第1章 1.4.1 充分条件与必要条件-【金版新学案】2026-2027学年高中数学必修第一册同步课堂高效讲义教师用书Word（人教A版）

本讲义聚焦高中数学“充分条件与必要条件”核心知识点，在集合语言基础上，从初中定义定理出发，通过命题概念（能判断真假的陈述句）引入，结合判定定理与性质定理构建学习支架，为后续全称量词等内容学习奠定基础。 该资料以问题导思（如判断四个语句是否为命题）和典例分析（如三角形边角关系、方程根的问题）为特色，运用定义法与集合法培养逻辑推理和数学抽象素养，含微课视频辅助。课中助力教师引导学生理解概念，课后通过分层评价和对点练习，帮助学生查漏补缺，强化知识应用。

单元学习二　常用逻辑用语 　　　　［单元整体设计］　常用逻辑用语是数学语言的重要组成部分，是数学表达和交流的工具，是逻辑思维的基本语言，本单元是在学习集合语言的基础上，从初中学过的定义和定理出发，学习充分条件与必要条件、全称量词与存在量词，会用常用逻辑用语表达数学对象，进行数学推理，体会常用逻辑用语在表述数学内容和论证数学结论中的作用，学习计划4课时． 　　本单元内容的重点是充分条件、必要条件和充要条件的意义；全称量词和存在量词的意义；使用存在量词对全称量词命题进行否定与使用全称量词对存在量词命题进行否定．难点是对必要条件的意义、充要条件与数学定义之间的关系的理解；判断全称量词命题和存在量词命题的真假；正确地写出含有一个量词的全称量词命题和存在量词命题的否定．通过本单元的学习，让学生逐渐习惯用数学的思维和符号表述和研究数学结论，提高交流的严谨性与准确性，提升逻辑推理的核心素养． 1.4　充分条件与必要条件 1.4.1　充分条件与必要条件 学习目标 1.通过对典型数学命题的梳理，理解必要条件的意义，理解性质定理与必要条件的关系，培养数学抽象、逻辑推理的核心素养． 2.通过对典型数学命题的梳理，理解充分条件的意义，理解判定定理与充分条件的关系，培养数学抽象、逻辑推理的核心素养． 任务一　命题 (阅读教材P17，完成探究问题1) 问题1.阅读下列四个语句： (1)若直线a∥b，则直线a和直线b无公共点； (2)同位角相等； (3)两个面积相等的三角形全等； (4)同一平面内垂直于同一条直线的两条直线平行． 以上四个语句的表述形式有什么特点？你能判断这些语句的真假吗？ 提示：四个语句具有以下两个特点：①均是陈述句；②能够判断真假，其中(1)(4)为真，(2)(3)为假． 1.定义：一般地，我们把用语言、符号或式子表达的，可以判断真假的陈述句叫做命题． 2.分类：判断为真的语句是真命题；判断为假的语句是假命题． 3.结构形式：“若p，则q”形式的命题中，p称为命题的条件，q称为命题的结论． ［微提醒］　(1)并非任何语句都是命题，只有能判断真假的陈述句才是命题．(2)命题的真假是确定的，一个命题要么为真，要么为假，不能无法判断．(3)数学中的定义、公理、定理、公式等都是真命题． 判断下列命题的真假： (1)已知a，b，c，d∈R，若a≠c，b≠d，则a＋b≠c＋d； (2)若x∈N，则x3＞x2成立； (3)若m＞1，则方程x2－2x＋m＝0无实数根； (4)存在一个三角形没有外接圆． 解：(1)假命题．反例：1≠4，5≠2，而1＋5＝4＋2. (2)假命题．反例：当x＝0时，x3＞x2不成立． (3)真命题．因为m＞1⇒Δ＝4－4m＜0， 所以方程x2－2x＋m＝0无实数根． (4)假命题．因为不共线的三点确定一个圆，即任何三角形都有外接圆． 判断命题真假的方法 　　要判断一个命题是真命题，一般需要经过严格的推理论证，在判断时要有理有据，有时应综合各种情况作出正确的判断．而判断一个命题是假命题，只需举出一个反例即可． 对点练1.给出下面四个命题： ①若xy＝1，则x，y互为倒数； ②平面内，四条边相等的四边形是正方形； ③平行四边形是梯形； ④若ac2＞bc2，则a＞b． 其中真命题的序号是　　　　． 