第11讲 万有引力定律（复习讲义）（黑吉辽蒙专用）2027年高考物理一轮复习讲练测

该高中物理复习讲义聚焦万有引力定律专题，涵盖开普勒定律、万有引力内容及计算、重力与万有引力关系、天体质量密度计算等核心考点，按命题透视、思维建模、考点精讲（分4大知识点12个考向）、真题溯源的逻辑架构，通过考点拆解、解题范式归纳、真题及变式训练，帮助学生系统构建知识框架，突破重点难点。 资料以高度情境化命题为特色，融入“嫦娥六号”“天问一号”等中国航天成就情境，采用割补法、环绕模型等科学思维方法，如考向3通过挖空球体实例训练割补法，培养学生模型建构与科学推理能力。设置分层变式训练，配合真题溯源，助力学生高效提升应考能力，为教师把控复习节奏提供清晰指导。

第11讲 万有引力定律（复习讲义） 内容导航 01 命题透视·考情前瞻 对标素养，研判高考命题趋势 02 思维建模·脉络梳理 搭建知识框架，构建系统思维 03 考点精讲·靶向突破 拆解核心考点，归纳解题范式 知识点一 开普勒三大定律 知识点二 万有引力定律 考向1 万有引力定律的内容、适用范围 考向2 万有引力的计算 考向3 割补法计算万有引力 知识点三 万有引力和重力的关系 考向1 天体“表面”重力加速度 考向2 天体“高空”重力加速度 考向3 天体“地下”重力加速度 考向4 考虑天体自转时的重力加速度 知识点四 计算天体质量密度 考向1 根据“表面重力法”计算 考向2 根据“环绕模型”计算 04 真题溯源·考向感知 溯源真题逻辑，感知高考考向 命题透视·考情前瞻 ——对标素养，研判高考命题趋势 核心考点 2026年 2025年 更早 开普勒三大定律 —— 计算题（压轴题） —— 计算重力加速度 —— —— 2024年 单选第7题 求解天体质量密度 —— —— 2023年 单选第7题 考情分析 题型与考向：本模块是高考物理的高频必考点，命题一般以选择题为主，难度一般为中等，出题越来越反常规、反刷题、反套路，需要同学们会构建对应模型。该模块在全国卷及其它地区新高考卷中也均有考察，因此，各地区的新模型、新考法都要了解。 情境与立意： 高考命题呈现高度情境化的特征，主要情境来源包括：中国航天科技成就：如“天都一号”通导技术试验卫星、“嫦娥六号”月球背面采样返回、“天问一号”火星探测、北斗导航系统、空间站建设等。将万有引力定律与实际问题结合，既考查物理知识，又体现“科技强国”的思政导向。 天文观测与自然现象：如二十四节气、潮汐现象、行星轨道等。 科幻影视与迁移创新：将万有引力与库仑力类比（均为平方反比有心力），考查知识的迁移能力。 跨模块融合：天体运动与机械振动、机械能守恒、动能定理、平抛运动等知识结合考查；部分题目可能结合电磁学知识。 复习目标 理解开普勒三大定律的内容及适用条件，能熟练运用开普勒第三定律进行轨道半径与周期的估算。 掌握万有引力定律的表达式及适用条件，理解“平方反比”的物理含义。 掌握黄金代换式 GM = gR² 的推导与直接应用。 掌握天体质量和密度的两种计算方法（环绕法、表面重力法） 思维建模·脉络梳理 ——搭建知识框架，构建系统思维 考点精讲·靶向突破 ——拆解核心考点，归纳解题范式 知识点1 开普勒三大定律 知●识●解●构 1.地心说 （1）地球是宇宙的中心，是静止不动的； （2）太阳、月亮以及其他行星都绕地球运动； （3）地心说的代表人物是古希腊科学家托勒密。 2.日心说 （1）太阳是宇宙的中心，是静止不动的，地球和其他行星都绕太阳做匀速圆周运动； （2）日心说的代表人物是哥白尼。 3.局限性 （1）古人都把天体的运动看得很神圣，认为天体的运动必然是最完美、最和谐的匀速圆周运动。 （2）开普勒研究了第谷的行星观测记录，发现如果假设行星的运动是匀速圆周运动，计算所得的数据与观测数据不符。 4.开普勒行星运动定律 定律 内容 公式或图示 开普勒第一定律 （轨道定律） 所有行星绕太阳运动的轨道都是椭圆，太阳处在椭圆的一个焦点上 开普勒第二定律 （面积定律） 对任意一个行星来说，它与太阳的连线在相等的时间内扫过相等的面积（） 开普勒第三定律 （周期定律） 所有行星的轨道的半长轴的三次方跟它的公转周期的二次方的比值都相等： ，k是一个与行星无关的常量 ✨得分速记： 开普勒三大定律，最初基于太阳系行星运动总结，但理论和实践证明其适用于任何两个天体组成的引力系统，如地球—月球等。 开普勒第二定律，是对任意一个行星来说的。如，地球与太阳连线、火星与太阳连线，二者在相等的时间内扫过的面积是不相等的；同一人造卫星变轨前后（后续学习），与其中心天体的连线，相等时间内扫过的面积是不相等的。 开普勒第三定律，适用于绕同一中心天体运动的所有天体。 例1 有关开普勒三大定律，结合右图，下面说法正确的是（　　） A．地球靠近太阳的过程中，运行速度的大小不变 B．地球绕太阳运动的轨道是椭圆，太阳位于椭圆的一个焦点上 C．在相等时间内，火星和太阳的连线扫过的面积与地球和太阳的连线扫过的面积相等 D．火星绕太阳运行一周的时间比地球绕太阳运行一周的时间短 【变式训练1】如图所示是地球绕太阳运动的椭圆轨迹，短轴和长轴的四个位置所对应的节气分别是春分、秋分、夏至和冬至。假设地球只受到太阳的引力，下列说法正确的是（　　） A．春分和秋分时，地球运动的加速度相同 B．从春分到夏至，地球的运行时间大于公转周期的 C．若用a代表椭圆轨道的半长轴，T代表公转周期，，则地球与火星对应的k值相同 D．地球与太阳连线单位时间扫过的面积等于火星与太阳连线单位时间扫过的面积 【变式训练2】北斗导航系统空间段由若干地球静止轨道卫星、倾斜地球同步轨道卫星和中轨道地球卫星组成。甲卫星在静止轨道正常运行，乙卫星在中轨道正常运行，且甲距离地心（R为地球半径），乙距离地心。若卫星轨道均为圆形轨道，则甲、乙卫星正常运行时的周期之比约为（　　） A． B． C． D． 【变式训练3】（2025·云南·高考真题）国际编号为192391的小行星绕太阳公转的周期约为5.8年，该小行星与太阳系内八大行星几乎在同一平面内做圆周运动。规定地球绕太阳公转的轨道半径为，八大行星绕太阳的公转轨道半径如下表所示。忽略其它行星对该小行星的引力作用，则该小行星的公转轨道应介于（　　） 行星 水星 金星 地球 火星 轨道半径 0.39 0.72 1.0 1.5 行星 木星 土星 天王星 海王星 轨道半径 5.2 9.5 19 30 A．金星与地球的公转轨道之间 B．地球与火星的公转轨道之间 C．火星与木星的公转轨道之间 D．