专题03 全等三角形常考八大模型突破 专项训练 2026-2027学年苏科版八年级数学上册

**基本信息** 以全等三角形八大变换模型为核心，通过题型分类构建“模型识别-辅助线构造-全等证明”的系统化方法体系，强化几何直观与推理能力。 **专项设计** |模块|题量/典例|方法提炼|知识逻辑| |----|-----------|----------|----------| |平移型|4题|利用平移性质证对应边等、角等|从基本平移变换到线段关系证明| |翻折型|4题|轴对称性质转化边/角条件|依托翻折对称性构建全等条件| |旋转型|5题|旋转角相等+对应边等证全等|旋转不变性在动态几何中的应用| |一线三等角型|7题|K字模型构造AAS/ASA全等|直角/等角条件下的线段和差关系| |手拉手模型|6题|共顶点等腰三角形旋转全等|从特殊（等腰直角）到一般（等角）| |对角互补模型|5题|角平分线+互补条件构造全等|角平分线性质与四边形内角和综合| |半角模型|4题|旋转法拼接线段证和差关系|半角条件下的线段转化技巧| |倍长中线法|5题|延长中线构造SAS全等|中点条件下的线段倍分关系证明|

专题03 全等三角形常考八大模型突破 【题型01：平移型】 【题型02：翻折型】 【题型03：旋转型】 【题型04：一线三等角型】 【题型05：手拉手模型】 【题型06：对角互补模型】 【题型07：半角模型】 【题型08：倍长中线法模型】 【题型01：平移型】 1．如图，，，，求证：． 2．如图，点，，，在同一直线上，，，．求证：． 3．如图，点是的中点，，． (1)求证：； (2)若，求的度数． 4．如图，已知，．点B、E、C、F在同一条直线上并且． (1)试说明：≌； (2)判断线段与线段的关系，说明理由． 【题型02：翻折型】 5．如图：已知，．求证：． 6．如图，在中，点D是边上一点，连接 并延长至点C，连接．若 求证：． 7．如图，在中，点在边上，连接，点在的延长线上，连接，，且，．求证：． 8．与按如图所示的位置摆放，交于点M，交于点N，与交于点O．若，，．求证：． 【题型03：旋转型】 9．如图，在中，，点在边上，，过点作，连接，． 求证：． 10．如图，与相交于点，与相交于点，，，，求证：． 11．已知：如图，，，． (1)请说明：． (2)与相等吗？请说明理由． 12．如图，点A在线段上，已知，，． (1)求证：． (2)若，，求的长． 13．已知：如图，，，，若，，． (1)证明： (2)求与的周长的和． 【题型04：一线三等角型】 14．根据以下素材，探索完成任务． 荡秋千问题 素材1 如图，小丽与爸妈在公园里荡秋千，开始时小丽坐在秋千的起始位置，且起始位置与地面垂直．    素材2 如图，小丽从秋千的起始位置处，两脚在地面上用力一蹬，妈妈在秋千距地面高的处接住她后用力一推，爸爸在处接住她．若妈妈与爸爸到的水平距离、分别为和，．    问题解决 (1)与全等吗？请说明理由； (2)当爸爸在处接住小丽时，小丽距离地面有多高？ 15．在中，，，过点C作直线，于点M，于点N． (1)若在外（如图1）， 求证：； (2)若与线段相交（如图2），且，，则 16．如图，在中，，，直线经过点C，且于点D，于点E． (1)如图1，证明． (2)如图1，有怎样的数量关系？并加以证明． (3)如图2，在平面直角坐标系中，，，为等腰直角三角形，，，求B点坐标． 17．（1）如图1，在平面直角坐标系中，已知，，．求点C的坐标． （2）如图2．点M，E分别在轴，轴正半轴上，，点A在轴负半轴上，作且，连接交轴于N．求证：； 18．如图，是的边上的高，且，以为直角边，在上方作，使，，过点E作，交的延长线于点F，连接交于点H． (1)求证：； (2)求证：； (3)若，，求的长． 19．通过对如图数学模型的研究学习，解决下列问题： (1)【模型呈现】如图1，，，过点B作于点C，过点D作于点E．由，得．又，可以推理得到．进而得到______，______．我们把这个数学模型称为“K字”模型或“一线三等角”模型； (2)[模型应用]如图2，且，且，请按照图中所标注的数据，计算图中实线所围成的图形的面积． (3)[深入探究]如图3，，，，连接，，且于点F，与直线交于点G．求证：点G是的中点． 20．探究下列问题： (1)小林同学在探究三角形全等时，发现了下面这种基本图形，如图①，已知：在中，，，直线经过点，，，垂足分别为点，．能直接得到线段，，三者之间的数量关系： ． (2)当直线绕点旋转到图②的位置时，求证：； (3)老师赞赏了小林同学的探索精神，并鼓励他运用这个方法来解决问题：如图③，以的边向外作正方形和正方形是边上的高，延长交于点，当时， ． 【题型05：手拉手模型】 21．（1）如图1，和是等腰直角三角形，，，连接，，构建“手拉手”模型，可证明________；在此基础上，我们把如图2的画斜线部分称为“蝴蝶型”，可通过证明得到________； （2）如图3，和是等边三角形，，连接，，的延长线与相交于点．求的度数； （3）如图4，在和中，，，，，连接，．则直线与直线的夹角为________度． 22．【综合与探究】 在和中，，，，连接，． (1)【模型呈现】如图1，，，三点共线，试判断与的数量关系，并说明理由； (2)【模型应用】如图2，设，相交于点，，相交于点，若，求的度数． 23．已知：如图，与中，，，． (1)如图1，，相交于点M，连接． ①求证：； ②求的度数（用含n的式子表示）； (2)如图2，当时，分别取，的中点P，Q，连接，和，判断的形状，并加以证明． 24．如图，，，，AD与BC，BE分别相交于点F，M，连接CM． (1)求证：； (2)用含的式子表示的度数． (3)【拓展提问】小明同学对该题进行进一步研究，并提出了下面两个结论：①CM平分；②CM平分．请你选一个正确的结论，并给予证明． 25．已知：如图，在中，，在中，，且，连接，交于点，连接． (1)求证：； (2)求的度数； (3)求证：平分． 26．如图1，都是等腰三角形，，，，连接和相交于点E，连接． (1)求证：； (2)求证：平分； (3)如图2，若，点F为上一点，，连接，，交于点G，求证：． 【题型06：对角互补模型】 27．已知：如图，平分，C，D分别在上，若，求证：． 28．（1）问题背景：如图1，已知三角形内角和为，连接得到和，易得四边形的内角和为 ． （2）尝试应用：如图2，已知在四边形中，，，． ①求证：平分． ②若，，求的长． 29．如图，在四边形中，平分，，． (1)求证：． (2)若，，求四边形的周长． 30．已知点是平分线上一点，的两边，分别与射线，相交于，两点，过点作，垂足为，． (1)若，则点到的距离是________； (2)如图1，当点在线段上时，则和满足什么数量关系？请说明理由； (3)如图2，当点在线段的延长线上时，若，，，求． 31．课本再现：①角平分线上点到角两边距离相等；②在一个角的内部，到角的两边距离相等的点在这个角的平分线上． (1)如图1，，，，若为，则为________． (2)如图2，在四边形中，平分，，，求证：． (3)在（2）的条件下，如图3，过点作于点，试判断，，之间的数量关系，并说明理由． 【题型07：半角模型】 32．如图1，在四边形中，，，点，分别在四边形的边，上，，连接，试猜想，，之间的数量关系． (1)思路梳理 将绕点逆时针旋转至，使与重合，由，得，即点，，三点共线，易证，故，，之间的数量关系为 ； (2)类比引申 如图2，在图1的条件下，若点，由原来的位置分别变到四边形的边，延长线上，，连接，试猜想，，之间的数量关系，并给出证明． 33．【观察探究】 （1）如图1，在四边形中，，，，E为边上一点，F为边上一点，连接，，，且，探究图中线段，，之间的数量关系，并说明理由． 【拓展延伸】 （2）如图2，在四边形中，，，E为边上一点，F为边上一点，连接，，，且，若，，请直接写出的周长的值． 34．在四边形中，，，，、分别是、上的点，且，试探究图1中线段、、之间的数量关系． 【初步探索】 (1)小亮同学认为：延长到点，使，连接，根据三角形全等的条件，可以得到，从而根据三角形全等的性质得到，由，进而得到，这样，就可以根据三角形全等的条件，确定，则可得到、、之间的数量关系是 ． 【探索延伸】 (2)如图2，在四边形中，，，、分别是、上的点，，上述结论是否仍然成立？说明理由． 35．综合探究 【初步探索】 (1)如图1，在四边形中，，，，分别是，上的点，且，探究图1中，，之间的数量关系．小颖同学探究此问题的方法是：延长到点，使．再连接，先说明，再说明，可得出结论，他的结论应是________． 【灵活运用】 (2)如图2，若在四边形中，，，，分别是，上的点，且，上述结论是否仍然成立？请说明理由． 【拓展延伸】 (3)已知在四边形中，，，若点在的延长线上，点在的延长线上，如图3所示，仍然满足，若，求的度数． 【题型08：倍长中线法模型】 36．某数学兴趣小组在活动时，老师提出了这样一个问题：如图1，在中，，，D是的中点，求边上的中线的取值范围． 小明在组内经过合作交流，得到了如下的解决方法：延长到，使，请补充完整证明“”的推理过程． (1)求证： 证明：延长到点，使 在和中 （__________） 请补齐空白处 (2)由（1）的结论，根据与之间的关系，探究得出的取值范围是__________； (3)【感悟】解题时，条件中若出现“中点”“中线”等字样，可以考虑延长中线构造全等三角形，把分散的已知条件和所求证的结论集合到同一个三角形中． 【问题解决】 如图2，中，，，是的中线，，，且，求的长． 37．发现问题 （1）课外兴趣小组活动时，老师提出了如下问题：如图①，在中，若，，求边上的中线的取值范围．小亮在组内经过合作交流，得到了如下解决方法：延长到点，使，连接，得到，他用到的判定定理是______；（用字母表示） 解决问题 （2）小刚发现，解题时，条件中若出现“中点”， “中线”字样，可以考虑构造全等三角形，要学好数学一定要多思考，做到举一反三，于是他又提出了一个新的问题：如图②，在中，点是的中点，点在边上，点在边上，若，求证：； 拓展应用 （3）如图③，在中，分别以，为边向外作和，使，，，点是的中点，连接，，当时，求的长． 38．【发现问题】 课外兴趣小组活动时，老师提出了如下问题：如图1，在中，若，，求边上的中线的取值范围．