3.2.1 双曲线及其标准方程（教学课件） 数学人教A版 选择性必修第一册

该高中数学课件聚焦双曲线的定义、标准方程及应用，通过军事侦察雷达定位、建筑冷却塔截面等情境导入，结合拉链试验视频和椭圆定义类比，搭建从具体实例到抽象概念的学习支架。 其亮点在于以真实情境培养数学眼光，类比椭圆推导过程训练数学思维，实际问题解决强化数学语言表达，题型训练与真题感知系统，助力学生提升抽象与应用能力，为教师提供完整教学资源。

第三章 圆锥曲线的方程 3.2.1 双曲线及其标准方程 ·选择性必修第一册· 学习目标 了解双曲线的定义、几何图形和标准方程. 掌握根据条件求双曲线方程的基本方法．（重点） 用双曲线的定义和标准方程解决简单实际问题．（难点） 目录 CATALOG 01.双曲线定义 03.应用新知 02.双曲线的标准方程 04.题型强化训练 05.真题感知 06.小结及随堂练习 3.2.1 双曲线及其标准方程 01 双曲线定义 导入新知1：军事侦察——雷达时差定位系统 某军事基地在 A、B 两个位置（相距 1000 m）部署了两台雷达接收机。敌方无人机在 P 点发射信号，A、B 两站接收信号的时间差为 2 秒，信号传播速度为 300 m/s。根据这个时间差，可以确定无人机到 A、B 两站的距离之差为 600 m。 问题1：如果只知道“无人机到 A、B 两站的距离之差为 600 m”，能唯一确定无人机的位置吗？无人机可能的轨迹是什么形状？ 问题2：如果时间差改为 3 秒，距离差为 900 m，无人机到 A、B 两站的距离之差还能构成完整的双曲线吗？常数需要满足什么条件？（引导思考 2a<2c 的限制） 导入新知2：建筑设计——双曲线冷却塔截面 某火电厂的双曲线冷却塔，其竖直截面是双曲线的一部分。已知塔顶和塔底开口处对应双曲线的两个焦点 F1、F2 位于同一水平线上，间距为 40 m。塔身最细处（腰部）到两焦点的距离之差为 24 m。 问题1：冷却塔截面上任意一点到两焦点的距离之差的绝对值是多少？这个常数与两焦点间距的大小关系如何？ 问题2：类比椭圆标准方程的推导过程，如果以两焦点所在直线为 x 轴、中垂线为 y 轴建立坐标系，你能写出冷却塔截面所在双曲线的标准方程吗？参数 a、b、c 分别对应什么几何量？ 探究新知 思考 我们知道，平面内与两个定点F1，F2，的距离的和等于常数(大于F1F2;)的点的轨迹是椭圆。 一个自然的问题是: 平面内与两个定点的距离的差等于常数的点的轨迹是什么? 下面我们看一个拉链试验，是否会给出我们答案？ 探究新知 思考 看视频的时候，请思考： 为何视频中要把一半拉链 剪掉一小节？ 看完视频请一个同学来 分享你的答案 双曲线 探究新知 探究 探究新知 探究 探究新知 结论 定义 【详解】由已知可得，，所以有. 故选：B. 牛刀小试 根据双曲线方程求a、b、c 【详解】由已知可得，，所以有. 故选：B. 牛刀小试 根据方程表示双曲线求参数的范围 【详解】由已知可得，，所以有. 故选：B. 牛刀小试 求双曲线的焦点坐标 【详解】由已知可得，，所以有. 故选：B. 牛刀小试 求双曲线的焦距 【详解】由已知可得，，所以有. 故选：B. 牛刀小试 根据方程表示双曲线求参数的范围 02 双曲线的标准方程 3.2.1 双曲线及其标准方程 探究新知 探究 类比求椭圆标准方程的过程，我们如何建立适当的坐标系，得出双曲线的方程？ 探究新知 思考： 直接法求轨迹方程 符号化 设点 探究新知 思考： 标准化 探究新知 标准方程 探究新知 思考： 类比焦点在y轴上的椭圆标准方程，焦点在y轴上的双曲线的标准方程是什么？ 