专题13一元一次方程的应用精讲学案(核心重点+高频易错+题型精讲+拔高练习)2026-2027学年北师大版七年级数学上册

本讲义聚焦一元一次方程的应用，以建立方程模型为核心，系统梳理审设列解验答六步骤，涵盖和差倍分、行程、销售等14类题型，每种题型提供核心等量关系与解题思路，构建完整学习支架。 资料亮点在于突出等量关系这一难点，通过直接间接设元、抓关键词等路径培养抽象能力（数学眼光），区分方程与算术思维强化推理意识（数学思维），分级题型及易错点分析助力模型意识（数学语言）形成，课中辅助教学，课后帮助学生查漏补缺。

专题13一元一次方程的应用精讲学案 核心立意 本节课的核心是建立方程模型，将实际问题转化为一元一次方程。解方程不是难点，找准等量关系才是本节课的核心难点。要学会审题、合理设元、严谨检验，区分方程思维与算术思维，体会用方程处理复杂数量关系的优势。 列一元一次方程解应用题的六个步骤 ⑴ 审：通读题目，区分已知量、未知量，梳理各个量之间的联系； ⑵ 设：选定一个未知量设为未知数，注明单位；分为直接设元、间接设元； ⑶ 列：根据等量关系列出一元一次方程（只使用一个未知数）； ⑷ 解：求解一元一次方程； ⑸ 验：双重检验，一是检验数值是否满足方程；二是检验结果是否符合实际意义； ⑹ 答：写出完整答案，带上单位。 常见应用题型与核心等量关系 和差倍分问题：较大量 = 较小量 + 差；总量 = 倍数 × 一份量。 行程问题：路程=速度时间；相遇问题：两者路程之和 = 总路程；追及问题：两者路程之差 = 初始距离。 销售问题：利润=售价-进价；利润率=100%；售价=标价（例如八折就是乘以 ）。 工程问题：工作总量=工作效率工作时间；未给出总量时，通常把总工作量看作 1。 等积变形问题：变形前后体积（面积）相等。 配套问题：部件A数量：部件B数量 = 给定的配套比。 数字问题：两位数 =10十位数字 + 个位数字；三位数 =100百位数字 +10 十位数字 + 个位数字。 方案选择问题：计算每一种可行方案的结果，对比选出最优方案；注意数量一般取正整数。 两种设元方法 ⑴ 直接设元：题目问什么，就设什么，直观易懂； ⑵ 间接设元：直接设元难以列出方程时，设一个相关的中间量为未知数。 寻找等量关系的三条路径 ⑴ 抓关键词：等于、是、比……多、比……少、占、为； ⑵ 套固定公式：行程、销售、工程等问题利用对应的数学公式； ⑶ 找不变量：总量不变、体积不变、差值不变。 重点辨析 ① 等量关系未必直接写在题干中，很多隐藏在数学公式或生活常识里。 ② 方程的解 ≠ 应用题的答案。即使数值满足方程，如果不符合现实（人数是小数、负数），必须舍去。 ③ 思维区别：方程思想把未知量当作已知量参与列式；算术思想只能用已知量计算。不要执着于算术思路硬凑方程。 ④ 单位必须统一。例如速度用千米/时，则时间单位要用小时，不要混用分钟。 ⑤ 一元一次方程只能设一个未知数，不要引入多个字母。 ⑥ 方案选择不能只比较计算数值，还要检验取值是否符合实际（人数、物品数必须是正整数）。 ① 找不到等量关系，随意拼凑数字列出式子。 ② 折扣理解错误：八折是标价 × 0.8，不是标价 × 8。 ③ 配套问题把配套比例写颠倒。 ④ 设未知数、写答案时漏掉单位。 ⑤ 只检验方程，忽略实际意义检验，不舍去不合理的解。 ⑥ 单位不统一，直接代入公式运算。 ⑦ 方案问题没有计算全部可行方案就下结论。 ⑧ 数字问题写错多位数，如将十位为 a、个位为 b 的两位数写成 ab。 题型 考察方向 难度 题型一 工程问题 ★★ 题型二 销售盈亏 ★★★ 题型三 比赛积分 ★★ 题型四 方案选择 ★★★★ 题型五 数字问题 ★★★ 题型六 几何问题 ★★ 题型七 动点问题 ★★★★ 题型八 电费和水费问题 ★★★ 题型九 行程问题 ★★★ 题型十 比例分配 ★★ 题型十一 日历问题 ★★ 题型十二 古代问题 ★★★ 题型十三 配套问题 ★★★ 题型十四 和差倍分问题 ★★ 星级说明：★基础；★★中档；★★★提升；★★★★较难 题型一：工程问题 解题思路：① 把总工作量看作1；② 工作效率=；③ 等量关系：各部分工作量之和 = 总工作量；④ 一般设工作时间为 x，列方程；⑤ 检验结果为正数。 1．某室内装修工程，甲工程队单独完成要天，乙工程队单独完成要天．若乙工程队先单独工作天，剩下的由甲工程队单独完成，设完成这项工程一共用了天，根据题意可列方程为（   ） A． B． C． D． 【答案】B 【分析】本题主要考查了一元一次方程的应用，设总工作量为，甲工作效率为，乙工作效率为. 乙先工作天，完成工作量，甲后续工作天，完成工作量，两者之和等于. 【详解】解：总工作量为，乙工作效率为，甲工作效率为， 乙工作天，完成工作量， 甲工作天，完成工作量， 可得： ． 故选：B． 2．某车间计划加工一批产品，如果每小时加工产品10个，就可以在预定时间完成任务；实际加工两个小时后，提高了加工速度，每小时多加工2个，结果提前1小时完成了任务．那么这批产品一共有____个． 【答案】 80 【分析】设预定完成任务的时间为小时，根据产品总数量不变列一元一次方程求解即可． 【详解】解：设预定小时完成任务，产品总数为个， ∵实际先加工2小时，已经完成个，提高速度后每小时加工个，结果提前1小时完成， ∴提高速度后加工的时间为小时， 根据产品总数量相等列方程：， 解得， ∴产品总数为个． 3．2025年，旺苍县为聚焦城市建设“舒筋活络”，助推“民生愿景”变为幸福实景，统筹推进多项民生工程．其中，某一项工程由甲、乙两个工程队承接，已知甲队单独完成此项工程需要20天，乙队单独完成需要30天．该工程施工情况如下：甲队先单独施工10天，之后因工期紧张，安排乙队加入，甲、乙两队合作完成剩余工程． (1)甲、乙两队合作还需要多少天完成此项工作？ (2)已知甲队每天的劳务费比乙队多30元，完成这项工程共需支付劳务费11480元．则甲、乙两队每天的劳务费各是多少元？ 【答案】(1)甲、乙两队合作还需要6天完成此项工作 (2)甲队每天的劳务费是530元，乙队每天的劳务费是500元 【分析】（1）将总工程量视为单位1，根据甲单独完成的工作量与甲乙合作完成的工作量之和等于总工程量，列一元一次方程求解． （2）先确定甲、乙两队各自的施工总天数，根据“这项工程共需支付劳务费11480元”列一元一次方程求解． 【详解】（1）解：设总工程量为单位1，甲、乙两队合作还需要��天完成此项工作，甲队工作效率为 ，乙队工作效率为，根据题意得 ， 解得， ∴甲、乙两队合作还需要6天完成此项工作． （2）解：由（1）知甲队共施工天，乙队施工6天， 设乙队每天的劳务费为y元，则甲队每天的劳务费为元，根据题意得 ， 解得， ∴乙队每天的劳务费为500元，甲队每天的劳务费为元． 4．利用一元一次方程解应用题：某学校刚完成一批结构相同的学生宿舍的修建，这些宿舍地板需要铺瓷砖，一天4名一级技工去铺4个宿舍，结果还剩地面未铺瓷砖；同样时间内6名二级技工铺4个宿舍刚好完成，已知每名一级技工比二级技工一天多铺瓷砖． (1)求每个宿舍需要铺瓷砖的地板面积． (2)现该学校有26个宿舍的地板和的走廊需要铺瓷砖，该工程队一开始有4名一级技工来铺瓷砖，施工3天后，学校根据实际情况要求还要2天必须完成剩余的任务，决定加入6名二级技工一起工作并提高所有技工的工作效率．若每名一级技工每天多铺瓷砖面积与每名二级技工每天多铺瓷砖面积的比为，问每名二级技工每天需要铺多少平方米瓷砖才能按时完成任务？ 【答案】(1)15 (2)16 【分析】（1）设每个宿舍需要铺瓷砖的地板面积为，根据每名一级技工比二级技工一天多铺2瓷砖列方程求解即可； （2）设每名一级技工每天多铺瓷砖面积为，每名二级技工每天多铺瓷砖面积的为，根据题意列出方程即可求出答案． 【详解】（1）解：设每个宿舍需要铺瓷砖的地板面积为， 根据题意可知： ，解得：． 答：每个宿舍需要铺瓷砖为15． （2）解：设每名一级技工每天多铺瓷砖面积为，每名二级技工每天多铺瓷砖面积的为， 原来每名一级技工每天铺瓷砖的面积为， 原来每名二级技工每天铺瓷砖的面积为10， ，解得：， ． 答：每名二级技工每天需要铺16瓷砖才能按时完成任务． 【点睛】本题主要考查了一元一次方程的实际应用，理解题意、理清等量关系、列出方程是解题的关键． 题型二：销售盈亏 解题思路：① 分清进价、标价、售价、折扣、利润、利润率；② 核心公式：利润=售价-进价，利润率=100%，售价=标价；③ 对比总售价与总进价，判断盈亏；④ 注意：利润率是相对于进价，不是标价；⑤ 设进价或标价为未知数列方程。 5．某商店把一件商品按进价提高后标价，再打八折销售，售价为240元．设这件商品的进价为x元，则可列方程为（     ） A． B． C． D． 【答案】B 【分析】解题关键是理清进价、标价、售价之间的关系，理解打折的含义，根据题意逐步表示出售价即可列出方程． 【详解】解：∵设这件商品的进价为元，商品按进价提高后标价， ∴标价为元， ∵再打八折销售，售价为元， ∴打八折后的售价为， 因此可列方程为． 6．某售楼中心对一商品房的标价是：基价为元/平方米，楼层差价如下表（表示上浮，表示下浮）： 楼层 一 二 三 四 五 六 差价百分比 某人买了面积为平方米的三楼，若他用同样的钱去买六楼，可以买___________平方米． 【答案】 【分析】先计算购买三楼商品房所需的总金额．再计算六楼每平方米的单价．最后根据总金额不变．求出可购买六楼的面积． 【详解】解：由题意可得，三楼每平方米的单价为：（元/平方米）， ∴购买平方米三楼的总金额为：（元）， 六楼每平方米的单价为：（元/平方米）， 设用同样的钱可以购买六楼的面积为平方米， 依题意得：， 解得：， ∴若他用同样的钱去买六楼，可以买平方米． 7．材料：股票市场，买、卖股票都要分别交纳印花税等有关税费，以某市股的股票交易为例，除成本外还要交纳： ①印花税：按成交金额的计算； ②过户费：按成交金额的计算； ③佣金：按不高于成交金额的计算，不足5元按5元计算． 问题： (1)小王以每股元的价格买入某股票100股，以每股元的价格全部卖出，则他盈利___________元． (2)小张以每股元（）的价格买入1000股上述股票，股市波动大，他准备在不亏不盈时卖出，请你帮他计算卖出的价格每股是___________元（用的代数式表示）．由此可得卖出价格与买入价格相比，至少要上涨___________才不亏（结果保留到）． (3)小张再以每股元的价格买入上述股票1000股，准备盈利1000元时才卖出，请你帮他计算卖出的价格每股是多少元？（结果精确到） 【答案】(1) (2)； (3)卖出的价格是每股元 【分析】（1）先计算佣金低于5元，按5元计算，再用总收入减去每次交易的印花税，过户费，佣金即可求解； （2）设卖出的价格为每股元，根据不亏不盈时卖出，列方程解答，再求增长率即可； （3）设卖出的价格每股是元，根据盈利1000元时卖出，列方程解答． 