4.1.1n次方根与分数指数幂课件(1)-2026-2027学年高一上学期数学人教A版必修第一册

该高中数学课件聚焦“n次方根与指数”核心内容，从平方根、立方根实例导入，通过类比抽象出n次方根定义及性质，搭建从具体到抽象的学习支架，衔接根式与分数指数幂的转化及运算性质。 其亮点在于以问题探究驱动思维，如通过实例归纳分数指数幂意义，结合运算性质培养推理意识与运算能力，例题训练强化数学语言表达。学生能系统构建知识体系，教师可依托分层训练提升教学效率。

第四章 指数函数与对数函数 4.1 n次方根与指数 <m>指数 1 概念讲解 我们知道： 如果，那么x叫做a的平方根．例如,±2就是4的平方根． 如果，那么x叫做a的立方根．例如，2就是8的立方根． 类似地，由于，我们把±2叫做16的4次方根； 由于，2叫做32的5次方根． 概念讲解 n次方根 一般地，如果那么x叫做a的n次方根，其中n>1且 定义 n次方根的性质 （1）当n是奇数时，a的n次方根用符号表示 .例如 （2） 当n是偶数时，正的n次方根用表示，负的n次方根用表示. 两者也可以合并成(a>0). （3）负数没有偶次方根. （4） 0的任何次方根都是0.记作： c 概念讲解 根式 式子叫做根式，这里n叫做根指数 ，a叫做被开方数． 定义 根指数 被开方数 根据n次方根的定义，可得： （1），（</m>为奇数时，<m></m> ； </m>为偶数时，<m></m>，且<m></m> ）. （2） <m> 1.判断下列结论是否正确.（正确的打“√”，错误的打“×”） （1） .( ) × （2） 的运算结果是 .( ) × （3） 81的4次方根是 .( ) √ （4） 当 为大于1的奇数时， 对任意 都有意义.( ) √ （5） 当 为大于1的偶数时， 只有当 时才有意义.( ) √ 5 1.已知 ，则 ( @22@ ). A. B. C. D. B 2.化简：（1） <m></m> ； （2） <m></m> ； （3） <m></m> . 6 2.化简：（1） <m></m> ； （2） <m></m> ； （3） <m></m> . [解析] （1） . （2） . （3）由题意知 ，即 ，所以原式 . 7 问题：.根据 <m></m> 次方根的定义和数的运算，得出以下式子，你能从中总结出怎样的规律？ ① <m></m> ； ② <m></m> ； ③ <m></m> . [答案] 当 <m></m> 时，根式可以表示为分数指数幂的形式，其分数指数等于根式的被开方数的指数除以根指数. 问题3：.分数指数幂 <m></m> 能否理解为 <m></m> 个 <m></m> 相乘？ [答案] 不能. <m></m> 不可以理解为 <m></m> 个 <m></m> 相乘，事实上，它是根式的一种新写法. 探究2 分数指数幂的意义 8 新知生成 分数指数幂的定义： 1.规定正数的正分数指数幂的意义是 <m></m> （ <m></m> ， <m></m> ， <m></m> ，且 <m></m> ）； <m></m> 没有意义 2.规定正数的负分数指数幂的意义是 <m></m> （ <m></m> ， <m></m> ， <m></m> ，且 <m></m> ）； 3.0的正分数指数幂等于____， 的负分数指数幂___________. 9 新知运用 例3 （1）下列根式与分数指数幂的互化正确的是( @30@ ). A. B. C. D. （2）将下列根式化成分数指数幂的形式.（其中 ， ） ① ；② ；③ . C 10 [解析] （1） ； ； ； . 故选C. （2）①原式 . ②原式 . ③原式 . 11 把下列根式化为分数指数幂的形式，把分数指数幂化为根式的形式. （1） <m></m> ； （2） <m></m> ； （3） <m></m> ； （4） <m></m> . 12 [解析] （1） . （2） . （3） . （4） . 13 新知生成 有理数指数幂的运算性质 （1） <m></m> . （2） ______ . （3） _______ . 