小华在组内经过合作交流，得到了如下解决方法：延长到点E，使，得到，他用到的判定定理是______（用字母表示）． 【解决问题】 小明发现，解题时，条件中若出现“中点”，“中线”字样，可以考虑构造全等三角形，“问题是数学的心脏”，要学好数学一定要多思考，做到举一反三，于是他又提出了一个新的问题：如图2，在中，点D是的中点，点M在边上，点N在边上，若，求证：． 【拓展应用】 如图3，在中，分别以，为边向外作和，使，，，点M是的中点，连接，，当时，求的长． 39．【发现问题】（1）数学活动课上，王老师提出了如下问题：如图1，，，中线的取值范围是多少？ 【探究方法】第一小组经过合作交流，得到了如下的解决方法： ①延长到E，使得； ②连接，通过三角形全等把、、转化在中； ③利用三角形的三边关系可得AE的取值范围为，从而得到的取值范围是________________________； 方法总结：解题时，条件中若出现“中点”、“中线”字样，可以考虑倍长中线构造全等三角形 【问题拓展】 （2）如图2，，，与互补，连接、，E是的中点，求证：； （3）如图3，在（2）的条件下，若，延长交于点F，，，求的面积． 40．【阅读理解】 中线是三角形中的重要线段之一．在解决几何问题时，当条件中出现“中点”、“中线”等条件，可以考虑利用中线作辅助线，即把中线延长一倍，通过构造全等三角形，把分散的已知条件和所要求的结论集中到同一个三角形中，从而运用全等三角形的有关知识来解决问题，这种作辅助线的方法称为“倍长中线法”．（注：等腰三角形两个底角相等，三个内角为的三角形为等边三角形） （1）如图1，是的中线，且，延长至点E，使，连接． ①根据所作辅助线可以证得，其中判定全等的依据为：______； ②若，则的取值范围是______； 【方法运用】 运用上面的方法解决下面的问题： （2）如图2，是的中线，点E在的延长线上，，，求证：平分． 小明是这么想的：延长至点G，使，连接，即可证明，并根据全等三角形的性质继续解题，请根据小明的想法，完整的写出证明过程． 【问题拓展】 （3）如图3，是四边形的对角线，，点E是边的中点，点F在上，，，，若，面积为16.8，直接写出点F到的距离． - 1 学科网（北京）股份有限公司 $专题03全等三角形常考八大模型突破 题型归纳 【题型01：平移型】 【题型02：翻折型】 【题型03：旋转型】 【题型04：一线三等角型】 【题型05：手拉手模型】 【题型06：对角互补模型】 【题型07：半角模型】 【题型08：倍长中线法模型】 专题训练 【题型01：平移型】 1.如图，∠B=∠E,BCED,BC=ED,求证：△ABC≌△CED 【答案】证明.BC‖ED .∠ACB=∠CDE, 在△ABC和△CED中， |∠ACB=∠CDE 由 CB=DE ∠B=∠E ∴.△ABC≌△CED ASA 【详解】略 2.如图，点D,A,E,B在同一直线上，EF‖BC,EF=BC,∠F=∠C.求证： △≌△ABC. 【答案】证明：，EF‖BC, ∠B=∠FED 在△乙和△ABC中 ∠F=∠C EF=BC ∠FED=∠B ∴，△≌△ABC ASA. 【分析】先根据平行线的性质得到∠B=∠FED,再利用ASA证明△≌△ABC即 可 【详解】略 3.如图，点C是AB的中点，AD‖CE,AD=CE D E (1)求证：CD=BE: (2)若∠E=50°，求∠DCE的度数. 【答案】(1)证明：.点C是AB的中点， .'AC=BC ,AD‖CE, .∴.∠A=∠ECB 又.'AD=CE, ∴.△DAC≌△ECB SAS, ∴.CD=BE; (2)50 【分析】(1)由点C是AB的中点，可知AC=BC,因为AD‖CE,根据平行线性质 可得∠A=∠ECB,结合条件AD=CE,利用“边角边”证明全等即可： (2)由全等三角形对应角相等∠D=∠E=50°，再由平行线的性质即可求解题目. 【详解】(1)证明：略： (2)解：'△DAC≌△ECB, ∴.∠D=∠E=50° AD‖CE, .∠ECD=∠D=50° 4.如图，已知AB‖DE,AB=DE.点B、E、C、F在同一条直线上并且BE=CF (1)试说明：△ABC≌△乙： (2)判断线段AC与线段DF的关系，说明理由. 【答案】(1)证明见解析 2AC=DF'AC‖DF理由见解析 【分析】(1)先证明∠B=∠乙，BC=EF,再进一步证明即可： (2)由△ABC≌△就，可得AC=DF,∠ACB=∠DFE,进一步求解即可. 【详解】(1)证明：，AB‖DE, .∠B=∠g就， ∵BE=CF, ∴.BC=EF, 在△ABC和△兽乙中， AB=DE ∠B=∠乙BC=EF ∴.△ABC≌△gSAS: (2)解：AC=DF,AC‖DF:理由如下： 由(1)知：△ABC≌△g就， ∴.AC=DF,∠ACB=∠DFE, .AC‖DF 【题型02：翻折型】 5.如图：已知∠ADB=∠CDB,AD=CD.求证：∠A=∠C. D B 【答案】见解析 【分析】根据已知由SAS可得△ADB≌△CDB,故∠A=∠C. 【详解】证明：在△ADB和△CDB中， AD=CD ∠ADB=∠CDB, DB=DB .△ADB≌△CDBSAS, .∴.∠A=∠C 6.如图，在△ABO中，点D是边AB上一点，连接DO并延长至点C,连接CA.若 ∠B=∠C,∠AOB+∠AOD=180°，求证：OB=OC. D B 【答案】见详解 【分析】通过证明△ABO≌△ACO即可求解. 【详解】证明：，∠AOB+∠AOD=180°，∠AOD+∠AOC=180°， ∴.∠AOB=∠AOC 在△ABO和△ACO中， AO=AO ∠AOB=∠AOC ∠B=∠C .∴△ABO≌△ACOAAS ..OB=OC. 7.如图，在△ABC中，点D在AB边上，连接CD,点E在BC的延长线上，连接DE, AB=DE,且∠B=∠CDE,∠BCD=∠ACE.求证：BC=DC. D 【答案】证明：：∠BCD=∠ACE, ,∠BCD+∠ACD=∠ACE+∠ACD, .∠BCA=∠DCE, ∠BCA=∠DCE ∠B=∠CDE AB=ED ∴，△ABC≌△EDCAAS, ∴.BC=DC 【分析】先证明∠BCA=∠DCE,再证明△ABC≌△EDC AAS即可： 【详解】略 8.△ABC与△乙按如图所示的位置摆放，BC交DF于点M,AC交EF于点N,BC与 EF交于点O.若∠C=∠F,BC=EF,BO=EO.求证：MF=NC 】 M 【答案】证明：，BC=EF,BO=EO, ..OF=OC, ,∠C=∠F,∠FOM=∠CON, ∴.△FOM≌△CON ASA, ∴.MF=NC 【分析】利用ASA证明△FOM≌△CON,即可得到MF=NC 【详解】证明：略。 【题型03：旋转型】 9.如图，在△ABC中，∠BAC=90°，点D在AC边上，AB=AD,过点D作 DE‖AB,连接AE,BC=AE. E B 求证：∠C=∠E. 【答案】详见解析 【分析】根据平行线的性质得到∠ADE=∠BAC=90°，证明 Rt△BAC≌Rt△ADE,即可得到∠C=∠E. 【详解】证明：，DE‖AB,∠BAC=90°， .∴.∠ADE=∠BAC=90° 在Rt△BAC和Rt△ADE中，AB=AD,BC=AE, ∴.Rt△BAC≌Rt△ADE HL ∠C=∠E 10.如图，AD与BE相交于点F,BD与CE相交于点G,∠D=∠E,∠CBD=∠ABE, BA=BC,求证：BD=BE. 【答案】见解析 【分析】先证明∠CBE=∠ABD,再利用AAS证明△CBE≌△ABD即可证明结 论成立。 【详解】证明：，∠CBD=∠ABE, 6 ∴.∠CBD+∠DBE=∠ABE+∠DBE,即∠CBE=∠ABD, ,∠D=∠E,BA=BC, ∴△CBE≌△ABD AAS, ..BD=BE. 11.已知：如图，AC=DC,BC=EC,∠ACD=∠BCE. (1)请说明：∠ACB=∠DCE. 2)AB与DE相等吗？请说明理由. 【答案】(1)见解析 2)AB=DE见解析 【分析】(1)根据等式的性质即可证明： (2)证明△ACB≌△DCE SAS即可. 【详解】(1)证明：，∠ACD=∠BCE ,∴.∠ACD+∠ACE=∠BCE+∠ACE .∠ACB=∠DCE: (2)解：AB=DE,理由如下： :AC=DC,∠ACB=∠DCE,BC=EC .△ACB≌△DCE SAS ..AB=DE 12.如图，点A在线段CD上，已知BC‖DE,BC=CD,∠BAC=∠E. D B (1)求证：△ABC≌△ECD. (2)若DE=5,BC=12,求AD的长. 【答案】(1)证明：：BC‖DE, .∠ACB=∠D, 在△ABC和△ECD中， ∠BAC=∠E ∠ACB=∠D BC=CD .△ABC≌△ECD|AAS: (2)7 【分析】(1)根据平行线的性质得到∠ACB=∠D,再利用AAS证明 △ABC≌△ECD即可； (2)根据全等三角形的性质得到AC=DE=5,BC=CD=12,再利用线段的和差即 可求解。 【详解】(1)略 (2)解：，△ABC≌△ECD .AC=DE=5,BC=CD=12. ∴.AD=CD-AC=12-5=7 13.己知：如图，∠ABD=∠CBE,AB=BD,BC=BE,若AD=2,DC=3,BC=4. (1)证明：△ABC≌△DBE (2)求△DFC与△BFE的周长的和. 【答案】(1) 解：，∠ABD=∠CBE :.∠ABD+∠DBC=∠CBE+∠DBC, ∴.∠ABC=∠DBE, AB=BD,BC=BE, .△ABC≌△DBE|SAS: (2)16 【分析】(1)先结合角的和差关系得出∠ABC=∠DBE,再证明 △ABC≌△DBE SAS,即可作答. (2)根据全等三角形的性质得DE=AC=5,BE=BC=4,再把数值代入 FC+DC+DF+FE+BE+BF=DC+BE+DE+BC计算，即可作答. 【详解】(1)略 (2)解：由(1)得△ABC≌△DBE, .DE=AC=AD+DC=2+3=5,BE=BC=4. 则△DFC与△BFE的周长的和=FC+DC+DF+FE+BE+BF =DC+BE+DE+BC =DC+BE+DE+BC =3+4+5+4 =16 【题型04：一线三等角型】 14.根据以下素材，探索完成任务， 荡秋千问题 如图，小丽与爸妈在公园里荡秋千，开始时小丽坐在 秋千的起始位置，且起始位置与地面垂直 素 材 1 如图，小丽从秋千的起始位置A处，两脚在地面上用 力一蹬，妈妈在秋千距地面1m高的B处接住她后用 旁 力一推，爸爸在C处接住她.