专题9：倍数与因数（思维拓展）北师大版数学五年级上册奥数培优讲义（新教材）

该小学数学讲义以“概念建构→特征判断→分类辨析→拓展推理”为主线构建倍数与因数知识体系，通过知识模块表格梳理核心内容、关键方法及易错提醒，用解题方法图表呈现成对列举法等技巧，清晰呈现四大模块的内在联系与重难点分布。 讲义亮点在于分层进阶练习设计，能力进阶题聚焦教材重难点，思维拓展题如“因数个数推理”“和的奇偶性分析”培养推理意识与应用意识。易错避坑指南针对性解决常见误区，精准解析支持不同层次学生自主复习，助力教师实施精准分层教学。

专题9： 倍数与因数 第一部分 核心方法论与知识体系构建 1 一、知识体系全景梳理 1 二、解题方法图表记忆法 1 三、数学思维提升 2 第二部分 典型例题解构与解题策略精讲 3 考点一：倍数与因数的意义 3 考点二：2、5、3 的倍数的特征 4 考点三：奇数与偶数 6 考点四：质数与合数 7 第三部分 易错避坑指南 9 易错点 1：倍数因数相互依存关系搞错 9 易错点 2：3 的倍数看个位判断 9 易错点 3：1 的分类错误 9 易错点 4：偶数都是合数的误区 9 易错点 5：奇数都是质数的误区 9 第四部分 分层进阶专题精练 10 一、能力进阶篇（难度★★★，共 8 题） 10 二、思维拓展篇（难度★★★★，共 6 题） 10 第五部分 分层进阶专题精练精准解析 12 一、能力进阶篇解析 12 二、思维拓展篇解析 13 学科网（北京）股份有限公司 第一部分 核心方法论与知识体系构建 一、知识体系全景梳理 本专题对应北师大版五年级上册第七单元《倍数与因数》核心内容，以 “概念建构→特征判断→分类辨析→拓展推理” 为主线，系统覆盖倍数与因数的意义及相互关系、2/5/3 的倍数特征与组合判断、奇数与偶数及奇偶性规律、质数与合数及质合推理四大核心模块，渗透数感、分类思想、推理思想、应用意识等核心数学素养。 专题遵循教材认知路径：从倍数与因数的意义入手，理解非 0 自然数范围内的相互依存关系，掌握成对找因数、依次找倍数的方法；探究 2、5、3 的倍数的特征，能快速判断一个数的倍数属性，掌握同时满足多个倍数特征的判断方法；认识奇数与偶数，掌握连续奇偶的规律与和的奇偶性；认识质数与合数，能区分质数和合数，分解积的质因数对；延伸因数个数定理、容斥计数、奇偶性分析、质偶推理等奥数思维题型。专题严格贴合《义务教育数学课程标准（2022 年版）》“数与代数” 领域要求，与 2024 版最新北师大版教材进度完全同步，提升数感与数的分析能力。 知识模块 核心内容 关键方法 易错提醒 倍数与因数的意义 相互依存关系；找因数；找倍数；最大因数与最小倍数 成对列举法、依次倍增法 单独说谁是倍数 / 因数；找因数遗漏重复 2/5/3 的倍数特征 2、5 的倍数个位特征；3 的倍数各位和特征；同时满足多个特征 特征筛选法、组合法 3 的倍数看个位；同时 2、5 倍数个位不是 0 奇数与偶数 奇偶定义；连续奇偶规律；和的奇偶性 中间数法、奇偶分析法 连续偶数 / 奇数公差搞错；和的奇偶性看总个数 质数与合数 质合定义；1 的特殊性；分解质因数初步 分解筛选法、质偶分析法 1 当成质数；偶数都是合数的误区 二、解题方法图表记忆法 方法名称 适用题型 操作步骤 技巧口诀 成对列举法 找一个数的因数 ①从 1 开始乘；②成对写因数；③重复只留一个 从 1 起，成对找，重复了，只写一个 特征筛选法 倍数判断与组数 ①先定个位；②验数字和；③组合得答案 先看尾，再算和，都满足，才符合 中间数法 连续奇偶求和 ①求平均数；②得中间数；③推前后数 和除以个数，就是中间数 奇偶分析法 和差奇偶判断 ①数奇数个数；②定奇偶性；③得结论 和的奇偶看奇数，奇个奇和为奇 质偶分析法 质数和差问题 ①看和的奇偶；②定特殊 2；③求另一个 质数和为奇，必有一个 2 三、数学思维提升 1. 