第4章 重点突破5 指数、对数函数的综合问题-【金版新学案】2026-2027学年高中数学必修第一册同步课堂高效讲义配套课件（人教A版）

该高中数学课件聚焦对数函数综合问题，从指数函数图像变换入手，通过平移、对称等典例搭建学习支架，衔接对数函数图像变换、性质应用及参数范围求解，形成从基础到综合的知识脉络。 其亮点在于以“典例-规律-对点练”模式，通过图像变换培养直观想象，参数求解强化逻辑推理，综合问题提升数学运算，落实核心素养。规律方法总结清晰，学生能高效掌握解题思路，教师可直接用于课堂突破重点，提升教学效果。

重点突破5 指数、对数函数的综合问题 　 第四章 指数函数与对数函数 单元学习十　对数与对数函数 类型一　指数(对数)型函数图象的变换 1 类型二　利用函数的性质求参数的范围(值) 2 类型三　指数(对数)型函数的综合问题 3 内容索引 随堂评价 4 学习目标 1.掌握指数(对数)型函数的图象变换，培养逻辑推理及直观想 象的核心素养. 2.掌握指数(对数)型函数的性质，能利用函数性质求解一些综 合性问题，发展逻辑推理及数学运算的核心素养. 类型一　指数(对数)型函数图象的变换 返回 利用函数y＝f(x)＝2x的图象，作出下列各函数的图象： (1)f(x－1)；(2)f(｜x｜)；(3)f(x)－1；(4)－f(x)；(5)｜f(x)－1｜. 解：利用指数函数y＝2x的图象及图象变换原则作出所要作的函数图象.如图所示. 典例 1 利用图象变换法作函数的图象 1.平移变换 规律方法 2.对称变换 (1)y＝f(x y＝－f(x)； (2)y＝f(x) y＝f(－x)； (3)y＝f(x)y＝－f(－x)； (4)y＝ax(a＞0，且a≠1) y＝logax(a＞0，且a≠1). 规律方法 3.翻折变换 (1)y＝f(x)y＝｜f(x)｜； (2)y＝f(x) y＝f(｜x｜). 规律方法 对点练1.(一题多解)下列函数中，其图象与函数y＝ln x的图象关于直线x＝1对称的是 A．y＝ln(1－x) B．y＝ln(2－x) C．y＝ln(1＋x) D．y＝ln(2＋x) √ 返回 法一：设所求函数图象上任一点的坐标为(x，y)，则其关于直线x＝1的对称点的坐标为(2－x，y)，由对称性知点(2－x，y)在函数y＝ln x的图象上，所以y＝ln(2－x).故选B． 法二：由题意知，对称轴上的点(1，0)既在函数y＝ln x的图象上也在所求函数的图象上，代入选项中的函数表达式逐一检验，排除A、C、D，故选B． 类型二　利用函数的性质求参数的范围(值) 返回 已知函数f(x)＝logm(mx2－2x＋8)(m＞0，且m≠1)在上单调递增，求实数m的取值范围. 解：设函数g(x)＝mx2－2x＋8， 当m＞1时，函数y＝logmx在(0，＋∞)上单调递增，则g(x)在上为增函数. 由解得m≥2. 典例 2 当0＜m＜1时，函数y＝logmx在(0，＋∞)上单调递减，则g(x)在上为减函数. 由＜m≤. 综上，实数m的取值范围是(，］∪[2，＋∞). 1.利用性质求参数的范围(值)，关键是利用基本初等函数的性质用参数表示最值、单调区间等，得到关于参数的方程(不等式) 求解. 2.指数(对数)型函数若底数含有字母参数，要注意进行分类讨论. 规律方法 对点练2.设函数f(x)＝ln(ax2＋2x＋1)，如果函数f(x)的值域为R，求实数a的取值范围. 解：因为f(x)的值域为R， 所以{y｜y＝ax2＋2x＋1}⊇(0，＋∞)， (也可以说y＝ax2＋2x＋1取遍一切正数) ①当a＝0时，y＝2x＋1可以取遍一切正数，符合题意. ②当a≠0时，需即0＜a≤1. 综上，实数a的取值范围是[0，1]. 返回 类型三　指数(对数)型函数的综合问题 返回 已知函数f(x)＝log3(9x＋1)＋kx是偶函数. (1)求实数k的值； 解：由题意知，函数f(x)是定义域是R的偶函数，所以f(－1)＝f(1)， 即log3－k＝log310＋k，解得k＝－1， 此时f(x)＝log3(9x＋1)－x＝log3(3x＋)， f(－x)＝log3(3－x＋)＝log3(＋3x)＝f(x)成立， 所以k＝－1. 