若妈妈与爸爸到OA的 材 水平距离BD、CE分别为1.2m和1.8m, E 2 ∠BOC=90°. B D 7777777777777777777777777777777 问题解决 (a△OBD与△C0E全等吗？请说明理由： (2)当爸爸在C处接住小丽时，小丽距离地面有多高？ 【答案】(1)全等，理由： 据题意可知，OB=OC .·∠BOC=∠BDO=∠CEO=90° ∴.∠COE+∠BOD=90°，∠COE+∠OCE=90°， .∴.∠BOD=∠OCE, 在△OBD和△COE中， ∠BOD=∠OCE ∠BDO=∠CEO OB=OC .∴.△OBD≌△COEAAS. (2)1.6m 【分析】(1)先由∠COE+∠BOE=90°，∠COE+∠OCE=90推出 ∠BOD=∠OCE,再根据AAS证明两个三角形全等： (2)根据全等三角形的性质求出ED,再结合AD=1m求出AE,即为小丽距离地面 的高度. 【详解】(1)略 (2)解：据(1)可知，△OBD≌△COE, 则OD=CE,BD=OE ·.BD=1.2m,CE=1.8m, .∴.0E=1.2m,OD=1.8m .∴.ED=OD-OE=0.6m, .'AD=1m, .∴.AE=AD+ED=1.6m, 故在C处接住小丽时，小丽距离地面1.6m 15.在△ABC中，∠ACB=90°，AC=BC,过点C作直线MN,AM⊥MN于点M, BN⊥MN于点N. 10 图1 图2 (1)若MN在△ABC外（如图1），求证：MN=AM+BN; (2)若MN与线段AB相交（如图2），且AM=2.4,BN=0.9,则MN= 【答案】(1)见解析 (21.5 【分析】(1)利用互余关系证∠MAC=∠NCB,再证△AMC≌△CNBAAS, 得到AM=CN,MC=BN,即可得出结论： (2)类似于(1)可证△ACM≌△CBN AAS,得AM=CN=2.4, CM=BN=0.9,即可得出结论 【详解】(1)证明：，AM⊥MN,BN⊥MN, ∴，∠AMC=∠CNB=90° :∠ACB=90°， ∠MAC+∠ACM=90°，∠NCB+∠ACM=90°， ∴.∠MAC=∠NCB. 在△AMC和△CNB中， ㄥAMC=∠CNB ∠MAC=∠NCB AC=CB .△AMC≌△CNBAAS, ∴.AM=CN,MC=NB. .MN=NC+CM. .MN =AM+BN: (2)解：：AM⊥MN,BN⊥MN, :.∠AMC=∠CNB=90°， .∠MAC+∠ACM=90°， ,∠ACB=90°， ∴.∠ACM+∠NCB=90° 11 .∠MAC=∠NCB, 在△ACM和△CBN中， ∠AMC=∠CNB ∠MAC=∠NCB AC=CB .△ACM≌△CBN AAS, .AM=CN=2.4,CM=BN=0.9, .MN=CN-CM=2.4-0.9=1.5 16.如图，在△ABC中，∠ACB=90°，AC=BC,直线MN经过点C,且AD⊥MN 于点D,BE⊥MN于点E. 图1 图2 (1)如图1，证明△ADC≌△CEB, (2)如图1，DE、AD、BE有怎样的数量关系？并加以证明 (3)如图2，在平面直角坐标系中，A-1,0,C1,3,△ABC为等腰直角三角形， ∠ACB=90°，AC=BC,求B点坐标. 【答案】(1) 证明：，'AD⊥MN于D,BE⊥MN于E, ∴.∠ADE=∠BED=90°： .∴.∠ACD+∠DAC=90°： .∠ACB=90°： ∴.∠ACD+∠BCE=90°； .∴.∠DAC=∠BCE; 在△ACD和△BCE中， ∠ADE=∠BED ∠DAC=∠BCE AC=CB .∴.△ADC≌△CEB AAS 12 ②DE=AD+BE' 证明如下： 由(1)得△ADC≌△CEB, ∴.AD=CE,CD=BE, .∴.DE=DC+CE=AD+BE. (3)B4,1 【分析】本题考查了全等三角形的性质与判定，坐标与图形，熟练掌握一线三垂直全 等模型是解题的关键： (1)根据AAS证明△ADC≌△CEB即可： (2)利用全等三角形的性质证明即可： (3)过点C作直线MNx轴，作AD⊥MN于点D,BE⊥MN于点E,同法(1) 可得△ADC≌△CEB,进而求出点B的坐标即可. 【详解】(1)略 (2)略 (3)过点C作直线MNX轴，作AD⊥MN于点D,BE⊥MN于点E, AO 图2 :A-1,0,C1,3: AD=3,CD=1--1=2, 同(1)法可得：△ADC≌△CEB AAS, ..CE=AD=3,BE=CD=2, .B1+3,3-2,即B4,1 17.(1)如图1，在平面直角坐标系中，已知A5,0,B0,3,CB⊥BA,CB=BA.求 点C的坐标. (2)如图2.点M,E分别在x轴，y轴正半轴上，OM=OE,点A在x轴负半轴上， 作EF⊥AE且EF=AE,连接MF交y轴于N.求证：AM=2ON: 13 图1 图2 【答案】(1)C3,8: (2)证明：如图2，过点F作FG⊥OE于点G, △GEF≌△OAEAAS】 M 图2 同(1)可得 .GF=OE,≥=OA」 .OM=OE ∴.GF=OM, 又，∠NGF=∠NOM=90°，∠GNF=∠ONM, .△GNF≌△ONMAAS. ..NG=NO. ON-0G+)-IOA+M-M, .AM=2ON 【分析】主要考查全等三角形的判定和性质，具备一定的数形结合思想，运用全等三 角形求证线段相等是解题的关键， (1)过点C作CD⊥y轴于点D,求证△AOB≌△BDC AAS,得 AO=DB=5,OB=DC=3,于是C3,8: (2)过点F作FG⊥OE于点G,可证△GEF≌△OAEAAS,得 GF=OE,≥=OA.可证△GNF≌△ONM AAS,得NG=NO,可得 0N=0G=2AM, 14 【详解】解：(1)A5,0,B0,3, ∴A0=5,0B=3, 如图1，过点C作CD⊥y轴于点D, D B A 图1 则∠AOB=∠ABC=∠BDC=90, ∴.∠OAB+∠OBA=90°，∠DBC+∠OBA=90°， ∴.∠OAB=∠DBC, 在△AOB和△BDC中， ∠AOB=∠BDC ∠OAB=∠DBC AB=BC .△AOB≌△BDC AAS, ..AO=DB=5,OB=DC=3, .OD=OB+BD=3+5=8, ∴.C3,8: (2)略 18.如图，CD是△ABC的AB边上的高，且CD=BD,以AC为直角边，在AC上方作 △ACE,使∠ACE=90°，AC=CE,过点E作EF⊥DC,交DC的延长线于点 F,连接BE交DF于点H. E (1)求证：△ADC≌△CFE: (2)求证：DH=HF: (3)若S△AB=8S△HCE,DC=4,求AB的长. 【答案】(1)证明：，CD是△ABC的AB边上的高，EF⊥DC, ∴.∠ADC=∠CFE=90°， ∴，∠DAC+∠ACD=90°， ,∠ACE=90°， .∠FCE+∠ACD=90, .∠FCE=∠DAC, 在△ADC和△CFE中， ∠ADC=∠CFE=90° ∠DAC=∠FCE AC=CE ∴.△ADC≌△CFE AAS: (2)证明：由(1)可得△ADC≌△CFE, ∴CD=EF, .CD=BD ..BD=EF, 在△BDH和△EFH中， ∠BDH=∠EFH=90 ∠BHD=∠EHF BD=EF ,△BDH≌△EFHAAS, ..DH=FH; 3)AB=32 5 【分析】(1)先证明出∠FCE=∠DAC,再利用“AAS”即可证明 △ADC≌△CFE: (2)由(1)可得△ADC≌△CFE,则CD=EF,结合题意得出BD=EF,再证明 △BDH≌△EFH AAS,即可得证； (3)由(1)可得△ADC≌△CFE,则AD=CF,CD=EF,由(2)可得 DH=FH,结合题意得出BD=CD=EF=4,由SAABC=8 SA HCE,得出AB=8CH, 6 求出CH= 即可得出结果 【详解】(1)略： (2)略： (3)解：由(1)可得△ADC≌△CFE, ∴，AD=CF,CD=EF, 由(2)可得DH=FH, BD=CD.DC=4. .'BD=CD=EF=4, SAABC=8SAHCE AB×4=8×号CH×4, ..AB=8CH. .AB=AD+BD=AD+CD=CF+CD=FH-CH+CD=DH-CH+4. ∴.DH-CH+4=8CH, .DH+4=9CH, .DH+CH+4=10CH. ∴.CD+4=10CH, .4+4=10CH, CH- AB=8CH=32 19.通过对如图数学模型的研究学习，解决下列问题： 17 D BN A G F B 61 图1 图2 图3 (1)【模型呈现】如图1，∠BAD=90°，AB=AD,过点B作BC⊥AC于点C,过 点D作DE⊥AC于点E.由∠1+∠2=∠2+∠D=90°，得∠1=∠D.又 ∠ACB=∠AED=90°，可以推理得到△ABC≌△DAE.进而得到AC= BC=一·我们把这个数学模型称为“K字”模型或“一线三等角”模型； (2[模型应用]如图2，AE⊥AB且AE=AB,BC⊥CD且BC=CD,请按照图中所 标注的数据，计算图中实线所围成的图形的面积。 (3[深入探究]如图3，∠BAD=∠CAE=90°，AB=AD,AC=AE,连接BC,DE, 且BC⊥AF于点F,DE与直线AF交于点G.求证：点G是DE的中点. 【答案】(1)DE,AE (2)50 (3)证明：过点D作DM⊥AG于点M,过点E作EN⊥AG于点N, 由(1)可知，当∠BAD=90°，AB=AD,BC⊥AF,DM⊥AG时， △BFA≌△AMD .FA=MD 同理，△CFA≌△ANE, ∴.A=NE, ∴，MD=NE ,DM⊥AG,EN⊥AG, .∠DMG=∠ENG=90°， 又，∠DGM=∠EGN, ,△DMG≌△ENG AAS, ∴.DG=EG, 18 即点G是DE的中点. 图3 【分析】(1)根据全等三角形的性质得到对应边相等： (2)根据全等三角形的判定得到△EPA≌△AGB、△BGC≌△CHD,从而得到 对应边相等，进而根据三角形面积公式和梯形面积公式得到S榜DEPH、S△EA、S△ABc S△BGc、S△cHD,最后根据面积之间的和差关系求出图中实线所围成的图形的面积； (3)过点D作DM⊥AG于点M过点E作EN⊥AG于点N,由(1)得到 △BFA≌△AMD、△CFA≌△ANE,根据全等三角形的性质得到MD=NE,再 根据全等三角形的判定得到△DMG≌△ENG,最后利用全等三角形的性质得到 DG=EG,从而得到结论 【详解】(1)解：，△ABC≌△DAE, ∴AC=DE,BC=AE: (2)解：过点E作EP⊥AC于点P,过点B作BG⊥AC于点G,过点D作 DH⊥AC于点H, ,AE⊥AB, .