答案：①④ 解析：①④是真命题，②平面内，四条边相等的四边形是菱形，但不一定是正方形，故②是假命题；③平行四边形不是梯形，故③是假命题． 任务二　充分条件与必要条件 (阅读教材P17—20，完成探究问题2) 问题2.下列“若p，则q”形式的命题中，哪些是真命题？哪些是假命题？ (1)若平行四边形的对角线互相垂直，则这个平行四边形是菱形； (2)若两个三角形的周长相等，则这两个三角形全等； (3)若x2－4x＋3＝0，则x＝1； (4)若平面内两条直线a和b均垂直于直线l，则a∥b． 提示：在命题(1)(4)中，由条件p通过推理可以得出结论q，所以它们是真命题．在命题(2)(3)中，由条件p不能得出结论q，所以它们是假命题． 充分条件与必要条件 命题真假 “若p，则q”是真命题 “若p，则q”是假命题 推出关系 p⇒q pq 条件关系 p是q的充分条件 q是p的必要条件 p不是q的充分条件 q不是p的必要条件 定理关系 数学中的每一条判定定理都给出了相应数学结论成立的一个充分条件 数学中的每一条性质定理都给出了相应数学结论成立的一个必要条件 ［微提醒］　(1)一般地，如果p⇒q且qp，则称p是q的充分不必要条件．(2)如果pq且q⇒p，则称p是q的必要不充分条件．(3)如果pq且qp，则称p是q的既不充分也不必要条件． ［微思考］　若p是q的充分条件，这样的条件p唯一吗？ 提示：不唯一．例如q：“x＞0”的充分条件p可以是“x＞2”，“x＞3”，“2＜x＜3”等，是不唯一的． 角度1　充分条件 (链教材P18例1)下列各题中，p是不是q的充分条件？ (1)在△ABC中，p：∠B＞∠C，q：AC＞AB； (2)p：同位角相等，q：两直线平行； (3)已知x∈R，p：x＝1，q：(x－1)(x－2)＝0； (4)(一题多解)已知x∈R，p：x＞1，q：x＞2. 解：(1)在△ABC中，由大角对大边知，∠B＞∠C⇒AC＞AB，所以p是q的充分条件． (2)若同位角相等，则两直线平行是真命题，所以p⇒q，所以p是q的充分条件． (3)由x＝1⇒(x－1)(x－2)＝0，所以p是q的充分条件． (4)法一：由x＞1x＞2，所以p不是q的充分条件． 法二：设集合A＝{x|x＞1}，B＝{x|x＞2}，所以B⊆A，所以p不是q的充分条件． 充分条件的两种判断方法 1.定义法：确定谁是条件，谁是结论；尝试由条件推结论；若条件能推出结论，则条件为结论的充分条件，否则条件就不是结论的充分条件． 2.命题判断法：如果命题“若p，则q”是真命题，则p是q的充分条件；如果命题“若p，则q”是假命题，则p不是q的充分条件． 对点练2.(1)下列选项中，p是q的充分条件的是(　　) A．p：a＝1，q：a2＝1 B．p：x2＞1，q：x＞1 C．p：a2＋b2≥0，q：a≥0且b≥0 D．p：a＞b，q：＞ (2)(多选)使0＜x＜4成立的一个充分条件是(　　) A．0＜x≤4 B．1≤x＜4 C．0＜x≤2 D．－1＜x＜4 答案：(1)A　(2)BC 解析：(1)根据充分条件的概念逐一判断，只有a＝1⇒a2＝1.故选A． (2)从集合观点看，求0＜x＜4成立的一个充分条件，就是从A、B、C、D中选出集合{x|0＜x＜4}的子集．由于{x|1≤x＜4}⊆{x|0＜x＜4}，{x|0＜x≤2}⊆{x|0＜x＜4}，故B、C正确．故选BC． 角度2　必要条件 (链教材P19例2)下列各题中，q是不是p的必要条件？ (1)p：两个三角形全等，q：两个三角形相似； (2)p：一个四边形是矩形，q：四边形的对角线相等； (3)p：A⊆B，q：A⋂B＝A； (4)p：a＞b，q：ac＞bc． 解：(1)因为两个三角形全等，所以两个三角形相似，所以p⇒q，所以q是p的必要条件． (2)因为矩形的对角线相等，所以p⇒q，所以q是p的必要条件． (3)因为p⇒q，所以q是p的必要条件． (4)因为pq，所以q不是p的必要条件． 