专题3 函数（讲义）-2027版湖北省（技能高考）《数学二轮讲练测》

编写说明：2027版湖北省（技能高考）《数学二轮讲练测》紧扣历年考试趋势和最新考试动态，聚焦高频考点，精讲精练，助力考生高效复习。同时，为构建完整学习体系，每个专题均配套讲义、课件和AB卷习题，满足多样化学习需求。 湖北省技能高考《数学二轮讲练测》 专题3 函数 考查内容 考查详情 年份及题号 题型 分值 函数的概念 函数的定义域（偶次根式） 2026-22 单选 5 一次函数求值 2026-29 填空 5 指数型函数求值 2025-28 填空 5 定义域、值域 2023-21 单选 5 函数的性质 二次函数的最小值 2025-23 单选 5 指数型函数的奇偶性 2025-24 单选 5 二次函数的最大值 2024-22 单选 5 根据函数的性质写出函数 2024-28 填空 5 符号函数的图像 2022-21 单选 5 命题轨迹透视： 函数连续五年在湖北技能高考考试中考查9题，为每年必考题目。函数主要考查函数的定义域、值域，函数求值，函数的奇偶性、单调性，函数的最值、图像，以单选、填空为主要题型，重基础计算，高频考定义域、函数求值、函数的性质。备考应夯实函数基础，专攻小题，聚焦高频考点，重视真题纠错。 【考点1：函数的概念】 1.（2026·湖北·真题）函数 的定义域为（ ） A. 　 B. 　 C. 　 D. 【考点】函数定义域、一元二次不等式求解 【答案】D 【解析】二次根式要求被开方数非负，即：，因式分解：， 解得 或 ，函数定义域为 ，本题选 D. 2.（2026·湖北·真题）已知 ，，则 ____. 【考点】一次函数解析式、函数求值 【答案】 【解析】代入 ：， 函数解析式：，. 3.（2025·湖北·真题）已知 ，则 . 【考点】函数值的计算 【答案】 【解析】将 代入函数：（注：）. 4.（2023·湖北·真题）下列函数中，定义域和值域均为 的是（ ） A.　 B.　 C.　 D. 【考点】常见函数的定义域与值域 【答案】D 【解析】A 选项： 定义域为 ，不是 ； B 选项： 定义域为 ，值域为 ，不是 ； C 选项： 定义域为 ，不是 ； D 选项： 定义域为 ，值域为 ，符合条件. 5.（2022·湖北·真题）符号函数 的图像是（ ） 【考点】分段函数的图像（符号函数） 【答案】B 【解析】符号函数的定义： 时，，图像为 轴上方的水平线，空心点在 ； 时，，图像为原点处的实心点； 时，，图像为 轴下方的水平线，空心点在 . 对应选项 B 的图像符合上述特征. 1.函数定义：设集合是非空数集，如果对于集合中的任意一个数，按照某种确定对应关系，在集合中都有唯一确定的数和它对应，则称为从到的函数，记作. （1）函数二要素：定义域（自变量取值集合）、对应关系 （2）两个函数相等：定义域与对应关系完全相同. （3）定义域常见求法： 分式：分母；二次根式：被开方数；零次幂：底数；对数：底数>0且1，真数>0；实际问题：结合实际意义限制范围 （4）值域：所有函数值构成的集合，函数的值域由定义域与对应法则这两个要素唯一确定. 2.函数表示方法：解析法、列表法、图象法. 1.判断对应是不是函数：任意只能对应唯一；一个可以对应多个，一对多不是函数. 2.判断同一函数：不能只看解析式，必须同时定义域、对应关系都一致；化简解析式会改变定义域，不能直接化简后判断. 3.求定义域：多项限制条件取交集，不要取并集；零次幂容易漏掉底数不为 0. 4.是函数符号，不是乘；表示时的函数值，是常数，区别于. 5.值域是集合的子集，不等于集合. 6.分段函数是一个函数，不是多个函数；求函数值先判断自变量落在哪一段定义域，再代入对应解析式. 【预测一：考查函数关系的判断】 1. 已知集合，，下列对应关系不能视作函数的是（ ） A. B. C. D. 2. 下列各图中，不能表示函数图象的是（ ） 【预测二：考查同一函数的判断】 3. 