． 三、知识检测 1．设有一正态总体，它的正态曲线是函数f(x)的图象，且，则这个正态总体的均值与标准差分别是 ( ) A.10与8 B.10与2 C.8与10 D.2与10 2．关于正态分布，下列说法正确的是( ) A．随机变量落在区间长度为3的区间之外是一个小概率事件 B．随机变量落在区间长度为6的区间之外是一个小概率事件 C．随机变量落在［-3，3］之外是一个小概率事件 D.随机变量落在[-3,+3]之外是一个小概率事件 3．正态分布N(0,1）在区间（-2,-1）和（1,2）上取值的概率为，则二者大小关系为 ( ) A. B. C. D.不确定 4．已知随机变量X服从正态分布N(2,7)，P(X>1)=0.8，则P(X≥3)= ( ) A.0.2 B.0.3 C.0.7 D.0.8 5．设随机变量ξ∼N(0,1)，已知Φ(-1.96)=0.025，则P(|ξ|<1.96)= ( ) A.0.95 B.0.05 C.0.975 D.0.425 6．已知随机变量ξ服从正态分布，若P（ξ<2)=0.3，则P(2<ξ<6)= ( ) A.0.3 B.0.4 C.0.7 D.0.2 7.（25-26高一上·广东·职教高考）若随机变量服从正态分布，则(　　) A．0 B． C． D．1 8.（25-26高三下·山东·模拟预测）已知随机变量X服从正态分布，，则等于(　　) A．0.16 B．0.32 C．0.68 D．0.84 9.已知随机变量，若，则（ ） A． B． C． D． 10.下列关于正态曲线的说法正确的是（　　） A．正态曲线关于y轴对称 B．越大，正态曲线越“瘦高” C．正态曲线在x＝处达到最高点 D．越大，正态曲线越“矮胖” 11.设X～N(3，²)，则正态曲线关于直线x＝＿＿对称，且P(X≤3)＝＿＿。 12．在某次数学考试中，考生的成绩ξ服从一个正态分布，即ξ～N(90,100)． （1）试求考试成绩ξ位于区间（70,110）上的概率是多少？ （2）若这次考试共有2000名考生，试估计考试成绩在（80,100）间的考生大约有多少人？ 13．设随机变量X∼N(2,9)，若P(X>c+1)=P(X <c-1)． (1）求c的值；(2）求P(-4<x<8) 14.设X～N(100，100)，求X落在区间(80，120)内的概率。 15.某车间生产的零件直径X(单位：mm)服从正态分布N(20，0.04)。按照3σ原则： （1）求零件直径落在区间(19.4，20.6)内的概率（即合格率）； （2）从产品中抽查到一件零件直径19.0mm，试判断它是否合格，并说明理由。 1 2 2 原创精品资源学科网独家享有版权，侵权必究！2 学科网（北京）股份有限公司 学科网（北京）股份有限公司 $ 专题47 正态分布 一、知识梳理 1. 正态曲线知识 若 x∈(-∞,+∞)，其中实数和(>0)为参数，我们称的图象为正态分布密度曲线，简称正态曲线. 2. 正态分布 如果对于任何实数a,b(a<b)，连续性随机变量X满足P(a<X≤b)等于正态曲线下（x轴上方）x=a到x=b的面积，则称随机变量X服从正态分布。正态分布完全由参数和确定，因此正态分布常记作。如果随机变量X服从正态分布，则记为 提示：参数μ是反映随机变量取值的平均水平的特征数，可以用样本的均值去估计；是衡量随机变量总体波动大小的特征数，可以用样本的标准差去估计. 3. 正态曲线的特点 1）曲线位于x轴上方，与x轴不相交； （2）曲线是单峰的，它关于直线x=对称； （3）曲线在x=处达到峰值 （4）曲线与x轴之间的面积为1； （5）当一定时，曲线的位置由确定，曲线随着的变化而沿x轴平移； （6）当一定时，曲线的形状由确定，越小，曲线越高瘦，表示总体的分布越集中；越大，曲线越“矮胖”，表示总体的分布越分散. 4. 正态分布的概率计算公式和3σ原则 （1）如果随机变量X服从正态分布，即记为X~.