必要条件的两种判断方法 1.定义法：确定谁是条件，谁是结论；尝试由条件推结论；若条件能推出结论，则结论为条件的必要条件，否则结论就不是条件的必要条件． 2.命题判断法：如果命题“若p，则q”是真命题，则q是p的必要条件；如果命题“若p，则q”是假命题，则q不是p的必要条件． 对点练3.(1)(多选)下列“若p，则q”形式的命题中，p是q的必要条件的是(　　) A．若x，y是偶数，则x＋y是偶数 B．若a＜2，则方程x2－2x＋a＝0有实根 C．若四边形的对角线互相平分，则这个四边形是平行四边形 D．若ab＝0，则a＝0 (2)(多选)使0＜x＜4成立的一个必要条件是(　　) A．0＜x≤4 B．1≤x＜4 C．0＜x≤2 D．－1＜x＜4 答案：(1)BCD　(2)AD 解析：(1)对于A，若x＋y是偶数，则x，y可能都是偶数，也可能都是奇数，故A不符合题意；对于B，若方程x2－2x＋a＝0有实根，则Δ＝4－4a≥0，即a≤1，可推出a＜2，故B符合题意；对于C，若四边形是平行四边形，则四边形的对角线互相平分，故C符合题意；对于D，若a＝0，则ab＝0，故D符合题意．故选BCD． (2)从集合观点看，求0＜x＜4成立的一个必要条件，就找集合{x|0＜x＜4}是选项A、B、C、D中哪个集合的子集．由于{x|0＜x＜4}⊆{x|0＜x≤4}，{x|0＜x＜4}⊆{x|－1＜x＜4}，故A、D正确．故选AD． 任务三　根据充分(必要)条件求参数 (1)设p：－1≤x＜2，q：x＜a，若q是p的必要条件，则实数a的取值范围是(　　) A．{a|a≤－1} B．{a|a≤－1，或a≥2} C．{a|a≥2} D．{a|－1≤a＜2} (2)已知集合A＝{x|－2≤x＜5}，非空集合B＝{x|2－a≤x≤3＋2a}，其中a∈R．若x∈A的一个充分条件是x∈B，则实数a的取值范围是　　　　． 答案：(1)C　(2) 解析：(1)因为q是p的必要条件，所以p⇒q，可用数轴表示{x|－1≤x＜2}和{x|x＜a}，如图所示． 由图知a≥2.故选C． (2)由题意得，B⊆A且B≠∅，则≤a＜1. ［变式探究］(变条件)若本例(2)条件变为“若x∈A是x∈B的充分条件”，求实数a的取值范围． 解：因为x∈A是x∈B的充分条件，故A⊆B． 所以故a≥4. 所以实数a的取值范围是{a|a≥4}． 充分条件与必要条件的应用技巧 1.应用：可利用充分性与必要性进行相关问题的求解，特别是求参数的值或取值范围问题． 2.求解技巧：先把p，q等价转化，利用充分条件、必要条件与集合间的包含关系，建立关于参数的不等式(组)进行求解． 对点练4.(双空题)已知p：－1＜x＜6，q：1－m≤x≤3＋m． (1)若p是q的充分条件，则实数m的取值范围是　　　　； (2)若p是q的必要条件，则实数m的取值范围是　　　　． 答案：(1){m|m≥3}　(2){m|m＜2} 解析：(1)由题意得， 解得m≥3，则实数m的取值范围是{m|m≥3}． (2)当1－m＞3＋m，即m＜－1时，p是q的必要条件，符合要求；当1－m≤3＋m，即m≥－1时，由p是q的必要条件，可得解得－1≤m＜2，综上，实数m的取值范围是{m|m＜2}． 任务再现 (1)充分条件、必要条件的概念．(2)充分条件与判定定理，必要条件与性质定理的关系．(3)充分条件、必要条件的判断．(4)充分条件与必要条件的应用 方法提炼 定义法、集合法、等价转化法 易错警示 (1)充分条件、必要条件不唯一．(2)求参数范围易忽视端点值的取舍 1.下列语句是命题的为(　　) A.0是偶数吗？ B．这个数学问题真难啊! C．你，赶快点! D．x2＋y2＝1只有一组解 答案：D 解析：可以判断真假的陈述句叫做命题，根据定义可知，只有D选项符合题意．故选D． 2.俗语云：“好人有好报”．这句话中“好人”是“有好报”的(　　) A．充分条件 B．