第5章 5.1.2 第1课时 导数的概念-【金版新学案】2026-2027学年高中数学选择性必修第二册同步课堂高效讲义教师用书Word（人教A版）

本讲义聚焦导数的概念这一核心知识点，从函数平均变化率切入，通过类比平均速度，结合几何意义（割线斜率），逐步过渡到瞬时变化率（导数），明确定义、计算步骤及实际意义，构建从具体到抽象的学习支架。 该资料以任务驱动式探究为特色，通过问题链引导学生经历概念形成过程，如对比平均速度与平均变化率、类比瞬时速度定义导数，提升数学抽象和逻辑推理素养。实例中用具体函数计算平均变化率并观察Δx趋近0的趋势，结合水管流量等实际问题，培养数学建模意识。课中助力教师引导学生主动建构知识，课后分层评价和对点练帮助学生巩固提升，查漏补缺。

5.1.2　导数的概念及其几何意义 第1课时　 导数的概念 学习目标 1.了解函数的平均变化率，会求函数在某一点附近的平均变化率，提升数学运算的核心素养. 2.了解导数概念的实际背景，知道导数是关于瞬时变化率的数学表达，体会导数的内涵与思想，培养数学抽象的核心素养. 3.能利用导数的定义求函数的导数，提升数学运算的核心素养. 4．进一步体会极限思想，提升数学抽象的核心素养． 任务一　函数的平均变化率 (阅读教材P64－65，完成探究问题1) 问题1.对比上节课中平均速度的概念，一般情况下，函数y＝f(x)的平均变化率如何理解？ 提示：如图所示，函数f(x)在区间[x1，x2]上的平均变化率，就是直线AB的斜率，其中A(x1，f(x1))，B(x2，f(x2))，事实上kAB＝＝. 另外，从图形上看，它代表割线AB的斜率. 平均变化率：对于函数y＝f(x)，设自变量x从x0变化到x0＋Δx，相应地，函数值y就从f(x0)变化到f(x0＋Δx).这时，x的变化量为Δx，y的变化量为Δy＝f(x0＋Δx)－f(x0).我们把比值，即＝叫做函数y＝f(x)从x0到x0＋Δx的平均变化率. [微提醒]　(1)平均变化率的实质是函数在某一区间内函数值变化量与自变量变化量之比，它的意义是刻画函数的函数值在区间[x0，x0＋Δx]上变化的快慢.(2)平均变化率的物理意义就是运动物体在t到t＋Δt这段时间内的平均速度.(3)平均变化率的几何意义就是函数y＝f(x)图象上的两点(x0，f(x0))与(x0＋Δx，f(x0＋Δx))所在直线的斜率. 已知函数y＝h(x)＝－4.9x2＋6.5x＋10. (1)计算从x＝1到x＝1＋Δx的平均变化率，其中Δx的值为①2；②1；③0.1；④0.01； (2)根据(1)中的计算，当Δx越来越小时，函数h(x)在区间[1，1＋Δx]上的平均变化率有怎样的变化趋势？ 解：(1)因为Δy＝h(1＋Δx)－h(1)＝－4.9(Δx)2－3.3Δx， 所以＝－4.9Δx－3.3. ①当Δx＝2时，＝－4.9Δx－3.3＝－13.1； ②当Δx＝1时，＝－4.9Δx－3.3＝－8.2； ③当Δx＝0.1时，＝－4.9Δx－3.3＝－3.79； ④当Δx＝0.01时，＝－4.9Δx－3.3＝－3.349. (2)当Δx越来越小时，函数h(x)在区间[1，1＋Δx]上的平均变化率逐渐变大，并接近于－3.3. 求函数平均变化率的步骤 第一步(求自变量的改变量)：Δx＝x2－x1； 第二步(求函数值的改变量)：Δy＝f(x2)－f(x1)； 第三步(求平均变化率)：＝. 对点练1.