【详解】（1）解：，, 佣金都按5元计算， （元） 即小王盈利元； （2）解：， ， 可以直接用公式计算佣金． 设卖出的价格为每股元， 由题意得： 即他卖出的价格为每股元， 增长的百分率为 ； （3）解：， 可以直接用公式计算佣金， 设卖出的价格每股是元， 依题意得： 答：卖出的价格是每股元． 8．周末慧慧和小颖相约骑车到购书中心购书； (1)慧慧先到银行取钱，去年的2000元压岁钱已经存入银行9个月，若按照的年利率计算，慧慧能取到本息共_________元钱． (2)购书中心自动扶梯匀速由下向上移动．慧慧由下往上走，小颖由上往下走．结果慧慧走了60级到达楼上，小颖走了120级到达楼下，如果小颖单位时间内走的楼梯级数是慧慧的2倍．问当扶梯静止时，扶梯可看到的梯级共有多少级？ (3)购书中心对顾客实行优惠，若一次购书不超过200元，则不予优惠；若一次购书超过200元，但不超过500元，则按标准价给予九折优惠；若一次购书超过500元，其中500元按上述九折优惠，超过500元的部分按八折优惠．慧慧、小颖本次购书分别付款150元和423元，如果合起来一次购买她们所需的全部书籍，他们可以节约多少元？ (4)对于慧慧所骑的自行车，某品牌新轮胎安装在前轮上行驶7500千米报废；若安装在后轮上只能行驶6000千米就会报废．如果要行驶尽可能多的路程，可采用当自行车行驶到一定路程后将前后轮胎调换的方法，则安装在自行车上的一对新轮胎最多可行驶多少千米？（精确到个位） 【答案】(1) (2) 当扶梯静止时，可看到的梯级共有级. (3) 他们可以节约元. (4) 安装在自行车上的一对新轮胎最多可行驶约千米. 【分析】（1）根据本息和计算公式，将存期转换为年，代入计算即可； （2）由两人的速度比与走的级数比，得出行走时间相同，结合顺逆行的梯级等量关系求解； （3）先反推两人购书原价，再计算合买的优惠后总价，与原付款和作差得节约金额； （4）将轮胎总磨损量看作单位1，利用总磨损量除以每千米总磨损量得最大路程. 【详解】（1） 解： ∵ 本金为2000元，年利率为，存期9个月即年， ∴ 利息为（元）， ∴ 本息和为（元）； （2）解：设扶梯静止时可见梯级共有级，两人行走时间内扶梯上升的级数为级， ∵ 小颖单位时间走的级数是慧慧的2倍，慧慧走了60级，小颖走了120级， ∴ 两人行走时间相同， ∴扶梯上升级数均为级， ∵ 慧慧顺扶梯向上走，总梯级数等于人走的级数加扶梯上升的级数， ∴ ① ， ∵ 小颖逆扶梯向下走，总梯级数等于人走的级数减扶梯上升的级数， ∴ ② ， 联立①②，解得， 则， 答：当扶梯静止时，扶梯可看到的梯级共有90级； （3）解：∵ 购书超过200元时，最低付款为（元），， ∴ 慧慧购书原价为150元， ∵ 购书超过500元时，最低付款为（元），， ∴ 小颖购书原价为（元），两人购书原价总和为（元）， 合买时，500元部分优惠后付款（元），超过500元的部分为（元），优惠后付款（元）， 合买总付款为（元），原付款总和为（元）， 节约金额为（元）， 答：他们可以节约27元； （4）解：将单个新轮胎的总磨损量看作单位1，则前轮每千米磨损，后轮每千米磨损， 设最多可行驶千米，两个轮胎同时报废时路程最多，总磨损量为2， ∵ 每千米两个轮胎的总磨损量为， ∴ ， 解得 ， 答：安装在自行车上的一对新轮胎最多可行驶约6667千米. 题型三：比赛积分 解题思路：① 明确胜、平、负的得分、扣分规则（负场大多不得分，不一定扣分）；② 确定总场数和总积分；③ 等量关系：胜场得分 + 平场得分 - 负场扣分 = 总积分；④ 设一种场次为 x，用总场数表示其余场次；⑤ 检验：场次为非负整数。 9．2026年“吴越杯”浙江省城市足球联赛开赛，规定胜一场积3分，平一场积1分，负一场积0分．某队在10场比赛中负了2场，共积20分，求该队的胜场数．设该队胜了x场，则x满足的方程是（     ） A． B． C． D． 【答案】B 【分析】总比赛10场，负2场，胜场，则平场，胜场总积分为分，平场总积分为分，再由总积分为20分，列出关于的一元一次方程即可． 【详解】解：总比赛10场，负2场，胜场，则平场，胜场总积分为分，平场总积分为分， ∵总积分为20分， ∴． 10．学校组织知识竞赛，共设20道题，各题分值相同，每题必答，下表记录了5名参赛同学的得分情况，问： 参赛者 答对题数 答错题数 得分 A 20 0 100 B 19 1 94 C 18 2 88 D 14 6 64 E 10 10 40 （1）同学F得分82分，他答对了______道题； （2）同学G说他得了78分，你认为可能吗？答：______（填“可能”或“不可能”） 【答案】 17 不可能 【分析】本题考查了一元一次方程在实际问题中的应用，解题的关键是根据表格数据确定答对得分和答错扣分的规则，建立得分与答对题数的一元一次方程模型． （1）由表格可得，答对一题得5分，答错一题扣1分，设答对题数为，根据“总得分 = 答对得分答错扣分”列出一元一次方程． （2）代入得分求解，若为整数且在0到20之间则合理，否则不可能． 【详解】解：（1）由表格可得，答对一题得5分，答错一题扣1分， 设答对道题，则答错道题， 由题意得 当得分 82 分时： 所以同学F答对了道题． 故答案为：17． （2）当得分 78 分时： 不是整数，不符合答对题数为整数的实际情况，所以不可能． 故答案为：不可能． 11．2026年6月，被誉为 “小世界杯”的意大利国际青少年杯决赛，中国足球小将七战全胜捧杯．为庆祝这一佳绩，我区组织中学生校园足球联赛．联赛计分规则如下：常规时间内获胜得3分，负得0分；若常规时间内打平，则采取互罚点球的方式决定该场胜负，点球获胜得2分，负得0分．已知某支参赛队最终七场比赛全部获胜，总积分为18分．求这支球队在常规时间内打平，最终通过点球获胜的场数是多少？ 【答案】这支球队在常规时间内打平以点球获胜的场数为3场 【分析】设这支球队在常规时间内打平以点球获胜的场数为x场．根据总积分为18分列方程求解即可． 【详解】解：设这支球队在常规时间内打平以点球获胜的场数为x场． 根据题意得： 解得： 答：这支球队在常规时间内打平以点球获胜的场数为3场 12．下表为某篮球比赛部分球队的积分榜（篮球比赛没有平局）． 球队 比赛场次 胜场 负场 积分 A 12 10 2 22 B 12 9 3 21 C 12 7 5 19 D 11 6 5 17 E 11 … … 13 (1)填空：球队胜一场积____分，负一场积______分． (2)根据积分规则可知，E队已经进行了的11场比赛中，胜_____场，负____场． (3)若此次篮球比赛共16轮（每个球队各有16场比赛），D队希望最终积分达到26分，你认为有可能实现吗？请说明理由． 【答案】(1)2；1 (2)2；9 (3) 解：可能实现 理由如下：设接下来的5场比赛D队胜场，则负场． 依题意，得， 解得， ，符合题意， 可能实现． 【分析】本题考查了一元一次方程的应用，理解题意，找准等量关系列出一元一次方程是解题的关键． （1）观察C队和D队积分，即可解答； （2）设E队胜场，利用E队的积分是13分，得到等量关系，再列出方程求出的值，即可解答； （3）根据D队当前积分和目标积分，计算出剩余比赛需要获得的分数，然后设剩余比赛的胜场数为未知数，根据胜负积分规则列出方程，检验方程的解是否符合实际情况，从而做出判断． 【详解】（1）解：对比C队和D队数据，C队比D队多胜1场，负场数相同，积分多分，故胜一场积2分， 负一场积分， 球队胜一场积2分，负一场积1分． 故答案为：2；1； （2）解：设E队胜场，则负场， 由题意得，， 解得：， ， 答：E队已经进行了的11场比赛中胜2场，负9场； 故答案为：2；9； （3）略 题型四：方案选择 解题思路：① 设变化的关键量为 x；② 写出每种方案费用的代数式；③ 令代数式相等，求出临界值；④ 分小于、等于、大于临界值三种情况讨论最优方案；⑤ 注意：实际取值一般是正整数；⑥ 务必对比全部可行方案。 13．近年来，网购的蓬勃发展方便了人们的生活，某快递分派站现有包裹若干件需快递员派送，若每个快递员派送12件，则还剩5件；若每个快递员派送14件，则还差7件．设该分派站有x名快递员，则可列方程为（    ） A． B． C． D． 【答案】A 【分析】设该分派站有x个快递员，根据“若每个快递员派送12件，则还剩5件；若每个快递员派送14件，则还差7件”，即可得出关于x的一元一次方程． 【详解】解：设该分派站有x名快递员，则可列方程为： ． 故选：A． 【点睛】本题考查了由实际问题抽象出一元一次方程，找准等量关系是解题的关键． 14．某校七年级三个班级联合开展户外研学活动，此次活动由一班班长负责购买车票，票价每张20元．有如下两种优惠方案：班长思考一会儿说，无论选择哪种方案所要付的车费是一样的，则七年级三个班级共有___________ 团购优惠方案： ①全体人员均八折； ②除7人免票外，其余人员可享九折优惠 【答案】63人 【分析】根据题意，设七年级三个班级共有人，根据两种方案的费用相同建立方程，解方程即可得到答案． 本题考查一元一次方程的应用，解题的关键是根据两种方案费用相同建立方程． 【详解】解：设七年级三个班级共有人， 由题意得， ， ， ， 则七年级三个班级共有人． 故答案为：63人． 15．某地区有A、B两家票务中心售卖机票，优惠活动如下： A票务中心：机票按原价打七五折销售，每张票额外加收手续费35元； B票务中心：机票按原价优惠，免收任何手续费． (1)张老师从潍坊飞往成都，机票原价为930元．在哪家票务中心购票实际付款更少？请计算说明； (2)李叔叔要从潍坊飞往某地，他核算后发现两家票务中心购票实付款一样多，请算一算这张飞机票原价是多少元？ 【答案】(1)在A票务中心购票实际付款更少， 理由：（元）， （元）， （元）， ， 所以在A票务中心购票实际付款更少； (2)这张飞机票原价是700元． 【分析】（1）机票原价为930元，A票务中心机票按原价打七五折销售，即，再加上每张票额外加收的手续费35元即可；B票务中心机票按原价优惠，免收任何手续费，即； （2）设飞机票原价是元，根据“两家票务中心购票实付款一样多”列方程求解． 【详解】（1）略 （2）解：设飞机票原价是元， 根据题意，得， 解得， 答：这张飞机票原价是700元． 16．某校欲筹备“书香满校园”读书节活动，需为师生打印大量经典名著导读、好书分享素材等资料，对接的打印店推出了读书节专属优惠方案，具体如下： 方案一：缴纳30元办理“阅读普卡”，可免费打印500张资料，超出500张的部分，每张按0.3元收费； 方案二：缴纳45元办理“阅读金卡”，可免费打印750张资料，超出750张的部分，每张按a元收费． 注： ①每位顾客只能选择其中一种方案办卡； ②以上优惠活动仅限于打印A4单面纸张，以下均默认打印的是A4单面纸张． (1)若某班级需打印800张资料，选择方案一需支付多少元，选择方案二需支付多少元（用含的代数式表示）？ (2)某老师选择方案一打印资料，共支付费用66元，求该老师打印的资料总张数； (3)当时，设打印总量为张，若两种方案收费相等，求的值． 【答案】(1)方案一：120元 方案二：元； (2) (3)550或1050 【分析】（1）先判断打印张数是否超过对应方案的免费额度，因为方案一免费500张、方案二免费750张，800张均超过两者免费额度，所以分别按照“办卡费+超出部分×对应单价”的规则，列代数式计算两个方案的费用； （2）先判断支付费用对应的打印张数是否超过方案一免费额度，因为30元对应500张，66元大于30元，所以先计算超出免费额度的费用，再除以超出部分单价得到超出张数，最后加免费额度的张数得到总张数； （3）分区间讨论的取值：如果，比较两个方案的固定费用；如果，分别写出两个方案的费用表达式再列等式求解；如果，分别写出两个方案的费用表达式再列等式求解，最后检验解是否符合即可． 【详解】（1）解：方案一：∵打印800张，超出免费500张的部分为 张 ， ∴总费用 元； 方案二：打印800张，超出免费750张的部分为 张 ， ∴总费用 （元）； （2）因为，说明打印张数超过500张， 设总张数为张， ∴ 解得：； 答：该老师打印的资料总张数为620张； （3） ① 当：方案一收费30元，方案二收费45元，收费不相等，无解； ② 当时， 根据题意可得， 解得，符合题意； ③ 当时， 根据题意得， 解得，符合题意； ∴或． 题型五：数字问题 解题思路：① 不要把两位数简写为 ab；② 两位数：10十位数字+个位数字，三位数：100百位数字+10十位数字+个位数字；③ 设某一数位上的数字为 x；④ 根据和、差、倍数、数位对调找等量关系；⑤ 检验：数位是 09 的整数，首位不能为 0。 17．为确保信息安全，信息需要加密传输，发送方由明文→密文（加密），接受方由密文—明文（解密）．已知加密规则为：明文a，b，c，对应，，．例如明文1，2，3对应的密文2，8，18．如果接收方收到的密文7，18，15，则解密得到的明文为（    ） A．4，5，6 B．6，7，2 C．2，6，7 D．7，2，2 【答案】B 【分析】根据加密规则：“明文a，b，c对应的密文，，”，把7，18，15分别代入这三个式子，计算即可． 【详解】解：由题意知，，， 解得，，． 18．有一张写着1至100的自然数表．在表中的相邻两行中各取连续的3个数，用如图所示的方框围起来，这6个数的和是108．如果在这张数表上，照上面的方法围出的6个数的和是480．那么方框里最大的数应该是_________． 【答案】85 【分析】设方框里最大的数是，根据方框分别表示出其他五个数，再根据6个数的和列方程求解即可． 【详解】解：设方框里最大的数是，则其他五个数分别为，，，，， 由题意得，， 解得：， 即框里最大的数应该是85． 19．图中的正方形由9个小方格组成．在每个小方格中各填一个数，如果每行、每列、每条对角线上的三个数的和都相等，那么就称这个图是一个三阶幻方． (1)请将这9个数填入图中的小方格中，构造一个三阶幻方． (2)改变（1）中所构造的三阶幻方中某些数的位置，构造一个新的三阶幻方． (3)在（1）（2）所构造的不同三阶幻方中，有没有位置始终不变的数？如果有，请你解释其中的道理． (4)你能选择其他9个数构造一个三阶幻方吗？请你试一试． 【答案】(1)解：由题意，构造三阶幻方，如图1， (2)解：构造一个新的三阶幻方，如图： (3)解：位于中间位置的数始终不变，理由如下： 设幻方9个位置的数如图3所示，每行，每列，每条对角线上的和均为， 则； ①； ②； ③； ④； ，得； ∴， ∴位于中间位置的数为定值，始终不变； (4)解：能，构造幻方如图所示： 【详解】（1）略 （2）略 （3）略 （4）略 20．将连续的奇数1，3，5，7，9，…排成如图所示的数表． (1)十字形框中的五个数之和与中间数15有什么关系？ (2)设中间数为a，如何用代数式表示十字形框中五个数之和？ (3)若将十字形框上下左右移动，可框住另外五个数，这五个数还有上述的规律吗？ (4)十字形框中的五个数之和能等于2022吗？能等于2025吗？ 【答案】(1)五个数的和是15的5倍 (2) (3)有 (4)十字形框中的五个数之和不能等于2022，能等于2025 【分析】本题考查了探索数字的规律，解题的关键是能找出所给数据之间的规律． （1）把五个数相加，然后除以5，即可得出结论； （2）根据（1）的结论即可得； （3）令十字框中间数为b，根据题中所给十字框，可写出其余4个数，将这5个数相加即可得解； （4）用2022除以5，得2022不是5的倍数，则十字框中的五数之和不能为2022，用2025除以5，得2025是5的倍数，则可得十字框中的五数之和能为2025． 【详解】（1）解：，即五个数的和是15的5倍； （2）解：设中间数为a，则其余的4个数可以表示为： ，，，，则它们的和为； （3）解：设移动后中间数为b，则其余的4个数分别为，，，，由题意得，因此这五个数之和还是中间数的5倍； （4）解：由（3）知，十字框中五个数之和总为中间数的5倍， ∵， ∴2022不是5的倍数， ∴5个数的和不能是2022， ∵， ∴2025是5的倍数，且405在第三列， ∴5个数的和能等于2025． 题型六：几何问题 解题思路：① 运用周长、面积、体积公式；② 等积变形核心：变化前后面积或体积相等；③ 设边长、高等线段长为 x；④ 统一单位；⑤ 检验线段长度为正数。 21．如图，直线和相交于点把分成两部分，且，平分，则的度数为（    ） A． B． C． D． 【答案】C 【分析】 设，根据比例关系表示，利用平角定义及角平分线性质表示，结合已知条件列方程求解． 【详解】解：设， ， ，， ， ， 平分， ， ， ， 解得， ． 22．手工课上，老师让同学们将一张长方形彩纸按要求切割，得到如图所示的个长方形，其中，，．若长方形与长方形的周长相等，则的长度为________（用含的代数式表示）． 【答案】 【分析】根据长方形性质得出，由表示出，由表示出，利用两个长方形周长相等建立等量关系求解即可． 【详解】解：四边形是长方形，， ， ， ， 长方形与长方形的周长相等， ， ， ， ， ， ， ， ． 23．已知和互为邻补角，，将一个三角板的直角顶点放在点处（注：，）． (1)如图①，使三角板的短直角边与射线重合，求的度数． (2)将图①的三角板在的上方绕点逆时针转动，如图②，在转动过程中，当时，求的度数． 【答案】(1) (2)或 【分析】（1）利用求解即可； （2）设，则，根据题意分两种情况讨论，分别列方程求解即可． 【详解】（1）解：∵，， ∴； （2）解：设，则， 如图，当在内部时， ∵， ∴， ∵， ∴， ∴， ∴； 如图，当在外部时， ∵， ∴， ∵， ∴， ∴， ∴； 综上所述，当时，的度数为或． 24．如图①，点为数轴原点，，正方形的边长为，边在数轴上．点从点出发，沿射线方向运动，速度为每秒个单位长度，设运动时间为秒，回答下列问题． (1)点对应的数为________，点对应的数为________； (2)如图②，在点运动过程中，在数轴上作线段，点在点右侧，以为边向上作正方形，连结、． ①点对应的数为________；（用含的式子表示） ②当的面积为时，求的值； ③当正方形与正方形重叠面积为的面积倍，直接写出的值． 【答案】(1)2，8 (2)①②或③或 【分析】（1）根据题意可知点对应的数，结合正方形的边长即可知，由即可求得点对应的数； （2）①根据题意知，结合即可； ②由正方形得知，那么，解得，分当点在点左侧时，，当点在点右侧时，，分别求得即可； ③由正方形得，分当点在点左侧和右侧，分别求得，进一步求得，再次求得重叠部分的宽度，则有正方形与正方形重叠面积，结合题意列出方程求解即可． 【详解】（1）解：∵， ∴点对应的数为2， ∵正方形的边长为， ∴， ∴， 则点对应的数为8； （2）解：①根据题意知，， ∵， ∴， ②∵正方形的边长为， ∴， ∵的面积为， ∴，解得， 当点在点左侧时，，解得； 当点在点右侧时，，解得； ③∵正方形， ∴， 当点在点左侧时，，则， 重叠部分的宽度为， 则正方形与正方形重叠面积为， ∵正方形与正方形重叠面积为的面积倍， ∴，解得； 当点在点右侧时，，则， 重叠部分的宽度为， 则正方形与正方形重叠面积为， ∵正方形与正方形重叠面积为的面积倍， ∴，解得． 题型七：动点问题 解题思路：① 标出起点、终点、速度、运动方向；② 利用 路程=速度时间，用含 x（时间）的式子表示移动距离；③ 根据距离、面积、重合等条件建立等式；④ 分类讨论：点在线段上、在线段延长线上；⑤ 限定 x 的取值范围；⑥ 检验：时间不能为负数。 25．如图所示，的边上有一动点P从距离O点的点M处出发，沿M→O→B方向运动，速度为；动点Q从O点出发，沿射线运动，速度为．P，Q同时出发，设运动时间是t（s），当点P追上点Q时t的值为（   ） A．2 B．3 C．6 D．9 【答案】C 【分析】本题考查一元一次方程的实际应用．由题意可知点P在上，根据题意可列出关于t的等式，解出t即可． 【详解】解：根据题意可知点P在上，则点P表示的数为，点Q表示的数为， ∴， 解得：． 故当t的值为6时，点P追上点Q． 故选：C． 26．如图，在数轴上点 A 对应的数为，点 P 从原点 O 出发以每秒 1 个单位长度的速度向正方向运动，同时，点 Q 从点 A 出发以每秒 2 个单位长度的速度向正方向运动，则经过_________秒钟，． 【答案】16或 【分析】根据Q点在O点左侧或右侧分类讨论，再根据得出关系式进而求出答案． 【详解】解：设t秒时，， 此时，，，， 当Q点在O点左侧可得：， ∴， 解得； 当Q点在O点右侧可得：， ∴， 解得． 综上所述，经过16或秒钟，． 27．已知A，B两点在数轴上分别表示有理数a，b，A，B两点之间的距离表示，且A，B两点之间的距离为．数轴上A，B两点对应的数分别为，2，P为数轴上一动点，且表示的数为m． (1)【发现问题】A，B两点之间的距离是_____________； (2)【解决问题】 ①若，则_____________， ②若点P到、两点的距离比为，则点P表示的数为_____________． (3)【创新应用】现在点P从A点处出发以2个单位长度/秒的速度向右运动，同时Q从点B处出发，以个单位长度/秒的速度向左运动，当点P与点Q之间的距离是2个单位长度时，直接写出点P表示的数． 【答案】(1) (2)①或②或 (3)或 【分析】（1）利用数轴上两点距离公式，代入两点对应的数，求出绝对值即可得到两点之间的距离； （2）①先利用数轴上两点距离公式得出，列出绝对值方程，分两种情况去掉绝对值符号求解即可；②由距离比列出含绝对值的比例等式，利用比例的基本性质化简，分两种情况去掉绝对值解方程得到结果； （3）设移动了秒时，点P与点Q之间的距离是2个单位长度，则点P、点Q对应的数分别为、；根据题意列出绝对值方程，解出，再回代即可求出点P表示的数． 