∠EAB=90°， ∴.∠EAP+∠BAG=90°， BG⊥AC, ∠AGB=90°， ∴.∠ABG+∠BAG=90, ,∠EAP=∠ABG EP⊥AC ∠EPA=90, .∠EPA=∠AGB=90°， 又AE=AB .△EPA≌△AGB AAS, 19 .EP=AG=6,PA=GB=3, 同理，△BGC≌△CHD ∴.GB=HC=3,GC=HD=4, :.PH=PA+AG+GC+HC=3+6+4+3=16, ∴S6Em=号EPx PA=号x6x3=9, SAc=号AG x BG=号x6x3=9. 5ac-0G×CG=×3x4=6, 2 Sacm=号CH×DH=x3×4=6. SDE-DH+EP×PH=号×14+6×16=80， .S=S DEPH-SAERA-SAABG-SABGC-SACHD=80-9-9-6-6=50, 答：图中实线所围成的图形的面积为50： (3)略 20.探究下列问题： M G B M M D B H 图① 图② 图③ (1)小林同学在探究三角形全等时，发现了下面这种基本图形，如图①，已知：在 △ABC中，∠BCA=90°，CA=CB,直线MN经过点C,AD⊥MN,BE⊥MN, 垂足分别为点D,E.能直接得到线段DE,AD,BE三者之间的数量关系：_ (2)当直线MN绕点C旋转到图②的位置时，求证：DE=AD-BE: (3)老师赞赏了小林同学的探索精神，并鼓励他运用这个方法来解决问题：如图③，以 △ABC的边AB,AC向外作正方形ABDE和正方形ACFH,AH是BC边上的高， 延长HA交EG于点M,当BC=3时，AM= 20 【答案】(1)AD+BE=DE (2)证明：，'AD⊥DE,BE⊥DE, ∴.∠ADC=∠BEC=90°， .∠ACB=90°， ∴.∠ACD+∠BCE=90°，∠DAC+∠ACD=90°， ∴.∠DAC=∠BCE, 在△ADC和△CEB中， ∠CDA=∠BEC ∠DAC=∠ECB, AC=BC .∴.△ADC≌△CEB AAS. ∴AD=CE,CD=BE, DE=CE-CD=AD-BE' e 【分析】(1)先证明∠ADC=∠BEC=90°，∠DAC=∠BCE,再证明 △ADC≌△CEB,再利用全等三角形的性质可得结论： (2)先证明∠ADC=∠BEC=90°，∠DAC=∠BCE,再证明 △ADC≌△CEB,再利用全等三角形的性质可得结论： (3)过E作EI⊥HM于I,过G作GN⊥HM的延长线于N.结合由(1)和(2)的 结论可知EI=AH=GN,证明△EMI≌△GMN,设未知数从而可得结论. 【详解】(1)证明：.'AD⊥DE,BE⊥DE, .∴.∠ADC=∠BEC=90°， .∠ACB=90°， ∴.∠ACD+∠BCE=90°，∠DAC+∠ACD=90°， ∴.∠DAC=∠BCE, 在△ADC和△CEB中， ∠CDA=∠BEC ∠DAC=∠ECB, AC=BC .∴△ADC≌△CEB AAS. 21 ∴.AD=CE,CD=BE, DC+CE=DE, ∴.AD+BE=DE. (2)略 (3)解：如图， Nr- G y B H 过E作EI⊥HM于I,过G作GN⊥HM的延长线于N, ∴.∠EIM=∠GNM=90°， 由(1)和(2)的结论可知EI=AH=GN,BH=AI,CH=AN, 在△EMI和△GMN中， ∠EMI=∠GMN ∠EIM=∠GNM, EI=GN .'.△EMI≌△GMN AAS, .∴.EM=GM,MI=MN, 设CH=AN=a,则BH=AI=3-a,(=AN-AI=a-3-a=2a-3, 3 :·MI=MN三3=aP分 .AM=AI+MI=3-a+a-3-3 221 【题型05：手拉手模型】 21.(1)如图1，△ABC和△ADE是等腰直角三角形，AB<AD, ∠BAC=∠DAE=90°，连接BD,CE,构建“手拉手”模型，可证明BD= ；在此基础上，我们把如图2的画斜线部分称为“蝴蝶型”，可通过证明得 到BD⊥ (2)如图3，△ABC和△ADE是等边三角形，AD<AB,连接BD,CE,BD的延 22 长线与CE相交于点F.求∠BFC的度数： (3)如图4，在△ABC和△ADE中，AB=AC,AD=AE,AD<AB, ∠BAC=∠DAE=40°，连接BD,CE.则直线BD与直线CE的夹角为 度 图1 图2 图3 图4 【答案】(1)CE,CE;(2)60度；(3)40 【分析】本题主要考查全等三角形的判定与性质等知识，能够在图中找到全等三角形 并证明是解题关键； (1)先通过SAS证得△BAD≌△CAE,进而通过全等三角形性质可得到 BD=CE,BD⊥CE; (2)先证明∠BAD=∠CAE,再证明△ABD≌△ACE可得BD=CE,再根据三 角形内角和定理可得： (3)方法同(2)，需要先证△ABD≌△ACE,然后再根据全等三角形性质即可求 解。 【详解】解：(1)，∠BAC=∠DAE=90, ∴.∠BAC+∠CAD=∠EAD+∠CAD,即∠BAD=∠CAE, ,△ABC和△ADE是等腰直角三角形， ∴.AB=AC,EA=DA ∴.△BAD≌△CAE SAS, ∴.BD=CE,∠BDA=∠CEA 如图，AD与EC交点为H,BD与EC交点为M, ∴.∠AHE=∠CHD .∠AHE+∠CEA=∠CHD+∠BDA, :∠EAD=90°， :,∠AHE+∠CEA=∠CHD+∠BDA=90°， ∴.∠BMC=∠DMH=90°， .BD⊥CE 23 故答案为：CE,CE. B (2):△ABC和△ADE是等边三角形 ∴.AB=AC,AD=AE,∠BAC=∠DAE=60°， .∴.∠BAC-∠DAC=∠DAE-∠DAC,即∠BAD=∠CAE, .∴△ABD≌△ACE SAS, ∴.BD=CE,∠ABD=∠ACE, 设BF与AC相交于点G,则∠AGB=∠FGC, ∴.∠BFC=∠BAC=60°： E (3)延长BD交CE于点F,设BD,AC交于点G, A G ∠BAC=∠DAE=40° 图4 ,∠BAC+∠DAC=∠DAC+∠DAE, .∠BAD=∠CAE, 又AB=AC,AD=AE, .△ABD≌△ACE SAS, ∴.BD=CE,∠ABD=∠ACE, ,∠AGB=∠CGF, .∠CFB=∠BAC=40°， 24 即直线BD与直线CE的夹角为40°： 故答案为：40 22.【综合与探究】 图 图2 在△AOB和△COD中，OA=OB,OC=OD,∠AOB=∠COD,连接AC,BD. (1)【模型呈现】如图1，A,O,D三点共线，试判断AC与BD的数量关系，并说明 理由： (2)【模型应用】如图2，设AC,BD相交于点P,AC,OB相交于点Q,若 ∠AOB=50°，求∠APD的度数. 【答案】(1)AC=BD,理由如下： ,∠AOB=∠COD, ∴.∠AOB+∠COB=∠COD+∠COB ,∴.∠AOC=∠BOD OA=OB 在△AOC和△BOD中， ∠AOG=∠BOD OC=OD .△AOC≌△BOD SAS, ..AC=BD (2130 【分析】(1)利用SAS证明三角形全等，即可得到AC与BD的数量关系： (2)由全等三角形的性质，可得∠OAC=∠OBD,根据三角形的内角和，求出 ∠BPQ=∠AOQ=50°，根据平角的定义，即可求出∠APD 【详解】(1)略 (2)解：由(1)可得，△AOC≌△BOD SAS, ∴.∠OAC=∠OBD, 在△AOQ和△BPQ中，∠BQP=∠AQO,∠OAQ=∠QBP, ∴.∠BPQ=∠AOQ=50° 25 .∠APD=180°-∠BPQ=180°-50°=130° 23.已知：如图，△ABC与△CDE中，CA=CB,CD=CE,∠ACB=∠DCE=n°. B 图1 图2 (1)如图1，AD,BE相交于点M,连接CM ①求证：AD=BE; ②求∠AMB的度数（用含n的式子表示）； (2)如图2，当n=90时，分别取AD,BE的中点P,Q,连接CP,CQ和PQ,判断 △CPQ的形状，并加以证明. 【答案】(1) ①证明：：∠ACB=∠DCE=n ∴.∠ACB+∠BCD=∠DCE+∠BCD ,∠ACD=∠BCE 在△ACD与△BCE中 AC=BC ∠ACD=∠BCE CD=CE .△ACD△ BCE SAS) .AD=BE ②n° (2) △CPQ是等腰直角三角形，证明如下： 由(1)得△ACD≌△BCESAS, AD=BE,∠CAD=∠CBE, ,P,Q分别为AD,BE的中点， ..AP=BQ 在△ACP与△BCQ中 26 AC=BC ∠CAP=∠CBQ AP=BQ .△ACP≌△BCQ SAS, ∴.CP=CQ,∠ACP=∠BCQ, :∠ACP+∠PCB=∠ACB=n°， ∠BCQ+∠PCB=∠ACB=n°， 即∠PCQ=∠ACB=n°， 又：n=90 .∠PCQ=90, ∴△CPQ是等腰直角三角形 【分析】本题考查全等三角形的性质与判定，三角形内角和定理； (1)①由∠ACB=∠DCE=n°，可得∠ACD=∠BCE,进而可证明 △ACD≌△BCE SAS,结论即可得证： ②由△ACD≌△BCESAS可得∠CAD=∠CBE,再由三角形内角和定理可得 180°-∠CAD-∠2=180°-∠CBE-∠1，即可求解： (2)由(1)可得AD=BE,∠CAD=∠CBE,又因为P,Q分别为AD,BE的中 点，可得AP=BQ,进而可证明△ACP≌△BCQSAS,可得CP=CQ, ∠ACP=∠BCQ,由∠BCQ+∠PCB=∠ACP+∠PCB,可得∠PCQ=90°， 即可得出△CPQ的形状 【详解】(1)①略 ②解：如图所示： B 图1 由①得△ACD≌△BCE SAS, .∠CAD=∠CBE 又，∠2=∠1， .180°-∠CAD-∠2=180°-∠CBE-∠1， 27 即∠AMB=∠ACB=n°， .∠AMB=n°. (2)略 24.如图，AC=BC,CD=CE,∠ACB=∠DCE=a,AD与BC,BE分别相交于点 F,M,连接CM. (1)求证：AD=BE: (2)用含C的式子表示∠AMB的度数. (3)【拓展提问】小明同学对该题进行进一步研究，并提出了下面两个结论：①CM平 分∠BCD;②CM平分∠AME.