在下列函数中，与函数表示同一函数的（ ） A. B. C. D. 【预测三：考查已知自变量的值求函数值】 4. 对于函数，部分与的对应关系如下表： 则值为（ ） A. B. C. D. 5. 已知函数 ，则 是（ ） A. B. C. D. 【预测四：考查求函数的值域】 6. 函数 ， 的值域为（ ） A. B. C. D. 【预测五：考查求函数的定义域】 7. 函数的定义域为（ ） A. B. C. D. 8. 已知函数的定义域为，则函数的定义域为 . 9. 函数的定义域为 . 10. 下列选项中，与函数的定义域和值域都相同的函数是（ ） A. B. C. D. 【预测六：考查求函数的解析式】 11. 已知 ，则 （ ） A. B. C. D. 【预测七：考查分段函数】 12. 已知函数，则 的值是（ ） A. B. C. D. 13. 设，则使得 成立的 值是（ ） A. B. C. D. 【答案、分析、详解】 1.【答案】 【分析】函数定义：集合中每一个元素，在集合中都有唯一元素与之对应.中元素不能开算术平方根，没有对应输出，不满足函数定义. 【详解】根据函数的定义：设非空数集，若对于集合中的任意一个实数，在集合中都有唯一确定的实数与之对应，则对应关系为集合到集合的函数. 已知，，逐一验证选项： A选项： 时，；时，； 时，，满足函数定义. B选项： 时，；时，； 时，，满足函数定义. C选项： 时，；时，； 时，，满足函数定义. D选项： 算术平方根的被开方数需非负，当时，在实数范围内无意义，即集合中的元素在集合中无对应元素，不满足函数定义. 综上，答案选. 2.【答案】 【分析】函数图像判定：垂直于轴的直线与图像最多只能有一个交点（竖线检验法）.一个不能对应两个. 【详解】函数图像判定依据（竖线法）：平面直角坐标系中，任意一条垂直于轴的直线与函数图像至多有一个交点，即一个自变量只能对应唯一一个函数值. A选项（水平直线）：任意竖线与图像仅有一个交点，满足函数定义； B选项（开口向右抛物线）：解析式为，取任意，一条竖线会与图像交于两个点，一个对应两个不同，不满足函数定义； C选项（反比例曲线）：任意竖线与图像至多一个交点，满足函数定义； D选项（折线）：任意竖线与图像至多一个交点，满足函数定义. 综上，答案选. 3.【答案】 【分析】两个函数相同，必须定义域相同，对应法则也相同.逐一比对定义域、化简后的解析式. 【详解】两个函数为同一函数的充要条件：定义域完全相同，对应法则完全一致，与函数符号无关.原函数，定义域为，对应法则为自变量本身.逐一分析选项： A选项：，分式分母不为0，定义域为，与原函数定义域不同，不是同一函数. B选项：，立方根定义域为，且对任意实数，恒有，定义域、对应法则均与原函数一致，是同一函数. C选项：，二次根式被开方数非负，定义域为，与原函数定义域不同，不是同一函数. D选项：，对应法则为取绝对值，与原函数对应法则不同，不是同一函数. 综上，答案选. 4.【答案】 【分析】复合函数求值，由内向外算，先算内层，再算外层. 【详解】复合函数求值遵循由内及外的计算原则，逐层代入计算： 第一步：计算内层函数值，查表可知，当时，； 第二步：将内层结果代入外层函数，； 第三步：查表可知，当时，；因此. 综上，答案选. 5.【答案】B 【分析】本题考查函数值的计算，直接代入自变量求值再求和即可，属于基础题. 【详解】由函数解析式 ，将 、 分别代入计算： 两式相加可得： 综上，答案选B. 6.【答案】A 【分析】本题主要考查函数的值域的求法，考查二次函数的图象与性质，考查运算求解能力，属于基础题. 【详解】已知二次函数 ，二次项系数 ，因此函数图象开口向下.由二次函数对称轴公式 ，代入 ，得对称轴： 根据二次函数单调性可知：函数在对称轴左侧单调递增，右侧单调递减. 因此 在区间 上单调递增，在区间 上单调递减. 求最大值：函数在对称轴 处取得最大值 求最小值：对比区间两个端点函数值 可得函数在 处取得最小值 . 