必要条件 C．既不充分也不必要条件 D．无法判断 答案：A 解析：这句话的意思中，“好人”⇒“有好报”，所以“好人”是“有好报”的充分条件．故选A． 3.(多选)使x＞1成立的一个必要条件可以是(　　) A．x＞0 B．x＞－1 C．x＞2 D．x＜2 答案：AB 解析：只有x＞1⇒x＞0，x＞1⇒x＞－1，其他选项均不可由x＞1推出．故选AB． 4.(开放题)写出一个“关于x的一元二次方程x2＋x＋m＝0有实数解”的必要条件：　　　　． 答案：m＜(答案不唯一) 解析：因为关于x的一元二次方程x2＋x＋m＝0有实数解，所以Δ＝1－4×1×m≥0，解得m≤可以作为“关于x的一元二次方程x2＋x＋m＝0有实数解”的一个必要条件． 课时分层评价6　充分条件与必要条件 (时间：40分钟　满分：100分) (本栏目内容，在学生用书中以独立形式分册装订!) (1—9每小题5分，共45分) 1.已知p：x(x－1)＝0，q：x＝1，则p是q的(　　) A．充分不必要条件 B．必要不充分条件 C．既不充分也不必要条件 D．无法判断 答案：B 解析：由x(x－1)＝0得x＝0或x＝1，所以pq，q⇒p，故p是q的必要不充分条件．故选B． 2.下列选项中，p是q的必要条件的是(　　) A．p：a＝－1，q：|a|＝1 B．p：－1＜a＜1，q：a＜1 C．p：a＜b，q：a＜b＋1 D．p：a＞b，q：a＞b＋1 答案：D 解析：要满足p是q的必要条件，即q⇒p，只有q：a＞b＋1⇒p：a＞b符合题意．故选D． 3.已知集合A＝{1，a}，B＝{1，2，3}，则“a＝3”是“A⊆B”的(　　) A．充分条件 B．必要条件 C．不是充分条件，也不是必要条件 D．无法判断 答案：A 解析：若a＝3，则集合A＝{1，3}，能推出A⊆B成立，所以“a＝3”是“A⊆B”的充分条件；若A⊆B，则a＝2或3，所以“a＝3”不是“A⊆B”的必要条件．故选A． 4.使x＜2成立的一个必要条件是(　　) A．x＜0 B．x＜3 C．x＜1 D．x＞1 答案：B 解析：只有x＜2⇒x＜3，其他选项均不可由x＜2推出．故选B． 5.(多选)下列命题中，p是q的充分条件的是(　　) A．p：a是无理数，q：a2是无理数 B．p：四边形为等腰梯形，q：四边形对角线相等 C．p：x＞2，q：x≥1 D．p：a＞b，q：ac2＞bc2 答案：BC 解析：对于A，a＝是无理数，a2＝2是有理数，所以p不是q的充分条件；对于B，因为等腰梯形的对角线相等，所以p是q的充分条件；对于C，x＞2⇒x≥1，所以p是q的充分条件；对于D，当c＝0时，ac2＝bc2，所以p不是q的充分条件．故选BC． 6.(多选)使ab＞0成立的充分条件是(　　) A．a＞0，b＞0 B．a＋b＞0 C．a＜0，b＜0 D．a＞1，b＞1 答案：ACD 解析：因为a＞0，b＞0⇒ab＞0；a＜0，b＜0⇒ab＞0；a＞1，b＞1⇒ab＞0，所以选项A、C、D都是使ab＞0成立的充分条件．故选ACD． 7.(双空题)已知命题p：a是末位是0的整数，q：a能被5整除，则p是q的　　　　条件；q是p的　　　　　　条件．(用“充分”“必要”填空) 答案：充分　必要 解析：因为p⇒q，所以p是q的充分条件，q是p的必要条件． 8.已知p：x＜－2或x＞10，q：x＜1＋a或x＞1－a(a＜0)．若p是q的必要条件，则实数a的取值范围是　　　　． 答案：{a|a≤－9} 解析：因为p是q的必要条件，所以q⇒p，所以解得a≤－9. 9.(双空题)设集合A＝{1，2}， (1)请写出一个集合B＝　　　　，使“x∈A”是“x∈B”的充分条件，但“x∈A”不是“x∈B”的必要条件； (2)请写出一个集合B＝　　　　，使“x∈A”是“x∈B”的必要条件，但“x∈A”不是“x∈B”的充分条件． 