已知函数y＝f(x)＝－x2，求它在下列区间上的平均变化率： (1)[1，3]； (2)[－4，－2]； (3)[x0，x0＋Δx]. 解：(1)函数f(x)在区间[1，3]上的平均变化率为＝＝＝－. (2)函数f(x)在区间[－4，－2]上的平均变化率为＝＝＝. (3)函数f(x)在[x0，x0＋Δx]上的平均变化率为＝＝－2x0－Δx. 任务二　导数的概念 (阅读教材P65－66，完成探究问题2) 问题2.类比平均速度与瞬时速度的关系，试问瞬时变化率如何定义？ 提示：瞬时变化率为＝. 导数的概念 条件 如果当Δx→0时，平均变化率无限趋近于一个确定的值，即有极限 结论 称y＝f(x)在x＝x0处可导，并把这个确定的值叫做y＝f(x)在x＝x0处的导数(也称为瞬时变化率) 记法 记作f'(x0)或y'，即f'(x0)＝ ＝ [微提醒]　对导数概念的再理解 (1)函数应在点x0的附近有定义，否则导数不存在. (2)导数是一个局部概念，它只与函数y＝f(x)在x＝x0及其附近的函数值有关，与Δx无关.(3)导数的实质是一个极限值.(4)瞬时变化率、曲线切线的斜率、函数在该点的导数，三者等价. 角度1　导数定义式的理解 (1)若函数f(x)在x＝1处的导数为1，则＝(　　) A. B. C.1 D.2 (2)(2026·山东枣庄高二期中)设函数y＝f(x)在R上可导，则＝　　　　. 答案：(1)C　(2)f'(1) 解析：(1)根据导数的定义，＝f'(1)＝1.故选C. (2)因为＝f'(1)，所以＝＝f'(1). 角度2　利用导数定义求函数在某一点处的导数 (链教材P65例1)求函数y＝x－在x＝1处的导数. 解：因为Δy＝(1＋Δx)－－＝Δx＋， 所以＝＝1＋， 所以＝＝2. 从而y'｜x＝1＝2. 1.利用导数定义求函数在某一点处的导数的步骤 2.瞬时变化率的变形形式 f'(x0)＝ ＝ ＝ ＝. 对点练2.(1)(2026·陕西咸阳高二月考)函数f(x)在x＝x0处的导数f'(x0)＝(　　) A.与x0，Δx都有关 B.仅与x0有关而与Δx无关 C.仅与Δx有关而与x0无关 D.与x0，Δx均无关 (2)已知函数f(x)可导，且满足＝2，则函数y＝f(x)在x＝3处的导数为(　　) A.－1 B.1 C.－2 D.2 答案：(1)B　(2)C 解析：(1)由导数的定义知，函数f(x)在x＝x0处的导数f'(x0)仅与x0有关，而与Δx无关.故选B. (2)由题意知， ＝－＝－f'(3)＝2， 所以f'(3)＝－2.故选C. 对点练3.利用导数的定义，求函数y＝＋2在x＝1处的导数. 解：因为Δy＝－(＋2)＝， 所以y'｜x＝1＝＝＝－2. 任务三　导数在实际问题中的意义 (链教材P65例2，P66例3)一根水管中流出的水量y(单位：m3)关于时间t(单位：h)的函数为y＝f(t)＝t2＋7t＋15(0≤t≤8).计算在第2 h和第6 h时，水管流量的瞬时变化率，并说明它们的实际意义. 解：在第2 h和第6 h 时，水管流量的瞬时变化率就是f'(2)和f'(6). ＝ ＝ ＝＝Δt＋11， 所以f'(2)＝＝(Δt＋11)＝11. 同理可得f'(6)＝19. 所以在第2 h与第6 h时，水管流量的瞬时变化率分别为11 m3/h与19 m3/h. 这说明在第2 h附近，水流大约以11 m3/h的速度流出，在第6 h附近，水流大约以19 m3/h的速度流出. 1.