综上，函数值域为 ，答案选A. 7.【答案】 【分析】定义域约束：①根号内；②分母；③对数真数，联立不等式组求解. 【详解】函数定义域为使函数解析式有意义的自变量的取值集合，该函数由分式、二次根式、对数式组成，需同时满足以下约束条件： 解不等式：由得；结合，联立可得. 故函数定义域为. 综上，答案选. 8.【答案】 【分析】中取值范围固定.令，则，解关于不等式，得到新函数定义域. 【详解】抽象函数定义域核心规则：同一函数符号，括号内整体的取值范围固定不变. 已知的定义域为，即，说明函数的作用对象取值范围为. 对于函数，括号内整体需满足： 解左侧不等式：，解得；解右侧不等式：，解得； 联立得自变量取值范围：. 因此函数的定义域为. 9.【答案】 【分析】约束条件：①二次根式内部；②分母不等于 0；③零次幂底数；联立不等式组. 【详解】该函数包含二次根式、分式、零次幂，解析式有意义需同时满足三个约束条件，列不等式组： 分步求解不等式组：解，不等式两边同乘（不等号反向）得：，因式分解得，解得； 解，得；解，得. 综合所有约束条件：且、. 转化为区间表示：. 10.【答案】 【分析】原函数定义域，值域.逐个看选项定义域、值域. 【详解】先分析原函数：一次函数定义域为全体实数，值域也为全体实数，逐一验证选项： A选项：，指数函数，定义域，值域，值域与原函数不符； B选项：，幂函数，定义域，值域，定义域、值域均与原函数一致； C选项：，对数函数，定义域，值域，定义域与原函数不符； D选项：，正弦函数，定义域，值域，值域与原函数不符. 综上，答案选. 11.【答案】D 【分析】本题主要考查了换元法在函数解析式求解中的应用，属于基础题. 【详解】本题采用换元法求解函数解析式，步骤如下： 令 ，对式子变形，解出 ： 将 代入原解析式 中： 函数的自变量符号不影响函数解析式，将 替换为 ，可得： 综上，答案选D. 12.【答案】C 【分析】此题主要考查分段函数的解析式，解此类题的关键是看准定义域，然后不断的代入求解，是一道基础题. 【详解】分段函数求值遵循**由内到外**的计算原则： 第一步：计算内层函数 已知 ，代入分段函数第二段解析式 ： 第二步：计算外层函数 已知，代入分段函数第一段解析式 ： 综上，，答案选C. 13.【答案】C 【分析】本题考查分段函数解方程，分两段定义域分别求解，注意自变量取值范围取舍根，属于基础题. 【详解】已知分段函数 ，根据自变量取值范围分情况解方程 ： ① 当 时，，开方得： 当 时，解得 （满足 ，有效） 当 时，解得 （满足 ，有效） ② 当 时，，移项整理： 等式两边同时平方：，解得：（满足 ，有效） 综上，符合条件的 的值为 ，答案选C. 【考点2：函数的性质】 1.（2025·湖北·真题）记表示不超过的最大整数，例如，，若函数的最小值为，则（ ） A. -1 B. 0 C. 1 D. 2 【考点】二次函数的最值、取整函数（高斯函数）的定义. 【答案】A 【解析】先求二次函数的最小值. 配方得：因为，所以当时，取得最小值. 根据取整函数定义，不超过的最大整数是，即. 2.（2025·湖北·真题）武汉杨泗港长江大桥是目前世界跨度最大的双层悬索桥，其顶级的 “中国质量” 令外国人赞叹 “中国人把悬索桥玩出了新高度”，悬索的形状是平面几何中的悬链线，悬链线的方程为（其中为常数），当时，该方程是双曲余弦函数，给出双曲正弦函数，则下列结论错误的是（ ） A. 双曲正弦函数是奇函数 B. 双曲余弦函数是偶函数 C. D. 【考点】函数的奇偶性、双曲函数的定义 【答案】 【解析】首先，明确双曲函数的定义： 选项 A：判断双曲正弦函数的奇偶性 ，故是奇函数，A 正确. 选项 B：判断双曲余弦函数的奇偶性 ，故是偶函数，B 正确. 选项 C：验证 右边左边，故 C 正确. 选项 D：验证 右边 左边 显然，（除非），正确的恒等式为： 故 D 错误. 综上，错误的结论是. 3.