【详解】（1）解：由题意得； （2）解：①由题意得， ， ， 或， 或； ②点P到、两点的距离比为， ， ， ， 或， 或； （3）解：设移动了秒时，点P与点Q之间的距离是2个单位长度， 由题意得， ， 化简得或， 解得或， ，， 点P表示的数为或． 28．如图，数轴上有A，B，C三点，它们表示的数分别是，，．现有动点P，Q都从点A出发，点P 以每秒1个单位长度的速度向终点C移动；当点P移动到点B时，点Q才从点A出发，并以每秒3个单位长度的速度向右移动，点Q到达点C后立即返回，并以原来的速度向左移动．当点P到达点C时，点Q停止移动．设点P移动的时间为． (1)填空： ， ； (2)请求出当t不低于，且不超过时，线段的长；（用含t的代数式表示） (3)当线段的长为个单位长度时，求t的值． 【答案】(1)； (2) (3)、、 【分析】本题为数轴动点综合题，需要按照动点Q的运动状态划分三个时间段：Q未出发，Q向右运动未到达点C，Q到达C后折返向左．利用数轴上两点距离等于两数差的绝对值列方程求解，求解后必须检验是否在对应取值范围． 【详解】（1）解：∵数轴上有A，B，C三点，它们表示的数分别是，，， ∴，； （2）解：P表示的数：， 当时，点Q的运动时间为秒，Q未到达点C， Q表示的数：， 两点距离：， ∵， ∴， ∴； （3）解：①当时，Q还未出发，Q在点A处， ， 令，得，满足， ②当时，Q向右运动，未折返， ， ，解得（，舍去）， ，解得，满足， ③当时，Q到达C后向左折返， Q表示的数：， ， ，解得（，舍去）， ，解得，满足， 综上所述，t的值为、、． 题型八：电费和水费问题 解题思路：① 读懂分段收费标准；② 区分基础用量和超出用量；③ 等量关系：基础费用 + 超出部分费用 = 总费用；④ 不要用最高单价乘全部用量；⑤ 设总用量为 x 列方程。 29．小红帮助妈妈预测家里6月份电费开支情况，下表是小红家6月初连续8天每天早上电表显示的读数．若每千瓦时用电收费0.6元，小红预测家里6月份应缴纳的电费是（    ） 日期 1 2 3 4 5 6 7 8 电表显示读数 221 224 228 233 239 242 246 249 A．57.8元 B．60元 C．72元 D．120元 【答案】C 【分析】考查了用样本估计总体的思想.总体平均数约等于样本平均数. 先计算出这七天一共用电的度数，再算出平均每天用电的度数，从而预估出这个家庭6月份用电度数，最后计算出小红家6月份（按30天计）的电费. 【详解】由题意得：从1日至8日这7天平均每天用电， 则可估计6月份用电 ∴小红预测家里6月份应缴纳的电费是（元）． 故选：C. 30．某地按如下规则收取每月天然气费：用气量如果不超过立方米，每立方米按元收取，如果超过立方米，超过部分按每立方米2元收费，已知某用户月的天然气费为元，则月份该用户用天然气__________立方米． 【答案】 【分析】本题考查了一元一次方程的应用的知识，掌握了以上知识是解题的关键； 本题先判断出用气量是否超过立方米，然后设未知数，列方程即可求解； 【详解】解：， ∵， ∴月份用气量超过了立方米， 设月份用了煤气立方米， ， 解得：， 故答案为：70； 31．某市从5月1日起对居民用电试行“阶梯电价”收费，具体收费标准如下． 每户居民用电量的范围 电费价格（单位：元/度） 不超过150度的部分 0.6 超过150度，但不超过300度的部分 超过300度的部分 5月份该市居民甲用电200度，缴纳电费122.5元；居民乙用电350度，缴纳电费232.5元． (1)表中 ； ． (2)李老师缴纳5月份的电费后发现，他家该月平均电价实际为每度0.62元，你知道李老师家5月份用电多少度吗？ 【答案】(1)； (2)李老师家5月份用电度 【详解】（1）解：根据题意得 （元）， ； （元/度）， ； （2）解：设李老师家5月份用电度， （元/度）， ， ， 列方程得， 解得， 答：李老师家5月份用电度． 32．某市为了鼓励居民节约用水，采用分阶段计费的方法按月计算每户家庭的水费：月用水量不超过时，按2元/计算：月用水量超过时，其中的仍按2元/计算，超过部分按2.5元/计算．设某户家庭月用水量； (1)当时，水费为________元； 当时，水费为________元；（用含x的式子表示） (2) 月份 10月 11月 12月 用水量 15 22 a 小花家第四季度用水情况如上表，小花家这个季度共缴纳水费125元，请你求出小花家12月份用水量a的值？ 【答案】(1)当时，水费为34元；当时，水费为元 (2)小花家12月份用水 【分析】（1）根据收费方式，求出水费，列出代数式即可； （2）根据题意和收费方式，列出方程进行求解即可. 【详解】（1）解：当时，水费为元； 当时，水费元； （2）解：由题意得，小花家10月份，11月份共交水费（元）， 则12月份水费为（元） ， ∴， ∴小花家12月份的用水量为，超过20吨的部分为， ， 解得：． 答：小花家12月份用水量为． 题型九：行程问题 解题思路：① 核心公式：路程=速度时间；② 相遇：甲路程 + 乙路程 = 总距离；③ 追及：快者路程 - 慢者路程 = 初始距离；④ 航行：顺水速度 = 静水速度 + 水速，逆水速度 = 静水速度 - 水速；⑤ 统一单位（千米/米，小时/分钟）；⑥ 合理设时间或速度为 x。 33．一辆客车和一辆卡车同时从地出发沿同一公路同向行驶，客车的行驶速度是，卡车的行驶速度是，客车比卡车早到达地．若设、两地间的路程是千米，可列方程（） A． B． C． D． 【答案】B 【分析】根据路程，速度，时间的关系，利用“卡车行驶时间减去客车行驶时间等于1小时”的等量关系即可列出方程． 【详解】解：设、两地间的路程是， ∵时间等于路程除以速度， ∴卡车的行驶时间为，客车的行驶时间为， ∵客车比卡车早到达地，即卡车比客车多用， ∴可得等量关系：卡车行驶时间客车行驶时间， 因此列方程得． 34．铁路旁的一条与铁路平行的小路上，有一行人与骑车人同时向南行进，行人速度为千米/时，骑车人速度为千米/时，这时有一列火车从他们背后开过来，火车通过行人用22秒，通过骑车人用26秒，这列火车的车身总长是_____米． 【答案】 286 【分析】本题属于追及问题，先统一速度单位，火车的车身长度等于火车车尾与行人的路程差，也等于火车车尾与骑车人的路程差，设火车速度为x米/秒，根据车身长度不变列一元一次方程求解即可． 【详解】解：换算单位得：行人速度为千米/时米/秒，骑车人速度为千米/时米/秒． 设这列火车的速度是米/秒，依题意列方程得： 解得： 则火车的车身总长为：(米)． 35．如下是课本中本节例3的情境： 小明和小华两人在的环形跑道上练习长跑，小明每分钟跑，小华每分钟跑，两人起跑时站在跑道同一位置 （1）如果小明起跑后小华才开始跑，那么小华用多长时间能追上小明？ （2）如果小明起跑后小华开始反向跑，那么小华起跑后多长时间两人首次相遇？ 你还能提出其他问题并列方程解决吗？ 【答案】问题：两人同时从同位置同向起跑，经过多长时间小华第一次追上小明？ 解：设经过小华第一次追上小明， 由题意得，， 解得， 答：经过小华第一次追上小明． 【分析】两人同位置，同向起跑，求小华第一次追上小明的时间，根据小华第一次追上小明时，小华比小明多跑建立方程求解即可． 【详解】略 36．A，B两地相距，甲乙两位老人分别同时从A地与B地出发，步行前往另一地．已知甲老人走路的速度为，乙老人走路的速度为． (1)经过多长时间，甲乙老人相遇？ (2)一天，当两位老人出发时，一只狗与甲老人一同出发跑向乙老人，当狗与乙老人相遇时，立刻回头跑向甲老人，当狗与甲老人相遇时再立刻回头跑向乙老人……，当甲乙两位老人相遇时，狗停止运动．已知狗跑动的速度是．问：当狗停止运动时，狗已经跑了多少米？ 【答案】(1) 经过300秒，甲乙老人相遇. (2) 狗已经跑了2400米. 【分析】 （1）根据相遇时两人路程和等于A、B两地总距离，列一元一次方程求解； （2）狗跑动的总时间等于甲乙相遇时间，利用路程公式直接计算总路程． 【详解】（1）解：设经过秒甲乙两位老人相遇， ∵ 甲的速度为，乙的速度为，相向而行相遇时路程和等于两地距离 ， ∴， 解得； 答：经过300秒甲乙两位老人相遇； （2）解：∵狗从出发到停止的总时间等于甲乙两人的相遇时间，即，狗的速度为， ∴狗跑的总路程为 ； 答：狗已经跑了2400米． 题型十：比例分配 解题思路：① 若比为 a:b:c，设每一份为 x，各量表示为 ax,,bx,,cx；② 等量关系：各部分数量之和 = 总量；③ 先求出 x，再计算各部分；④ 不要直接把比例数字当作实际数量。 37．某村原有林地115公顷、旱地65公顷，为保护环境，需把一部分旱地改造为林地，使旱地面积占林地面积的20%．设把公顷旱地改为林地，则可列方程（    ） A． B． C． D． 【答案】B 【分析】设把x公顷旱地改为林地，根据旱地面积占林地面积的20%列出方程即可． 【详解】解：设把x公顷旱地改为林地，根据题意可得方程：． 故选：B． 【点睛】本题考查一元一次方程的应用，关键是设出未知数以以改造后的旱地与林地的关系为等量关系列出方程． 38．山洞里有一堆桃子，是三只猴子的共同财产．猴老大来到山洞后将桃子按的比例分成两部分，并取走较多的一部分；猴老二来到后，将剩下的桃子又按的比例分成两部分，并取走较多的一部分；剩余的桃子归猴老三．已知猴老大比猴老三多拿了29个桃子，则猴老二拿了___________个桃子． 【答案】20 【分析】本题考查了比的应用，一元一次方程的应用，解题的关键是正确理解题意，设出未知数，找到等量关系． 设桃子总数为T，猴老大取走，剩余；猴老二取走剩余桃子的，即；猴老三得到，根据猴老大比猴老三多29个桃子，列方程求解T，再计算猴老二所拿桃子数． 【详解】解：设桃子总数为T，则猴老大取走，剩余； 则猴老二取走较多部分，猴老三得到； 由题意得，， ， ， 解得， 所以猴老二取走个桃子， 故答案为20． 39．市场上一种茶饮料由茶原液和纯净水按一定的比例配制而成，其中购买一吨茶原液的钱可以买20吨纯净水，由于今年以来茶产地云南地区连续干旱，茶原液的收购价格上涨，纯净水也上涨了，导致配制的这种茶饮料成本上涨．求这种茶饮料中茶原液与纯净水的质量配制比例？ 【答案】 【分析】设这种茶饮料中茶原液与纯净水的质量配制比例为，设1吨纯净水价为元，则1吨原液价为元，以配制后的成本价作为等量关系可列出方程求解，其中一个未知数能约去． 【详解】解：设这种茶饮料中茶原液与纯净水的质量配制比例为． 设1吨纯净水价为元，则1吨原液价为元． 答：这种茶饮料中茶原液与纯净水的质量配制比例为． 40．