解决此类问题只需根据题意及导数的定义求出相应的导数值，再根据导数的意义及求解过程，解释导数值的意义即可. 2.在物理中导数往往具有实际意义，如位移关于时间的导数的意义是速度，速度关于时间的导数的意义是加速度等. 对点练4.蜥蜴的体温与阳光的照射有关，已知关系式为T(t)＝＋15，其中T(t)为体温(单位：℃)，t为太阳落山后的时间(单位：min). (1)从t＝0到t＝10，蜥蜴的体温下降了多少？ (2)从t＝0到t＝10，蜥蜴体温的平均变化率是多少？它表示什么意义？ (3)求T'(5)，并说明它的实际意义. 解：(1)在t＝0和t＝10时， 蜥蜴的体温分别为T(0)＝＋15＝39，T(10)＝＋15＝23， 故从t＝0到t＝10，蜥蜴的体温下降了16 ℃. (2)平均变化率为＝－＝－1.6. 它表示从t＝0到t＝10，蜥蜴的体温平均每分钟下降1.6 ℃. (3)T'(5)＝＝－1.2，它表示太阳落山后的第5 min附近，蜥蜴体温大约以1.2 ℃/min的速度下降. 任务 再现 1.函数的平均变化率.2.导数的概念.3.导数在实际问题中的意义 方法 提炼 定义法、极限思想、数形结合思想 易错 警示 对函数的平均变化率、瞬时变化率理解不到位；利用定义求函数在某点处的导数时易忽视分子、分母的对应关系 1.函数f (x)＝x在区间[0，1]上的平均变化率为(　　) A.－1 B.1 C.2 D.－2 答案：B 解析：＝＝1.故选B. 2.已知f(x)是定义在R上的可导函数，若＝，则f'(2)＝(　　) A.－1 B.－ C.1 D. 答案：A 解析：f'(2)＝＝ －2＝－2×＝－1.故选A. 3.某厂家生产的新能源汽车的紧急刹车装置在遇到特殊情况时需在2 s内完成刹车，其位移s(单位：m)关于时间t(单位：s)的函数关系式为s＝－t3－2t＋，则关于s'的实际意义，下列说法中正确的是(　　) A.汽车刹车后1 s内的位移 B.汽车刹车后1 s内的平均速度 C.汽车刹车后1 s时的瞬时速度 D.汽车刹车后1 s时的瞬时加速度 答案：C 解析：由导数的实际意义可知，位移关于时间的瞬时变化率为该时刻的瞬时速度，则s'为汽车刹车后1 s时的瞬时速度，所以C正确，A、B、D错误.故选C. 4.函数f(x)＝x2＋在x＝2处的导数为　　　　. 答案： 解析：f(2＋Δx)－f(2)＝(2＋Δx)2＋－22－＝4Δx＋(Δx)2－，所以＝4＋Δx－.当Δx→0时，4＋Δx－→，故函数f(x)在x＝2处的导数为. 课时分层评价17　导数的概念 (时间：60分钟　满分：110分) (本栏目内容，在学生用书中以独立形式分册装订！) (1—9，每小题5分，共45分) 1.质点运动的速度v(单位：m/s)是时间t(单位：s)的函数，且v＝v(t)，则v'(1)表示(　　) A.t＝1 s时的速度 B.t＝1 s时的加速度 C.t＝1 s时的位移 D.t＝1 s时的平均速度 答案：B 2.已知函数f(x)＝2x2－4的图象上一点(1，－2)及邻近一点(1＋Δx，－2＋Δy)，则等于(　　) A.4 B.4x C.4＋2Δx D.4＋2(Δx)2 答案：C 解析：＝＝＝4＋2Δx.故选C. 3.函数y＝在x＝1处的瞬时变化率为(　　) A.2 B.1 C. D.－ 答案：C 解析：y'｜x＝1＝＝＝＝＝.故选C. 4．若函数y＝f(x)在x＝2处的瞬时变化率为，且＝＝4＋Δx，则f′(2)等于(　　) A．2 B．4 C．2＋Δx D．