第6卷 指数函数与对数函数（2）2027年黑龙江省（春季高考）《数学45分钟训练卷》(原卷版+解析版)

**基本信息** 聚焦指数函数与对数函数专项，以“一考一讲”实现检测-讲解-巩固闭环，通过图像识别、性质应用等题型培养几何直观与推理能力。 **专项设计** |模块|题量/典例|题型特征|知识逻辑| |----|-----------|----------|----------| |选择|10题|图像判断、比较大小、函数求值|从概念（定义域、值域）到性质（单调性、奇偶性）递进| |填空|4题|方程求解、不等式解集、对称问题|性质应用与代数运算结合| |解答|3题|定义域、单调区间、图像与方程综合|概念生成→性质推导→实际应用逻辑链|

编写说明：2027年黑龙江省（春季高考）《数学45分钟训练卷》，以黑龙江省春季高考数学科目最新考试要求及历年真题为依据，聚焦中职高考复习“时效适配、综合检测”需求。采用“一考一讲”模式，助力师生实现“课堂检测—即时讲解—快速巩固”的复习闭环，是复习中检验学习效果、强化应试能力的核心资源。 黑龙江省春季高考《数学45分钟训练卷》 第6卷 指数函数与对数函数（2） 时间：45分钟 总分：100分 班级_______ 姓名_______ 学号_______ 成绩_______ 一、选择题(本大题共10小题，每小题5分，共50分). 1．已知函数 ，若，则（ ） A． B．或 C．或 D．或 【答案】C 【分析】根据分段函数的概念和性质，再利用指数式与对数式互化求解即可. 【详解】根据题意可先分两类情况讨论， 当时，此时，即令，得 ，满足题意； 当时，此时，即令，得 ， 因为，所以， 综上所述，或. 故选：C. 2．函数（且）与函数的图象可能是（    ） A． B． C． D． 【答案】A 【分析】分析各选项中两函数的单调性及其图象与轴的交点位置，即可得出合适的选项. 【详解】A选项，函数为减函数，则， 且函数的图象交轴正半轴点，则，可得， 函数为增函数，且函数交轴正半轴于点，则，，A满足； 对于B选项，函数交轴于点，函数交轴于点， 显然，B不满足； 对于C选项，函数交轴于点，函数交轴于点， 显然，C不满足； 对于D选项，函数为减函数，则， 函数为减函数，则，D不满足. 故选：A. 3．已知函数（且）在上的值域为，则实数的值是（    ） A． B． C． D． 【答案】A 【分析】根据对数函数的单调性结合给定值域，分类讨论即可得解. 【详解】若，则在上单调递减， 则，不符合题意； 若，则在上单调递增， 则， 又因为的值域为， 所以，解得：. 故选：A. 4．若，则（    ） A．27 B．24 C．9 D．18 【答案】A 【分析】根据指对数的互化，指数幂的运算即可求解. 【详解】由可得，所以. 故选：A. 5．已知，，，则（    ） A． B． C． D． 【答案】D 【分析】根据对数函数的单调性求解. 【详解】因为在上单调递增， 所以，， 因为在上单调递增， ， 所以， 故选：D. 6．（   ） A．3 B．1 C． D． 【答案】B 【分析】由对数的运算即可得解. 【详解】. 故选：B． 7．若点 在函数 的图像上，则下列点不在函数 图像上的是（    ） A． B． C． D． 【答案】D 【分析】根据题意，结合对数的运算，即对数函数的图像和性质，即可判断求解. 【详解】因为点 在函数 的图像上，所以； 对A：因为，所以点在图像上， 对B：因为，所以点在图像上， 对C：因为，所以点在图像上， 对D：，所以点不在图像上. 故选：D. 8．已知且，则一次函数与指数函数在同一坐标系中的图像可能是（   ） A．   B．   C．   D．   【答案】C 【分析】根据一次函数和指数函数的图像特点识别即可. 【详解】对A、B：当时，指数函数单调递增， 一次函数中，则斜率为负数、截距为正且大于1， 则一次函数的图像向左倾斜，且与y轴的交点在指数函数与y轴交点的上方，故A、B项错误； 对C、D：当时，指数函数单调递减， 一次函数中，则斜率为正数、截距为正且小于1， 则一次函数的图像向右倾斜，且与y轴的交点在指数函数与y轴交点的下方，故D项错误，C项正确. 故选：C. 9．（    ） A． B． C． D． 【答案】B 【分析】利用分数指数幂与根式的转化即可得解. 【详解】由分数指数幂与根式的转化可得，. 故选：B. 10．已知，则，，的大小关系不可能为（ ） A． B． C． D． 【答案】A 【分析】设，作出图象，结合图象可得大小关系. 设，则， 分别作出它们的图象，如图， 由图可知，当时，，当时，，当时，，当时，， 故选：A 二、填空题(本大题共4小题，每小题5分，共20分). 11．如果，那么______. 【答案】 【分析】由对数的运算性质计算即可. 【详解】因为， 又因为， 所以， 所以可得. 故答案为:. 12．已知函数，则不等式的解集为______ 【答案】 【分析】根据指数函数的单调性求解. 【详解】函数是上的减函数， 由，可得， 整理得，即，解得， 所以不等式的解集为． 故答案为：. 13．