天王星与海王星的公转轨道之间 知识点2 万有引力定律 知●识●解●构 自然界中任何两个物体都相互吸引，引力的方向在它们的连线上，引力的大小与这两物体的质量乘积成正比，与它们之间距离的二次方成反比。 公式： 符号意义：G为引力常量，其数值由英国物理学家卡文迪什测量得出，常取。 适用条件：r为两个质点间的距离或质量均匀的两个球体的球心间的距离。 适用条件： ①严格地说，万有引力定律只适用于质点间的相互作用。所以当r→0时，则F→，这种说法是错误的。因为当r→0时，两物体不能被看成质点，且不是质量均匀的球体，此时公式不再适用；当r→时，则F→0，这种说法是正确的。 ②万有引力定律也适用于计算两个质量分布均匀的球体间的相互作用，其中r是两个球体球心间的距离 ③计算一个均匀球体与球外一个质点间的万有引力也适用，其中r为球心与质点间的距离 ④两个物体间的距离远远大于物体本身的大小时，公式也近似适用，其中r为两物体质心间的距离 万有引力的四个特性 特性 内容 普遍性 万有引力不仅存在于太阳与行星、地球与月球之间，宇宙间任何两个有质量的物体之间都存在着这种相互吸引的力 相互性 两个有质量的物体之间的万有引力是一对作用力和反作用力，总是满足大小相等，方向相反，作用在两个物体上 宏观性 地面上的一般物体之间的万有引力比较小，与其他力比较可忽略不计，但在质量巨大的天体之间或天体与其附近的物体之间，万有引力起着决定性作用 特殊性 两个物体之间的万有引力只与它们本身的质量和它们间的距离有关，而与它们所在空间的性质无关，也与周围是否存在其他物体无关 考向1 万有引力的内容、适用范围 例1 （多选）有关万有引力的说法，正确的（ 　） A．万有引力定律是卡文迪许在做扭称实验时发现的 B．公式中的G是引力恒量，这是由实验得出的而不是人为规定的 C．物体落到地面上，说明地球对物体有引力，物体对地球没有引力 D．地面上自由下落的苹果和天空中运行的月亮，都是因为受地球引力作用 【变式训练1】对于万有引力定律的表达式，下列说法正确的是（    ） A．牛顿在推理出万有引力的过程中应用到了牛顿运动定律 B．当物体间的距离趋近于0时，物体间的万有引力无穷大 C．两物体对彼此的万有引力大小不一定相等 D．只有天体间存在万有引力，人与人间不存在万有引力 【变式训练2】设地球是半径为R的均匀球体，质量为M，若把质量为m的物体放在地球的中心，则物体受到的地球的万有引力大小为(　　) A．零 B．无穷大 C． D．无法确定 【变式训练3】（2025·全国卷·高考真题）“天都一号”通导技术试验卫星测距试验的成功，标志着我国在深空轨道精密测量领域取得了技术新突破。“天都一号”在环月椭圆轨道上运行时，（　） A．受月球的引力大小保持不变 B．相对月球的速度大小保持不变 C．离月球越近，其相对月球的速度越大 D．离月球越近，其所受月球的引力越小 考向2 万有引力的计算 例1 （2024·广西·高考真题）潮汐现象出现的原因之一是在地球的不同位置海水受到月球的引力不相同。图中a、b和c处单位质量的海水受月球引力大小在（　　） A．a处最大 B．b处最大 C．c处最大 D．a、c处相等，b处最小 【变式训练1】万有引力定律的简单应用两个完全相同的实心均质小铁球紧靠在一起，它们之间的万有引力为F。若将两个用同种材料制成的半径是小铁球2倍的实心大铁球紧靠在一起，则两个大铁球之间的万有引力为(　　) A.2F B.4F C.8F D.16F 【变式训练2】质量相同的a、b两颗卫星均绕地球做匀速圆周运动。a卫星是地球同步卫星（周期为24小时），b卫星绕地球的周期约为3小时。则b卫星受地球的引力大小约是a卫星受地球引力大小的几倍（　　） A．1 B．8 C．16 D．27 考向3 割补法计算万有引力 例1 已知均匀球体对球外物体的万有引力相当于将球体的质量集中于球心的质点对物体的万有引力，将地球看成均匀球体，假设在紧贴地球表面处挖去一半径为的球体（R为地球半径），如图所示，在图中A点放置一质量为m的可视为质点的物体，则该物体在挖空前后受到的万有引力大小之比为（    ） A． B． C． D． 【变式训练1】如图所示，两个质量均为M的球分别位于圆环、半圆环的圆心。环的质量分布均匀，且其粗细忽略不计。若甲图中环对球的万有引力大小为F，则乙图中环对球的万有引力大小为（　　） A．F B． C． D． 【变式训练2】已知质量分布均匀的球壳对壳内物体的引力为零。某天体的质量为M（视为质量分布均匀的球体），半径为R，引力常量为G。若在该天体内部挖出一半径r=的巨大球形空腔（挖出的物质运走至无穷远处），空腔与天体表面相切，如图所示。O和O′分别为该天体和空腔的球心，空腔内Q点与球心O′的距离为，Q、O′和O在同一直线上。则质量为m的质点在Q处受到天体剩余部分的万有引力大小为（　） A． B． C． D． 知识点3 万有引力与重力的关系 知●识●解●构 地球（质量为M）对物体的万有引力F表现为两个效果：一是重力mg，二是提供物体随地球自转的向心力F向，如图所示。 设赤道处公重力加速度为，两极处重力加速度为， （1）在赤道上：； （2）在两极上：； 即 （3）在其它地点，万有引力是重力和向心力的矢量和。 重力只是万有引力的一个分力，另一个分力提供物体随地球自转做圆周运动的向心力，但由于向心力很小，一般情况下认为重力等于万有引力，即。因此，忽略地球自转时，天体表面上的重力加速度 。这个公式把万有引为常数和自由落体加速度常数联系到一起了，在卡文迪什测出引力常量G之前，这个公式可以直接用来替换未知的G，且适用于其它天体，价值堪比黄金。 黄金代换式成立的前提是天体不自转或自转很慢可被忽略时；题中出现“赤道”、“两极”，不可被忽略。 则两个天体地表重力加速度之比。 忽略地球自转时，设地球上空距离地表高h处（即距离地心r处，r＝R＋h)的重力加速度为g′，由，得。所以。 如图， 设地球是质量和密度分布均匀的球体，距离地表深度为d处的重力加速度为,“d处”相当于阴影部分球体的“地表”，也只有阴影部分球体对“d处”有引力，地表与阴影球体表面（“新地表”）间的环形球壳对d处的引力为0。 设阴影部分球体质量为，则“d处”的重力加速度，有； 根据，有，则。 考向1 天体“表面”重力加速度 例1 （2024·全国卷·真题）2024年5月，嫦娥六号探测器发射成功，开启人类首次从月球背面采样返回之旅。将采得的样品带回地球，飞行器需经过月面起飞、环月飞行、月地转移等过程。月球表面重力加速度约为地球表面重力加速度的。下列说法正确的是（　　） A．在环月飞行时，样品所受合力为零 B．若将样品放置在月球正面，它对月球表面压力等于零 C．