4＋Δx 答案：B 解析：根据导数的定义可知，f′(2)＝＝＝4.故选B. 5.(多选)设函数y＝f(x)，当自变量x由x0变化到x0＋Δx时，下列说法正确的是(　　) A.Δx可以是正数也可以是负数，但不能为0 B.函数值的改变量Δy为f(x0＋Δx)－f(x0) C.函数f(x)在[x0，x0＋Δx]上的平均变化率为f(x0)·Δx D.函数f(x)在[x0，x0＋Δx]上的平均变化率为 答案：ABD 解析：由平均变化率的定义可知，自变量的改变量为Δx，函数值的改变量Δy为f(x0＋Δx)－f(x0)，平均变化率为＝，即A、B、D正确，C错误.故选ABD. 6．(多选)对于函数y＝f(x)，若f′(x0)＝2，则当Δx无限趋近于0时，在下列式子中无限趋近于2的式子为(　　) A． B． C． D． 答案：AD 解析：对于A，＝f′(x0)，故A正确；对于B，＝f′(x0)＝1，故B错误；对于C，≠＝f′(x0)，故C错误；对于D，＝f′(x0)＝2，故D正确．故选AD. 7.已知函数f(x)＝2x2＋3x，则f'(1)＝　　　　. 答案：7 解析：f'(1)＝＝＝(2Δx＋7)＝7. 8.若函数y＝f(x)在x＝x0处的导数等于2 026，则＝　　　　 . 答案：4 052 解析： ＝2 ＝2f'(x0)＝2×2 026＝4 052. 9.(双空题)已知函数f(x)＝x2＋2x在[0，a]上的平均变化率是函数g(x)＝2x－3在[2，3]上的平均变化率的2倍，则实数a的值为　　　　，则函数f(x)在x＝a处的导数为　　　　. 答案：2　6 解析：函数f(x)在[0，a]上的平均变化率为＝＝a＋2，函数g(x)在[2，3]上的平均变化率为＝＝2，由题意知a＋2＝2×2，所以a＝2.函数f(x)在x＝2处的导数为 ＝ ＝＝(Δx＋6)＝6. 10.(13分)已知二次函数y＝ax2＋bx＋c(a≠0)，求： (1)函数从x1＝1到x2＝3的平均变化率； (2)函数在x＝2处的瞬时变化率； (3)当x为何值时，函数在x处的瞬时变化率等于从x1到x2的平均变化率. 解：(1)由题意得，函数在[x，x＋Δx]上的平均变化率为 ＝ ＝2ax＋a·Δx＋b，取x＝1，Δx＝2， 则函数从x1＝1到x2＝3的平均变化率为＝4a＋b. (2)由(1)知，函数在x＝2处的瞬时变化率为＝(4a＋a·Δx＋b)＝4a＋b. (3)结合(1)(2)可知，函数在x＝2处的瞬时变化率等于从x1到x2的平均变化率. (11—13，每小题5分，共15分) 11．在x＝1附近，取Δx＝0.3，在四个函数①y＝x，②y＝x2，③y＝x3，④y＝中，平均变化率最大的是(　　) A．④ B．③ C．② D．① 答案：B 解析：Δx＝0.3时，①y＝x在x＝1附近的平均变化率k1＝1；②y＝x2在x＝1附近的平均变化率k2＝2＋Δx＝2.3；③y＝x3在x＝1附近的平均变化率k3＝3＋3Δx＋(Δx)2＝3.99；④y＝在x＝1附近的平均变化率k4＝－＝－.所以k3＞k2＞k1＞k4.故选B. 12.已知函数f(x)和g(x)在区间[a，b]上的图象如图所示，则下列说法正确的是(　　) A.f(x)在a到b之间的平均变化率大于g(x)在a到b之间的平均变化率 B.f(x)在a到b之间的平均变化率小于g(x)在a到b之间的平均变化率 C.对于任意x0∈(a，b)，函数f(x)在x＝x0处的瞬时变化率总大于函数g(x)在x＝x0处的瞬时变化率 D.