若点关于原点对称的点为，则_______， _______ 【答案】 1 1 【分析】根据关于原点对称的点坐标互为相反数列方程求解即可. 【详解】已知点关于原点对称的点为， 关于原点对称的点坐标互为相反数，所以 因此 ，. 故答案为：，. 14．已知a，b是方程的两个实数根，则________． 【答案】/2.5 【分析】方法一：利用韦达定理结合换底公式求解；方法二：解方程可得，，代入运算求解即可. 【详解】方法一：因为a，b是方程的两个实数根， 由韦达定理得，， 则， 即； 方法二：因为的根为或， 不妨设，，则，， 所以． 故答案为：. 三、解答题(本大题共3小题，每小题10分，共30分). 15．已知函数， (1)求函数的定义域； (2)求函数的单调递减区间． 【答案】(1) (2) 【分析】（1）根据题意，结合对数函数有意义需满足的条件即可列出不等式，结合二次不等式的解法，即可求解. （2）根据题意，结合对数型符合函数的单调性，二次函数的图像和性质，即可求解. 【详解】（1）要使函数有意义，需满足， 所以，解得. 即函数的定义域为； （2）由题意，令，则， 所以外层函数是单调递增函数， 内层函数是二次函数，开口向上，对称轴为， 故函数在上单调递减，在上单调递增， 故函数的单调递减区间为． 16．已知函数的图像恒过定点，且点又在函数的图像上. （1）求实数的值； （2）解不等式； （3）有两个不等实根时，求的取值范围. 【答案】（1）；（2）；（3）. 【分析】(1)由函数解析式可知定点为(2, 2)，代入即可求得的值； (2)根据在定义域上单调递增即可求得不等式解集； (3)方程有两个实根转化为两个函数的图象有两个交点，结合函数图形确定范围即可求参数范围 【详解】解：（1）函数的图像恒过定点A，A点的坐标为(2, 2) 又因为A点在上，则： （2）由题意知： 而在定义域上单调递增，知 ，即 ∴不等式的解集为 （3）由知：，方程有两个不等实根 若令，有它们的函数图像有两个交点，如下图示 由图像可知：，故b的取值范围为 17．已知函数f(x)是定义在R上的偶函数，当x≥0时，f(x)＝x. (1)如图，画出函数f(x)的图象； (2)根据图象写出f(x)的单调区间，并写出函数的值域． 【答案】(1)画图见解析 (2)单调递增区间为(－∞，0)，单调递减区间为[0，＋∞)，值域为(0，1] 【详解】 解：(1)先作出当x≥0时，f(x)＝x的图象，利用偶函数的图象关于y轴对称，再作出f(x)在x∈(－∞，0)时的图象，如图． (2)函数f(x)的单调递增区间为(－∞，0)，单调递减区间为[0，＋∞)，值域为(0，1]． 试卷第6页，共6页 原创精品资源学科网独家享有版权，侵权必究！ 学科网（北京）股份有限公司 $ 编写说明：2027年黑龙江省（春季高考）《数学45分钟训练卷》，以黑龙江省春季高考数学科目最新考试要求及历年真题为依据，聚焦中职高考复习“时效适配、综合检测”需求。采用“一考一讲”模式，助力师生实现“课堂检测—即时讲解—快速巩固”的复习闭环，是复习中检验学习效果、强化应试能力的核心资源。 黑龙江省春季高考《数学45分钟训练卷》 第6卷 指数函数与对数函数（2） 时间：45分钟 总分：100分 班级_______ 姓名_______ 学号_______ 成绩_______ 一、选择题(本大题共10小题，每小题5分，共50分). 1．已知函数 ，若，则（ ） A． B．或 C．或 D．或 2．函数（且）与函数的图象可能是（    ） A． B． C． D． 3．已知函数（且）在上的值域为，则实数的值是（    ） A． B． C． D． 4．若，则（    ） A．27 B．24 C．9 D．18 5．已知，，，则（    ） A． B． C． D． 6．（   ） A．3 B．1 C． D． 7．若点 在函数 的图像上，则下列点不在函数 图像上的是（    ） A． B． C． D． 8．已知且，则一次函数与指数函数在同一坐标系中的图像可能是（   ） A．   B．   C．   D．   9．（    ） A． B． C． D． 10．已知，则，，的大小关系不可能为（ ） A． B． C． D． 二、填空题(本大题共4小题，每小题5分，共20分). 11．如果，那么______. 12．已知函数，则不等式的解集为______. 13．若点关于原点对称的点为，则_______， _______ 14．已知a，b是方程的两个实数根，则________． 三、解答题(本大题共3小题，每小题10分，共30分). 15．已知函数， (1)求函数的定义域； (2)求函数的单调递减区间． 16．已知函数的图像恒过定点，且点又在函数的图像上. （1）求实数的值； （2）解不等式； （3）有两个不等实根时，求的取值范围. 17．已知函数f(x)是定义在R上的偶函数，当x≥0时，f(x)＝x. (1)如图，画出函数f(x)的图象； (2)根据图象写出f(x)的单调区间，并写出函数的值域． 试卷第6页，共6页 原创精品资源学科网独家享有版权，侵权必究！ 学科网（北京）股份有限公司 $