答案：(1){1，2，3}(答案不唯一)　(2){1}(答案不唯一) 解析：根据充分、必要条件的概念知，(1)B＝{1，2，3}(答案不唯一)　(2)B＝{1}(答案不唯一)． 10.(10分)指出下列命题中，p是q的充分条件，还是必要条件： (1)p：x2＝2x＋1，q：x＝； (2)p：a2＋b2＝0，q：a＋b＝0； (3)p：(x－1)2＋(y－2)2＝0，q：(x－1)(y－2)＝0. 解：(1)因为x2＝2x＋1x＝⇒x2＝2x＋1，所以p是q的必要条件． (2)因为a2＋b2＝0⇒a＝b＝0⇒a＋b＝0，a＋b＝0a2＋b2＝0，所以p是q的充分条件． (3)因为(x－1)2＋(y－2)2＝0⇒x＝1且y＝2⇒(x－1)(y－2)＝0，(x－1)(y－2)＝0(x－1)2＋(y－2)2＝0，所以p是q的充分条件． (11—13每小题5分，共15分) 11.(多选)下列式子：①x＜1；②0＜x＜1；③－1＜x＜；④－1＜x＜0.其中，可以是－1＜x＜1的一个充分条件的序号为(　　) A．① B．② C．③ D．④ 答案：BCD 解析：因为－1＜x＜1，所以②③④是－1＜x＜1的充分条件． 12.(多选)设计如图所示的四个电路图，条件A：“开关S1闭合”，条件B：“灯泡L亮”，则A是B的必要条件的电路图为(　　) 答案：BC 解析：对于A，当灯泡L亮时，有可能开关S2闭合，不能推出开关S1闭合，此时A不是B的必要条件，故A项错误；对于B，由于开关S1与灯泡L是串联关系，故由“灯泡L亮”可以推出“开关S1闭合”，此时A是B的必要条件，故B项正确；对于C，由于开关S1、S2与灯泡L是串联关系，所以灯泡L亮时，可得开关S1、S2均闭合，所以A是B的必要条件，故C项正确；对于D，不论开关S1是否闭合，灯泡L都是亮的，故由“灯泡L亮”不可以推出“开关S1闭合”，即A不是B的必要条件，故D项错误．故选BC． 13.(双空题)设p：k＞5，b＜5，q：一次函数y＝(k－4)x＋b－5的图象交y轴于负半轴，交x轴于正半轴，则p是q的　　　　条件，q是p的　　　　条件．(用“充分”或“必要”填空) 答案：充分　必要 解析：当k＞5，b＜5时，函数y＝(k－4)x＋b－5的大致图象，如图所示．由图知，此时一次函数y＝(k－4)x＋b－5的图象交y轴于负半轴，交x轴于正半轴，所以p是q的充分条件，q是p的必要条件． 14.(10分)已知集合A＝{2，3}，B＝{x|x2＋mx＋6＝0}，若A是B的必要条件，求实数m的取值范围． 解：若A是B的必要条件，则B⊆A． 当B＝∅时，m2－4×1×6＜0， 解得－2； 当B＝{2}时，此时m不存在； 当B＝{3}时，此时m不存在； 当B＝{2，3}时，此时m＝－5. 综上，实数m的取值范围是{m|－2，或m＝－5}． 15.(5分)设甲、乙、丙是三个命题，如果甲是乙的必要条件，丙是乙的充分条件，但不是乙的必要条件，那么(　　) A．丙是甲的充分条件，但不是甲的必要条件 B．丙是甲的必要条件，但不是甲的充分条件 C．丙既是甲的充分条件，又是甲的必要条件 D．丙既不是甲的充分条件，也不是甲的必要条件 答案：A 解析：因为甲是乙的必要条件，所以乙⇒甲．又因为丙是乙的充分条件，但不是乙的必要条件，所以丙⇒乙，但乙丙，如图所示． 综上，有丙⇒甲，但甲丙，即丙是甲的充分条件，但不是甲的必要条件．故选A． 16.(15分)(1)是否存在实数m，使2x＋m＜0是x＜－1或x＞3的充分条件？ (2)是否存在实数m，使2x＋m＜0是x＜－1或x＞3的必要条件？ 解：(1)欲使2x＋m＜0是x＜－1或x＞3的充分条件， 则只要⊆{x|x＜－1，或x＞3}， 即只需－≤－1，所以m≥2. 故存在实数m≥2，使2x＋m＜0是x＜－1或x＞3的充分条件． (2)欲使2x＋m＜0是x＜－1，或x＞3的必要条件，则只要{x|x＜－1，或x＞3}⊆，这是不可能的． 故不存在实数m，使2x＋m＜0是x＜－1或x＞3的必要条件． 学科网（北京）股份有限公司 $