请你选一个正确的结论，并给予证明. 【答案】 (1)∠ACB=∠DCE=a, ∴.∠ACD=∠BCE, 在△ACD和△BCE中， CA=CB ∠ACD=∠BCE CD=CE ∴.△ACD≌△BCE(SAS), ∴.AD=BE (2)∠AMB=a (3)②CM平分∠AME正确. 证明：过点C作CG⊥AD于点G,CH⊥BE于点H, .'△ACD≌△BCE SAACD=SABCE 28 :号AD×CG=CH×BE, 又，AD=BE, ∴.CG=CH, ,CG⊥AD,CH⊥BE, .CM平分∠AME 【分析】(1)由CA=CB,CD=CE,∠ACB=∠DCE=a得到∠ACD=∠BCE, 利用SAS即可判定△ACD≌△BCE,即可得证： (2)根据△ACD≌△BCE,得出∠CAD=∠CBE,再根据∠AFC=∠BFM, 即可得到∠AMB=∠ACB=a: (3)过点C作CG⊥AD于点G,CH⊥BE于点H,先通过全等三角形的性质得到 S△AcD=S△BCE,再通过三角形的面积公式可得到CG=CH,最后通过角平分线的判 定定理得到结论。 【详解】(1)略 (2)解：.△ACD≌△BCE, ∴.∠CAD=∠CBE, 在△ACF和△BFM中，∠CAF+∠FCA=∠FBM+∠FMB, ∴.∠AMB=∠ACB=a. (3)略 25.己知：如图，在△ABC中，AB=AC,在△ADE中，AD=AE,且 ∠BAC=∠DAE=36°，连接BD,CE交于点P,连接AP. B (1)求证：BD=CE: 29 (2)求∠BPC的度数： (3)求证：PA平分∠BPE. 【答案】(1) 证明：：∠BAC=∠DAE, .∴.∠BAC+∠CAD=∠DAE+∠CAD ∴.∠BAD=∠CAE 在△BAD和△CAE中， AB=AC BAD=ㄥCAE AD=AE .∴.△BAD≌△CAE SAS, ∴.BD=CE: (2)∠BPC=36° (3) 证明：如图，作AM⊥BD于M,作AN⊥CE于N D ,'△BAD2△CAE B .BD=CE,SABAD=SACAE, BD-AM-CE-AN. ∴.AM=AN, .点A在∠BPE的角平分线上， 即PA平分∠BPE. 【分析】(1)利用SAS证明△BAD≌△CAE即可得出结论： (2)由等边对等角及三角形内角和定理求得∠ABC=∠ACB=72°，再根据全等三 30 角形的性质得∠ABD=∠ACE,等量代换求得∠PBC+∠PCB=144°，进一步根 据三角形内角和定理求解即可： (3)作AM⊥BD于M,作AN⊥CE于N,由全等三角形的性质推出SAAD=S△CAE, 进一步根据角平分线的性质即可得出结论， 【详解】(1)略 (2)解：.∠BAC=36°，AB=AC, .∴.∠ABC=∠ACB=72°， 由(1)知：△BAD2△CAE, ∴.∠ABD=∠ACE, .∴.∠PBC+∠PCB=∠PBC+∠ACB+∠ACE=∠PBC+∠ACB+∠ABD =∠ABC+∠ACB=72°+72°=144°， ∴.∠BPC=180°-∠PBC+∠PCB=180°-144°=36°， 即∠BPC=36°： (3)略 【点睛】本题考查了全等三角形的判定和性质，等腰三角形的性质，角平分线的性质， 解题的关键是熟练掌握全等三角形的判定和性质，学会转化的思想，巧用等积法进行 证明 26.如图1，△OAB,△OCD都是等腰三角形，OA=OB,OC=OD, ∠AOB=∠COD,连接AC和BD相交于点E,连接OE, B 图1 图2 (1)求证：AC=BD: (2)求证：EO平分∠AED: (3)如图2，若∠AOB=60°，点F为BD上一点，DF=CE,连接OF,OF=BE, AC交OB于点G,求证：AC⊥OB, 【答案】(1) 31 证明：，∠AOB=∠COD ∴.∠AOB+∠BOC=∠COD+∠BOC 即∠AOC=∠BOD, 在△AOC和△BOD中， OA=OB AOC=∠BOD OC=OD .△AOC≌△BOD SAS. ∴AC=BD: (2) 证明：过点O作OM⊥AC于M,ON⊥BD于N,如下图， B .∠OMA=∠ONB=90°. :△AOC≌△BOD .∠OAC=∠OBD, 在△OAM和△OBN中， ∠OMA=∠ONB ∠OAM=∠OBN OA=OB .△OAM≌△OBN AAS, ∴.OM=ON, .EO平分∠AED: (3) 证明：：△AOC≌△BOD: .∠OCE=∠ODF, 在△OCE和△ODF中， 32 OC=OD ∠OCE=∠ODF CE=DF △OCE≌△ODF SAS, ∴.OE=OF .OF=BE, “.OE=BE “△OEB为等腰三角形 由(2)知∠OAC=∠OBD, ,∠AGO=∠BGE, ∴.∠AOB=∠AEB=60, 由(2)知EO平分∠AED, ÷∠AE0=180°-∠AEB=600, ∴∠AEO=∠AEB, ∴.AC⊥OB 【分析】此题考查了全等三角形的判定和性质、角平分线的判定和性质、等腰三角形 的判定和性质等知识 (1)证明△AOC≌△BOD SAS,即可得到结论： (2)过点o作OM⊥AC于M,ON⊥BD于N,证明△OAM≌△OBN AAS, 得到OM=ON,即可得到结论： (3)证明△OCE≌△ODF|SAS,OE=OF,得到OE=BE,得到△OEB为等腰 三角形，证明∠AOB=∠AEB=60°，由(2)知EO平分∠AED,得到 ∠AE0=|180°-∠AEB=60,则∠AEO=∠AEB,即可证明AC⊥OB. 【详解】(1)略 (2)略 (3)略 【题型06：对角互补模型】 27.已知：如图，OP平分∠AOB,C,D分别在OA,OB上，若 ∠PCO+∠PDO=180°，求证：PC=PD 33 D 【答案】 证明：过P作PE⊥OA于点E,过P作PF⊥OB于点F, 则∠PEO=∠PFO=∠PFD=90°， .OP平分∠AOB, ∴.∠1=∠2， 在△POE和△POF中 ∠PEO=∠PFO ∠1=∠2 PO=PO .∴.△POE≌△POF(AAS), ∴PE=PF, .∠PCO+∠PD0=180°，∠PC0+∠PCE=180°， ∴.∠PCE=∠PDF, ∠PEC=∠PFD 在△PCE和△PDF中∠PCE=∠PDF PE=PF ∴.△PEC≌△PFD, .'.PC=PD. A E P 【分析】如图，作辅助线，证明△PMC2△PND,得到PEPN,即可解决问题. 【详解】略 【点睛】本题考查了角平分线的性质、全等三角形的判定及其性质等几何知识点的应 用问题；解题的关键是作辅助线；牢固掌握定理是灵活运用、解题的基础和关键。 34 28.(1)问题背景：如图1，已知三角形内角和为180°，连接BD得到△ABD和△BCD, 易得四边形ABCD的内角和为360°， (2)尝试应用：如图2，已知在四边形ABCD中，DE⊥BC, ∠BAD+∠BCD=180°，AD=DC. ①求证：BD平分∠ABC, ②若AB=5,BC=18,求BE的长， D A A E 图1 图2 【答案】 (1).'∠A+∠ABD+∠ADB=180°，∠C+∠CBD+∠CDB=180°， ∴.∠A+∠ABD+∠ADB+∠C+∠CBD+∠CDB=360°， .∴.∠A+∠ABC+∠ADC+∠C=360°， ∴.四边形ABCD的内角和为360°； (2)①证明：如图2，过点D作DF⊥BA交BA的延长线于点F, Fg- D ∠BAD+∠BCD=180°∠BAD+∠DAF=180° 图2 .∴.∠BCD=∠DAF, .DE⊥BC,DF⊥BA, ∴.∠CED=∠AFD=90°， AD=DC. .△CED≌△AFD(AAS), ∴.DE=DF, .DE⊥BC,DF⊥BA, .∴.BD平分∠ABC: ②BE=11.5 35 【分析】本题是四边形综合题，考查三角形内角和定理和四边形内角和，全等三角形 的判定与性质，角平分线的性质，解决本题的关键是证明△CED≌△AFD(AAS), (1)根据三角形内角和定理即可解决问题： (2)①过点D作DF⊥BA交BA的延长线于点F,证明△CED≌△AFD(AAS), 得DE=DF,然后根据角平分线的性质即可证明BD平分∠ABC; ②证明△BDF≌△BDE(AAS),得BF=BE,然后根据AB=5,BC=18,即可求 BE的长。 【详解】(1)略 (2)①略 解：②解：BD平分∠ABC, .∴.∠FBD=∠EBD, .·∠BFD=∠BED=90°，BD=BD, ∴.△BDF≌△BDE(AAS), ∴.BF=BE .AB=5,BC=18 .∴.AB+AF=BC-CE, .'△CED≌△AFD, ∴.CE=AF, ∴.5+CE=18-CE, .∴.CE=6.5, .∴.BE=BC-CE=18-6.5=11.5. 29.如图，在四边形ABCD中，AC平分∠DAB,∠ABC+∠ADC=180°，CE⊥AB D (1)求证：BC=CD (2)若AE=7,BC=4,求四边形ABCD的周长. 【答案】(1) 证明：如图，过点C作CF⊥AD交AD的延长线于F, 36 D .∵AC ∠BAD CE⊥ABCF⊥AD B 平分 .∴.∠CEB=∠CFD=90°，CE=CF, .:∠ABC+∠ADC=180°，∠CDF+∠ADC=180°， ∴.∠ABC=∠CDF, 在△CBE和△CDF中， ∠EBC=ㄥCDF ∠CEB=∠CFD CE=CF .∴△CBE≌△CDF AAS, ∴.BC=DC (2)22 【分析】此题考查了全等三角形的判定与性质、角平分线的性质. (1)如图所示，过点C作CF⊥AD交AD的延长线于F,根据角平分线的性质得出 CE=CF,再证明∠ABC=∠CDF,证明△CBE≌△CDF,根据全等三角形的性 质即可证明： (2)根据△CBE≌△CDF,得出DF=BE,证明Rt△ACE≌Rt△ACF,得出 AE=AF,再根据四边形周长定义及线段的和差求解即可。 【详解】(1)略 (2)解：，'△CBE≌△CDF, ∴.DF=BE,CD=BC,∠CFA=∠CEA=90°， .AC平分∠BAD, .∴.∠FAC=∠EAC, 在Rt△ACE和Rt△ACF中， ∠CFA=∠CEA ∠FAC=∠EAC AC=AC ∴.Rt△ACE≌Rt△ACF AAS, ∴，AE=AF 37 .四边形ABCD的周长=AB+BC+CD+AD =AE +BE+BC+CD+AD =AE+DF+BC+BC+AD =AE+AD+DF+2BC =AE+AF+2BC =AE+AE+2BC =2AE+2BC, .AE=7,BC=4, .