数感 核心要点：通过对倍数、因数、质数、合数的辨析，建立对数的属性的感知，提升数感与数的辨识能力。 专题示例：快速判断一个数是质数还是合数、是不是 3 的倍数，就是数感的体现。 2. 分类思想 核心要点：按照不同标准将自然数分类，比如按是不是 2 的倍数分奇数偶数、按因数个数分质数合数和 1，培养分类意识与有序思维。 专题示例：将自然数分为奇数与偶数、质数与合数，就是分类思想的应用。 3. 推理思想 核心要点：根据倍数特征、奇偶规律、质合特征，推理未知的数、数量，培养逻辑推理与演绎论证能力。 专题示例：根据因数个数推理数的大小、根据和的奇偶性判断结果，就是推理思想的体现。 4. 应用意识 核心要点：运用倍数与因数的知识解决生活中的分组、排队、分配等实际问题，体会数论知识的实用价值，培养实践应用能力。 专题示例：分组问题、排队问题、分配问题，就是应用意识的典型体现。 第二部分 典型例题解构与解题策略精讲 本部分例题严格对应两级难度梯度：能力进阶（★★★）聚焦考点综合应用与规范书写，对接教材重难点；思维拓展（★★★★）对接年级奥数题型，侧重思维方法。每个考点均覆盖两级难度，实现学练精准匹配。 考点一：倍数与因数的意义 能力进阶（★★★）—— 找因数与倍数 题目：写出 36 的所有因数，再写出 100 以内 12 的所有倍数。 解题步骤： ① 找因数，成对列举：，，，，，重复的只写一个，所以 36 的因数有 1、2、3、4、6、9、12、18、36。 ② 找倍数，依次乘非 0 自然数：，，，，，，，，超过 100 舍去，所以 100 以内 12 的倍数有 12、24、36、48、60、72、84、96。 ③ 验证：因数最小是 1、最大是 36；倍数最小是 12、最大 96 小于 100，符合规律。 【答案】36 的因数：1、2、3、4、6、9、12、18、36；100 以内 12 的倍数：12、24、36、48、60、72、84、96。 【知识点睛】本题考查倍数与因数的意义及找法，对应教材核心重难点。 核心意义：在非 0 自然数范围内，如果（a、b、c 都是非 0 自然数），那么 a 和 b 是 c 的因数，c 是 a 和 b 的倍数；倍数与因数相互依存，不能单独存在。 核心规律：一个数的因数个数有限，最小因数是 1，最大因数是它本身；一个数的倍数个数无限，最小倍数是它本身，没有最大倍数。 易错警示：单独说 “36 是因数、12 是倍数”，忽略相互依存性；找因数时遗漏或重复。 思维拓展（★★★★）—— 因数个数推理 题目：一个数有 5 个因数，这个数最小是多少？ 解题步骤： ① 因数是成对出现的，因数个数为奇数，说明这个数是完全平方数（有一个因数重复出现）。 ② 因数个数为 5，5 是质数，说明这个数只能分解为同一个质数的若干次方（只有一种质因数）；根据因数个数定理，质因数的指数加 1 等于因数个数，因此这个质因数的指数是. ③ 最小的质数是 2，因此这个数最小是。 验证：16 的因数有 1、2、4、8、16，共 5 个，符合题意。 【答案】16 【知识点睛】本题是因数个数的经典奥数题型，考查因数规律与完全平方数的特征。 核心结论：非完全平方数的因数个数是偶数，完全平方数的因数个数是奇数。 解题技巧：因数个数是质数时，这个数等于某个质数的 “因数个数减 1” 次方；要最小就选最小的质数 2。 易错警示：认为所有数的因数个数都是偶数，忽略完全平方数的特殊性。 考点二：2、5、3 的倍数的特征 能力进阶（★★★）—— 同时满足多个倍数特征 题目：用数字卡片 0、3、5、6 组成三位数，使它同时是 2、3、5 的倍数，这样的三位数有哪些？ 解题步骤： ① 同时是 2 和 5 的倍数，个位上必须是 0。 ② 是 3 的倍数，各位数字之和必须是 3 的倍数。个位已确定为 0，剩下两位数字的和需是 3 的倍数： 3+6=9，是 3 的倍数，符合；3+5=8、5+6=11，都不是 3 的倍数，排除。 ③ 组成三位数：360、630，共 2 个。 验证：360 个位是 0，是 2、5 的倍数；3+6+0=9，是 3 的倍数，全部符合要求。 【答案】360、630 【知识点睛】本题考查 2、5、3 的倍数特征的综合应用，对应教材重难点。 核心特征： · 2 的倍数：个位是 0、2、4、6、8； · 5 的倍数：个位是 0 或 5； · 同时是 2 和 5 的倍数：个位一定是 0； · 3 的倍数：各位上数字的和是 3 的倍数。 · 解题技巧：先确定个位满足 2、5 的共同要求，再验证 3 的倍数特征，最后组合数字。 · 易错警示：忽略个位必须是 0，或者数字和计算错误。 思维拓展（★★★★）—— 倍数容斥计数 题目：在 1~100 的自然数中，既不是 2 的倍数，也不是 3 的倍数，还不是 5 的倍数的数有多少个？ 解题步骤： ① 先分别算出 100 以内各类倍数的个数： 2 的倍数：个；3 的倍数：个；5 的倍数：个。 ② 减去重复计算的部分，再加回多减的部分： 同时是 2 和 3 的倍数（6 的倍数）：个； 同时是 2 和 5 的倍数（10 的倍数）：个； 同时是 3 和 5 的倍数（15 的倍数）：个； 同时是 2、3、5 的倍数（30 的倍数）：个。 是 2 或 3 或 5 的倍数共有：个。 ③ 都不是的数量：个。 验证：通过分段列举验证，结果符合容斥原理。 【答案】26 个 【知识点睛】本题是倍数特征的奥数拓展题型，考查容斥原理与倍数计数的结合。 解题方法：先算单类倍数个数，再按 “加单倍、减两倍、加三倍” 的容斥规则算出总倍数个数，总数减去总倍数个数就是都不满足的数量。 易错警示：重复减去的部分没有加回，导致结果偏小。 考点三：奇数与偶数 能力进阶（★★★）—— 连续偶数问题 题目：三个连续偶数的和是 72，这三个偶数分别是多少？ 解题步骤： ① 连续偶数之间相差 2，三个连续偶数的和等于中间数的 3 倍。 ② 中间的偶数：。 ③ 较小的偶数：，较大的偶数：。 验证：，且都是偶数，符合题意。 【答案】22、24、26 【知识点睛】本题考查奇数偶数的认识与连续数问题，对应教材重难点。 核心概念：是 2 的倍数的数叫偶数，不是 2 的倍数的数叫奇数；连续的偶数或奇数，相邻两个数相差 2。 解题技巧：奇数个连续偶数 / 奇数的和，除以个数直接得到中间数。 易错警示：误认为连续偶数相差 1，搞错公差。 思维拓展（★★★★）—— 和的奇偶性分析 题目：计算的和，结果是奇数还是偶数？ 解题步骤： ① 和的奇偶性只由算式中奇数的个数决定，偶数相加不改变和的奇偶性。 ② 1 到 2021 中，奇数的个数：个。 ③ 规律：奇数个奇数相加，和是奇数；偶数个奇数相加，和是偶数。 1011 是奇数，因此总和是奇数。 验证：前 2020 个数中有 1010 个奇数，和为偶数；加最后一个数 2021（奇数），偶数 + 奇数 = 奇数，结果一致。 【答案】奇数 【知识点睛】本题是奇偶性分析的经典奥数题型，考查和的奇偶性规律。 核心规律： · 偶数 + 偶数 = 偶数，奇数 + 奇数 = 偶数，偶数 + 奇数 = 奇数； · 多个数相加，和的奇偶性由奇数的个数决定：奇数个奇数相加和为奇，偶数个奇数相加和为偶。 · 易错警示：直接根据总个数判断，忽略只看奇数个数的规则。 考点四：质数与合数 能力进阶（★★★）—— 已知积求质数 题目：两个质数的和是 18，积是 65，这两个质数分别是多少？ 解题步骤： ① 先把积 65 分解成两个自然数相乘的所有形式：。 ② 筛选两个数都是质数的组合：1 既不是质数也不是合数，排除；5 和 13 都是质数，符合条件。 ③ 验证和：，与题目条件一致。 所以这两个质数是 5 和 13。 【答案】5 和 13 【知识点睛】本题考查质数与合数的意义与应用，对应教材重难点。 核心概念：只有 1 和它本身两个因数的数叫作质数；除了 1 和它本身还有别的因数的数叫作合数。1 既不是质数，也不是合数。 解题方法：已知积求两个质数，先分解积的所有因数对，再筛选全是质数的组合，最后验证和。 易错警示：把 1 当成质数，导致错误判断。 思维拓展（★★★★）—— 质数的奇偶性应用 题目：两个质数的和是 25，这两个质数的积是多少？ 解题步骤： ① 25 是奇数，根据奇偶性规律：奇数 = 偶数 + 奇数。 ② 所有质数中只有 2 是偶数，因此其中一个质数一定是 2。 ③ 另一个质数：，23 是质数。 两个质数的积：。 验证：2 和 23 都是质数，和为 25，符合题意。 【答案】46 【知识点睛】本题是质数奇偶性的经典奥数题型，考查质数特征与奇偶性的综合应用。 核心结论：除了 2 以外，所有的质数都是奇数。 解题技巧：如果两个质数的和是奇数，那么其中必有一个质数是 2；如果两个质数的和是偶数，那么两个都是奇质数。 易错警示：认为两个质数都是奇数，和为奇数，忽略 2 这个唯一的偶质数。 第三部分 易错避坑指南 易错点 1：倍数因数相互依存关系搞错 错误示例：36 是倍数，9 是因数。 正确分析：倍数与因数相互依存，必须说清谁是谁的倍数、谁是谁的因数，正确表述为 “36 是 9 的倍数，9 是 36 的因数”。 修正方法：表述倍数因数时，必须同时说明两个数的依存关系。 易错点 2：3 的倍数看个位判断 错误示例：个位是 3、6、9 的数是 3 的倍数。 正确分析：3 的倍数要看各位数字的和，和是 3 的倍数才是 3 的倍数；比如 13 个位是 3，但不是 3 的倍数。 修正方法：3 的倍数，算各位和，和是 3 的倍数才符合。 易错点 3：1 的分类错误 错误示例：1 是最小的质数。 正确分析：1 只有 1 个因数，既不是质数也不是合数；最小的质数是 2，最小的合数是 4。 修正方法：1 既不质，也不合；最小质数 2，最小合数 4。 易错点 4：偶数都是合数的误区 错误示例：所有的偶数都是合数。 正确分析：2 是偶数，但它只有 1 和它本身两个因数，是质数，不是合数。 修正方法：偶数里只有 2 是质数，其余偶数都是合数。 易错点 5：奇数都是质数的误区 错误示例：所有的奇数都是质数。 正确分析：9、15、21 等是奇数，但除了 1 和本身还有别的因数，是合数。 修正方法：奇数有质有合，偶数除 2 都是合数。 第四部分 分层进阶专题精练 一、能力进阶篇（难度★★★，共 8 题） 1. 18 的因数一共有（ ）个。 2. 100 以内 15 的最大倍数是（ ）。 3. 同时是 2、3、5 的倍数的最小三位数是（ ）。 4. 三个连续奇数的和是 45，最小的数是（ ）。 5. 最小的质数是（ ），最小的合数是（ ）。 6. 一个数既是 8 的倍数，又是 48 的因数，这个数最大是（ ）。 7. 两位数中，最大的质数是（ ）。 8. 个位上是 0 的非 0 自然数，一定是（ ）和（ ）的倍数。 二、思维拓展篇（难度★★★★，共 6 题） 9. 一个数有 6 个因数，这个数最小是多少？ 10. 在 1~50 的自然数中，既不是 2 的倍数也不是 3 的倍数的数有多少个？ 11. 的结果是奇数还是偶数？ 12. 两个质数的和是 30，这两个质数的积最大是多少？ 13. 一个三位数，既是 3 的倍数又是 5 的倍数，百位是最小的质数，十位是最小的偶数（非 0 自然数范围），这个三位数最大是多少？ 14. 