（2024·湖北·真题）写出一个具有性质①②的函数= . ①+； ②在定义域R上是增函数. 【考点】函数的运算性质与单调性 【答案】（，如， 均可） 【解析】性质①：满足的函数称为 “可加函数”，在上的连续解为（为常数）. 性质②：在上为增函数，需一次项系数. 因此只需取的正比例函数即可，比如，此题答案不唯一. 4.（2024·湖北·真题）在一次跳水运动中，某运动员在运动过程中的重心相对于水面的高度(单位:m) 与起跳后的时间(单位: s) 存在函数关系，该运动员在运动过程中的重心相对于水面的最大高度为（ ） A. 11 B. 11.4 C. 12 D. 12.6 【考点】二次函数的实际应用（最值问题） 【答案】B 【解析】函数是开口向下的二次函数，其最大值在顶点处取得. 二次函数顶点的纵坐标公式为： 其中，，，代入得： 因此重心的最大高度为，选 B. 1. 单调性 增函数：区间内，图像从左向右上升 减函数：区间内，图像从左向右下降 单调区间：只能写区间，不能写集合；复合函数：同增异减. 2. 奇偶性（定义域必须关于原点对称，这是前提） 奇函数：，图像关于原点对称；若在有定义，则. 偶函数：，图像关于y 轴对称. 3. 最值（常考二次函数） 函数在闭区间上连续，则一定存在最大值、最小值；最大值是图像最高点纵坐标，最小值是最低点纵坐标. 4. 周期性（常考三角函数） 若（），为周期；最小的正数叫最小正周期. 5. 几种常见的函数（常考） （1）一次函数；（2）反比例函数；（3）二次函数；（4）分段函数 1.判断奇偶性要先看定义域：定义域不关于原点对称→函数非奇非偶，不要直接代入判断.单调区间多个时，用逗号隔开，不能用∪连接.例：递减区间写，不能写成. 2.只能说明奇函数在 0 处有定义，推不出函数是奇函数. 3.复合函数 “同增异减”，要注意内层函数自身的取值范围. 4.最值一定对应函数值（y），不是自变量 x；开区间内函数不一定有最值. 5.周期：若是周期，则都是周期，注意最小正周期取正数. 【预测一：考查函数的单调性】 1. 下列函数中，在 上为减函数的是（ ） A. B. C. D. 2. 下列函数中，在定义域内单调递减且值域为的是（ ） A. B. C. D. 3. 已知 是定义在 上的减函数，且 ，则实数 的取值范围是（ ） A. B. C. D. 【预测二：考查函数的奇偶性】 4. 以下函数中为奇函数的是（ ） A. B. C. D. 5. 下列函数为偶函数的是（ ） A. B. C. D. 6. 已知函数 是奇函数，则 （ ） A. B. C. D. 7. 若函数 为奇函数，则实数 的值为（ ） A. B. C. D. 8. 已知函数 是定义域为 的奇函数，当 时，，则 __________. 9. 已知偶函数 ，当 时，，则 （ ） A. B. C. D. 10. 已知函数 是奇函数，当 时，，那么当 时， 的解析式是_________. 【预测三：考查几种常见的函数】 11. 已知函数 ，.则函数的最大值和最小值之积为_____. 【答案、分析、详解】 1.【答案】C 【分析】本题考查函数单调性判断，依次分析各函数在区间 单调性即可，属于基础题. 【详解】逐一分析各选项函数在区间 上的单调性： 选项A：，反比例函数，，在区间 上单调递增，不符合题意； 选项B：，一次函数，斜率 ，在 上单调递增，故在 上单调递增，不符合题意； 选项C：，二次函数，对称轴为 ，开口向上，在对称轴左侧 上单调递减，符合题意； 2.【答案】 【分析】同时满足两个条件：①定义域上单调递减；②函数值域.逐个分析单调性、值域. 【详解】题干要求函数同时满足两个条件：①在整个定义域内单调递减；②值域为，逐一验证： A选项：，定义域，在定义域上单调递减，值域为，不满足值域条件； B选项：，定义域，函数仅在区间和内分别递减，并非定义域上整体递减，值域为，不符合要求； C选项：，底数的指数函数，定义域，在定义域上单调递减，值域为，完全满足题干条件； D选项：，定义域，在定义域上单调递减，值域为，不满足值域条件. 