则有如下概率计算公式： （2）正态分布在三个特殊区间内取值的概率： P(-<X≤+)≈0.6827, P(-2<X≤+2)≈0.9545, P(-3<X≤+3)≈0.9973. 通常认为服从于正态分布的随机变量X只取(-3,+3)之间的值，并简称之为3原则. 二、题型精练 题型1 正态曲线及其性质 【典例1】．某次我市高三教学质量检测中，甲、乙、丙三科考试成绩的直方图如图所示（由于人数众多，成绩分布的直方图可视为正态分布），则由如图所示曲线可得下列说法中正确的一项是（ ） A.甲科总体的标准差最小 B.丙科总体的平均数最小 C.乙科总体的标准差及平均数都居中 D.甲、乙、丙的总体的平均数不相同 【答案】A 【分析】正态曲线对称轴代表平均数；曲线越瘦高，标准差越小；曲线越矮胖，标准差越大。 三条曲线对称轴在同一位置，说明甲、乙、丙平均数相同；甲曲线最瘦高，则甲的标准差最小，丙最矮胖，丙标准差最大。 【详解】 · A：甲的正态曲线最 “瘦高”，总体标准差最小，正确。 · B：三条曲线对称轴相同，平均数相等，B 错误。 · C：平均数三者相同，乙标准差居中，C 错误。 · D：对称轴一致，总体平均数相同，D 错误。 故本题选A。 【典例2】．设两个正态分布和的密度函数图象如图所示，则有 ( ) A. B. C. D. 【答案】A 【分析】正态密度曲线：对称轴x=，越大对称轴越靠右；越小，曲线越瘦高；越大，曲线越矮胖。 【详解】 从图像看： ① 第一个图像对称轴在左侧，第二个靠右，所以。 ② 第一条曲线更瘦高，说明标准差更小，。 结论：A。 题型2 正态分布下的概率计算 【典例1】．已知随机变量ξ服从正态分布N(2，，且P(ξ<4)=0.8，则P(0<ξ<2)= ( ) A.0.6 B.0.4 C.0.3 D.0.2 【答案】C 【分析】ξ N(2,)，对称轴x==2。 由对称性：P(ξ<2)=0.5；P(ξ>4)=1-P(ξ<4)，P(ξ<0)=P(ξ>4)。 【详解】因为 P(ξ<4)=0.8 P(ξ>4)=1-0.8=0.2 由正态曲线关于x=2对称，得P(ξ<0)=P(ξ>4)=0.2 P(0<ξ<4)=1-P(ξ<0)-P(ξ>4)=1-0.2-0.2=0.6 P(0<ξ<2)= P(0<ξ<4)= ×0.6= 0.3 故本题选C。 【典例2】．在某项测量中，测量结果服从正态分布N(1，4)，求正态总体X在（-1,1）内取值的概率． 【答案】0.3413 【分析】X N(1,4)，=1，=4得到=2。 原则：P(-<X<+)=0.6826，正态曲线关于x=对称。 【详解】 =1,=2\) -=1-2=-1，+=1+2=3 P(-1<X<3)=P(-<X<+)=0.6826 由对称性，区间(-1,1)与(1,3)概率相等 P(-1<X<1)= P(-1<X<3)= ×0.6826=0.3413 故X在(-1,1)内取值的概率为0.3413 三、知识检测 1．设有一正态总体，它的正态曲线是函数f(x)的图象，且，则这个正态总体的均值与标准差分别是 ( ) A.10与8 B.10与2 C.8与10 D.2与10 【答案】B 【分析】正态密度函数： f(x)= 均值为，标准差为。 【详解】 对比公式： 2=8得到=2,=10 均值=10，标准差=2。 故本题选B。 2．关于正态分布，下列说法正确的是( ) A．随机变量落在区间长度为3的区间之外是一个小概率事件 B．随机变量落在区间长度为6的区间之外是一个小概率事件 C．随机变量落在［-3，3］之外是一个小概率事件 D.随机变量落在[-3,+3]之外是一个小概率事件 【答案】D 【分析】考查正态分布3原则：随机变量落在[-3,+3]之内概率约为0.9974，落在该区间之外概率约0.0026，属于小概率事件。 