样品在不同过程中受到的引力不同，所以质量也不同 D．样品放置在月球背面时对月球的压力，比放置在地球表面时对地球的压力小 【变式训练1】嫦娥六号完成人类从月球背面采样的壮举，带回1935.3克样品。已知月球与地球质量之比为a，半径之比为b，则这1935.3克样品在月球表面与地球表面的重力之比约为（　　） A． B． C． D． 【变式训练2】已知地球质量约为月球质量的81倍，地球半径约为月球半径的4 倍。 若在月球和地球表面以相同的初速度竖直向上抛出物体，不计一切阻力，抛出点与最高点间的距离分别为和，则最接近（　　） A． B． C． D． 【变式训练3】火星半径约为地球半径的一半，质量约为地球质量的。一位宇航员连同宇航服在火星表面受到的重力大小G火=400 N，地球表面的重力加速度大小g = 10 m/s2，忽略地球和火星的自转，则宇航员连同宇航服的质量为（　　） A．70 kg B．80 kg C．90 kg D．100 kg 考向2 天体“高空”重力加速度 例1 运行在星际间的流星体（通常包括宇宙尘粒和固体块等空间物质），在接近地球时由于受到地球引力的摄动而被地球吸引，从而进入大气层，并与大气摩擦燃烧产生光迹。夜空中的流星非常美丽，人们常赋予它美好的意义，认为看到流星并对它进行许愿就能实现心愿。若某流星距离地面高度为一个地球半径，地球北极的重力加速度为g，则流星的加速度为（  ）    A． B． C． D． 【变式训练1】在电影《流浪地球2》里，人类在赤道某地修建了一座太空电梯，电梯轿厢能将人货竖直送达太空（如图）。轿厢在地面静止时，搭载的植物种子重25N，当轿厢达到一某高度时，轿厢处于匀速运动状态，种子的重力“变成”了16N。已知地球的半径为R，不考虑地球的自转，则此时太空电梯的轿厢距地面的高度为（　　） A． B． C． D． 【变式训练2】如图所示，火箭内平台上放有测试仪器，火箭从地面启动后，以的加速度竖直向上匀加速运动，火箭升到离地面高度为时（已知地球半径为，为地面附近的重力加速度）以下说法正确的是（　　） A．上升过程中测试仪器处于失重状态 B．上升过程中测试仪器不受重力 C．测试仪器对平台的压力与启动前压力之比为 D．测试仪器对平台的压力与启动前压力之比为 考向3 天体“地下”重力加速度 例1 在刘慈欣的科幻小说《带上她的眼睛》里演绎了这样一个故事：“落日六号”地层飞船深入地球内部进行探险，在航行中失事后下沉到船上只剩下一名年轻的女领航员，她只能在封闭的地心度过余生。已知地球可视为半径为R、质量分布均匀的球体，且均匀球壳对壳内质点的引力为零。若地球表面的重力加速度为g，当“落日六号”位于地面以下深处时，该处的重力加速度大小为（　　） A． B． C． D． 【变式训练1】假设地球是一半径为R，质量分布均匀的球体。已知质量分布均匀的球壳对壳内物体引力为零，地球表面处引力加速度为g。则关于地球引力加速度a随地球球心到某点距离r的变化图像正确的是（　　） A． B．C． D． 【变式训练2】若地球半径为R，把地球看作质量分布均匀的球体．“蛟龙号”下潜深度为d，“天宫一号”轨道距离地面高度为h，“蛟龙”号所在处与“天宫一号”所在处的加速度大小之比为(质量分布均匀的球壳对内部物体的万有引力为零)(　　) A. B. C. D. 考向4 考虑天体自转时的重力加速度 例1 假如地球自转速度增大，关于物体所受的重力，下列说法不正确的是（　　） A．放在赤道地面上物体的万有引力不变 B．放在赤道地面上物体的重力减小 C．放在两极地面上物体的重力不变 D．放在两极地面上物体的重力增加 【变式训练1】宇航员驾驶宇宙飞船，登陆某一行星，该行星是质量分布均匀的球体。通过测量发现，某一物体在该行星两极处的重力为G，在该行星赤道处的重力为0.75G，则此物体在赤道处随行星自转的向心力为（    ） A． B． C． D． 【变式训练2】（多选）万有引力定律能够很好地将天体运行规律与地球上物体运动规律具有的内在一致性统一起来。用弹簧测力计称量一个相对于地球静止的小物体的重量，随称量位置的变化可能会有不同的结果。已知地球质量为M，引力常量为G，将地球视为半径为R、质量分布均匀的球体。下列说法正确的是（　　） A．在北极地面称量时，弹簧测力计读数为 B．在赤道地面称量时，弹簧测力计读数为F1＝G C．在北极上空高出地面h处称量时，弹簧测力计读数为F2＝G D．在赤道上空高出地面h处称量时，弹簧测力计读数为F3＝G 【变式训练3】我国航天科学家在进行深空探索的过程中发现有颗星球具有和地球一样的自转特征。如图所示，假设该星球绕AB轴自转，CD所在的赤道平面将星球分为南北半球，OE连线与赤道平面的夹角为30°经测定，A位置的重力加速度为g，D位置的重力加速度为，则E位置的向心加速度为（    ） A． B． C． D． 知识点4 计算天体质量、密度 知●识●解●构 根据黄金代换式，可求出中心天体质量； 结合球体体积公式，可求出该天体平均密度。 当物体不再位于天体表面或高空，而是像卫星一样，环绕其中心天体转动时，二者之间的万有引力等于卫星转动所需向心力： ； 整理有：； 天体平均密度：； ✨得分速记： 1．物体位于地球高空处，如：空中的飞机、热气球、升空中的火箭等，它们只是距离地表高了一些，是跟随着地球自转的，是“人间”的；而“卫星”环绕地球转动，不受地球自转影响，是“天上”的。 2．公式不要死记硬背，可牢记模型，用时推导，或记住常用公式即可。 3．只可以用来求中心天体质量、密度，转动物体（卫星）的质量（m）已被约分掉。 4．R为天体半径，r为轨道半径。为避免混淆，要一开始就养成习惯。 5．若卫星绕天体表面（附近）运行，可认为轨道半径r等于天体半径R。 考向1 根据“表面重力法”计算 例1 已知地球表面重力加速度为、地球的半径为，地球的质量为，火星的半径为，某飞船飞到火星上测得火星表面的重力加速度为，由此可得火星的质量为（    ） A． B． C． D． 考向2 根据“环绕模型”计算 例2 （2024·海南·高考真题）嫦娥六号进入环月圆轨道，周期为T，轨道高度与月球半径之比为k，引力常量为G，则月球的平均密度为（　） A． B． C． D． 【变式训练1】（2024·新疆河南·高考真题）天文学家发现，在太阳系外的一颗红矮星有两颗行星绕其运行，其中行星GJ1002c的轨道近似为圆，轨道半径约为日地距离的0.07倍，周期约为0.06年，则这颗红矮星的质量约为太阳质量的（　） A．0.001倍 B．0.1倍 C．10倍 D．