遵辣1号系贵州遵义虾子镇的特产辣椒品种，因其香辣浓郁、皮薄肉厚、色泽鲜亮、辣味纯正而著称．小温家种植了一片遵辣1号辣椒，每日需对辣椒进行采收并完成分拣装筐工作．据了解，每人每日能够采摘120千克辣椒或分拣装筐280千克辣椒．新鲜辣椒的售价为每千克8元，干辣椒的售价为每千克30元． (1)小温家雇佣了20名工人进行采摘和分拣装筐，每名工人一天只能做一项工作，不计其他因素，要使每天采摘的辣椒全部分拣装筐，应如何分配工人？ (2)一位商贩计划购买100千克的干辣椒和a千克（）新鲜辣椒．小温提供了两种优惠方案： 方案一：每买5千克的干辣椒，赠送3千克的新鲜辣椒； 方案二：每千克干辣椒和新鲜辣椒都按定价打九折付款． ①按购买方案一需支付费用______元；按购买方案二需支付费用______元；（请用含a的代数式表示） ②当a为何值时，两种购买方案的费用一样． 【答案】(1)有14名工人采摘，则有6名工人分拣装筐 (2)①；② 【分析】本题考查了一元一次方程的应用，列代数式，找出等量关系是解题的关键． （1）设有名工人采摘，则有名工人分拣装筐，根据采摘的数量等于分拣装筐的数量列方程即可； （2）①根据题意列代数式并化简即可； ②根据两种购买方案的费用一样建立方程，求解即可． 【详解】（1）解：设有名工人采摘，则有名工人分拣装筐，由题意得 解得， ， 答：有14名工人采摘，则有6名工人分拣装筐； （2）①方案一：（元）， 方案二：（元）； ②由题意得 解得． 题型十一：日历问题 解题思路：① 日历规律：左右相邻差 1，上下相邻差 7；② 设其中一个数为 x，用含 x 的式子表示其余数字；③ 根据和、差条件列方程；④ 检验：数值在 131 之间，符合日历排布。 41．如图，将正整数至按一定规律排列，图中十字框框住了个数字，将十字框上下左右移动，按同样的方式可框住另外的个数字，则框住的个数的和可能是（   ） A． B． C． D． 【答案】B 【分析】本题考查了数字类规律探索，一元一次方程的应用，正确得出规律是解题关键；设中间的数为，则用代数式表示这五个数的和为，即可判断和为的正整数倍． 【详解】解：设中间的数为， ∴这五个数的和为：， ∴框住的个数的和是的正整数倍， 故选：B ． 42．如图是某月的日历表，在此日历表上可以用一个“十”字圈出5个数（如3，9，10，11，17），照此方法，若圈出的5个数中，最大数与最小数的和为40，则这5个数中的最大数为_____________． 【答案】27 【分析】本题考查一元一次方程的实际应用； 设中间这个数为，则最小数为，最大数为，根据题意，得进行求解即可． 【详解】解：设中间这个数为，则最小数为，最大数为， 由题意得，， 解得，， ∴最大数为：， 故答案为：． 43．如图1，是2026年1月的月历，章老师在数学活动课上开展月历中的数学游戏． (1)①任意框出图1某一行中相邻的3个数，若中间的数为，那么右边的数为_________；（用含的式子表示） ②任意框出图1某一列中相邻的3个数，若中间的数为，那么下面的数为_________．（用含的式子表示） (2)①用图2框出图1中的3个数，则这3个数的和最大为_________； ②能否用图3框出图1中的5个数，使这5个数的和是90，若能，求这5个数分别是多少？若不能，请说明理由． 【答案】(1)①；② (2)①72； ②不能；理由如下： 设中间的数为b，则另外4个数分别为，，，， 根据题意得：， 解得：， 观察图可知，18在边上， ∴无法框出这样的5个数，使这5个数的和为90． 【分析】（1）①利用右边的数=中间的数，即可用含x的代数式表示出右边的数； ②利用下面的数=中间的数，即可用含x的代数式表示出下面的数； （2）①设中间的数为，则另外两个数分别为，，将个数相加，可得出这3个数的和为3a，对照图1，可得出a的最大值为24，将其代入3a中，即可求出结论； ②设中间的数为b，则另外4个数分别为，，，，根据题意可列出关于的一元一次方程，解之可得出的值，再结合图1，即可求出结论． 【详解】（1）解：根据题意得：①若中间的数为，那么右边的数为； ②若中间的数为，那么下面的数为． （2）解：①设中间的数为a，则另外两个数分别为，， ∴个数的和为， 观察图可知，的最大值为， ∴， ∴这个数的和最大为； ②略 44．将连续偶数，，，，…排成如下数表： (1)将平行四边形框上、下、左、右平移，可框住数表中的三个数，设中间的数为，求出平行四边形框中三个数之和； (2)平行四边形框中的三个数的和能等于吗？若能，写出这三个数；若不能，请说明理由． 【答案】(1) (2)能等于，这三个数分别为，， 【分析】本题考查一元一次方程应用中的日历问题，观察数表寻找规律是关键． （1）设中间的数为，则另外两个数分别为，，将三个数相加，即可用含的代数式表示出平行四边形框中三个数之和； （2）根据（1）的结论，求出的值为，观察数表规律，找到数字的位置，并判断能否取到这三个数即可． 【详解】（1）解：由数表的规律可知，平行四边形左上角的数为，右下角的数为， ∴三个数的和为； （2）解：假设三个数的和能等于， 由（1）可知，三个数的和为， ∴， 解得， ∴，， 观察数表发现，在第行第个数的位置，是中间位置， ∴假设成立，三个数的和能等于，三个数分别为，，． 题型十二：古代问题 解题思路：① 把古文描述翻译成数学语言；② 抓住关键词：共、倍、多、少、余、平分；③ 提取等量关系；④ 恰当设未知数；⑤ 检验答案一般为正整数。 45．《孙子算经》记载经典盈亏问题：若干农户均分粮食，若每人分6斗，剩余4斗；若每人分8斗，还差6斗．设一共有名农户，下列方程符合题意的是（     ） A． B． C． D． 【答案】B 【分析】本题考查一元一次方程的实际应用，解题核心是抓住粮食总量不变，分别根据两种分粮情况表示出粮食总量，令二者相等即可得到符合题意的方程. 【详解】解：设一共有名农户，粮食总量固定不变. ∵每人分斗，剩余斗， ∴粮食总量为 ； ∵每人分斗，还差斗，说明现有粮食总量比少斗， ∴粮食总量为 ； ∵粮食总量相等， ∴得方程 . 46．我国古代的“九宫图”是由的方格构成的，每个方格均有不同的数，每一行、每一列以及每一条对角线上的三个数之和相等．如图给出了“九宫图”的一部分，请推算的值是___________． 【答案】 【分析】根据九宫图中每一行、每一列、每一条对角线上的三个数之和相等的性质，设出未知量，找出等量关系列方程求解即可． 【详解】解：设第一行第一格的数为，第一行第三格的数为，第二行第二格（中间）的数为， ∵每一行、每一列以及每一条对角线上的三个数之和相等， ∴，， ∴，， 解得：，． 47．古希腊数学家丢番图的墓碑上记载着：他生命的是幸福的童年；再度过了生命的，他两颊长起了细细的胡须；又度过了一生的，他结婚了；5年后，他有了儿子，感到很幸福；可是儿子只活了他全部年龄的一半；儿子去世后，他在极度痛苦中度过了4年，与世长辞了． (1)求丢番图去世时的年龄； (2)尝试提出其他问题并列方程解决． 【答案】(1) 丢番图去世时的年龄为岁 (2) 丢番图结婚时的年龄是多少？岁 【分析】设丢番图的年龄为x岁，根据题意列出方程，即可求解． 【详解】（1）解：设他去世时的年龄为x，根据题意，得 解得． 答：丟番图去世时的年龄是84岁． （2）解：提出问题：丢番图结婚时的年龄是多少？ 设丢番图结婚时的年龄是y， 则， 解得， 答丟番图结婚时的年龄是33岁． 48．我国很多经典古籍中记载了“河图洛书”，它是中国重要的文化遗产．图1“洛书”中用实心点或空心点的个数表示数字．观察图1中的每一组点所对应的数字，回答下列问题： (1)根据“洛书”，图2中______，______； (2)根据图2所填数字，我们不难发现：方格中每一行、每一列、每条对角线上的三个数之和都相等．若图3符合“洛书”的规律，每一行、每一列以及两条对角线上的数字之和都相等，求c的值． 【答案】(1)5，6； (2) 【分析】本题考查了数字类规律，一元一次方程的应用，找准等量关系，正确列出一元一次方程是解题的关键． （1）根据“洛书”中的点，找出，的值； （2）根据第二行及对角线上的三个数的和相等，可求出第三行第一个方格中的数为7，再根据第三行及第三列上的三个数的和相等，可列出关于的一元一次方程，解之即可得出结论． 【详解】（1）解：根据“洛书”，图2中，． 故答案为：5，6； （2）解：第三行第一个方格中的数为， 根据题意得：， 解得． 答：的值为． 题型十三：配套问题 解题思路：① 看清部件的配套比（例如 2 个甲配 3 个乙）；② 等量关系：甲数量:乙数量=配套比，交叉相乘甲数量后项=乙数量前项（防止比例颠倒）；③ 设生产一种零件的人数为 x；④ 用总人数表示生产另一种零件的人数；⑤ 计算每种零件的总产量。 49．某工厂承接甲、乙两种零件加工任务，已知加工1个甲种零件需耗材5元，加工1个乙种零件需耗材3元．若该工厂共加工甲、乙两种零件40个，且购买耗材总费用为170元，设加工甲种零件x个，则可列方程为（   ） A． B． C． D． 【答案】A 【分析】本题考查一元一次方程的实际应用，根据“总耗材费用=甲零件总耗材费用+乙零件总耗材费用”的等量关系列方程即可． 【详解】解：∵设加工甲种零件个，甲乙两种零件共加工个， ∴加工乙种零件的个数为个． ∵加工个甲种零件需耗材元，加工个乙种零件需耗材元，总耗材费用为元， ∴甲零件总耗材为，乙零件总耗材为 ， 可得方程：． 50．已知一个水分子模型教具需要一个氧原子模型和两个氢原子模型组装配套，某工厂现有20名工人，每人每小时平均生产60个氧原子模型或80个氢原子模型．若使每小时生产出的氧原子模型和氢原子模型组装配套，则生产氧原子模型的工人有________名． 【答案】 【分析】根据配套要求确定氢原子模型与氧原子模型的数量关系，设未知数列出一元一次方程求解即可． 【详解】解：设生产氧原子模型的工人有名，则生产氢原子模型的工人有名． 根据组装配套要求，氢原子模型总数为氧原子模型总数的倍， 列方程得， 解得． 51．某眼镜厂家的一个车间共有22名工人生产镜片和镜架，每人每天生产12个镜架或20片镜片，一副镜架要配两个镜片，此车间为了使每天生产的产品刚好配套． (1)应该如何分配工人才能使每天生产的镜架和镜片恰好配套？ (2)若每副眼镜的成本为150元，该车间每天生产的眼镜的总成本为多少元？ 【答案】(1)生产镜架10人，生产镜片12人 (2)18000元 【分析】（1）设分配x名工人生产镜片，名工人生产镜架，根据“一副镜架要配两个镜片”列方程求解； （2）根据题意列式求解即可． 【详解】（1）解：设分配x名工人生产镜片，名工人生产镜架， 根据题意得：， 解得：， ∴， 答：生产镜架10人，生产镜片12人． （2）解：由（1）可知，每天生产的镜架数量为（个）， 即每天生产120副眼镜， 故总成本为（元） 答：该车间每天生产的眼镜的总成本为18000元． 52．