综上，答案选. 选项D：，为常函数，无单调性，不符合题意. 综上，答案选C. 3.【答案】A 【分析】本题考查抽象函数单调性，自变量必须在定义域内；减函数函数值小对应自变量大，列出不等式组求解，属于基础题. 【详解】已知 是定义在 上的减函数，且 . 根据减函数性质：定义域内，函数值越小，对应自变量越大；同时自变量必须在函数定义域内，因此列不等式组： 分别求解每个不等式：解 ：移项得 ，解得 ； 解 ：移项得 ；解 ：移项合并得 . 取三个解集的交集，得 . 综上，答案选A. 4.【答案】A 【分析】本题考查函数奇偶性的判断，奇偶性前提：定义域关于原点对称，再对照奇偶函数定义判断，关键是掌握常见函数的奇偶性，属于基础题. 【详解】函数奇偶性判定前提：定义域关于原点对称，再根据定义 （奇函数）、（偶函数）判断： 选项A：，定义域为 ，关于原点对称. ，满足奇函数定义，符合题意； 选项B：，定义域为 ，关于原点对称. ，既不满足 ，也不满足，非奇非偶函数； 选项C：，定义域为 ，关于原点对称. ，为偶函数； 选项D：定义域为 ，区间不关于原点对称，不具备奇偶性. 综上，答案选A. 5.【答案】B 【分析】本题考查函数奇偶性的判断，关键是掌握常见函数的奇偶性，属于基础题. 【详解】根据偶函数定义 ，逐一验证选项： 选项A：，定义域为 ，关于原点对称，，非偶函数； 选项B：，定义域为 ，关于原点对称， ，满足偶函数定义，符合题意； 选项C：，定义域为 ，关于原点对称，，为奇函数； 选项D：，定义域为 ，关于原点对称，，为奇函数. 综上，答案选B. 6.【答案】B 【分析】本题主要考查了奇函数定义的应用：奇函数满足定义域内 恒成立，属于基础题. 【详解】奇函数满足定义域内任意 ，都有 . 已知 ，则： 整理得：对分式化简： 代入原式：，即，，解得： 综上，答案选B. 7.【答案】D 【分析】本题考查函数的奇偶性的定义和运用，考查方程思想和运算能力，求出参数后要验证定义域，属于基础题. 【详解】因为 是奇函数，定义域为，且满足 . 代入解析式得：，给第一个分式分子分母同乘 化简： 通分合并、整理化简后得：，解得： 验证定义域与奇偶性： 当 时，，定义域关于原点对称，，为奇函数； 当 时，，定义域关于原点对称，，为奇函数. 综上，，答案选D. 8.【答案】 【分析】本题考查函数的奇偶性的定义和运用，考查转化思想和运算能力， 上奇函数必有 ，属于基础题. 【详解】已知 是定义域为 的奇函数，根据奇函数性质： 定义域为 的奇函数，必有 ； 对任意 ，满足. 当 时，，代入 ： 由奇偶性得：，因此：. 故答案为：. 9.【答案】B 【分析】本题考查偶函数性质：，把求正数函数值转化为求负数函数值，属于基础题. 【详解】根据偶函数核心性质：对定义域内任意 ，. 因此求 可转化为求 . 已知当 时，，且 ，代入解析式： ，由偶函数性质得 . 综上，答案选B. 10.【答案】 【分析】本题的考点是利用函数的奇偶性求函数的解析式，把的条件转化到，代入已知区间解析式，再利用奇函数 变形求解，属于基础题. 【详解】利用函数奇偶性求解析式，步骤如下： 设自变量：设 ，则 ，满足已知解析式的定义域； 代入已知解析式：当 时，，因此 利用奇函数性质： 为奇函数，故 整理求解解析式： 综上，当 时，. 故答案为：. 11.【答案】 【分析】本题考查二次函数的性质，涉及函数的最值，属于基础题. 【详解】对二次函数配方，整理为顶点式： 可得函数对称轴为 ，开口向上，定义域为 . 求最小值：开口向上的二次函数，对称轴处取得最小值 求最大值：计算区间两个端点的函数值 对比得函数在 处取得最大值 . 计算最值之积：. 故答案为：. 原创精品资源学科网独家享有版权，侵权必究！ 学科网（北京）股份有限公司 学科网（北京）股份有限公司 学科网（北京）股份有限公司 $