【详解】由已知可得，，所以有. 故选：B. 牛刀小试 求双曲线的实轴、虚轴 【详解】由已知可得，，所以有. 故选：B. 牛刀小试 双曲线定义的理解 【详解】由已知可得，，所以有. 故选：B. 牛刀小试 利用双曲线定义求方程 【详解】由已知可得，，所以有. 故选：B. 牛刀小试 利用双曲线定义求方程 【详解】由已知可得，，所以有. 故选：B. 牛刀小试 利用双曲线定义求点到焦点的距离及最值 03 应用新知 3.2.1 双曲线及其标准方程 应用新知 解析 例1： 先判断焦点位置 应用新知 方法总结 求双曲线的标准方程 设双曲线方程的标准形式 根据已知条件结合定义，求出求出a,b,c,的值 写出双曲线的标准方程 第1步 第2步 第3步 应用新知 例2： 已知A，B两地相距800m，在A地听到炮弹爆炸声比在B地晚2s，且声速为340m/s，求炮弹爆炸点的轨迹方程． 分析 先根据题意判断轨迹的形状． 由声速及A，B两处听到炮弹爆炸声的时间差， 可知A，B两处与爆炸点的距离的差为定值， 所以爆炸点在以A，B为焦点的双曲线上． 因为爆炸点离A处比离B处远， 所以爆炸点应在靠近B处的双曲线的一支上． 应用新知 例2： 已知A，B两地相距800m，在A地听到炮弹爆炸声比在B地晚2s，且声速为340m/s，求炮弹爆炸点的轨迹方程． 解析 应用新知 方法总结 定义法求轨迹为双曲线的轨迹方程 识别：根据双曲线定义识别出所求轨迹为双曲线 建系：建立合适的直角坐标系，表示出各已知量 求a,b,c：根据题意和双曲线定义求出a,b,c的值 第1步 第2步 第3步 写出双曲线的标准方程（注意根据实际意义写出x或y的范围） 第4步 04 题型强化训练 3.2.1 双曲线及其标准方程 重要题型专练 题型一 双曲线相关概念辨析 例题 解析 重要题型专练 题型二 根据双曲线标准方程求a，b，c 例题 解析 重要题型专练 题型二 根据双曲线标准方程求a，b，c 例题 解析 重要题型专练 题型三 根据双曲线定义求双曲线标准方程 例题 解析 重要题型专练 题型三 根据双曲线定义求双曲线标准方程 总结：当已知条件中出现，动点到两定点的距离差为定值的情况，即可联想双曲线的定义，得出该动点的轨迹很可能是双曲线，然后结合双曲线定义，求出a,b,c值，从而得出双曲线标准方程. 重要题型专练 题型四 利用双曲线定义求点到焦点的距离 例题 解析 总结：根据双曲线定义：||PF1|−|PF2||=2a（注意分点在左支和右支两类讨论）， 建立关于|PF1|或|PF2|的方程，再结合已知条件，即可求|PF1|、|PF2| 重要题型专练 题型五 根据方程表示双曲线求参数的范围 例题 总结：若方程：表示双曲线，等价于 若方程：表示双曲线，等价于 解析 重要题型专练 题型六 双曲线标准方程的实际应用 例题 解析 05 真题感知 3.2.1 双曲线及其标准方程 真题感知 解析 真题感知 解析 真题感知 解析 真题感知 解析 06 小结及随堂练习 3.2.1 双曲线及其标准方程 课堂小结 作业 作业1：完成教材：第121页 练习1,2,3,4. 作业2：配套辅导资料对应的《双曲线及其标准方程》.  3.2.1 双曲线及其标准方程 课后作业答案 练习（第121页） 课后作业答案 练习（第121页） 课后作业答案 练习（第121页） 课后作业答案 练习（第121页） 课后作业答案 练习（第121页） 课后作业答案 练习（第121页） 课后作业答案 练习（第121页） 课后作业答案 练习（第121页） ·选择性必修第一册· 本课结束 感谢您的聆听 1.