1.5 有理数的加法 同步练习 2026-2027学年冀教版数学 七年级上册

**基本信息** 初中数学新授课同步练，以A/B/C三级分层设计，覆盖有理数加法法则、运算律及应用，实现从基础运算到综合应用再到拓展探究的知识巩固路径，培养运算能力、模型意识与创新意识。 **分层设计** |层次|知识覆盖|设计特色| |----|----------|----------| |A组基础达标|单一知识点（法则、基础运算）|选择/填空/解答题，强化“先定符号再算绝对值”运算步骤，夯实运算能力| |B组能力提升|综合应用（绝对值、实际问题）|结合行程、盈亏等情境题，需分析数量关系，培养模型意识与应用意识| |C组拓展探究|规律与数的组合|数列规律探究、相反数组合题，引导发现数学规律，发展创新意识与推理能力|

冀教版七年级数学（上） 第一章 有理数 1.5 有理数的加法 1.5 有理数的加法 课时作业 冀教版·七年级数学（上册） 第一章 有理数 一、课时学习目标 1. 经历探索有理数加法法则的过程，理解并掌握有理数的加法法则。 2. 能熟练地进行有理数的加法运算，做到先定符号、再算绝对值。 3. 理解加法交换律、结合律在有理数范围内同样适用，会用运算律进行简便运算。 4. 能用有理数的加法解决温度变化、盈亏统计、行程等实际问题。 二、知识梳理 知识点 1 有理数的加法法则 （1）同号两数相加：取相同的符号，并把绝对值相加。 例如：(+3) + (+5) = +8，(-3) + (-5) = -8。 （2）异号两数相加：绝对值不相等时，取绝对值较大的加数的符号，并用较大的绝对值减去较小的绝对值；互为相反数的两个数相加得 0。 例如：(+3) + (-5) = -2，(-3) + (+5) = +2，(+3) + (-3) = 0。 （3）一个数同 0 相加，仍得这个数。例如：0 + (-6) = -6。 运算口诀：“一看符号，二算绝对值”。第一步先判断和的符号，第二步再确定和的绝对值（同号相加、异号相减），两步分开做，正确率最高。 知识点 2 借助数轴理解加法 把加法看成在数轴上的两次移动：从原点出发，正数向右移动，负数向左移动，最后到达的位置就表示两数的和。 （如图：先向右移动 3 个单位长度，再向左移动 5 个单位长度，终点为 -2，即 (+3) + (-5) = -2） （如图：先向左移动 4 个单位长度，再向右移动 3 个单位长度，终点为 -1，即 (-4) + (+3) = -1） 知识点 3 加法的运算律 （1）加法交换律：a + b = b + a，即两个数相加，交换加数的位置，和不变。 （2）加法结合律：(a + b) + c = a + (b + c)，即三个数相加，先把前两个数相加，或者先把后两个数相加，和不变。 （3）运算律在有理数范围内仍然成立，可以用来简化计算。 知识点 4 简便运算的四种常用技巧 ①相反数结合：互为相反数的两个数先相加，和为 0。如 12 + (-8) + (-12)。 ②同号结合：把所有正数结合在一起，把所有负数结合在一起，再相加。 ③同分母（或便于通分的）结合：如 与 先加。 ④凑整结合：把相加得整数的两个数结合，如 3.7 + (-2.7)。 易错提醒：使用运算律时，每个加数都要连同它前面的符号一起移动。例如 (-13) + 15 + (-7)，把 -13 与 -7 结合时，写成 [(-13) + (-7)] + 15，负号不能丢。 三、典例精析 例 1 计算下列各题： （1）(-11) + (-9)；（2）(-13) + 5；（3）(+4.7) + (-4.7)；（4）0 + (-2.3)。 【思路点拨】按“一看符号，二算绝对值”两步进行。 【解答】（1）同号两数相加，取负号，20 相加得 20，所以原式 = -20。 （2）异号两数相加，|-13| = 13 > |5| = 5，取负号，13 - 5 = 8，所以原式 = -8。 （3）互为相反数的两数相加得 0，原式 = 0。（4）一个数与 0 相加仍得这个数，原式 = -2.3。 例 2 计算： + 。 【解答】异号两数相加，先通分求绝对值：|| = ，|| = 。因为 > ，所以和取负号，且 - = ，故原式 = 。 【方法归纳】分数相加要先通分再比较绝对值，最后不要忘记给结果加上符号。 例 3 用简便方法计算：(-3.5) + 7 + (-1.5) + (-3)。 【解答】原式 = [(-3.5) + (-1.5)] + [7 + (-3)]（加法交换律、结合律） = (-5) + 4 = -1。 【方法归纳】遇到多个数相加，先观察能否“凑整”“凑相反数”，再分组计算。 例 4 计算： + + + 。 【解答】原式 = ( + ) + ( + ) = + 1 = 。 （其中 + = + = = 。） 【方法归纳】分数相加时，把分母相同或容易通分的数结合在一起，可以大大简化计算。 例 5 某地某天早晨的气温是 -7 ℃，中午比早晨上升了 12 ℃，傍晚又比中午下降了 4 ℃。 （1）中午的气温是多少？（2）傍晚的气温是多少？ 【解答】（1）(-7) + 12 = 5（℃），中午的气温是 5 ℃。 （2）5 + (-4) = 1（℃），傍晚的气温是 1 ℃。 【方法归纳】“上升”“增加”记为正，“下降”“减少”记为负，实际问题就转化为有理数的加法。 四、课时作业 A 组 基础达标 （一）选择题（每小题 4 分，共 24 分） 1. 计算 (-8) + 5 的结果是（ ） A. 13 B. -13 C. 3 D. -3 2. 下列计算中，正确的是（ ） A. (-3) + (-5) = 8 B. (-3) + 5 = -2 C. (-3) + 3 = 0 D. 0 + (-4) = 4 3. 若两个有理数的和为 0，则这两个数（ ） A. 都是 0 B. 互为相反数 C. 一正一负 D. 绝对值不相等 4. 计算 (-2.5) + (-3.5) 的结果是（ ） A. 6 B. -6 C. 1 D. -1 5. 计算 + 的结果是（ ） A. B. C. D. 6. 某天气温为 -5 ℃，若气温上升 8 ℃，则此时的气温是（ ） A. 13 ℃ B. -13 ℃ C. 3 ℃ D. -3 ℃ （二）填空题（每小题 4 分，共 24 分） 7. (-7) + (-3) = ＿＿＿＿；(+7) + (-3) = ＿＿＿＿；(-7) + 3 = ＿＿＿＿。 8. (-6) + ＿＿＿＿ = 0；＿＿＿＿ + (-4) = -9。 9. 若 a = -12，b = 5，则 a + b = ＿＿＿＿＿＿。 10. 计算： + = ＿＿＿＿； + = ＿＿＿＿。 11. 一个数与 -8 的和是 -3，这个数是 ＿＿＿＿。 12. 某仓库上午运进货物 25 ，下午运出货物 32 。若运进为正、运出为负，则这一天仓库存货的变化量是 ＿＿＿＿＿＿ 。 （三）解答题（每小题 8 分，共 24 分） 13. 计算下列各题： （1）(-15) + (-8)；（2）(-19) + 25；（3）18 + (-24)；（4）(-6.4) + 6.4； （5） + ；（6） + 。 14. 用简便方法计算下列各题（写出所用的运算律）： （1）(-13) + 15 + (-7) + 5；（2）23 + (-17) + 7 + (-13)； （3） + + + ；（4）(-4.8) + 3.5 + (-1.2) + 6.5。 15. 一潜水员先从海面下潜 26 m，接着又下潜了 15 m，然后上浮 32 m。若规定下潜为负、上浮为正，海面记作 0 m。 （1）用有理数的加法列式表示潜水员最后所在的位置； （2）此时潜水员在海面下多少米？ B 组 能力提升 （一）选择题（每小题 4 分，共 12 分） 16. 若 |a| = 3，|b| = 5，且 a、b 同号，则 a + b 的值是（ ） A. 8 B. -8 C. 8 或 -8 D. 2 或 -2 17. 下列说法中，正确的是（ ） A. 两个数相加，和一定大于每一个加数 B. 两个负数相加，和一定小于其中任何一个加数 C. 异号两数相加，和一定是负数 D. 一个数加上 0，和一定是 0 18. 已知 a + b = 0，且 a ≠ 0，则下列结论一定成立的是（ ） A. a = b B. |a| = |b| C. a > b D. a、b 都是正数 （二）填空题（每小题 4 分，共 12 分） 19. 计算：(-1) + 2 + (-3) + 4 = ＿＿＿＿。 20. 若 |a - 3| + |b + 5| = 0，则 a + b = ＿＿＿＿＿＿。 21. 某超市一周的盈亏记录（单位：元，盈利为正）为 +320、-150、+80、-240、+560、-90、0，这一周超市的总盈亏为 ＿＿＿＿＿＿ 元（填“盈利”或“亏损”多少元）。 （三）解答题（每小题 10 分，共 20 分） 22. 一辆快递车从物流中心出发，沿一条东西方向的公路送货，规定向东为正、向西为负，行驶记录如下（单位：km）： +15，-8，+6，-22，+10，-4 （1）快递车最后是否回到物流中心？若没有，它在物流中心的哪个方向，距离多少千米？ （2）若每千米耗油 0.15 L，这次送货共耗油多少升？ （3）在送货途中，快递车离物流中心最远时是多少千米？ 23. 某检修班组一周内 5 天的加工零件数与计划数（每天计划加工 200 个）相比的情况如下（超产为正、减产为负，单位：个）： 周一 +12，周二 -8，周三 0，周四 +25，周五 -19 （1）这一周实际共加工零件多少个？ （2）产量最高的一天比产量最低的一天多加工多少个？ （3）若每加工一个零件可获利 3 元，超产部分每个另奖 1 元，这一周共获利多少元？ C 组 拓展探究 24. 观察并计算：1 + (-2) + 3 + (-4) + 5 + (-6) + … + 99 + (-100)。 （1）先计算 1 + (-2)，3 + (-4)，5 + (-6) 的值，你发现了什么规律？ （2）上式中共有 100 个数，可以分成多少组？ （3）求出上式的结果。 25. 探究与思考：现有 -3、-2、-1、0、1、2、3 这 7 个数。 （1）若把这 7 个数全部相加，和是多少？ （2）请从这 7 个数中每次选出 3 个不同的数，写出 3 个和为 0 的加法算式： ＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿；＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿；＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿ （3）从这 7 个数中任取 3 个数相加，所得的和最大是多少？最小是多少？并说明“互为相反数的两数之和为 0”在这类问题中的作用。 五、参考答案与解析 A 组 基础达标 1. D。解析：异号两数相加，|-8| = 8 > |5| = 5，取负号，8 - 5 = 3，所以结果为 -3。 2. C。解析：A 错，同号相加取相同符号，应为 -8；B 错，|5| > |-3|，应取正号，结果为 2；D 错，0 + (-4) = -4。故选 C。 3. B。解析：和为 0 的两个数互为相反数（0 与 0 也互为相反数，是特殊情形），故选 B。 4. B。解析：同号（都是负数）相加，取负号，2.5 + 3.5 = 6，结果为 -6。 5. B。解析：通分得 + ，异号相加取绝对值较大的负号， - = ，所以结果为 。 6. C。解析：上升记为正，(-5) + 8 = 3（℃），故选 C。 7. -10；4；-4。解析：第一式同号相加；后两式异号相加，分别取正号和负号。 8. 6；-5。解析：与 -6 相加得 0 的数是它的相反数 6；设所填为 x，x + (-4) = -9，所以 x = -5。 9. -7。解析：(-12) + 5 = -7（异号相加，取负号，12 - 5 = 7）。 10. -1；。解析： + = = -1； + = = 。 11. 5。解析：设这个数为 x，则 x + (-8) = -3，所以 x = 5（可验证 5 + (-8) = -3）。 12. -7。解析：25 + (-32) = -7（），负号表示这一天仓库的存货净减少 7 。 13. （1）-23；（2）6；（3）-6；（4）0；（5）；（6）-1。 解析：（1）同号相加，15 + 8 = 23，取负号；（2）|25| > |-19|，取正号，25 - 19 = 6；（3）|-24| > |18|，取负号，24 - 18 = 6，结果为 -6；（4）互为相反数，和为 0；（5） + ，取负号， - = = ，结果为 ；（6）同号相加， + = 1，取负号得 -1。 14. （1）原式 = [(-13) + (-7)] + (15 + 5) = (-20) + 20 = 0； （2）原式 = (23 + 7) + [(-17) + (-13)] = 30 + (-30) = 0； （3）原式 = ( + ) + ( + ) = (-1) + 1 = 0； （4）原式 = [(-4.8) + (-1.2)] + (3.5 + 6.5) = (-6) + 10 = 4。 解析：以上都用到了加法交换律和结合律。分组的依据是“同号结合、同分母结合、凑整结合”，移动加数时必须连同符号一起移动。 15. （1）(-26) + (-15) + 32；（2）(-26) + (-15) + 32 = (-41) + 32 = -9，所以潜水员此时在海面下 9 m 处。 解析：先把两次下潜合并（同号相加），再与上浮的 32 m 相加（异号相加），结果为负说明仍在海面以下。 B 组 能力提升 16. C。解析：由 |a| = 3 得 a = ±3，由 |b| = 5 得 b = ±5。因为 a、b 同号，所以只有两种情况：a = 3，b = 5 时 a + b = 8；a = -3，b = -5 时 a + b = -8。故选 C。 17. B。解析：A 错，如 3 + (-5) = -2 小于加数 3；C 错，如 (-3) + 5 = 2 是正数；D 错，一个数加 0 仍得这个数。