1000倍 【变式训练2】2024年6月，内蒙古乌兰察布阿木古郎草原迎回了携带月背“土特产”的嫦娥六号返回器，这是人类历史上首次实现月球背面采样返回。返回器在返回地球前绕地球运行的某段可视为匀速圆周运动，在该段运动过程中，返回器转过圆心角所用时间为t、速度大小为v。已知引力常量为G，则地球质量可表示为（　 ） A． B． C． D． 【变式训练3】为了探测火星我国发射了天问一号探测器，其携带的祝融号火星车将登陆火星进行探测任务。设天问一号绕火星表面附近做匀速圆周运动的线速度大小为v，而祝融号在该行星表面上用弹簧测力计测量一质量为m的物体重力，物体静止时弹簧测力计的示数为N。已知引力常量为G，则火星的质量可表示为( ） A． B． C． D． 真题溯源·考向感知 ——溯源真题逻辑，感知高考考向 1．（2024·辽宁·高考真题）如图（a），将一弹簧振子竖直悬挂，以小球的平衡位置为坐标原点O，竖直向上为正方向建立x轴。若将小球从弹簧原长处由静止释放，其在地球与某球状天体表面做简谐运动的图像如（b）所示（不考虑自转影响），设地球、该天体的平均密度分别为和，地球半径是该天体半径的n倍。的值为（　　） A． B． C． D． 2．（2023·辽宁·高考真题）在地球上观察，月球和太阳的角直径（直径对应的张角）近似相等，如图所示。若月球绕地球运动的周期为T₁，地球绕太阳运动的周期为T₂，地球半径是月球半径的k倍，则地球与太阳的平均密度之比约为（　　）    A． B． C． D． 第 1 页 共 25 页 学科网（北京）股份有限公司 $ 第11讲 万有引力定律（复习讲义） 内容导航 01 命题透视·考情前瞻 对标素养，研判高考命题趋势 02 思维建模·脉络梳理 搭建知识框架，构建系统思维 03 考点精讲·靶向突破 拆解核心考点，归纳解题范式 知识点一 开普勒三大定律 知识点二 万有引力定律 考向1 万有引力定律的内容、适用范围 考向2 万有引力的计算 考向3 割补法计算万有引力 知识点三 万有引力和重力的关系 考向1 天体“表面”重力加速度 考向2 天体“高空”重力加速度 考向3 天体“地下”重力加速度 考向4 考虑天体自转时的重力加速度 知识点四 计算天体质量密度 考向1 根据“表面重力法”计算 考向2 根据“环绕模型”计算 04 真题溯源·考向感知 溯源真题逻辑，感知高考考向 命题透视·考情前瞻 ——对标素养，研判高考命题趋势 核心考点 2026年 2025年 更早 开普勒三大定律 —— 计算题（压轴题） —— 计算重力加速度 —— —— 2024年 单选第7题 求解天体质量密度 —— —— 2023年 单选第7题 考情分析 题型与考向：本模块是高考物理的高频必考点，命题一般以选择题为主，难度一般为中等，出题越来越反常规、反刷题、反套路，需要同学们会构建对应模型。该模块在全国卷及其它地区新高考卷中也均有考察，因此，各地区的新模型、新考法都要了解。 情境与立意： 高考命题呈现高度情境化的特征，主要情境来源包括：中国航天科技成就：如“天都一号”通导技术试验卫星、“嫦娥六号”月球背面采样返回、“天问一号”火星探测、北斗导航系统、空间站建设等。将万有引力定律与实际问题结合，既考查物理知识，又体现“科技强国”的思政导向。 天文观测与自然现象：如二十四节气、潮汐现象、行星轨道等。 科幻影视与迁移创新：将万有引力与库仑力类比（均为平方反比有心力），考查知识的迁移能力。 跨模块融合：天体运动与机械振动、机械能守恒、动能定理、平抛运动等知识结合考查；部分题目可能结合电磁学知识。 复习目标 理解开普勒三大定律的内容及适用条件，能熟练运用开普勒第三定律进行轨道半径与周期的估算。 掌握万有引力定律的表达式及适用条件，理解“平方反比”的物理含义。 掌握黄金代换式 GM = gR² 的推导与直接应用。 掌握天体质量和密度的两种计算方法（环绕法、表面重力法） 思维建模·脉络梳理 ——搭建知识框架，构建系统思维 考点精讲·靶向突破 ——拆解核心考点，归纳解题范式 知识点1 开普勒三大定律 知●识●解●构 1.地心说 （1）地球是宇宙的中心，是静止不动的； （2）太阳、月亮以及其他行星都绕地球运动； （3）地心说的代表人物是古希腊科学家托勒密。 2.日心说 （1）太阳是宇宙的中心，是静止不动的，地球和其他行星都绕太阳做匀速圆周运动； （2）日心说的代表人物是哥白尼。 3.局限性 （1）古人都把天体的运动看得很神圣，认为天体的运动必然是最完美、最和谐的匀速圆周运动。 （2）开普勒研究了第谷的行星观测记录，发现如果假设行星的运动是匀速圆周运动，计算所得的数据与观测数据不符。 4.开普勒行星运动定律 定律 内容 公式或图示 开普勒第一定律 （轨道定律） 所有行星绕太阳运动的轨道都是椭圆，太阳处在椭圆的一个焦点上 开普勒第二定律 （面积定律） 对任意一个行星来说，它与太阳的连线在相等的时间内扫过相等的面积（） 开普勒第三定律 （周期定律） 所有行星的轨道的半长轴的三次方跟它的公转周期的二次方的比值都相等： ，k是一个与行星无关的常量 ✨得分速记： 开普勒三大定律，最初基于太阳系行星运动总结，但理论和实践证明其适用于任何两个天体组成的引力系统，如地球—月球等。 开普勒第二定律，是对任意一个行星来说的。如，地球与太阳连线、火星与太阳连线，二者在相等的时间内扫过的面积是不相等的；同一人造卫星变轨前后（后续学习），与其中心天体的连线，相等时间内扫过的面积是不相等的。 开普勒第三定律，适用于绕同一中心天体运动的所有天体。 例1 有关开普勒三大定律，结合右图，下面说法正确的是（　　） A．地球靠近太阳的过程中，运行速度的大小不变 B．地球绕太阳运动的轨道是椭圆，太阳位于椭圆的一个焦点上 C．在相等时间内，火星和太阳的连线扫过的面积与地球和太阳的连线扫过的面积相等 D．火星绕太阳运行一周的时间比地球绕太阳运行一周的时间短 【答案】B 【详解】AC．根据开普勒第二定律可知，对同一个行星而言，行星与太阳的连线在相同时间内扫过的面积相等，且行星在此椭圆轨道上运动的速度大小不断变化，离太阳越近速率越大，所以地球靠近太阳的过程中，运行速率将增大，故AC错误； B．根据开普勒第一定律可知行星绕太阳运动的轨道是椭圆，太阳位于椭圆的一个焦点上。即地球绕太阳运动的轨道是椭圆，太阳位于椭圆的一个焦点上，故B项正确； D．根据开普勒第三定律可知，所有行星的轨道的半长轴的三次方跟公转周期的二次方的比值都相等。由于火星的半长轴比较大，所以火星绕太阳运行一周的时间比地球的长，故D项错误。 故选B。 【变式训练1】如图所示是地球绕太阳运动的椭圆轨迹，短轴和长轴的四个位置所对应的节气分别是春分、秋分、夏至和冬至。