（列方程解应用题）七年级一班共有学生50人，其中男生人数比女生人数的2倍还少19人，劳技课上，老师组织同学们自己动手设计制作收纳盒，每名学生一节课能做盒身11个或盒底22个． (1)七年级一班有男生和女生各多少人？ (2)原计划女生负责做盒身，男生负责做盒底，每个盒身匹配2个盒底，那么这节课做出的盒身和盒底不能完全配套，最后决定男生去支援女生，问有多少男生去支援女生，才能使这节课制作的盒身和盒底刚好配套． 【答案】(1)男生27人，女生23人 (2)2名 【分析】（1）根据班级总人数和男生与女生的数量关系列一元一次方程求解即可； （2）根据配套要求，盒底数量是盒身数量的2倍，列一元一次方程求解即可． 【详解】（1）解：设七年级一班女生人数为人，则男生人数为 人， 根据题意，得 ， 解得， 则 ， 答：七年级一班有男生27人，女生23人； （2）解：设有名男生去支援女生，支援后，做盒身的人数为 人，做盒底的人数为 人， 盒身总数为 个，盒底总数为 个， 根据配套关系，得 ， 解得， 答：有2名男生去支援女生，才能使这节课制作的盒身和盒底刚好配套． 题型十四：和差倍分问题 解题思路：① 抓取关键词：和、差、倍、分、比……多、比……少；② 基本关系：较大量 = 较小量 + 差，总量 = 一份量 倍数；③ 选取合适的量设为 x；④ 用含 x 的式子表示其余量；⑤ 根据总量关系列出方程。 53．小川今年4岁，他爸爸今年36岁，几年后他爸爸的年龄是小川的年龄的3倍？设年后爸爸的年龄是小川的年龄的3倍，则可列方程为（     ） A． B． C． D． 【答案】C 【分析】设年后爸爸的年龄是小川年龄的倍，根据年后爸爸年龄等于倍的年后小川年龄这一等量关系，即可列出一元一次方程． 【详解】解：设年后爸爸的年龄是小川年龄的倍， ∴年后小川的年龄为 岁，年后爸爸的年龄为 岁， 根据题意得： ． 54．在一个停车场上，现有36辆车，其中汽车是4个轮子，三轮摩托车是3个轮子，这些车共有129个轮子．其中三轮摩托车有( )辆． 【答案】15 【分析】设三轮摩托车有辆，则汽车有辆，根据一共有129个轮子建立方程求解即可． 【详解】解：设三轮摩托车有辆，则汽车有辆， 由题意得，， 解得， 所以三轮摩托车有15辆． 55．某水果店运来苹果和梨一共340千克，苹果卖出四分之一，梨卖出三分之一后，剩下的苹果、梨质量恰好相等．水果店原来运来苹果、梨各多少千克？ 【答案】水果店原来运来苹果160千克，梨180千克 【分析】设水果店原来运来苹果x千克，则运来梨千克，根据题意列方程求解即可． 【详解】解：设水果店原来运来苹果x千克，则运来梨千克， 根据题意，得 （千克） 答：水果店原来运来苹果160千克，梨180千克． 56．自年月日起，我国开始实施《公共机构电动汽车充电基础设施配置及运行指南》（以下简称“指南”），“指南”要求公共机构充电车位配建比例宜不低于整体车位的．为解决某社区停车难问题，社区居委会联合相关部门划定一块面积为的公共停车场，需规划普通车位和充电车位，每个车位面积包含实际停车使用面积和公共通道分摊面积，其中充电车位另含充电桩占地面积．已知平均每个普通车位占地面积为，平均每个充电车位占地面积为，普通车位数量比充电车位数量的倍多个．判断充电车位数量是否满足“指南”要求，并说明理由． 【答案】解：满足，理由如下： 设充电车位的数量为x个，普通车位的数量为个， 则， 解得， 则， 所以车位的总数为． ∵且， ∴充电车位数量满足“指南”要求． 【分析】设充电车位的数量为x个，根据“平均每个普通车位占地面积为，平均每个充电车位占地面积为”求出充电车位和普通车位的个数，再求出充电车位配建比例即可． 【详解】略 试卷第1页（共3页） 试卷第1页（共3页） 学科网（北京）股份有限公司 $ 专题13一元一次方程的应用精讲学案 核心立意 本节课的核心是建立方程模型，将实际问题转化为一元一次方程。解方程不是难点，找准等量关系才是本节课的核心难点。要学会审题、合理设元、严谨检验，区分方程思维与算术思维，体会用方程处理复杂数量关系的优势。 列一元一次方程解应用题的六个步骤 ⑴ 审：通读题目，区分已知量、未知量，梳理各个量之间的联系； ⑵ 设：选定一个未知量设为未知数，注明单位；分为直接设元、间接设元； ⑶ 列：根据等量关系列出一元一次方程（只使用一个未知数）； ⑷ 解：求解一元一次方程； ⑸ 验：双重检验，一是检验数值是否满足方程；二是检验结果是否符合实际意义； ⑹ 答：写出完整答案，带上单位。 常见应用题型与核心等量关系 和差倍分问题：较大量 = 较小量 + 差；总量 = 倍数 × 一份量。 行程问题：路程=速度时间；相遇问题：两者路程之和 = 总路程；追及问题：两者路程之差 = 初始距离。 销售问题：利润=售价-进价；利润率=100%；售价=标价（例如八折就是乘以 ）。 工程问题：工作总量=工作效率工作时间；未给出总量时，通常把总工作量看作 1。 等积变形问题：变形前后体积（面积）相等。 配套问题：部件A数量：部件B数量 = 给定的配套比。 数字问题：两位数 =10十位数字 + 个位数字；三位数 =100百位数字 +10 十位数字 + 个位数字。 方案选择问题：计算每一种可行方案的结果，对比选出最优方案；注意数量一般取正整数。 两种设元方法 ⑴ 直接设元：题目问什么，就设什么，直观易懂； ⑵ 间接设元：直接设元难以列出方程时，设一个相关的中间量为未知数。 寻找等量关系的三条路径 ⑴ 抓关键词：等于、是、比……多、比……少、占、为； ⑵ 套固定公式：行程、销售、工程等问题利用对应的数学公式； ⑶ 找不变量：总量不变、体积不变、差值不变。 重点辨析 ① 等量关系未必直接写在题干中，很多隐藏在数学公式或生活常识里。 ② 方程的解 ≠ 应用题的答案。即使数值满足方程，如果不符合现实（人数是小数、负数），必须舍去。 ③ 思维区别：方程思想把未知量当作已知量参与列式；算术思想只能用已知量计算。不要执着于算术思路硬凑方程。 ④ 单位必须统一。例如速度用千米/时，则时间单位要用小时，不要混用分钟。 ⑤ 一元一次方程只能设一个未知数，不要引入多个字母。 ⑥ 方案选择不能只比较计算数值，还要检验取值是否符合实际（人数、物品数必须是正整数）。 ① 找不到等量关系，随意拼凑数字列出式子。 ② 折扣理解错误：八折是标价 × 0.8，不是标价 × 8。 ③ 配套问题把配套比例写颠倒。 ④ 设未知数、写答案时漏掉单位。 ⑤ 只检验方程，忽略实际意义检验，不舍去不合理的解。 ⑥ 单位不统一，直接代入公式运算。 ⑦ 方案问题没有计算全部可行方案就下结论。 ⑧ 数字问题写错多位数，如将十位为 a、个位为 b 的两位数写成 ab。 题型 考察方向 难度 题型一 工程问题 ★★ 题型二 销售盈亏 ★★★ 题型三 比赛积分 ★★ 题型四 方案选择 ★★★★ 题型五 数字问题 ★★★ 题型六 几何问题 ★★ 题型七 动点问题 ★★★★ 题型八 电费和水费问题 ★★★ 题型九 行程问题 ★★★ 题型十 比例分配 ★★ 题型十一 日历问题 ★★ 题型十二 古代问题 ★★★ 题型十三 配套问题 ★★★ 题型十四 和差倍分问题 ★★ 星级说明：★基础；★★中档；★★★提升；★★★★较难 题型一：工程问题 解题思路：① 把总工作量看作1；② 工作效率=；③ 等量关系：各部分工作量之和 = 总工作量；④ 一般设工作时间为 x，列方程；⑤ 检验结果为正数。 1．某室内装修工程，甲工程队单独完成要天，乙工程队单独完成要天．若乙工程队先单独工作天，剩下的由甲工程队单独完成，设完成这项工程一共用了天，根据题意可列方程为（   ） A． B． C． D． 2．某车间计划加工一批产品，如果每小时加工产品10个，就可以在预定时间完成任务；实际加工两个小时后，提高了加工速度，每小时多加工2个，结果提前1小时完成了任务．那么这批产品一共有____个． 3．2025年，旺苍县为聚焦城市建设“舒筋活络”，助推“民生愿景”变为幸福实景，统筹推进多项民生工程．其中，某一项工程由甲、乙两个工程队承接，已知甲队单独完成此项工程需要20天，乙队单独完成需要30天．该工程施工情况如下：甲队先单独施工10天，之后因工期紧张，安排乙队加入，甲、乙两队合作完成剩余工程． (1)甲、乙两队合作还需要多少天完成此项工作？ (2)已知甲队每天的劳务费比乙队多30元，完成这项工程共需支付劳务费11480元．则甲、乙两队每天的劳务费各是多少元？ 4．利用一元一次方程解应用题：某学校刚完成一批结构相同的学生宿舍的修建，这些宿舍地板需要铺瓷砖，一天4名一级技工去铺4个宿舍，结果还剩地面未铺瓷砖；同样时间内6名二级技工铺4个宿舍刚好完成，已知每名一级技工比二级技工一天多铺瓷砖． (1)求每个宿舍需要铺瓷砖的地板面积． (2)现该学校有26个宿舍的地板和的走廊需要铺瓷砖，该工程队一开始有4名一级技工来铺瓷砖，施工3天后，学校根据实际情况要求还要2天必须完成剩余的任务，决定加入6名二级技工一起工作并提高所有技工的工作效率．若每名一级技工每天多铺瓷砖面积与每名二级技工每天多铺瓷砖面积的比为，问每名二级技工每天需要铺多少平方米瓷砖才能按时完成任务？ 题型二：销售盈亏 解题思路：① 分清进价、标价、售价、折扣、利润、利润率；② 核心公式：利润=售价-进价，利润率=100%，售价=标价；③ 对比总售价与总进价，判断盈亏；④ 注意：利润率是相对于进价，不是标价；⑤ 设进价或标价为未知数列方程。 5．某商店把一件商品按进价提高后标价，再打八折销售，售价为240元．设这件商品的进价为x元，则可列方程为（     ） A． B． C． D． 6．某售楼中心对一商品房的标价是：基价为元/平方米，楼层差价如下表（表示上浮，表示下浮）： 楼层 一 二 三 四 五 六 差价百分比 某人买了面积为平方米的三楼，若他用同样的钱去买六楼，可以买___________平方米． 7．材料：股票市场，买、卖股票都要分别交纳印花税等有关税费，以某市股的股票交易为例，除成本外还要交纳： ①印花税：按成交金额的计算； ②过户费：按成交金额的计算； ③佣金：按不高于成交金额的计算，不足5元按5元计算． 问题： (1)小王以每股元的价格买入某股票100股，以每股元的价格全部卖出，则他盈利___________元． (2)小张以每股元（）的价格买入1000股上述股票，股市波动大，他准备在不亏不盈时卖出，请你帮他计算卖出的价格每股是___________元（用的代数式表示）．由此可得卖出价格与买入价格相比，至少要上涨___________才不亏（结果保留到）． (3)小张再以每股元的价格买入上述股票1000股，准备盈利1000元时才卖出，请你帮他计算卖出的价格每股是多少元？（结果精确到） 8．周末慧慧和小颖相约骑车到购书中心购书； (1)慧慧先到银行取钱，去年的2000元压岁钱已经存入银行9个月，若按照的年利率计算，慧慧能取到本息共_________元钱． (2)购书中心自动扶梯匀速由下向上移动．慧慧由下往上走，小颖由上往下走．