B 正确：两个负数的和的绝对值变大，因此比任何一个加数都小。 18. B。解析：a + b = 0 说明 a、b 互为相反数，因此它们的绝对值相等，B 正确。A 错（a ≠ 0 时 a ≠ b）；C 不一定（如 a = -2，b = 2 时 a < b）；D 错（一正一负）。 19. 2。解析：原式 = [(-1) + 2] + [(-3) + 4] = 1 + 1 = 2。 20. -2。解析：由绝对值的非负性得 a - 3 = 0 且 b + 5 = 0，即 a = 3，b = -5，所以 a + b = 3 + (-5) = -2。 21. 盈利 480 元。解析：正数部分 320 + 80 + 560 = 960；负数部分 (-150) + (-240) + (-90) = -480；再把 0 加上，总和为 960 + (-480) = 480（元），结果为正，表示这一周共盈利 480 元。 22. （1）各次行驶记录的和为 15 + (-8) + 6 + (-22) + 10 + (-4)。先分组：(15 + 6 + 10) + [(-8) + (-22) + (-4)] = 31 + (-34) = -3，结果为负，说明快递车没有回到物流中心，而是在物流中心西方 3 km 处； （2）总路程为各次行驶路程的和（取绝对值）：15 + 8 + 6 + 22 + 10 + 4 = 65（km），耗油 65 × 0.15 = 9.75（L）； （3）依次计算每次行驶后的位置：15，7，13，-9，1，-3。它们到出发点的距离分别为 15、7、13、9、1、3，所以离物流中心最远时是 15 km（第一次行驶后）。 解析：本题要分清三个不同的量：最终位置（求各数的和）、总路程（求各数绝对值的和）、最远距离（求每次行驶后位置的绝对值的最大值）。 23. （1）5 天的增减总和为 12 + (-8) + 0 + 25 + (-19) = (12 + 25) + [(-8) + (-19)] = 37 + (-27) = 10（个），计划共加工 200 × 5 = 1000（个），所以实际共加工 1000 + 10 = 1010（个）； （2）产量最高的是周四（200 + 25 = 225 个），最低的是周五（200 - 19 = 181 个），225 - 181 = 44（个）； （3）基本获利 1010 × 3 = 3030（元）；超产部分为周一 12 个与周四 25 个，共 37 个，另奖 37 × 1 = 37（元）。合计 3030 + 37 = 3067（元）。 C 组 拓展探究 24. （1）1 + (-2) = -1，3 + (-4) = -1，5 + (-6) = -1，规律是每相邻的两个数相加都等于 -1； （2）共有 100 个数，每 2 个数为一组，可以分成 100 ÷ 2 = 50 组； （3）原式 = (-1) × 50 的形式，即 50 个 (-1) 相加，结果为 -50。 解析：本题体现了“分组—找规律—求和”的思想。若把它写成 [1 + (-2)] + [3 + (-4)] + … + [99 + (-100)]，就是 50 个 -1 相加，这也为后面学习有理数的乘法作了铺垫。 25. （1）(-3) + (-2) + (-1) + 0 + 1 + 2 + 3 = 0。因为 -3 与 3、-2 与 2、-1 与 1 都互为相反数，各自相加得 0，再加 0 仍为 0。 （2）答案不唯一，例如：(-3) + 1 + 2 = 0；(-2) + (-1) + 3 = 0；(-3) + 0 + 3 = 0。 （3）取最大的三个数 1、2、3，和最大为 1 + 2 + 3 = 6；取最小的三个数 -3、-2、-1，和最小为 (-3) + (-2) + (-1) = -6。在这 7 个数中，-3 与 3、-2 与 2、-1 与 1 分别互为相反数，凡是含有一对相反数的算式，只需再看剩下的那个数即可，如 (-2) + 2 + (-3) = -3。这种“先配对凑零，再看剩余”的方法，是有理数加法简便运算的核心技巧。 六、课时小结 1. 加法法则：同号相加“符号不变、绝对值相加”；异号相加“取绝对值大的符号、绝对值相减”；互为相反数相加得 0；与 0 相加不变。 2. 运算步骤：先定符号，再算绝对值，两步走不容易错。 3. 简便运算：善用加法交换律与结合律，做到“凑相反数、同号结合、同分母结合、凑整结合”，移项时连同符号一起移动。 4. 实际应用：分清“最终位置（求和）”与“总路程（求绝对值的和）”，这是应用题失分的主要原因。 第 页 共 页 学科网（北京）股份有限公司 $