假设地球只受到太阳的引力，下列说法正确的是（　　） A．春分和秋分时，地球运动的加速度相同 B．从春分到夏至，地球的运行时间大于公转周期的 C．若用a代表椭圆轨道的半长轴，T代表公转周期，，则地球与火星对应的k值相同 D．地球与太阳连线单位时间扫过的面积等于火星与太阳连线单位时间扫过的面积 【答案】B 【详解】A．春分和秋分，地球受到太阳引力大小相同，方向不同，A错误； B．春分到夏至的平均距离大于从冬至到春分距离，故平均速率要小些，所以时间要长一些，所以地球的运行时间大于公转周期的，故B正确； C．根据开普勒第三定律；故C错误； D．地球与太阳连线单位时间扫过的面积相等，但不等于火星与太阳连线单位时间扫过的面积，故D错误。 故选B。 【变式训练2】北斗导航系统空间段由若干地球静止轨道卫星、倾斜地球同步轨道卫星和中轨道地球卫星组成。甲卫星在静止轨道正常运行，乙卫星在中轨道正常运行，且甲距离地心（R为地球半径），乙距离地心。若卫星轨道均为圆形轨道，则甲、乙卫星正常运行时的周期之比约为（　　） A． B． C． D． 【答案】A 【详解】由开普勒第三定律得；得到 故选A。 【变式训练3】（2025·云南·高考真题）国际编号为192391的小行星绕太阳公转的周期约为5.8年，该小行星与太阳系内八大行星几乎在同一平面内做圆周运动。规定地球绕太阳公转的轨道半径为，八大行星绕太阳的公转轨道半径如下表所示。忽略其它行星对该小行星的引力作用，则该小行星的公转轨道应介于（　　） 行星 水星 金星 地球 火星 轨道半径 0.39 0.72 1.0 1.5 行星 木星 土星 天王星 海王星 轨道半径 5.2 9.5 19 30 A．金星与地球的公转轨道之间 B．地球与火星的公转轨道之间 C．火星与木星的公转轨道之间 D．天王星与海王星的公转轨道之间 【答案】C 【详解】根据开普勒第三定律可知 其中，， 代入解得 故可知该小行星的公转轨道应介于火星与木星的公转轨道之间。 故选C。 知识点2 万有引力定律 知●识●解●构 自然界中任何两个物体都相互吸引，引力的方向在它们的连线上，引力的大小与这两物体的质量乘积成正比，与它们之间距离的二次方成反比。 公式： 符号意义：G为引力常量，其数值由英国物理学家卡文迪什测量得出，常取。 适用条件：r为两个质点间的距离或质量均匀的两个球体的球心间的距离。 适用条件： ①严格地说，万有引力定律只适用于质点间的相互作用。所以当r→0时，则F→，这种说法是错误的。因为当r→0时，两物体不能被看成质点，且不是质量均匀的球体，此时公式不再适用；当r→时，则F→0，这种说法是正确的。 ②万有引力定律也适用于计算两个质量分布均匀的球体间的相互作用，其中r是两个球体球心间的距离 ③计算一个均匀球体与球外一个质点间的万有引力也适用，其中r为球心与质点间的距离 ④两个物体间的距离远远大于物体本身的大小时，公式也近似适用，其中r为两物体质心间的距离 万有引力的四个特性 特性 内容 普遍性 万有引力不仅存在于太阳与行星、地球与月球之间，宇宙间任何两个有质量的物体之间都存在着这种相互吸引的力 相互性 两个有质量的物体之间的万有引力是一对作用力和反作用力，总是满足大小相等，方向相反，作用在两个物体上 宏观性 地面上的一般物体之间的万有引力比较小，与其他力比较可忽略不计，但在质量巨大的天体之间或天体与其附近的物体之间，万有引力起着决定性作用 特殊性 两个物体之间的万有引力只与它们本身的质量和它们间的距离有关，而与它们所在空间的性质无关，也与周围是否存在其他物体无关 考向1 万有引力的内容、适用范围 例1 （多选）有关万有引力的说法，正确的（ 　） A．万有引力定律是卡文迪许在做扭称实验时发现的 B．公式中的G是引力恒量，这是由实验得出的而不是人为规定的 C．物体落到地面上，说明地球对物体有引力，物体对地球没有引力 D．地面上自由下落的苹果和天空中运行的月亮，都是因为受地球引力作用 【答案】BD 【解析】A．万有引力定律是牛顿发现的，而引力常量是卡文迪许利用扭称实验得出的，A错误； 公式中的G是引力恒量，G值首先是由卡文迪许测出的，而不是人为规定的，故B正确。 C．物体落到地面上，说明地球对物体有引力，而力是相互的，物体对地球也有引力，C错误； D．地面上自由下落的苹果和天空中运行的月亮，都是因为受地球引力作用，D正确。 故选BD。 【变式训练1】对于万有引力定律的表达式，下列说法正确的是（    ） A．牛顿在推理出万有引力的过程中应用到了牛顿运动定律 B．当物体间的距离趋近于0时，物体间的万有引力无穷大 C．两物体对彼此的万有引力大小不一定相等 D．只有天体间存在万有引力，人与人间不存在万有引力 【答案】A 【详解】A．牛顿在推理出万有引力定律的过程中应用到了牛顿运动定律。故A正确； B．当物体间的距离趋近于0时，该表达式不再适用。故B错误； C．两物体对彼此的万有引力是一对相互作用力，大小总是相等。故C错误； D．所有物体间均存在万有引力。故D错误。 故选A。 【变式训练2】设地球是半径为R的均匀球体，质量为M，若把质量为m的物体放在地球的中心，则物体受到的地球的万有引力大小为(　　) A．零 B．无穷大 C． D．无法确定 【答案】A 【解析】地球的各部分对物体的吸引力是对称的，故物体受到的地球的万有引力是零， 点拨：不能认为该物体与地球球心距离趋近于0，力趋近于无穷大，此时公式不再适用。 故选A。 【变式训练3】（2025·全国卷·高考真题）“天都一号”通导技术试验卫星测距试验的成功，标志着我国在深空轨道精密测量领域取得了技术新突破。“天都一号”在环月椭圆轨道上运行时，（　） A．受月球的引力大小保持不变 B．相对月球的速度大小保持不变 C．离月球越近，其相对月球的速度越大 D．离月球越近，其所受月球的引力越小 【答案】C 【详解】AD．“天都一号”在环月椭圆轨道上运行时与月球的距离不断发生变化，根据可知受月球的引力大小发生变化，离月球越近，其所受月球的引力越大，故AD错误； B．根据开普勒第二定律可知“天都一号”在环月椭圆轨道上运行时相对月球的速度大小改变，近月点速度最大，远月点速度最小，即离月球越近，相对月球的速度越大，故B错误，C正确。 故选C。 考向2 万有引力的计算 例1 （2024·广西·高考真题）潮汐现象出现的原因之一是在地球的不同位置海水受到月球的引力不相同。图中a、b和c处单位质量的海水受月球引力大小在（　　） A．a处最大 B．b处最大 C．c处最大 D．