（25-26高二下·云南昭通·期末）已知双曲线 的一个焦点坐标为 ，则 （   ） A．3 B．6 C． D．9 【详解】双曲线的标准方程为其中 设双曲线的焦距参数为 ，则 已知一个焦点坐标为 ，所以因此 故选：D. 2.（2026·四川遂宁·二模）已知方程 表示双曲线，则 的取值范围为（    ） A． B． C． D． 或 【详解】由题意得：， 解得或. 故选：D. 3.（2026·北京通州·一模）双曲线 的焦点坐标为（   ） A． B． C． D． 【详解】根据双曲线的定义可得，，， 且焦点在轴上，方程可化为. 此时，，则， 所以该双曲线的焦点为.故选：D. 4.（2026·山西运城·二模）双曲线 的焦距为（   ） A． B． C．6 D． 【详解】双曲线的焦距为． 故选：D. 5.（2026·贵州安顺·一模）已知方程 表示双曲线，则实数 的取值范围是（   ） A． B． C． D． 【详解】因为方程表示双曲线， 所以， 解得或.故选：D. 6.（25-26高二上·山西晋城·期末）已知双曲线 ： ，则双曲线 的虚轴长与实轴长之比为（   ） A． B． C． D． 【详解】由题意得双曲线的标准方程为， 则虚轴长为，实轴长为， 所以其虚轴长与实轴长之比为， 故选：A. 7.（25-26高二上·宁夏·期末）已知双曲线 的两个焦点为 ，双曲线 上有一点 ，若 ，则 （    ） A．10 B．2 C．2或10 D．14 【详解】因为双曲线方程为，所以，所以，所以，由双曲线的定义可得，即，可得或，又当点在双曲线左支上时，，当点在双曲线右支上时，， 所以或. 故选：C 8.（25-26高二上·湖南长沙·阶段检测）设 ， 是平面内两个定点，动点P满足 ，则P点的轨迹方程是（    ）． A． B． C． D． 【详解】由双曲线的定义可知，点P的轨迹是以，为焦点的双曲线，因为，，所以，所以其轨迹方程为. 故选：B 9.（25-26高二上·湖南长沙·阶段检测）设 ， 是平面内两个定点，动点P满足 ，则P点的轨迹方程是（    ）． A． B． C． D． 【详解】由双曲线的定义可知，点P的轨迹是以，为焦点的双曲线， 因为，，所以，所以其轨迹方程为. 故选：B 10.（25-26高二上·江苏南通·期中）双曲线 上一点 到右焦点的距离是 ，则下列结论正确的是（    ） A． 到左焦点的距离为 B． 到左焦点的距离为 C． 到左焦点的距离不唯一 D．这样的点 不存在 【详解】对于双曲线，可得，， 则，设该双曲线的左、右焦点分别为、， 由题意可知，又因为，所以这样的不存在. 故选：D. 1.（2025·北京朝阳·一模）已知曲线，则“”是“为焦点在轴上的双曲线”的（   ） A．充分不必要条件 B．必要不充分条件 C．充要条件 D．既不充分也不必要条件 若，则，所以，即，所以为焦点在轴上的双曲线； 若为焦点在轴上的双曲线，则对于，即， 可得，即且，不一定得到， 综上，“”是“为焦点在轴上的双曲线”的充分不必要条件.故选：A 2.（2026·新疆·一模）若方程表示双曲线，则实数的取值范围是（   ） A． B． C． D． 因为表示双曲线，所以， 解得或， 故选：C 3.（24-25高三下·广西·阶段检测）双曲线两个焦点，焦距为8，为曲线上一点，，则（   ） A．1 B．1或9 C．9 D．3 由题意可得，即，又， 即， 由双曲线的定义可得，解得或9， 又，所以．故选：C. 4.（25-26高二上·广西柳州·期中）设点，为动点，已知直线与直线的斜率之积为定值，点的轨迹方程是（   ） A． B． C． D． 设，则，整理可得， 所以点的轨迹方程是.故选：B. $