四边形ABCD的周长=22. 30.已知点C是∠MAN平分线上一点，∠BCD的两边CB,CD分别与射线AM,AN相 交于B,D两点，过点C作CE⊥AB,垂足为E,∠ABC+∠ADC=180 图1 图2 (1)若CE=4,则点C到AN的距离是 (2)如图1，当点E在线段AB上时，则BC和CD满足什么数量关系？请说明理由： (3)如图2，当点E在线段AB的延长线上时，若AE=5,AD=6,CE=3,求S△BCE. 【答案】(1)4 (2) BC=CD理由：如图1，过点C作CF⊥AN于点F,则∠CEB=∠CFA=90°， E B 图1 :点C是∠MAN平分线上一点， .∴.CF=CE 38 .∠ABC+∠ADC=180°，∠ADC+∠CDF=180°， ∴.∠ABC=∠CDF, ∠CEB=∠CFD 在△CBE和△CDF中 ∠ABC=∠CDF CE=CF .∴△CBE≌△CDF AAS, ∴.BC=CD: 吗 【分析】(1)根据角平分线的性质定理即可求解； (2)过点C作CF⊥AN于点F,利用角平分线的性质定理证明△CBE≌△CDF即 可 (3)过点C作CF⊥AN于点F,利用角平分线的性质定理证明△CBE≌△CDF, 再证明Rt△ACE≌Rt△ACF即可求解. 【详解】(1)解：，点C是∠MAN平分线上一点，CE⊥AB,CE=4, ∴.点C到AN的距离是4： (2)解：BC=CD: 理由略： (3)解：过点C作CF⊥AN于点F,如图， 图2 则∠CEB=∠CA=90°， :点C是∠MAN平分线上一点， .∴.CF=CE=3, .∠ABC+∠ADC=180°，∠ABC+∠CBE=180°， .∴.∠CBE=∠CDF, ∠CEB=∠CFD 在△CBE和△CDF中 ∠CBE=∠CDF CE=CF 39 .∴△CBE≌△CDF AAS, .BE=DF .AC=AC,CE=CF. :.Rt△ACE≌Rt△ACF HL, .AF=AE=5. ..BE=DF=AD-AF=6-5=1. .Sawe-BE-CE-x1×3- 2 31.课本再现：①角平分线上点到角两边距离相等；②在一个角的内部，到角的两边距离 相等的点在这个角的平分线上， 图1 图2 图3 (1)如图1，DB=DC,DB⊥AB,DC⊥AC,若∠CAB为60°，则∠ADB为 (2)如图2，在四边形ABDC中，AD平分∠BAC,∠ABD+∠ACD=180°， ∠ABD<90°，求证：DB=DC (3)在(2)的条件下，如图3，过点D作DE⊥AB于点E,试判断AB,AC,BE之间 的数量关系，并说明理由 【答案】(1)60° (2) 证明：如图2中，作DE⊥AB于E,DF⊥AC于F, 图2 :DA平分∠BAC,DE⊥AB,DF⊥AC % .DE=DF. :∠ABD+∠ACD=180°，∠ACD+∠FCD=180°， ∠B=∠FCD 在△DFC和△DEB中， ∠F=∠DEB ∠FCD=∠B DF=DE .△DFC≌△DEBAAS, ∴DC=DB 3) 解：结论：AB=AC+2BE 理由：如图3中，连接AD,作DF⊥AC于F, 图3 同(2)小题可得DF=DE,CF=BE, :∠F=90°，∠DEA=90°， .在Rt△ADF和Rt△ADE中， AD=AD DE=DF .Rt△ADF≌Rt△ADE HL, ..AF=AE, .AB=AE+BE=AC+CF+BE=AC+2 BE 【分析】本题考查了全等三角形的判定与性质，角平分线的性质定理，熟练掌握以上 知识点并灵活运用是解此题的关键， (1)证明Rt△ACD≌Rt△ABD HL,得出∠BAD=∠CAD,求得 ∠BAD=30°，即可得解： (2)作DE⊥AB于E,DF⊥AC于F,由角平分线的性质定理可得DE=DF,再 证明△DFC≌△DEB AAS,即可得证； 名 (3)连接AD,作DF⊥AC于F,同(2)小题可得DF=DE,CF=BE,再证明 Rt△ADF≌Rt△ADE HL,得出AF=AE,即可得解， 【详解】(1)解：在Rt△ACD和Rt△ABD中， CD=BD AD=AD :.Rt△ACD≌Rt△ABD|HL, ,∠BAD=∠CAD ,∠CAB为60°， ·∠BAD= ∠BAC=30°， ∴.∠ADB=90°-∠BAD=60°： (2)略 (3)略 【题型07：半角模型】 32.如图1，在四边形ABCD中，AB=AD,∠B+∠ADC=180°，点E,F分别在四 助形ABCD的边BC,CD上，∠EAF上BAD,连接EE,试猜想EE,BE,DF 之间的数量关系. B 图1 图2 图3 (1)思路梳理 将△ABE绕点A逆时针旋转至△ADG,使AB与AD重合，由∠B+∠ADC=180°， 得∠FDG=180°，即点F,D,G三点共线，易证△AFG≌△AFE,故EF,BE, DF之间的数量关系为： (2)类比引申 如图2，在图1的条件下，若点E,F由原来的位置分别变到四边形ABCD的边CB, 42 DC延长线上，∠EAF=号∠BAD,连接EF,试猜想EF,B距，DF之间的数量关 系，并给出证明. 【答案】(1)EF=BE+DF (2) EF=DF-BE: 证明将△ABE绕点A逆时针旋转，使AB与AD重合，得到△ADE,则 △ABE≌ADE, B C FD 图2 .∠DAE=∠BAE,AE=AE,DE=BE,∠ADE=∠ABE, .:∠ABC+∠ADC=180°，∠ABC+∠ABE=180°， :∠ADE=∠ADC,即E,D,F三点共线， :∠EAF=∠BAD, ∠EAF=∠BAD-∠BAF+∠DAE=∠BAD-∠BAF+∠BAEI=∠BAD-∠EAF=号∠BAL ∠EAF=∠EAF, AE-AE 在△AEF和△AEF中， EAF=∠EAF AF=AF .△AFE≌△AFE(SAS), ..FE=FE, 又，FE=DF-DE, .EF=DF-BE. 【分析】(1)将△ABE绕点A逆时针旋转至△ADG,使AB与AD重合，首先证明F, 43 D,G三点共线，求出∠EAF=∠GAF,然后证明△AFG≌△AFE,根据全等三 角形的性质解答： (2)将△ABE绕点A逆时针旋转，使AB与AD重合，得到△ADE',首先证明E', D,F三点共线，求出∠EAF=∠EAF,然后证明△AFE≌△AFE,根据全等 三角形的性质解答： 【详解】(1)解：将△ABE绕点A逆时针旋转至△ADG,使AB与AD重合， :∠B+∠ADC=180°， .∠FDG=180°，即点F,D,G三点共线， :∠BAE=∠DAG,∠EAF=I∠BAD, .∠EAF=∠GAF, 在△AFG和△AFE中， AE=AG ∠EAF=∠GAF AF=AF ∴，△AFG≌△AFE(SAS), ..EF=FG=DG+DF=BE+DF; (2)略 【点睛】本题考查的是旋转变换的性质、全等三角形的判定和性质以及勾股定理等知 识，灵活运用利用旋转变换作图、掌握全等三角形的判定定理和性质定理是解题的关 键 33.【观察探究】 (1)如图1，在四边形ABCD中，AB=AD,∠BAD=120°， ∠B=∠ADC=90°，E为BC边上一点，F为CD边上一点，连接AE,AF,EF, 且∠EAF=60°，探究图中线段BE,EF,DF之间的数量关系，并说明理由 【拓展延伸】 (2)如图2，在四边形ABCD中，AB=AD,∠B+∠D=180°，E为BC边上一点， 为CD边上一点，连接AE,AP,EE,且∠EAF=BAD,若BC=5,CD三 请直接写出△CEF的周长的值. 44 D D B E 【答案】 (1)EF=BE+DF, 理由：如图，延长CB至点F,使得BF=DF, D 则∠ABF=90° :AB=AD,∠ABF=∠ADF,BF=DF, △ADF≌△ABFSAS') ∴.∠DAF=∠BAF,AF=AF. ,∠EAF=60°，∠BAD=120°， .∠DAF+∠EAB=120°-60°=60°， ∴.∠EAF=∠EAB+∠BAF=∠DAF+∠EAB=60°， ∴，∠EAF=∠EAF, ,AE=AE,∠EAF=∠EAF,AF=AF, 六△EAF≌△EA FISAS ∴EF=EF=BE+BF=BE+DF, .EF=BE+DF. (2)11 【分析】本题考查了全等三角形的判定与性质，三角形的周长， (I)延长CB至点P使BF=DF:证明△ADF兰△ABFISAS?得 45 ∠DAF=∠BAF'AF=AF然后证明△EAF兰△EAF ISASI,得 EF=EF=BE+BF=BE+DF,即可解决问题： (2)类比(1)可证得EF=EB+DF,进而可以求得 CACEF=CE+EF+CF=CE+EB+DF+CF=BC+CD,即可求解. 解决本题的关键是准确作出辅助线构造全等三角形 【详解】解：(1)略 (2)△CEF的周长为11. D FB 如图，延长CB至点F,使得BF=DF, :∠ABC+∠ABF=180°，∠ABC+∠D=180°， ∴.∠ABF=∠D, .AB=AD. △ADF≌△ABF(SAS' ,∠DAF=∠BAF,AF=AF. :∠EAF=∠BMD, ∴.∠DAF+∠EAB=∠EAF, :.∠EAF=∠EAB+∠BAF=∠DAF+∠EAB=∠EAF, ,AE=AE,∠EAF=∠EAF,AF=AF, ·△EAF≌△EA FSAS' ∴EF=EF=BE+BF=BE+DF, ∴.EF=BE+DF. .CACEF=CE+EF+CF=CE+EB+DF+CF=BC+CD=5+6=11. 34.在四边形ABCD中，AB=AD,∠BAD=120°，∠B=∠ADC=90°，E、F分别 是BC、CD上的点，且∠EAF=60°，试探究图1中线段BE、EF、FD之间的数量 46 关系 G B 图1 图2 【初步探索】 (1)小亮同学认为：延长FD到点G,使DG=BE,连接AG,根据三角形全等的条件 SAS,可以得到△ABE≌△ADG,从而根据三角形全等的性质得到 ∠GAD=∠BAE,由∠BAD=120°，∠EAF=60°进而得到 ∠FAG=∠FAE=60°，这样，就可以根据三角形全等的条件SAS,确定 △AEF≌△AGF,则可得到BE、EF、FD之间的数量关系是_： 【探索延伸】 (2)如图2，在四边形ABCD中，AB=AD,∠B+∠D=180°，E、F分别是BC、 CD上的点，∠EAF= ∠BAD,上述结论是否仍然成立？