a、c处相等，b处最小 【答案】A 【详解】根据万有引力公式；可知图中a处单位质量的海水收到月球的引力最大； 故选A。 【变式训练1】万有引力定律的简单应用两个完全相同的实心均质小铁球紧靠在一起，它们之间的万有引力为F。若将两个用同种材料制成的半径是小铁球2倍的实心大铁球紧靠在一起，则两个大铁球之间的万有引力为(　　) A.2F B.4F C.8F D.16F 【答案】D 【解析】两个小铁球之间的万有引力为F＝G＝G；实心小铁球的质量为m＝ρV＝ρ·πr3，大铁球的半径是小铁球的2倍，则大铁球的质量为m′，则＝＝8，故两个大铁球间的万有引力为F′＝G＝16F， 故选D 【变式训练2】质量相同的a、b两颗卫星均绕地球做匀速圆周运动。a卫星是地球同步卫星（周期为24小时），b卫星绕地球的周期约为3小时。则b卫星受地球的引力大小约是a卫星受地球引力大小的几倍（　　） A．1 B．8 C．16 D．27 【答案】C 【详解】由于两颗卫星均绕地球做匀速圆周运动，根据开普勒第三定律，可知；可知a、b卫星的轨道半径之比为；根据万有引力定律，可知a、b卫星受地球的引力大小之比为；可知，b卫星受地球的引力大小约是a卫星受地球引力大小的16倍。 故选C 。 考向3 割补法计算万有引力 例1 已知均匀球体对球外物体的万有引力相当于将球体的质量集中于球心的质点对物体的万有引力，将地球看成均匀球体，假设在紧贴地球表面处挖去一半径为的球体（R为地球半径），如图所示，在图中A点放置一质量为m的可视为质点的物体，则该物体在挖空前后受到的万有引力大小之比为（    ） A． B． C． D． 【答案】A 【详解】挖去前所受万有引力大小为，挖去后引力大小为，则有；；得 故选A。 【变式训练1】如图所示，两个质量均为M的球分别位于圆环、半圆环的圆心。环的质量分布均匀，且其粗细忽略不计。若甲图中环对球的万有引力大小为F，则乙图中环对球的万有引力大小为（　　） A．F B． C． D． 【答案】B 【详解】利用分割法将甲环分成三个圆环，则关于圆心对称的两个圆环对球的万有引力的合力必为0，根据题意得剩余圆环对球的万有引力大小为F。再利用分割法将乙环分成两个圆环，则每个圆环对球的万有引力大小均为F，由数学知识易得二者的合力为，故A、C、D错误，B正确； 故选B。 【变式训练2】已知质量分布均匀的球壳对壳内物体的引力为零。某天体的质量为M（视为质量分布均匀的球体），半径为R，引力常量为G。若在该天体内部挖出一半径r=的巨大球形空腔（挖出的物质运走至无穷远处），空腔与天体表面相切，如图所示。O和O′分别为该天体和空腔的球心，空腔内Q点与球心O′的距离为，Q、O′和O在同一直线上。则质量为m的质点在Q处受到天体剩余部分的万有引力大小为（　） A． B． C． D． 【答案】D 【详解】质量均匀的球壳对壳内万有引力的合力为零，故作如下图所示下等效。 由可知，密度一样，球的质量和半径的三次方成正比。设距离为b，距离为a，大球（红色虚线）对Q点物体的引力为； 小球（绿色虚线）对Q点的引力为 故Q点物体受力为 由；联立得 故选D。 知识点3 万有引力与重力的关系 知●识●解●构 地球（质量为M）对物体的万有引力F表现为两个效果：一是重力mg，二是提供物体随地球自转的向心力F向，如图所示。 设赤道处公重力加速度为，两极处重力加速度为， （1）在赤道上：； （2）在两极上：； 即 （3）在其它地点，万有引力是重力和向心力的矢量和。 重力只是万有引力的一个分力，另一个分力提供物体随地球自转做圆周运动的向心力，但由于向心力很小，一般情况下认为重力等于万有引力，即。因此，忽略地球自转时，天体表面上的重力加速度 。这个公式把万有引为常数和自由落体加速度常数联系到一起了，在卡文迪什测出引力常量G之前，这个公式可以直接用来替换未知的G，且适用于其它天体，价值堪比黄金。 黄金代换式成立的前提是天体不自转或自转很慢可被忽略时；题中出现“赤道”、“两极”，不可被忽略。 则两个天体地表重力加速度之比。 忽略地球自转时，设地球上空距离地表高h处（即距离地心r处，r＝R＋h)的重力加速度为g′，由，得。所以。 如图， 设地球是质量和密度分布均匀的球体，距离地表深度为d处的重力加速度为,“d处”相当于阴影部分球体的“地表”，也只有阴影部分球体对“d处”有引力，地表与阴影球体表面（“新地表”）间的环形球壳对d处的引力为0。 设阴影部分球体质量为，则“d处”的重力加速度，有； 根据，有，则。 考向1 天体“表面”重力加速度 例1 （2024·全国卷·真题）2024年5月，嫦娥六号探测器发射成功，开启人类首次从月球背面采样返回之旅。将采得的样品带回地球，飞行器需经过月面起飞、环月飞行、月地转移等过程。月球表面重力加速度约为地球表面重力加速度的。下列说法正确的是（　　） A．在环月飞行时，样品所受合力为零 B．若将样品放置在月球正面，它对月球表面压力等于零 C．样品在不同过程中受到的引力不同，所以质量也不同 D．样品放置在月球背面时对月球的压力，比放置在地球表面时对地球的压力小 【答案】D 【详解】A．在环月飞行时，样品所受合力提供所需的向心力，不为零，故A错误； BD．若将样品放置在月球正面，它对月球表面压力大小等于它在月球表面的重力大小；由于月球表面自由落体加速度约为地球表面自由落体加速度的，则样品在地球表面的重力大于在月球表面的重力，所以样品放置在月球背面时对月球的压力，比放置在地球表面时对地球的压力小，故B错误，D正确； C．样品在不同过程中受到的引力不同，但样品的质量相同，故C错误。 故选D。 【变式训练1】嫦娥六号完成人类从月球背面采样的壮举，带回1935.3克样品。已知月球与地球质量之比为a，半径之比为b，则这1935.3克样品在月球表面与地球表面的重力之比约为（　　） A． B． C． D． 【答案】D 【详解】月壤在月球表面有 在地球表面有；解得样品在月球表面与地球表面的重力之比约为 故选D。 【变式训练2】已知地球质量约为月球质量的81倍，地球半径约为月球半径的4 倍。 若在月球和地球表面以相同的初速度竖直向上抛出物体，不计一切阻力，抛出点与最高点间的距离分别为和，则最接近（　　） A． B． C． D． 【答案】D 【详解】由；；联立可得 故选D。 【变式训练3】火星半径约为地球半径的一半，质量约为地球质量的。一位宇航员连同宇航服在火星表面受到的重力大小G火=400 N，地球表面的重力加速度大小g = 10 m/s2，忽略地球和火星的自转，则宇航员连同宇航服的质量为（　　） A．70 kg B．80 kg C．90 kg D．