结果慧慧走了60级到达楼上，小颖走了120级到达楼下，如果小颖单位时间内走的楼梯级数是慧慧的2倍．问当扶梯静止时，扶梯可看到的梯级共有多少级？ (3)购书中心对顾客实行优惠，若一次购书不超过200元，则不予优惠；若一次购书超过200元，但不超过500元，则按标准价给予九折优惠；若一次购书超过500元，其中500元按上述九折优惠，超过500元的部分按八折优惠．慧慧、小颖本次购书分别付款150元和423元，如果合起来一次购买她们所需的全部书籍，他们可以节约多少元？ (4)对于慧慧所骑的自行车，某品牌新轮胎安装在前轮上行驶7500千米报废；若安装在后轮上只能行驶6000千米就会报废．如果要行驶尽可能多的路程，可采用当自行车行驶到一定路程后将前后轮胎调换的方法，则安装在自行车上的一对新轮胎最多可行驶多少千米？（精确到个位） 题型三：比赛积分 解题思路：① 明确胜、平、负的得分、扣分规则（负场大多不得分，不一定扣分）；② 确定总场数和总积分；③ 等量关系：胜场得分 + 平场得分 - 负场扣分 = 总积分；④ 设一种场次为 x，用总场数表示其余场次；⑤ 检验：场次为非负整数。 9．2026年“吴越杯”浙江省城市足球联赛开赛，规定胜一场积3分，平一场积1分，负一场积0分．某队在10场比赛中负了2场，共积20分，求该队的胜场数．设该队胜了x场，则x满足的方程是（     ） A． B． C． D． 10．学校组织知识竞赛，共设20道题，各题分值相同，每题必答，下表记录了5名参赛同学的得分情况，问： 参赛者 答对题数 答错题数 得分 A 20 0 100 B 19 1 94 C 18 2 88 D 14 6 64 E 10 10 40 （1）同学F得分82分，他答对了______道题； （2）同学G说他得了78分，你认为可能吗？答：______（填“可能”或“不可能”） 11．2026年6月，被誉为 “小世界杯”的意大利国际青少年杯决赛，中国足球小将七战全胜捧杯．为庆祝这一佳绩，我区组织中学生校园足球联赛．联赛计分规则如下：常规时间内获胜得3分，负得0分；若常规时间内打平，则采取互罚点球的方式决定该场胜负，点球获胜得2分，负得0分．已知某支参赛队最终七场比赛全部获胜，总积分为18分．求这支球队在常规时间内打平，最终通过点球获胜的场数是多少？ 12．下表为某篮球比赛部分球队的积分榜（篮球比赛没有平局）． 球队 比赛场次 胜场 负场 积分 A 12 10 2 22 B 12 9 3 21 C 12 7 5 19 D 11 6 5 17 E 11 … … 13 (1)填空：球队胜一场积____分，负一场积______分． (2)根据积分规则可知，E队已经进行了的11场比赛中，胜_____场，负____场． (3)若此次篮球比赛共16轮（每个球队各有16场比赛），D队希望最终积分达到26分，你认为有可能实现吗？请说明理由． 题型四：方案选择 解题思路：① 设变化的关键量为 x；② 写出每种方案费用的代数式；③ 令代数式相等，求出临界值；④ 分小于、等于、大于临界值三种情况讨论最优方案；⑤ 注意：实际取值一般是正整数；⑥ 务必对比全部可行方案。 13．近年来，网购的蓬勃发展方便了人们的生活，某快递分派站现有包裹若干件需快递员派送，若每个快递员派送12件，则还剩5件；若每个快递员派送14件，则还差7件．设该分派站有x名快递员，则可列方程为（    ） A． B． C． D． 14．某校七年级三个班级联合开展户外研学活动，此次活动由一班班长负责购买车票，票价每张20元．有如下两种优惠方案：班长思考一会儿说，无论选择哪种方案所要付的车费是一样的，则七年级三个班级共有___________ 团购优惠方案： ①全体人员均八折； ②除7人免票外，其余人员可享九折优惠 15．某地区有A、B两家票务中心售卖机票，优惠活动如下： A票务中心：机票按原价打七五折销售，每张票额外加收手续费35元； B票务中心：机票按原价优惠，免收任何手续费． (1)张老师从潍坊飞往成都，机票原价为930元．在哪家票务中心购票实际付款更少？请计算说明； (2)李叔叔要从潍坊飞往某地，他核算后发现两家票务中心购票实付款一样多，请算一算这张飞机票原价是多少元？ 16．某校欲筹备“书香满校园”读书节活动，需为师生打印大量经典名著导读、好书分享素材等资料，对接的打印店推出了读书节专属优惠方案，具体如下： 方案一：缴纳30元办理“阅读普卡”，可免费打印500张资料，超出500张的部分，每张按0.3元收费； 方案二：缴纳45元办理“阅读金卡”，可免费打印750张资料，超出750张的部分，每张按a元收费． 注： ①每位顾客只能选择其中一种方案办卡； ②以上优惠活动仅限于打印A4单面纸张，以下均默认打印的是A4单面纸张． (1)若某班级需打印800张资料，选择方案一需支付多少元，选择方案二需支付多少元（用含的代数式表示）？ (2)某老师选择方案一打印资料，共支付费用66元，求该老师打印的资料总张数； (3)当时，设打印总量为张，若两种方案收费相等，求的值． 题型五：数字问题 解题思路：① 不要把两位数简写为 ab；② 两位数：10十位数字+个位数字，三位数：100百位数字+10十位数字+个位数字；③ 设某一数位上的数字为 x；④ 根据和、差、倍数、数位对调找等量关系；⑤ 检验：数位是 09 的整数，首位不能为 0。 17．为确保信息安全，信息需要加密传输，发送方由明文→密文（加密），接受方由密文—明文（解密）．已知加密规则为：明文a，b，c，对应，，．例如明文1，2，3对应的密文2，8，18．如果接收方收到的密文7，18，15，则解密得到的明文为（    ） A．4，5，6 B．6，7，2 C．2，6，7 D．7，2，2 18．有一张写着1至100的自然数表．在表中的相邻两行中各取连续的3个数，用如图所示的方框围起来，这6个数的和是108．如果在这张数表上，照上面的方法围出的6个数的和是480．那么方框里最大的数应该是_________． 19．图中的正方形由9个小方格组成．在每个小方格中各填一个数，如果每行、每列、每条对角线上的三个数的和都相等，那么就称这个图是一个三阶幻方． (1)请将这9个数填入图中的小方格中，构造一个三阶幻方． (2)改变（1）中所构造的三阶幻方中某些数的位置，构造一个新的三阶幻方． (3)在（1）（2）所构造的不同三阶幻方中，有没有位置始终不变的数？如果有，请你解释其中的道理． (4)你能选择其他9个数构造一个三阶幻方吗？请你试一试． 20．将连续的奇数1，3，5，7，9，…排成如图所示的数表． (1)十字形框中的五个数之和与中间数15有什么关系？ (2)设中间数为a，如何用代数式表示十字形框中五个数之和？ (3)若将十字形框上下左右移动，可框住另外五个数，这五个数还有上述的规律吗？ (4)十字形框中的五个数之和能等于2022吗？能等于2025吗？ 题型六：几何问题 解题思路：① 运用周长、面积、体积公式；② 等积变形核心：变化前后面积或体积相等；③ 设边长、高等线段长为 x；④ 统一单位；⑤ 检验线段长度为正数。 21．如图，直线和相交于点把分成两部分，且，平分，则的度数为（    ） A． B． C． D． 22．手工课上，老师让同学们将一张长方形彩纸按要求切割，得到如图所示的个长方形，其中，，．若长方形与长方形的周长相等，则的长度为________（用含的代数式表示）． 23．已知和互为邻补角，，将一个三角板的直角顶点放在点处（注：，）． (1)如图①，使三角板的短直角边与射线重合，求的度数． (2)将图①的三角板在的上方绕点逆时针转动，如图②，在转动过程中，当时，求的度数． 24．如图①，点为数轴原点，，正方形的边长为，边在数轴上．点从点出发，沿射线方向运动，速度为每秒个单位长度，设运动时间为秒，回答下列问题． (1)点对应的数为________，点对应的数为________； (2)如图②，在点运动过程中，在数轴上作线段，点在点右侧，以为边向上作正方形，连结、． ①点对应的数为________；（用含的式子表示） ②当的面积为时，求的值； ③当正方形与正方形重叠面积为的面积倍，直接写出的值． 题型七：动点问题 解题思路：① 标出起点、终点、速度、运动方向；② 利用 路程=速度时间，用含 x（时间）的式子表示移动距离；③ 根据距离、面积、重合等条件建立等式；④ 分类讨论：点在线段上、在线段延长线上；⑤ 限定 x 的取值范围；⑥ 检验：时间不能为负数。 25．如图所示，的边上有一动点P从距离O点的点M处出发，沿M→O→B方向运动，速度为；动点Q从O点出发，沿射线运动，速度为．P，Q同时出发，设运动时间是t（s），当点P追上点Q时t的值为（   ） A．2 B．3 C．6 D．9 26．如图，在数轴上点 A 对应的数为，点 P 从原点 O 出发以每秒 1 个单位长度的速度向正方向运动，同时，点 Q 从点 A 出发以每秒 2 个单位长度的速度向正方向运动，则经过_________秒钟，． 27．已知A，B两点在数轴上分别表示有理数a，b，A，B两点之间的距离表示，且A，B两点之间的距离为．数轴上A，B两点对应的数分别为，2，P为数轴上一动点，且表示的数为m． (1)【发现问题】A，B两点之间的距离是_____________； (2)【解决问题】 ①若，则_____________， ②若点P到、两点的距离比为，则点P表示的数为_____________． (3)【创新应用】现在点P从A点处出发以2个单位长度/秒的速度向右运动，同时Q从点B处出发，以个单位长度/秒的速度向左运动，当点P与点Q之间的距离是2个单位长度时，直接写出点P表示的数． 28．如图，数轴上有A，B，C三点，它们表示的数分别是，，．现有动点P，Q都从点A出发，点P 以每秒1个单位长度的速度向终点C移动；当点P移动到点B时，点Q才从点A出发，并以每秒3个单位长度的速度向右移动，点Q到达点C后立即返回，并以原来的速度向左移动．当点P到达点C时，点Q停止移动．设点P移动的时间为． (1)填空： ， ； (2)请求出当t不低于，且不超过时，线段的长；（用含t的代数式表示） (3)当线段的长为个单位长度时，求t的值． 题型八：电费和水费问题 解题思路：① 读懂分段收费标准；② 区分基础用量和超出用量；③ 等量关系：基础费用 + 超出部分费用 = 总费用；④ 不要用最高单价乘全部用量；⑤ 设总用量为 x 列方程。 29．小红帮助妈妈预测家里6月份电费开支情况，下表是小红家6月初连续8天每天早上电表显示的读数．若每千瓦时用电收费0.6元，小红预测家里6月份应缴纳的电费是（    ） 日期 1 2 3 4 5 6 7 8 电表显示读数 221 224 228 233 239 242 246 249 A．57.8元 B．60元 C．72元 D．120元 30．某地按如下规则收取每月天然气费：用气量如果不超过立方米，每立方米按元收取，如果超过立方米，超过部分按每立方米2元收费，已知某用户月的天然气费为元，则月份该用户用天然气__________立方米． 