说明理由. 2 【答案】(1)EF=DF+BE (2)上述结论仍然成立；理由如下： 如图所示，延长FD到G,使DG=BE,连接AG, G B E ,∠B+∠ADC=180°，∠ADG+∠ADC=180° .∴.∠B=∠ADG 又.AB=AD,BE=DG, .∴.△ABE≌△ADGSAS, “,∠EAB=∠GAD,AE=AG,(全等三角形的对应角、对应边相等) 47 :∠EAF=∠BAD, 2 .∠EAF=∠FAG, 在△AEF和△AGF中， AE=AG ∠EAF=∠GAF, AF=AF .△AEF≌△AGFSAS, .EF=FG=DF+DG=DF+BE, 即：EF=DF+BE,结论仍然成立. 【分析】(1)由△AEF≌△AGF,可得EF=FG,而FG=DF+DG=DF+BE, 则可得EF=DF+BE: (2)延长FD到G,使DG=BE,连接AG,可证得△ABE≌△ADG, △AEF≌△AGF,从而得到EF=DF+BE,结论仍然成立. 【详解】(1)解：BE、EF、FD之间的数量关系是EF=DF+BE, ,△AEF≌△AGF, ∴.EF=FG, .DG=BE,FG=DF+DG. .EF=FG=DF+DG=DF+BE. (2)略 35.综合探究 【初步探索】 图1 图2 图3 (1)如图1，在四边形ABCD中，AB=AD,∠B=∠ADC=90°，E,F分别是BC, CD上的点，且EF=BE+FD,探究图1中∠BAE,∠FAD,∠EAF之间的数量关 系，小颖同学探究此问题的方法是：延长FD到点G,使DG=BE.再连接AG,先说 48 明△ABE≌△ADG,再说明△AEF≌△AGF,可得出结论，他的结论应是 【灵活运用】 (2)如图2，若在四边形ABCD中，AB=AD,∠B+∠D=180°，E,F分别是BC, CD上的点，且EF=BE+FD,上述结论是否仍然成立？请说明理由. 【拓展延伸】 (3)已知在四边形ABCD中，∠ABC+∠ADC=180°，AB=AD,若点E在CB的延 长线上，点F在CD的延长线上，如图3所示，仍然满足EF=BE+FD,若 ∠C=62°，求∠EAF的度数， 【答案】(1)∠EAF=∠BAE+∠FAD (2)仍然成立，理由如下： 延长FD到点H,使得DH=BE,如图所示： :∠B+∠ADC=180°，∠ADH+∠ADC=180°， ∴∠B=∠ADH, .AB=AD. .△ABE≌△ADH SAS, ∴.∠BAE=∠DAH,AE=AH. EF=BE+FD=DH+FD=HF,AF=AF. ∴，△AEF≌△AHF SSS, .∠EAF=∠HAF=∠DAH+∠DAF=∠BAE+∠DAF: (3)121° 【分析】(1)根据题意可进行求解： (2)延长FD到点H,使得DH=BE,由题意易得△ABE≌△ADH|SAS,则有 ∠BAE=∠DAH,AE=AH,然后可得△AEF≌△AHF SSS,进而问题可求解： (3)在DC的延长线上取一点G,使得DG=BE,连接AG,由题意易得 △ADG≌△ABE SAS,则有AG=AE,∠DAG=∠BAE,然后可得 9 △AEF≌△AGF(sSS,进而可得∠AE=180°-号∠DAB,最后问题可求解. 【详解】(1)解：延长FD到点G,使DG=BE.再连接AG,如图1， ,∠B=∠ADC=90°， .∠ADG=90°=∠B, .AB=AD .△ABE≌△ADG SAS, ∠BAE=∠DAG,AE=AG, EF=BE+FD=DG+FD=GF.AF=AF, ∴.△AEF≌△AGF|SSS, ∴.∠EAF=∠GAF=∠DAG+∠DAF=∠BAE+∠DAF: (2)略 (3)解：在DC的延长线上取一点G,使得DG=BE,连接AG,如图所示： ∠ABC+∠ADC=180°，∠ABC+∠ABE=180°， ∴.∠ADC=∠ABE, .AB=AD, .△ADG≌△ABE SAS, ∴，AG=AE,∠DAG=∠BAE, EF=BE+FD=DG+FD=GF,AF=AF ∴.△AEF≌△AGF|SSS, .∠AE=∠FAG, ,∠FAE+∠FAG+∠GAE=360°， ∴，2∠FAE+∠GAB+∠BAE=360°， .2∠FAE+∠GAB+∠DAG=360°，即2∠FAE+∠DAB=360°， ∠BAE=180-号<DAB, 50 ∠ABC+∠ADC=180°，∠ABC+∠ADC+∠DAB+∠BCD=360°， ∠C=62°， .∠DAB=180°-∠C=118°， :∠FAE=1800-×118=1210. 2 【题型08：倍长中线法模型】 36.某数学兴趣小组在活动时，老师提出了这样一个问题：如图1，在△ABC中，AB=6, AC=8,D是BC的中点，求BC边上的中线AD的取值范围. 小明在组内经过合作交流，得到了如下的解决方法：延长AD到E,使DE=AD,请 补充完整证明“△ABD≌△ECD”的推理过程. 图1 图2 (1)求证：△ABD≌△ECD 证明：延长AD到点E,使DE=AD 在△ABD和△ECD中 AD=ED ∠ADB=∠EDC CD= 中点定义 .△ABD≌△ECD 请补齐空白处 (2)由(1)的结论，根据AD与AE之间的关系，探究得出AD的取值范围是 (3)【感悟】解题时，条件中若出现“中点”“中线”等字样，可以考虑延长中线构造 全等三角形，把分散的已知条件和所求证的结论集合到同一个三角形中， 【问题解决】 如图2，△ABC中，∠B=90°，AB=2,AD是△ABC的中线，CE⊥BC, CE=4,且∠ADE=90°，求AE的长. 57 【答案】(1)已作；对顶角相等：BD;SAS (2)1<AD<7 (3)6 【分析】本题是三角形的综合题和倍长中线问题，主要考查的是全等三角形的判定和 性质、三角形的三边关系等知识，掌握全等三角形的判定定理和性质定理是解题的关 键 (1)延长AD到点E,使DE=AD,由“SAS”可证△ABD≌△ECD: (2)由全等三角形的性质可得CE=AB=6,由三角形的三边关系可求解： (3))延长AD交EC的延长线于F,由“ASA”可证△ABD≌△FCD,则 CF=AB=2,AD=DF,证明△ADE≌△FDE,得AE=EF,根据 EF=CE+CF=CE+AB=4+2=6,即可得AE的长 【详解】(1)证明：延长AD到点E,使DE=AD, B 图1 在△ABD和△ECD中， AD=ED已作 ∠ADB=∠EDC对顶角相等】 BD=CD|中点定义 ∴.△ABD≌△ECD(SAS): (2)由(1)得：△ABD≌△ECD,且AB=6,AC=8, ∴.CE=AB=6, 在△ACE中，8-6<AE<8+6, ..1<AD<7; (3)延长AD交EC的延长线于F, 52 图2 :AD是△ABC的中线 ∴BD=CD .AB⊥BC,EF⊥BC, ∴.∠ABD=∠FCD=90°， ∠ABD=∠FCD 在△ABD和△FCD中， BD=CD ∠ADB=∠FDC ∴.△ABD≌△FCD ASA, ∴.CF=AB=2,AD=DF, 又，'∠FDE=∠ADE=90°且ED=ED .∴.△ADE≌△FDE SAS, ∴.AE=EF, ·.·EF=CE+CF=CE+AB=4+2=6, ∴.AE=6 即：AE的长是6. 37.发现问题 (1)课外兴趣小组活动时，老师提出了如下问题：如图①，在△ABC中，若AB=3, AC=2,求BC边上的中线AD的取值范围.小亮在组内经过合作交流，得到了如下解 决方法：延长AD到点E,使DE=AD,连接BE,得到△ADC≌△EDB,他用到 的判定定理是 ；(用字母表示) 53 D M 图① 图② 图③ 解决问题 (2)小刚发现，解题时，条件中若出现“中点”，“中线”字样，可以考虑构造全 等三角形，要学好数学一定要多思考，做到举一反三，于是他又提出了一个新的问题： 如图②，在△ABC中，点D是BC的中点，点M在AB边上，点N在AC边上，若 DM⊥DN,求证：MN<BM+CN; 拓展应用 (3)如图③，在△ABC中，分别以AB,AC为边向外作△ABE和△ACD,使 AE=AB,AD=AC,∠EAB=∠DAC=90°，点M是BC的中点，连接AM,DE, 当AM=14时，求DE的长， 【答案】(1)SAS: (2)证明：如图，延长MD到点E,使得MD=ED,连接CE,NE, M AD △ABC 是 的中线， ∴.BD=CD .在△BDM和△CDE中， CD=BD ∠MDB=∠EDC, ED=MD .∴.△BDM≌△CDE SAS, ∴.BM=CE .'ED=MD,DM⊥DN, ∴.MN=NE, 在△NEC中，NE<CE+NC, 54 ∴.MN<BM+CN. (3)28 【分析】本题考查了全等三角形的判定与性质，三角形的三边关系，熟练掌握全等三 角形的判定与性质是解答本题的关键. (1)延长AD至E,使得ED=AD,连接BE,由AD是△ABC的中线，得到 BD=CD,进而得到△ADC≌△EDB|SAS), (2)延长MD到点E,使得MD=ED,连接CE,NE,通过证明 △BDM≌△CDE SAS,得到BM=CE,再由ED=MD,DM⊥DN,得到 MN=NE,在△NEC中，NE<CE+NC,得到MN<BM+CN. (3)延长AM到点N,使得MN=AM,连接BN,由△BMN≌△CMA SAS,得 到BN=CA,∠BNM=∠CAM,再通过△ABN≌△EAD|SAS,得到AN=DE, 由此得到答案. 【详解】(1)解：如图①，延长AD至E,使得ED=AD,连接BE, .:AD是△ABC的中线， ∴.BD=CD 在△ADC和△EDB中， CD=BD ∠ADC=∠EDB, AD=ED .△ADC≌△EDB SAS, 故答案为：SAS。 (2)略 (3)如图，延长AM到点N,使得MN=AM,连接BN, 由(1)知，△BMN≌△CMA SAS, .∴.BN=CA,∠BNM=∠CAM, 55 ∴.AC‖BN, .·AC=AD, ∴.BN=AD .AC‖BN, .∴.∠BAC+∠ABN=180°， .:∠BAE=∠CAD=90°， .∴.∠BAC+∠EAD=180°， .∴.∠ABN=∠EAD, 在△ABN和△EAD中， AB=EA ∠ABN=∠EAD BN=AD .∴.△ABN≌△EAD|SAS, .AN=DE. .MN=AM, ∴.DE=AN=2AM, .AM=14, ∴.DE=2AM=28 38.【发现问题】 课外兴趣小组活动时，老师提出了如下问题：如图1，在△ABC中，若AB=6, AC=4,求BC边上的中线AD的取值范围.