典例 3 (2)若x∈[0，1]时，不等式f(x)＋x－log3(m·3x－1)≥0恒成立，求实数m的取值范围. 解：由题意知，不等式log3(9x＋1)－log3(m·3x－1)≥0，所以9x＋1≥m·3x－1＞0， 即x∈[0，1]时，3x＋≥m＞恒成立. 则设t＝3x∈[1，3]， 所以(t＋)min≥m＞()max. 因为t＋≥2(当且仅当t＝，即t＝∈[1，3]时取等号)，≤≤1， 所以1＜m≤2. 故实数m的取值范围是(1，2]. 1.利用性质求解综合问题，树立定义域优先意识，无论求单调区间、奇偶性还是求解不等式，符合定义域是满足性质的前提. 2.本题涉及不等式恒成立，转化是关键，转化的工具就是指数函数与对数函数的单调性. 规律方法 对点练3.已知函数f(x)＝lg(2＋x)＋lg(2－x). (1)判断函数y＝f(x)的奇偶性； 解：要使函数f(x)有意义，则解得－2＜x＜2. 所以函数y＝f(x)的定义域是{x｜－2＜x＜2}，显然定义域关于原点对称. 因为f(－x)＝lg(2－x)＋lg(2＋x)＝f(x)， 所以函数y＝f(x)为偶函数. (2)若f(m－2)＜f(m)，求实数m的取值范围. 解：因为函数f(x)＝lg(2＋x)＋lg(2－x)＝lg(4－x2)， 由复合函数的单调性可知，当0≤x＜2时，函数y＝f(x)单调递减， 当－2＜x＜0时，函数y＝f(x)单调递增， 所以不等式f(m－2)＜f(m)等价于｜m｜＜｜m－2｜， 又－2＜m－2＜2，－2＜m＜2，解得0＜m＜1. 综上所述，实数m的取值范围是(0，1). 随堂评价 返回 1.已知函数f(x)＝(x－a)(x－b)(其中a＞b)的图象如图所示，则函数g(x)＝b＋logax的图象大致是 √ 由函数f(x)＝(x－a)(x－b)(其中a＞b)的图象可知0＜a＜1，b＜－1，所以函数g(x)＝b＋logax是减函数.因为b＜－1，所以函数g(x)＝b＋logax的图象与x轴的交点位于(0，0)与(1，0)之间.故选D． 2.函数f(x)＝lg(－x)的奇偶性为________. f(x)的定义域是R.又f(－x)＋f(x)＝lg(＋x)＋lg(－x)＝lg[(＋x)(－x)]＝lg 1＝0，所以f(－x)＝－f(x)，则y＝f(x)为奇函数. 奇函数 3.设函数f(x)＝ln x＋2x，若f(1－a)－f(a)＞0，则实数a的取值范围是 ___________. 易知函数f(x)在(0，＋∞)上是增函数，因为f(1－a)－f(a)＞0，即f(1－a)＞f(a)，所以1－a＞a＞0，解得0＜a＜. (0，) 4.已知函数f(x)＝log4(2x＋1)＋kx(k∈R)为偶函数. (1)求k的值； 解：由函数f(x)是偶函数可得f(－x)＝f(x)， 所以log4(2x＋1)＋kx＝log4(2－x＋1)－kx， 则log4＝－2kx，即对于x∈R， 恒有x＝－2kx，解得k＝－. (2)若函数g(x)＝＋m·4x－1，x∈[0，log25]，是否存在实数m，使得g(x)的最小值为0？若存在，求出m的值；若不存在，请说明理由. 解：由(1)知，g(x)＝2x＋m·4x. 令t＝2x∈[1，5]，则h(t)＝mt2＋t， ①当m＝0时，h(t)＝t在[1，5]上单调递增， 所以h(t)min＝h(1)＝1，不符合题意； ②当m＞0时，h(t)图象的对称轴t＝－＜0， 则h(t)在[1，5]上单调递增， 所以h(t)min＝h(1)＝m＋1＝0，所以m＝－1(舍)； ③当m＜0时，h(t)图象的对称轴t＝－， (ⅰ)当－＜3，即m＜－时，h(t)min＝h(5)＝0， 所以25m＋5＝0，所以m＝－； (ⅱ)当－≥3，即－≤m＜0时，h(t)min＝h(1)＝0，所以m＋1＝0，所以m＝－1(舍)， 综上，存在m＝－使得g(x)的最小值为0. 返回 谢 谢 观 看 ！ 第四章　 　指数函数与对数函数 返回 $