100 kg 【答案】C 【详解】在地球上有；在火星上有；可得；宇航员连同宇航服的质量 故选C。 考向2 天体“高空”重力加速度 例1 运行在星际间的流星体（通常包括宇宙尘粒和固体块等空间物质），在接近地球时由于受到地球引力的摄动而被地球吸引，从而进入大气层，并与大气摩擦燃烧产生光迹。夜空中的流星非常美丽，人们常赋予它美好的意义，认为看到流星并对它进行许愿就能实现心愿。若某流星距离地面高度为一个地球半径，地球北极的重力加速度为g，则流星的加速度为（  ）    A． B． C． D． 【答案】B 【详解】设地球的质量为M，万有引力常量为G，由于地球北极的重力加速度为g，所以 ；解得；若流星的质量为，则流星受到的万有引力；由牛顿第二定律得；解得流星的加速度 故选B。 【变式训练1】在电影《流浪地球2》里，人类在赤道某地修建了一座太空电梯，电梯轿厢能将人货竖直送达太空（如图）。轿厢在地面静止时，搭载的植物种子重25N，当轿厢达到一某高度时，轿厢处于匀速运动状态，种子的重力“变成”了16N。已知地球的半径为R，不考虑地球的自转，则此时太空电梯的轿厢距地面的高度为（　　） A． B． C． D． 【答案】C 【详解】根据；解得地球表面的重力加速度；太空电梯的轿厢处；解得太空电梯的轿厢处的重力加速度；由，；解得； 故选C。 【变式训练2】如图所示，火箭内平台上放有测试仪器，火箭从地面启动后，以的加速度竖直向上匀加速运动，火箭升到离地面高度为时（已知地球半径为，为地面附近的重力加速度）以下说法正确的是（　　） A．上升过程中测试仪器处于失重状态 B．上升过程中测试仪器不受重力 C．测试仪器对平台的压力与启动前压力之比为 D．测试仪器对平台的压力与启动前压力之比为 【答案】D 【详解】AB．火箭向上加速运动具有竖直向上的加速度，则火箭中的测试仪器处于超重状态，测试仪器仍受重力，故AB错误； CD．启动前测试仪器对平台的压力为 火箭升到离地面高度为时，由牛顿第二定律有；又有；解得；则测试仪器对平台的压力与启动前压力之比为；故C错误，D正确。 故选D。 考向3 天体“地下”重力加速度 例1 在刘慈欣的科幻小说《带上她的眼睛》里演绎了这样一个故事：“落日六号”地层飞船深入地球内部进行探险，在航行中失事后下沉到船上只剩下一名年轻的女领航员，她只能在封闭的地心度过余生。已知地球可视为半径为R、质量分布均匀的球体，且均匀球壳对壳内质点的引力为零。若地球表面的重力加速度为g，当“落日六号”位于地面以下深处时，该处的重力加速度大小为（　　） A． B． C． D． 【答案】B 【详解】设地球表面物体质量为m，重力加速度为g，由万有引力定律得；地球的质量；重力加速度的表达式为 ；地面以下深处的重力加速度大小为；故ACD错误，B项正确。 故选B。 【变式训练1】假设地球是一半径为R，质量分布均匀的球体。已知质量分布均匀的球壳对壳内物体引力为零，地球表面处引力加速度为g。则关于地球引力加速度a随地球球心到某点距离r的变化图像正确的是（　　） A． B．C． D． 【答案】B 【详解】若距离大于地球半径，则根据万有引力提供重力可得；可得加速度；随距离增大，加速度变小。当在地球球壳内即距离小于地球半径，此时距离地心r～R范围内的球壳对物体没有引力，那么地球对其产生引力的就是半径为r的中心球体对它产生的引力，因此；即加速度与距离成正比。 故选B。 【变式训练2】若地球半径为R，把地球看作质量分布均匀的球体．“蛟龙号”下潜深度为d，“天宫一号”轨道距离地面高度为h，“蛟龙”号所在处与“天宫一号”所在处的加速度大小之比为(质量分布均匀的球壳对内部物体的万有引力为零)(　　) A. B. C. D. 【答案】C 【解析】设地球的密度为ρ，则在地球表面，物体受到的重力和地球的万有引力大小相等，有,由于地球的质量为，所以重力加速度的表达式可写成g质量分布均匀的球壳对壳内物体的引力为零，故在深度为d的地球内部，受到地球的万有引力即为半径等于(R－d)的球体在其表面产生的万有引力，故“蛟龙号”的重力加速度g′＝πGρ(R－d)，所以有＝。根据万有引力提供向心力有，“天宫一号”所在处的重力加速度为，整理联立，C正确，A、B、D错误． 考向4 考虑天体自转时的重力加速度 例1 假如地球自转速度增大，关于物体所受的重力，下列说法不正确的是（　　） A．放在赤道地面上物体的万有引力不变 B．放在赤道地面上物体的重力减小 C．放在两极地面上物体的重力不变 D．放在两极地面上物体的重力增加 【答案】D 【详解】AB．放在赤道地面上物体，根据，；假如地球自转速度增大，即角速度增大，则放在赤道地面上物体的万有引力不变，物体的重力减小，故AB正确，不满足题意要求； CD．放在两极地面上物体，根据，；假如地球自转速度增大，即角速度增大，则放在两极地面上物体的重力不变，物体的重力不变，故C正确，不满足题意要求；D错误，满足题意要求。 故选D。 【变式训练1】宇航员驾驶宇宙飞船，登陆某一行星，该行星是质量分布均匀的球体。通过测量发现，某一物体在该行星两极处的重力为G，在该行星赤道处的重力为0.75G，则此物体在赤道处随行星自转的向心力为（    ） A． B． C． D． 【答案】B 【详解】设该行星的质量为，半径为，万有引力常量为，物体在该行星两极处有；在该行星赤道处有；联立可得此物体在赤道处随行星自转的向心力为 故选B。 【变式训练2】（多选）万有引力定律能够很好地将天体运行规律与地球上物体运动规律具有的内在一致性统一起来。用弹簧测力计称量一个相对于地球静止的小物体的重量，随称量位置的变化可能会有不同的结果。已知地球质量为M，引力常量为G，将地球视为半径为R、质量分布均匀的球体。下列说法正确的是（　　） A．在北极地面称量时，弹簧测力计读数为 B．在赤道地面称量时，弹簧测力计读数为F1＝G C．在北极上空高出地面h处称量时，弹簧测力计读数为F2＝G D．在赤道上空高出地面h处称量时，弹簧测力计读数为F3＝G 【答案】AC 【详解】A．在北极地面称量时，物体不随地球自转，万有引力等于重力，则有F0＝G 故A正确； B．在赤道地面称量时，万有引力等于重力加上物体随地球一起自转所需要的向心力，则有F1＜G；故B错误； C．在北极上空高出地面h处称量时，万有引力等于重力，则有F2＝G；故C正确； D．在赤道上空高出地面h处称量时，万有引力大于重力，则弹簧测力计读数F3＜G 故D错误。 故选AC。 【变式训练3】我国航天科学家在进行深空探索的过程中发现有颗星球具有和地球一样的自转特征。