存在x0∈(a，b)，使得函数f(x)在x＝x0处的瞬时变化率小于函数g(x)在x＝x0处的瞬时变化率 答案：D 解析：因为f(x)在a到b之间的平均变化率是，g(x)在a到b之间的平均变化率是，又因为f(b)＝g(b)，f(a)＝g(a)，所以＝，故A、B错误；易知函数f(x)在x＝x0处的瞬时变化率是函数f(x)在x＝x0处的导数，即函数f(x)在该点处的切线的斜率，同理可得，函数g(x)在x＝x0处的瞬时变化率是函数g(x)在该点处的导数，即函数g(x)在该点处的切线的斜率，由题中图象可知，当x0∈(a，b)时，函数f(x)在x＝x0处切线的斜率有可能大于g(x)在x＝x0处切线的斜率，也有可能小于g(x)在x＝x0处切线的斜率，故C错误，D正确.故选D. 13.如图所示，函数y＝f(x)在[x1，x2]，[x2，x3]，[x3，x4]这几个区间内，平均变化率最大的一个区间是　　　　. 答案：[x3，x4] 解析：由平均变化率的定义可知，函数y＝f(x)在区间[x1，x2]，[x2，x3]，[x3，x4]上的平均变化率分别为，，，结合图象可以发现函数y＝f(x)的平均变化率最大的一个区间是[x3，x4]. 14.(15分)某机械厂生产一种木材旋切机，已知总利润c(单位：元)与产量x(单位：台)之间的关系式为c(x)＝－2x2＋7 000x＋600. (1)产量由1 000台提高到1 500台时，求总利润的平均变化率； (2)求c'(1 000)与c'(1 500)，并说明它们的实际意义. 解：(1)当产量由1 000台提高到1 500台时， 总利润的平均变化率为 ＝ ＝2 000(元/台). (2)设x＝1 000时产量的改变量为Δx1， 则＝ ＝ ＝－2Δx1＋3 000. 令Δx1→0，可得c'(1 000)＝3 000. 设x＝1 500时产量的改变量为Δx2， 则＝ ＝＝－2Δx2＋1 000. 令Δx2→0，可得c'(1 500)＝1 000. c'(1 000)的实际意义：当产量为1 000台时，多生产1台旋切机可多获利3 000元； c'(1 500)的实际意义：当产量为1 500台时，多生产1台旋切机可多获利1 000元. 15.(5分)已知函数f(x)＝x(x＋1)(x＋2)…(x＋2 026)，则函数f(x)在x＝0处的导数为　　　　. (注：1×2×3×…×n＝n！(n∈N*)) 答案：2 026！ 解析：Δy＝f(0＋Δx)－f(0)＝Δx(Δx＋1)(Δx＋2)…(Δx＋2 026)， ＝＝(Δx＋1)(Δx＋2)…(Δx＋2 026)，f'(0)＝(Δx＋1)(Δx＋2)…(Δx＋2 026)＝1×2×3×…×2 026＝2 026！. 16.(17分)试比较正弦函数y＝sin x在x＝0和x＝附近的平均变化率哪一个大. 解：当自变量从0变到Δx时，函数的平均变化率为k1＝＝. 当自变量从＋Δx时，函数的平均变化率为k2＝＝. 由于是在x＝0和x＝附近的平均变化率，故可知Δx较小，但Δx既可为正，又可为负. 当Δx＞0时，k1＞0，k2＜0，即k1＞k2； 当Δx＜0时，k1－k2＝－＝＝. 因为Δx＜0，所以Δx－＜－， 所以sin ＜－， 从而有sin ＜－1， sin ＋1＜0，所以k1－k2＞0， 即k1＞k2. 综上可知，正弦函数y＝sin x在x＝0附近的平均变化率大于在x＝附近的平均变化率. 学科网（北京）股份有限公司 $