有理数指数幂的运算性质的理解与巧记 （1）有理数指数幂的运算性质是由整数指数幂的运算性质推广而来的，可以用文字语言叙述：①同底数幂相乘，底数不变，指数相加；②幂的幂，底数不变，指数相乘；③积的幂等于幂的积. <m></m> <m></m> （2）有理数指数幂的运算性质中幂指数运算法则遵循：乘相加，除相减，幂相乘. 探究3 有理数指数幂的运算性质 14 [解析] （1） . （2）原式 . （3）原式===18 15 方法总结 指数幂运算的常用技巧： （1）有括号先算括号里的，无括号先进行指数运算. （2）负指数幂化为正指数幂的倒数. （3）底数是小数，先要化成分数；底数是带分数，要先化成假分数，然后要尽可能用幂的形式表示，便于用指数幂的运算性质. 提醒：化简的结果不能同时含有根式和分数指数，也不能既含有分母又含有负指数. 16 （1）化简 <m></m> ； （2）计算 <m></m> ； （3）若 <m></m> ， <m></m> 为正数，化简 <m></m> . 17 （1）化简 <m></m> ； （2）计算 <m></m> ； （3）若 <m></m> ， <m></m> 为正数，化简 <m></m> . [解析] （1）原式 . （2）原式 . （3）原式 . 18 探究4 无理数指数幂 上面我们将(a>0)中指数x的取值范围从整数拓展到了有理数。那么，当指数x是无理数时，它就是无理数指数幂 对于无理数指数幂，我们只需要了解两点： ①它是一个确定的实数；②它是有理数指数幂无限逼近的结果. 定义了无理数指数幂之后，幂的指数就由原来的有理数范围扩充到了实数范围. 19 探究5 实数指数幂的运算 新知生成 （1） _______ . <m></m> （2） ______ . <m></m> （3） _______ . <m></m> 20 新知运用 一、指数幂的运算 例2 计算下列各式（式中字母都是正数）： （1） <m></m> ； （2） <m></m> . 21 [解析] （1）原式 . （2）原式 . 22 1.计算下列各式的值（式中字母都是正数）. （1） <m></m> ； （2） <m></m> . [解析] （1）原式 . （2）原式 . 23 1.已知 ，则下列结论正确的是( @38@ ). A. B. C. D. B 2.把根式 化成分数指数幂是( @40@ ). A. B. C. D. D 3.化简： _________. <m></m> 24 4.化简或求值. （1） <m></m> ； （2） <m></m> . [解析] （1）原式 . （2）原式 . 25 探究1 条件求值问题 问题1: 和 存在怎样的等量关系？ [答案] . 问题2: 已知的值，如何求 的值？反之呢？ [答案] 设，则两边平方得；反之，若设 ，则 ，，即 . 26 二、条件求值问题 例3 已知 <m></m> ，求下列各式的值. （1） <m></m> ；（2） <m></m> . [解析] （1）将 两边同时平方，得 ，即 . （2）将 两边同时平方，得 ，即 . 【变式探究】 在本例条件下， _ _______. <m></m> [解析] 令 ，两边同时平方，得 ，则 ，即 . 27 方法总结 条件求值问题的解法 （1）求解此类问题应注意分析已知条件，通过将已知条件中的式子变形（如平方、因式分解等），寻找已知式和待求式的关系，可考虑使用整体代换法. （2）利用整体代换法解决分数指数幂的计算问题，常常运用完全平方公式及其变形公式. 28 巩固训练.已知 <m></m> ， <m></m> 且 <m></m> ，求 <m></m> 的值. [解析] . ① ， ， ② . 又 ， . ③ 将②③代入①，得 . 29 1.化简 的结果为( ) . B A.5 B. C. D. [解析] . 2.设，则 ( ) . C A. B. C. D. [解析] 将两边平方得 ，即 ，所以，即 . 30 3.化简 <m></m> ______ ． <m></m> [解析] 原式 ． 4.求值： <m></m> . [解析] . 31 $