三个不同质数的和是 40，这三个质数分别是多少？ 第五部分 分层进阶专题精练精准解析 一、能力进阶篇解析 1. 【答案】6 解题步骤： ① 18 的因数：1、2、3、6、9、18，共 6 个。 【知识点睛】考查因数的找法。核心：成对列举。易错警示：算成 5 个。 2. 【答案】90 解题步骤： ① ，超过 100，所以最大是 90。 【知识点睛】考查倍数的找法。核心：依次相乘找最大。易错警示：105。 3. 【答案】120 解题步骤： ① 同时 2、5 倍数个位是 0，最小三位数百位是 1，十位最小 2，1+2+0=3 是 3 的倍数，所以 120。 【知识点睛】考查倍数特征综合。核心：个位 0，百位最小 1，十位凑 3 的倍数。易错警示：100。 4. 【答案】13 解题步骤： ① 中间数：，最小的：。 【知识点睛】考查连续奇数。核心：和 ÷ 个数 = 中间数。易错警示：15。 5. 【答案】2；4 解题步骤： ① 最小质数 2，最小合数 4。 【知识点睛】考查质合基本概念。核心：牢记特殊数。易错警示：1 是质数。 6. 【答案】48 解题步骤： ① 48 的因数中最大的 8 的倍数是 48 本身。 【知识点睛】考查因数倍数综合。核心：最大因数是本身。易错警示：24。 7. 【答案】97 解题步骤： ① 两位数从大到小：99 是合数，98 是合数，97 是质数。 【知识点睛】考查质数判断。核心：从大到小筛选。易错警示：91。 8. 【答案】2；5 解题步骤： ① 个位是 0，满足 2 和 5 的倍数特征。 【知识点睛】考查 2、5 倍数特征。核心：个位 0 是共同特征。易错警示：3。 二、思维拓展篇解析 9. 【答案】12。 解题步骤： ① 因数个数 6，可以分成或，对应一个质数的 5 次方，或两个质数相乘（其中一个乘 2 次）； ② ，，12 更小。 验证：12 的因数有 1、2、3、4、6、12，共 6 个。 【知识点睛】考查因数个数规律。核心：因数个数是各指数加 1 的乘积。易错警示：32。 10. 【答案】17 个。 解题步骤： ① 2 的倍数 25 个，3 的倍数 16 个，6 的倍数 8 个； ② 是 2 或 3 的倍数：个； ③ 都不是：个。 【知识点睛】考查容斥原理初步。核心：加单减双。易错警示：9 个。 11. 【答案】偶数。 解题步骤： ① 每一项都是相邻两数相乘，必有一个偶数，所以每一项都是偶数； ② 多个偶数相加，和还是偶数。 【知识点睛】考查奇偶性分析。核心：有偶数相乘则积为偶。易错警示：奇数。 12. 【答案】221。 解题步骤： ① 和是 30（偶数），两个都是奇质数，可能组合：7 和 23、11 和 19、13 和 17； ② 差越小积越大，13 和 17 差最小，积最大。 【知识点睛】考查质数与最值。核心：和定差小积大。易错警示：209。 13. 【答案】225。 解题步骤： ① 非 0 自然数中，最小的质数是 2，最小的偶数是 2，因此百位为 2，十位为 2； ② 是 5 的倍数，个位是 0 或 5；要这个三位数最大，优先选个位 5； 验证 3 的倍数：，是 3 的倍数，符合条件，因此这个三位数最大是 225。 【知识点睛】考查倍数特征与质合概念综合。核心：先确定各位的限定数字，再按倍数特征筛选。易错警示：认为最小偶数是 0。 14. 【答案】2、7、31。 解题步骤： ① 40 是偶数，三个质数和为偶数，必有一个是偶质数 2； ② 剩下两个质数的和：； ③ 找两个不同质数和为 38：7+31=38，19+19=38（重复舍去），所以三个质数是 2、7、31。 验证：，都是不同质数，符合题意。 【知识点睛】考查质数奇偶性综合。核心：三个质数和为偶，必有一个是 2。易错警示：三个都是奇质数。 1 学科网（北京）股份有限公司 $