如图所示，假设该星球绕AB轴自转，CD所在的赤道平面将星球分为南北半球，OE连线与赤道平面的夹角为30°经测定，A位置的重力加速度为g，D位置的重力加速度为，则E位置的向心加速度为（    ） B． C． D． 【答案】B 【详解】A位置的重力加速度由万有引力提供得；D位置万有引力提供重力加速度和向心加速度；E位置的向心加速度 故选B。 知识点4 计算天体质量、密度 知●识●解●构 根据黄金代换式，可求出中心天体质量； 结合球体体积公式，可求出该天体平均密度。 当物体不再位于天体表面或高空，而是像卫星一样，环绕其中心天体转动时，二者之间的万有引力等于卫星转动所需向心力： ； 整理有：； 天体平均密度：； ✨得分速记： 1．物体位于地球高空处，如：空中的飞机、热气球、升空中的火箭等，它们只是距离地表高了一些，是跟随着地球自转的，是“人间”的；而“卫星”环绕地球转动，不受地球自转影响，是“天上”的。 2．公式不要死记硬背，可牢记模型，用时推导，或记住常用公式即可。 3．只可以用来求中心天体质量、密度，转动物体（卫星）的质量（m）已被约分掉。 4．R为天体半径，r为轨道半径。为避免混淆，要一开始就养成习惯。 5．若卫星绕天体表面（附近）运行，可认为轨道半径r等于天体半径R。 考向1 根据“表面重力法”计算 例1 已知地球表面重力加速度为、地球的半径为，地球的质量为，火星的半径为，某飞船飞到火星上测得火星表面的重力加速度为，由此可得火星的质量为（    ） A． B． C． D． 【答案】A 【详解】星球表面的物体受到的重力等于万有引力，即；可得； 所以；可得火星的质量为 故选A。 考向2 根据“环绕模型”计算 例2 （2024·海南·高考真题）嫦娥六号进入环月圆轨道，周期为T，轨道高度与月球半径之比为k，引力常量为G，则月球的平均密度为（　） A． B． C． D． 【答案】D 【详解】设月球半径为，质量为，对嫦娥六号，根据万有引力提供向心力； 月球的体积 月球的平均密度 联立可得 故选D。 【变式训练1】（2024·新疆河南·高考真题）天文学家发现，在太阳系外的一颗红矮星有两颗行星绕其运行，其中行星GJ1002c的轨道近似为圆，轨道半径约为日地距离的0.07倍，周期约为0.06年，则这颗红矮星的质量约为太阳质量的（　） A．0.001倍 B．0.1倍 C．10倍 D．1000倍 【答案】B 【详解】设红矮星质量为M1，行星质量为m1，半径为r1，周期为T1；太阳的质量为M2，地球质量为m2，到太阳距离为r2，周期为T2；根据万有引力定律有；；联立可得 由于轨道半径约为日地距离的0.07倍，周期约为0.06年，可得 故选B。 【变式训练2】2024年6月，内蒙古乌兰察布阿木古郎草原迎回了携带月背“土特产”的嫦娥六号返回器，这是人类历史上首次实现月球背面采样返回。返回器在返回地球前绕地球运行的某段可视为匀速圆周运动，在该段运动过程中，返回器转过圆心角所用时间为t、速度大小为v。已知引力常量为G，则地球质量可表示为（　 ） A． B． C． D． 【答案】A 【详解】返回器的角速度 则返回器的轨道半径 根据万有引力提供向心力 联立解得地球的质量 故选A。 【变式训练3】为了探测火星我国发射了天问一号探测器，其携带的祝融号火星车将登陆火星进行探测任务。设天问一号绕火星表面附近做匀速圆周运动的线速度大小为v，而祝融号在该行星表面上用弹簧测力计测量一质量为m的物体重力，物体静止时弹簧测力计的示数为N。已知引力常量为G，则火星的质量可表示为( ） A． B． C． D． 【答案】B 【详解】根据万有引力与重力的关系可得。因为在火星表面附近环绕，轨道半径r和火星半径R可视为相等，结合N=mg,联立可得 故选B。 真题溯源·考向感知 ——溯源真题逻辑，感知高考考向 1．（2024·辽宁·高考真题）如图（a），将一弹簧振子竖直悬挂，以小球的平衡位置为坐标原点O，竖直向上为正方向建立x轴。若将小球从弹簧原长处由静止释放，其在地球与某球状天体表面做简谐运动的图像如（b）所示（不考虑自转影响），设地球、该天体的平均密度分别为和，地球半径是该天体半径的n倍。的值为（　　） A． B． C． D． 【答案】C 【详解】设地球表面的重力加速度为，某球体天体表面的重力加速度为，弹簧的劲度系数为，根据简谐运动的对称性有； 可得； 可得； 设某球体天体的半径为，在星球表面，有； 联立可得 故选C。 2．（2023·辽宁·高考真题）在地球上观察，月球和太阳的角直径（直径对应的张角）近似相等，如图所示。若月球绕地球运动的周期为T₁，地球绕太阳运动的周期为T₂，地球半径是月球半径的k倍，则地球与太阳的平均密度之比约为（　　）    A． B． C． D． 【答案】D 【详解】设月球绕地球运动的轨道半径为r₁，地球绕太阳运动的轨道半径为r₂，根据可得； 其中； 联立可得 故选D。 第 1 页 共 25 页 学科网（北京）股份有限公司 $ 第11讲 万有引力定律（复习讲义） 知识点1 开普勒三大定律 例1 【答案】B 【变式训练1】【答案】B 【变式训练2】【答案】A 【变式训练3】【答案】C 知识点2 万有引力定律 考向1 万有引力的内容、适用范围 例1 【答案】BD 【变式训练1】【答案】A 【变式训练2】【答案】A 【变式训练3】（2025·全国卷·高考真题）【答案】C 考向2 万有引力的计算 例1 【答案】A 【变式训练1】【答案】D 【变式训练2】【答案】C 考向3 割补法计算万有引力 例1 【答案】A 【变式训练1】【答案】B 【变式训练2】【答案】D 知识点3 万有引力与重力的关系 考向1 天体“表面”重力加速度 例1 （2024·全国卷·真题）【答案】D 【变式训练1】【答案】D 【变式训练2】【答案】D 【变式训练3】【答案】C 考向2 天体“高空”重力加速度 例1 【答案】B 【变式训练1】【答案】C 【变式训练2】【答案】D 考向3 天体“地下”重力加速度 例1 A． B． C． D． 【变式训练1】【答案】B 【变式训练2】【答案】C 考向4 考虑天体自转时的重力加速度 例1 【答案】D 【变式训练1】【答案】B 【变式训练2】【答案】AC 【变式训练3】【答案】B 知识点4 计算天体质量、密度 考向1 根据“表面重力法”计算 例1 【答案】A 考向2 根据“环绕模型”计算 例2 【答案】D 【变式训练1】（2024·新疆河南·高考真题）【答案】B 【变式训练2】【答案】A 【变式训练3】【答案】B 真题溯源·考向感知 1．【答案】C 2．【答案】D 第 1 页 共 25 页 学科网（北京）股份有限公司 $