31．某市从5月1日起对居民用电试行“阶梯电价”收费，具体收费标准如下． 每户居民用电量的范围 电费价格（单位：元/度） 不超过150度的部分 0.6 超过150度，但不超过300度的部分 超过300度的部分 5月份该市居民甲用电200度，缴纳电费122.5元；居民乙用电350度，缴纳电费232.5元． (1)表中 ； ． (2)李老师缴纳5月份的电费后发现，他家该月平均电价实际为每度0.62元，你知道李老师家5月份用电多少度吗？ 32．某市为了鼓励居民节约用水，采用分阶段计费的方法按月计算每户家庭的水费：月用水量不超过时，按2元/计算：月用水量超过时，其中的仍按2元/计算，超过部分按2.5元/计算．设某户家庭月用水量； (1)当时，水费为________元； 当时，水费为________元；（用含x的式子表示） (2) 月份 10月 11月 12月 用水量 15 22 a 小花家第四季度用水情况如上表，小花家这个季度共缴纳水费125元，请你求出小花家12月份用水量a的值？ 题型九：行程问题 解题思路：① 核心公式：路程=速度时间；② 相遇：甲路程 + 乙路程 = 总距离；③ 追及：快者路程 - 慢者路程 = 初始距离；④ 航行：顺水速度 = 静水速度 + 水速，逆水速度 = 静水速度 - 水速；⑤ 统一单位（千米/米，小时/分钟）；⑥ 合理设时间或速度为 x。 33．一辆客车和一辆卡车同时从地出发沿同一公路同向行驶，客车的行驶速度是，卡车的行驶速度是，客车比卡车早到达地．若设、两地间的路程是千米，可列方程（） A． B． C． D． 34．铁路旁的一条与铁路平行的小路上，有一行人与骑车人同时向南行进，行人速度为千米/时，骑车人速度为千米/时，这时有一列火车从他们背后开过来，火车通过行人用22秒，通过骑车人用26秒，这列火车的车身总长是_____米． 35．如下是课本中本节例3的情境： 小明和小华两人在的环形跑道上练习长跑，小明每分钟跑，小华每分钟跑，两人起跑时站在跑道同一位置 （1）如果小明起跑后小华才开始跑，那么小华用多长时间能追上小明？ （2）如果小明起跑后小华开始反向跑，那么小华起跑后多长时间两人首次相遇？ 你还能提出其他问题并列方程解决吗？ 36．A，B两地相距，甲乙两位老人分别同时从A地与B地出发，步行前往另一地．已知甲老人走路的速度为，乙老人走路的速度为． (1)经过多长时间，甲乙老人相遇？ (2)一天，当两位老人出发时，一只狗与甲老人一同出发跑向乙老人，当狗与乙老人相遇时，立刻回头跑向甲老人，当狗与甲老人相遇时再立刻回头跑向乙老人……，当甲乙两位老人相遇时，狗停止运动．已知狗跑动的速度是．问：当狗停止运动时，狗已经跑了多少米？ 题型十：比例分配 解题思路：① 若比为 a:b:c，设每一份为 x，各量表示为 ax,,bx,,cx；② 等量关系：各部分数量之和 = 总量；③ 先求出 x，再计算各部分；④ 不要直接把比例数字当作实际数量。 37．某村原有林地115公顷、旱地65公顷，为保护环境，需把一部分旱地改造为林地，使旱地面积占林地面积的20%．设把公顷旱地改为林地，则可列方程（    ） A． B． C． D． 38．山洞里有一堆桃子，是三只猴子的共同财产．猴老大来到山洞后将桃子按的比例分成两部分，并取走较多的一部分；猴老二来到后，将剩下的桃子又按的比例分成两部分，并取走较多的一部分；剩余的桃子归猴老三．已知猴老大比猴老三多拿了29个桃子，则猴老二拿了___________个桃子． 39．市场上一种茶饮料由茶原液和纯净水按一定的比例配制而成，其中购买一吨茶原液的钱可以买20吨纯净水，由于今年以来茶产地云南地区连续干旱，茶原液的收购价格上涨，纯净水也上涨了，导致配制的这种茶饮料成本上涨．求这种茶饮料中茶原液与纯净水的质量配制比例？ 40．遵辣1号系贵州遵义虾子镇的特产辣椒品种，因其香辣浓郁、皮薄肉厚、色泽鲜亮、辣味纯正而著称．小温家种植了一片遵辣1号辣椒，每日需对辣椒进行采收并完成分拣装筐工作．据了解，每人每日能够采摘120千克辣椒或分拣装筐280千克辣椒．新鲜辣椒的售价为每千克8元，干辣椒的售价为每千克30元． (1)小温家雇佣了20名工人进行采摘和分拣装筐，每名工人一天只能做一项工作，不计其他因素，要使每天采摘的辣椒全部分拣装筐，应如何分配工人？ (2)一位商贩计划购买100千克的干辣椒和a千克（）新鲜辣椒．小温提供了两种优惠方案： 方案一：每买5千克的干辣椒，赠送3千克的新鲜辣椒； 方案二：每千克干辣椒和新鲜辣椒都按定价打九折付款． ①按购买方案一需支付费用______元；按购买方案二需支付费用______元；（请用含a的代数式表示） ②当a为何值时，两种购买方案的费用一样． 题型十一：日历问题 解题思路：① 日历规律：左右相邻差 1，上下相邻差 7；② 设其中一个数为 x，用含 x 的式子表示其余数字；③ 根据和、差条件列方程；④ 检验：数值在 131 之间，符合日历排布。 41．如图，将正整数至按一定规律排列，图中十字框框住了个数字，将十字框上下左右移动，按同样的方式可框住另外的个数字，则框住的个数的和可能是（   ） A． B． C． D． 42．如图是某月的日历表，在此日历表上可以用一个“十”字圈出5个数（如3，9，10，11，17），照此方法，若圈出的5个数中，最大数与最小数的和为40，则这5个数中的最大数为_____________． 43．如图1，是2026年1月的月历，章老师在数学活动课上开展月历中的数学游戏． (1)①任意框出图1某一行中相邻的3个数，若中间的数为，那么右边的数为_________；（用含的式子表示） ②任意框出图1某一列中相邻的3个数，若中间的数为，那么下面的数为_________．（用含的式子表示） (2)①用图2框出图1中的3个数，则这3个数的和最大为_________； ②能否用图3框出图1中的5个数，使这5个数的和是90，若能，求这5个数分别是多少？若不能，请说明理由． 44．将连续偶数，，，，…排成如下数表： (1)将平行四边形框上、下、左、右平移，可框住数表中的三个数，设中间的数为，求出平行四边形框中三个数之和； (2)平行四边形框中的三个数的和能等于吗？若能，写出这三个数；若不能，请说明理由． 题型十二：古代问题 解题思路：① 把古文描述翻译成数学语言；② 抓住关键词：共、倍、多、少、余、平分；③ 提取等量关系；④ 恰当设未知数；⑤ 检验答案一般为正整数。 45．《孙子算经》记载经典盈亏问题：若干农户均分粮食，若每人分6斗，剩余4斗；若每人分8斗，还差6斗．设一共有名农户，下列方程符合题意的是（     ） A． B． C． D． 46．我国古代的“九宫图”是由的方格构成的，每个方格均有不同的数，每一行、每一列以及每一条对角线上的三个数之和相等．如图给出了“九宫图”的一部分，请推算的值是___________． 47．古希腊数学家丢番图的墓碑上记载着：他生命的是幸福的童年；再度过了生命的，他两颊长起了细细的胡须；又度过了一生的，他结婚了；5年后，他有了儿子，感到很幸福；可是儿子只活了他全部年龄的一半；儿子去世后，他在极度痛苦中度过了4年，与世长辞了． (1)求丢番图去世时的年龄； (2)尝试提出其他问题并列方程解决． 48．我国很多经典古籍中记载了“河图洛书”，它是中国重要的文化遗产．图1“洛书”中用实心点或空心点的个数表示数字．观察图1中的每一组点所对应的数字，回答下列问题： (1)根据“洛书”，图2中______，______； (2)根据图2所填数字，我们不难发现：方格中每一行、每一列、每条对角线上的三个数之和都相等．若图3符合“洛书”的规律，每一行、每一列以及两条对角线上的数字之和都相等，求c的值． 题型十三：配套问题 解题思路：① 看清部件的配套比（例如 2 个甲配 3 个乙）；② 等量关系：甲数量:乙数量=配套比，交叉相乘甲数量后项=乙数量前项（防止比例颠倒）；③ 设生产一种零件的人数为 x；④ 用总人数表示生产另一种零件的人数；⑤ 计算每种零件的总产量。 49．某工厂承接甲、乙两种零件加工任务，已知加工1个甲种零件需耗材5元，加工1个乙种零件需耗材3元．若该工厂共加工甲、乙两种零件40个，且购买耗材总费用为170元，设加工甲种零件x个，则可列方程为（   ） A． B． C． D． 50．已知一个水分子模型教具需要一个氧原子模型和两个氢原子模型组装配套，某工厂现有20名工人，每人每小时平均生产60个氧原子模型或80个氢原子模型．若使每小时生产出的氧原子模型和氢原子模型组装配套，则生产氧原子模型的工人有________名． 51．某眼镜厂家的一个车间共有22名工人生产镜片和镜架，每人每天生产12个镜架或20片镜片，一副镜架要配两个镜片，此车间为了使每天生产的产品刚好配套． (1)应该如何分配工人才能使每天生产的镜架和镜片恰好配套？ (2)若每副眼镜的成本为150元，该车间每天生产的眼镜的总成本为多少元？ 52．（列方程解应用题）七年级一班共有学生50人，其中男生人数比女生人数的2倍还少19人，劳技课上，老师组织同学们自己动手设计制作收纳盒，每名学生一节课能做盒身11个或盒底22个． (1)七年级一班有男生和女生各多少人？ (2)原计划女生负责做盒身，男生负责做盒底，每个盒身匹配2个盒底，那么这节课做出的盒身和盒底不能完全配套，最后决定男生去支援女生，问有多少男生去支援女生，才能使这节课制作的盒身和盒底刚好配套． 题型十四：和差倍分问题 解题思路：① 抓取关键词：和、差、倍、分、比……多、比……少；② 基本关系：较大量 = 较小量 + 差，总量 = 一份量 倍数；③ 选取合适的量设为 x；④ 用含 x 的式子表示其余量；⑤ 根据总量关系列出方程。 53．小川今年4岁，他爸爸今年36岁，几年后他爸爸的年龄是小川的年龄的3倍？设年后爸爸的年龄是小川的年龄的3倍，则可列方程为（     ） A． B． C． D． 54．在一个停车场上，现有36辆车，其中汽车是4个轮子，三轮摩托车是3个轮子，这些车共有129个轮子．其中三轮摩托车有( )辆． 55．某水果店运来苹果和梨一共340千克，苹果卖出四分之一，梨卖出三分之一后，剩下的苹果、梨质量恰好相等．水果店原来运来苹果、梨各多少千克？ 56．自年月日起，我国开始实施《公共机构电动汽车充电基础设施配置及运行指南》（以下简称“指南”），“指南”要求公共机构充电车位配建比例宜不低于整体车位的．为解决某社区停车难问题，社区居委会联合相关部门划定一块面积为的公共停车场，需规划普通车位和充电车位，每个车位面积包含实际停车使用面积和公共通道分摊面积，其中充电车位另含充电桩占地面积．已知平均每个普通车位占地面积为，平均每个充电车位占地面积为，普通车位数量比充电车位数量的倍多个．判断充电车位数量是否满足“指南”要求，并说明理由． 试卷第1页（共3页） 试卷第1页（共3页） 学科网（北京）股份有限公司 $