【详解】 · A：只说区间长度为 3，没有结合,，无法判断，错误。 · B：区间长度为 6，不一定是[-3,+3]，错误。 · C：[-3,3]是固定区间，只对标准正态N(0,1)成立，一般正态不成立，错误。 · D：随机变量落在[-3,+3]之外是小概率事件，正确。 故本题选D。 3．正态分布N(0,1）在区间（-2,-1）和（1,2）上取值的概率为，则二者大小关系为 ( ) A. B. C. D.不确定 【答案】A（两处概率相等） 【分析】ξN(0,1)标准正态分布，正态曲线关于直线x=0对称。 【详解】 区间(-2,-1)与(1,2)关于x=0对称， 所以在两个区间上取值的概率相等。 故两个区间概率：P(-2<X<-1)=P(1<X<2)。 4．已知随机变量X服从正态分布N(2,7)，P(X>1)=0.8，则P(X≥3)= ( ) A.0.2 B.0.3 C.0.7 D.0.8 【答案】A 【分析】X N(2,7)，对称轴x==2。利用正态曲线对称性：P(X>2)=0.5；点x=1与x=3关于对称轴x=2对称，则P(X>1)=P(X<3)。 【详解】 由对称性：P(X>1)=P(X<3)=0.8 P(X≥ 3)=1-P(X<3)=1-0.8=0.2 故本题选A。 5．设随机变量ξ∼N(0,1)，已知Φ(-1.96)=0.025，则P(|ξ|<1.96)= ( ) A.0.95 B.0.05 C.0.975 D.0.425 【答案】A 【分析】ξ N(0,1)为标准正态分布，Φ(x)=P(ξ≤ x)，图像关于x=0对称。P(ξ<-1.96)=Φ(-1.96)=0.025，则P(ξ>1.96)=0.025。 【详解】 P(|ξ|<1.96)=P(-1.96<ξ<1.96)=1-P(ξ<-1.96)-P(ξ>1.96)=1-0.025-0.025= 0.95 故本题选A。 6．已知随机变量ξ服从正态分布，若P（ξ<2)=0.3，则P(2<ξ<6)= ( ) A.0.3 B.0.4 C.0.7 D.0.2 【答案】B 【分析】由题意可知正态曲线对称轴为x=4（题目隐含ξN(4,)。 正态分布关于x=对称：P(ξ<)=P(ξ>)=0.5，P(ξ<2)=P(ξ>6)=0.3。 【详解】 因为 P(ξ<2)=0.3，由对称性得P(ξ>6)=0.3 P(2<ξ<6)=1-P(ξ<2)-P(ξ>6) =1-0.3-0.3 =0.4 故本题选B。 7.（25-26高一上·广东·职教高考）若随机变量服从正态分布，则(　　) A．0 B． C． D．1 【答案】C 【分析】根据正态分布求解概率即可. 【详解】∵随机变量服从正态分布， ∴其概率密度曲线关于对称， ∴则. 故选：C. 8.（25-26高三下·山东·模拟预测）已知随机变量X服从正态分布，，则等于(　　) A．0.16 B．0.32 C．0.68 D．0.84 【答案】A 【分析】根据题意结合正态曲线的性质即可得解. 【详解】随机变量X服从正态分布，则曲线关于对称， 因为， 则. 故选：. 9.已知随机变量，若，则（ ） A． B． C． D． 【答案】B 【分析】随机变量服从正态分布，得到曲线关于对称，根据曲线的对称性得到结论． 【详解】因为随机变量服从正态分布，所以曲线关于对称， 又， 所以. 故选：B. 10.下列关于正态曲线的说法正确的是（　　） A．正态曲线关于y轴对称 B．越大，正态曲线越“瘦高” C．正态曲线在x＝处达到最高点 D．μ越大，正态曲线越“矮胖” 【答案】C 【分析】考查正态曲线N(,)的图像性质：对称轴x=；控制胖瘦，\(\sigma\)越大越矮胖，越小越瘦高；曲线在x=处取得最大值。 【详解】 · A：正态曲线关于直线x=对称，只有x=0时才关于y轴对称，A 错误。 · B：越大，曲线越 “矮胖”；越小越 “瘦高”，B 错误。 · C：正态曲线在x=处达到最高点，C 正确。 · D：决定对称轴位置，不决定曲线胖瘦；决定胖瘦，D 错误。 故本题选C。 11.设X～N(3，²)，则正态曲线关于直线x＝＿＿对称，且P(X≤3)＝＿＿。 【答案】3；0.5 【分析】正态分布X N(,)，正态曲线对称轴为x=，在对称轴左右两侧概率各占一半。 【详解】 由X N(,)，得=3， 所以正态曲线关于直线x=3对称。 由对称性，P(X≤ 3)=0.5。 故填：3；0.5。 12．在某次数学考试中，考生的成绩ξ服从一个正态分布，即ξ～N(90,100)． （1）试求考试成绩ξ位于区间（70,110）上的概率是多少？ （2）若这次考试共有2000名考生，试估计考试成绩在（80,100）间的考生大约有多少人？ 【答案】（1）0.9544；（2）大约1366人 【分析】ξ N(,)，=90，=100，=10。 正态分布2、原则： P(-2<X<+2)=0.9544， P(-<X<+)=0.6826。 【详解】ξ N(90,100)，=90,=10。 （1） -2=90-2×10=70，+2=90+2×10=110， 所以P(70<ξ<110)=P(-2<X<+2)=0.9544。 （2） -=80，+=100 P(80<ξ<100)=P(-<X<+)=0.6826 考生人数：2000× 0.6826=1365.2≈1366人。 故（1）概率为0.9544；（2）大约1366人。 13．设随机变量X∼N(2,9)，若P(X>c+1)=P(X <c-1)． (1）求c的值；(2）求P(-4<x<8) 【答案】(1)c=2；(2)0.9544 【分析】X N(2,9)，得=2，=9，=3。正态曲线关于x=对称；若P(X>c+1)=P(X<c-1)，说明两点c+1与c-1关于对称轴x=对称。 【详解】 (1)因为 X N(2,9)，对称轴x=2。 条件P(X>c+1)=P(X<c-1)，说明c+1与c-1关于直线x=2对称。 =2 得c=2 (2) =2,=3 -2=2-6=-4,+2=2+6=8 P(-4<X<8)=P(-2<X<+2)= 0.9544 故 (1)c=2；(2)0.9544 14.设X～N(100，100)，求X落在区间(80，120)内的概率。 【答案】0.9544 【分析】X N(,)，=100，=100，得=10。 正态分布2原则：P(-2<X<+2)=0.9544。 【详解】 由X N(100,100)， =100，=10。 -2=100-2×10=80,+2=100+2×10=120 P(80<X<120)=P(-2<X<+2)=0.9544 故X落在区间(80,120)内的概率为0.9544。 15.某车间生产的零件直径X(单位：mm)服从正态分布N(20，0.04)。按照3σ原则： （1）求零件直径落在区间(19.4，20.6)内的概率（即合格率）； （2）从产品中抽查到一件零件直径19.0mm，试判断它是否合格，并说明理由。 【答案】 （1）0.9974 （2）不合格，理由见详解 【分析】 正态分布X N(,)，=20，=0.04，得=0.2。 3原则： P(-3<X<+3)=0.9974，几乎全部数据落在(-3,+3)，区间之外视为异常。 【详解】 由X N(20,0.04)，=20，=0.2。 （1） -3=20-3×0.2=19.4,+3=20+3×0.2=20.6 故P(19.4<X<20.6)=P(-3<X<+3)=0.9974 即合格率为0.9974。 （2） 19.0 (19.4,20.6)，该值落在±3之外。 根据3原则，几乎所有零件直径都在(19.4,20.6)内，落在该区间外属于小概率事件，因此该零件不合格。 1 2 2 原创精品资源学科网独家享有版权，侵权必究！2 学科网（北京）股份有限公司 学科网（北京）股份有限公司 $