小华在组内经过合作交流，得到了如下解 决方法：延长AD到点E,使DE=AD,得到△ADC≌△EDB,他用到的判定定理 是」 (用字母表示). 【解决问题】 小明发现，解题时，条件中若出现“中点”，“中线”字样，可以考虑构造全等三角 形，“问题是数学的心脏”，要学好数学一定要多思考，做到举一反三，于是他又提 出了一个新的问题：如图2，在△ABC中，点D是BC的中点，点M在AB边上，点N 在AC边上，若DM⊥DN,求证：MN-CN<BM. 【拓展应用】 如图3，在△ABC中，分别以AB,AC为边向外作△ABE和△ACD,使AE=AB, AD=AC,∠EAB=∠DAC=90°，点M是BC的中点，连接AM,DE,当 AM=11时，求DE的长. B N E B D B MC 图1 图2 图3 【答案】(1)SAS: [解决问题] 延长MD到E,使ED=MD,连接CE,NE,如图， D E 图2 ,AD是BC中点， ∴.BD=DC, .在△BDM和△CDE中 BD=DC ∠MDB=∠EDC ED=MD .∴.△BDM≌△CDE(SAS) ..BM=CE, ,ED=MD,DM⊥DN ..MN =NE 在△NEC中，NE-NC<CE .MN-CN<BM (3)22 【分析】[发现问题] 延长AD到E,使得ED=AD,连接BE,先判断出BD=CD,由SAS可证 △EDB≌△ADC,据此即可解答： [解决问题] 延长MD到E,使ED=MD,连接CE,NE,首先根据全等三角形的判定和性质，可 57 得BM=CE,再根据线段垂直平分线的性质，可得MN=NE,最后根据三角形三边 的关系，即可证得： [拓展应用] 延长AM到N,使得MN=AM,连接BN,同上的方法得出 △BMN≌△CMA|SAS,则BN=AC,进而判断出∠ABN=∠EAD,进而判断 出△ABN≌△EAD,得出AN=ED,即可求解， 【详解】解：[发现问题]如图1，延长AD到E,使得ED=AD,连接BE, ,AD是△ABC的中线， ∴.BD=CD 在△ADC和△EDB中， CD=BD ∠ADC=∠EDB AD=ED .∴△ADC≌△EDB SAS, 故答案为：SAS: [解决问题]略 [拓展应用] 如图2，延长AM到N,使得MN=AM,连接BN, 由(1)知，△BMN≌△CMA|SAS, ∴.BN=CA,∠BNM=∠CAM, ∴.AC‖BN .·AC=AD .'BN=AD. AC BN, .∴.∠BAC+∠ABN=180°， 58 .·∠BAE=∠CAD=90°， ∴.∠BAC+∠EAD=180°， ∴.∠ABN=∠EAD, 在△ABN和△EAD中， AB=EA ABN=∠EAD BN=AD .∴△ABN≌△EAD SAS, .∴.AN=DE, MN=AM, .∴.DE=AN=2AM. .AM=11, .∴.DE=2AM=22 【点睛】此题是三角形综合题，主要考查了全等三角形的判定和性质，倍长中线法， 构造全等三角形是解本题的关键， 39.【发现问题】(1)数学活动课上，王老师提出了如下问题：如图1，AB=6,AC=4 ,中线AD的取值范围是多少？ 【探究方法】第一小组经过合作交流，得到了如下的解决方法： ①延长AD到E,使得DE=AD: ②连接BE,通过三角形全等把AB、AC、2AD转化在△ABE中； ③利用三角形的三边关系可得AE的取值范围为AB-BE<AE<AB+BE,从而得到 AD的取值范围是 方法总结：解题时，条件中若出现“中点”、“中线”字样，可以考虑倍长中线构造 全等三角形 【问题拓展】 (2)如图2，OA=OB,OC=OD,∠AOB与∠COD互补，连接AC、BD,E是 AC的中点，求证：OE=号BD: (3)如图3，在(2)的条件下，若∠AOB=90°，延长EO交BD于点F,OF=2, OE=4,求△AOC的面积. 59 B 图1 图2 图3 【答案】(1)1<AD<5: (2)证明：延长OE至点H,使得HE=OE,连接CH,如图所示： H.< 由题意得：CE=AE, ,HE=OE,∠AEO=∠CEH ∴，△AEO≌△CEH, ∴.CH=AO=BO,∠HCE=∠OAE, AO‖CH, ∴.∠HCO+∠AOC=180°， ,∠AOB+∠COD=180°， ∴.∠BOD+∠AOC=180°， ∴.∠HCO=∠BOD, .OC=OD, ,△HCO≌△BOD, ∴.OH=BD, ..OE=-BD: (3)8 【分析】本题考查了倍长中线型全等问题，正确作出辅助线是解题关键. (1)根据提示证△ADC≌△EDB即可求解： (2)延长OE至点H,使得HE=OE,连接CH,证△AEO≌△CEH得 60 CH=AO=BO,∠HCE=∠OAE,进而可得AO‖CH,再证△HCO≌△BOD 即可： (3)由(2)可得：BD=HO=2OE=8,SABOD=S△Hc0,SA HCE=S△A0E,进一步得 S△Hco=SAAOC=S△BOD:根据题意可证OF⊥BD,据此即可求解. 【详解】(1)解：，AD是△ABC的中线 .BD=CD ,DE=AD,∠ADC=∠EDB, ,△ADC≌△EDB, .'.BE=AC=4, 可得AB-BE<AE<AB+BE, 即：2<2AD<10 1<AD<5 故答案为：1<AD<5: (2)略 (3)解：如图， H 由(2)可得：BD=HO=2OE=8,SABOD=S△HcO,SAHCE=SAAOE, ∴.SAHCE+SACB0=SAAOE+S△CE0, SAHCO=SAAOC=SABOD, ,∠AOB=90°，∠AOB+∠COD=180°， .∠COD=∠COE+∠DOF=90°， ,∠D=∠COE, ∴.∠D+∠DOF=90°， ∴OF⊥BD, 1 :SAA0c=S△BoDF2 ×8×2=8 ◇3 40.【阅读理解】 中线是三角形中的重要线段之一.在解决几何问题时，当条件中出现“中点”、“中 线”等条件，可以考虑利用中线作辅助线，即把中线延长一倍，通过构造全等三角形， 把分散的已知条件和所要求的结论集中到同一个三角形中，从而运用全等三角形的有 关知识来解决问题，这种作辅助线的方法称为“倍长中线法”.（注：等腰三角形两 个底角相等，三个内角为60°的三角形为等边三角形) (1)如图1，AD是△ABC的中线，且AB>AC,延长AD至点E,使ED=AD,连 接EC」 ①根据所作辅助线可以证得△ADB≌△EDC,其中判定全等的依据为： ②若AB=4,AC=3,则AD的取值范围是 【方法运用】 运用上面的方法解决下面的问题： (2)如图2，AD是△ABC的中线，点E在BC的延长线上，CE=AB, ∠ACE=∠B+∠ACB,求证：AC平分∠DAE 小明是这么想的：延长AD至点G,使AD=DG,连接CG,即可证明 △ADB≌△GDC,并根据全等三角形的性质继续解题，请根据小明的想法，完整 的写出证明过程. 【问题拓展】 (3)如图3，BD是四边形ABCD的对角线，∠CDB=120°，点E是BC边的中点， 点F在BD上，CD=FD,AF=AB,∠ABF=∠AFB=∠BAF=60°，若 ED=4.8,△ADF面积为16.8，直接写出点F到AD的距离. 图1 图2 图3 【答案11OSAS:@AD<号 7 (2)证明：如图2所示，延长AD至F,使AD=FD 62 △ABD△FCD 图2 在 和 中， AD-=FD ADB=∠CDF BD=CD .△ABD≌△FCD SAS. ∠B=∠DCF,AB=CF, 又，CE=AB=BC, .CF=CE,∠1+∠2=∠ACB ,∠ACF=∠ACB+∠DCF=∠1+∠2+∠B, 由外角定理得：∠ACE=∠1+∠2+∠B, ∴.∠ACF=∠ACE 在△ACF和△ACE中， AC=AC ∠ACF=∠ACE, CF=CE ∴.△ACF≌△ACESAS. ∠2=∠3 故AC平分∠DAE, 3)2 【分析】(1)①由中线性质可得BD=CD,证明△ADB≌△EDC即可得知依据： ②由△ADB≌△EDC可得AB=EC=4,又AC=3,在△AEC中，由三边关系可 得答案： (2)延长AD至F,使AD=FD,证明△ABD≌△FCD SAS,则∠B=∠DCF, AB=CF,又CE=AB=BC,从而CF=CE.由等腰三角形性质和外角定理可得 ∠ACF=∠ACE,再证明△ACF≌△ACE SAS,即可得到∠2=∠3，从而得 63 证结论： (3)倍长DE,使延长DE至点G,使得DE=≥U,证明△DCE≌△GBESAS. DC=BG,∠C=∠GBE,BG‖DC.得∠DBG=60°，再根据△ABF为等边三 角形，可得∠AFD=∠ABG,证明△ABG≌△AFD SAS, AG=AD,∠BAG=∠AD,再证明∠GAD=60°，可得△AGD为等边三角形， 从而AD=DG=2DE=9.6,再根据面积即可求解. 【详解】解：(1)①，AD是△ABC的中线， ..BD=CD 在△ADB和△EDC中， BD=CD ∠ADB=∠EDC AD=ED ∴.△ADB≌△EDC SAS, 故答案为：SAS; ②由△ADB≌△EDC可得AB=EC=4, 又AC=3, ∴.在△AEC中，由三边关系可得： 4-3<AE<4+3,即1<AE<7, 又AD=AE, 2 AD子 <AD<7 故答案为：2 2 （2)略 (3)如图3，延长DE至点G,使得DE=≥U, 图3 64 在△DCE和△GBE中， DE=CE ∠DEC=ㄥGEB BE=CE .△DCE≌△GBESAS. .DG=BG,∠C=∠GBE ..BG DC ,∠CDB=120°， .∠DBG=60° 又CD=FD .DF=BG. 又，AF=AB=BF, ∴.△ABF为等边三角形，∠AFB=∠ABF=60°， 从而∠AFD=120°，∠ABG=∠ABF+∠DBG=60°+60°=120°， .∠AFD=∠ABG, 在△ABG和△AFD中， AB=AF ∠AFD=∠ABG BG=DF ,△ABG≌△AFD SAS. .AG=AD,∠BAG=∠FAD 又，∠BAG+∠GAF=60° ,∠FAD+∠GAF=60°=∠GAD. 故△AGD为等边三角形， ..AD=DG=2DE=9.6 设点F到AD的距离为h, .△ADF面积为16.8， 号ADh=16R h=16.8×2-7 9.6 ,即点F到AD的距离为2 【点睛】本题是四边形综合题，主要考查了全等三角形的判定和性质，三角形的三边 6 关系，等边三角形的判定和性质，倍长中线的运用.根据倍长中线作出正确的辅助线 是解题关键. 66