3.3 整式的加减 导图知识卡片+知识梳理+21个题型讲练+中考真题演练+难度分层练 共67题-2026-2027学年苏科版数学七年级上册

本讲义聚焦整式的加减核心知识点，系统梳理单项式、多项式、整式的概念，同类项的判断与合并，去括号法则等基础内容，搭建从概念理解到运算应用的学习支架，衔接后续题型讲练与综合应用。 资料含思维导图助力知识体系构建，21个题型分层覆盖基础与拔高，中考真题结合规律探索题培养创新意识，难度分层训练提升运算能力与应用意识，课中辅助教学，课后助力学生查漏补缺。

2026-2027学年苏科版数学七年级上册同步精编培优讲练 3.3整式的加减[同步精编培优讲义] (知识梳理+21个题型讲练+中考真题演练+难度分层练共67题) 【2026-2027学年苏科版数学新教材·七年级上册（原卷版)】 ■山且录导航 思维导图. 知识梳理.…… 3 知识点梳理01：单项式. 3 知识点梳理02：多项式.... 知识点梳理03：整式。 4 知识点梳理04：同类项的概念... 知识点梳理05：去括号法则。 知识点梳理06：整式的加法和减法 5 题型讲练.……… 题型一同类项的判断 5 题型二已知同类项求指数中字母或代数式的值 题型三合并同类项… .6 题型四去括号... ….7 题型五添括号 …7 题型六整式的加减运算..·. 题型七整式的加减中的化简求值 .8 题型八整式加减中的无关型问题.... 题型九整式加减的应用. …9 题型十单项式的判断 10 题型十一单项式的系数、次数.... 10 题型十二写出满足某些特征的单项式.. 题型十三单项式规律题 10 题型十四多项式的判断. 题型十五多项式的项、项数或次数…11 第1页共21页 2026-2027学年苏科版数学七年级上册同步精编培优讲练 题型十六多项式系数、指数中字母求值 11 题型十七将多项式按某个字母升幂（降幂）排列..」 12 题型十八整式的判断，...... 12 题型十九数字类规律探索 12 题型二十图形类规律探索 13 题型二十一带有字母的绝对值化简问题 13 中考真题演练. 14 难度分层训练......... 15 【基础夯实】 15 【培优拔高】 18 山思维导图 整式的概念 定义所含字母相同。并且相同字得的指数也相同的项叫作同类项 由数与字母的积组成的代数式叫作单项式 单独—个数或个字母也作单项式， 单项式中的数字因数叫作单项式的系数， 合并同英项法早器种香的不受的结果作为系 单项式的次数 步理 )找出同类项 1.整式 2.合并同类项 (2)合井同类项，即把同类项的系数相加。字母和指数不变。 例：三可2的系数是号，次数是1+2=3对 例题把下列各式中的同类项合并吸一项： -22的系数是-2，次数是2： 7a-32)42+23)-9ry+5ry(4)5w+2-b he的系数是1，次数是3： 3的系数是3，次数是0 合并同类项的应用简化多项式中同类项：求整式的值：决实际问题等。 整式的厥念 单项式和多项式统称整式 同类项判断方法 整式包括单项式和多项式 001000 (1)所含字得相同：(2)相同字母的指数也相用。 不骑终州 多项式的次数 麦不次的没的不松李将的 第3章代数式 去括号法 叫作常数项 3.3整式的加减 例：b+R一的次数是2，常数项是0 3去括号 括号前面是“+”号，把括号和它前面的“+”号去掉 号和它前面的“-”号去掉 括号里各项的符号都要改变 运算法则 4,整式的加减运算 例 化简： 界的光法得：青异合赞风天项 0)--2(2)6-30-y+2x-r-y 运伊夏一巴去桥利细 注意去括号时要注意每一项的符号麦化。不要漏乘括号前面的符号 5.整式加减的应用 6,整式加减的常用方法（归纳） 加识总培（思推导围小糖》 例题求2-4+1与-3+2a-5的差 】.整式：但括单项式和多项式 探究拓展 的系和次数：多项式的次数 几同同通得阳费费的长。面积等。 项：同类项的系数相，字母 3. 去括号：根号输的号定括号里各 ,2十1 酬（”小鱼”探是律） 括：条“小鱼”需要的小柴精登量(>≥1) 2 一元多式的恒等关系 [8m-2-1=6m+2(根》 4-2 学习议 例：1-(2x-3月1-2x+32恒等 周长(2x++x+3)+7+4-2)=7x+9 第2页共21页 2026-2027学年苏科版数学七年级上册同步精编培优讲练 昌山知迟梳理 知识点梳理01：单项式 1 4 1.单项式的概念：数与字母的乘积，叫作单项式：例如：-2如y,2bc,3r3等等。 技巧点拔 (1)单项式包括三种类型： 1 4 数与字母相乘或字母与字母相乘组成的式子：例如：-2如w,2bc,3m3等等。 、14等等。 单独的一个数：例如：-2,23 单独的一个字母.例如：x,a,r等等。 (2)单项式中不能含有加减运算，但可以含有除法运算， 例知：空或0也是单项式，但分母中含有字号的不可以，如不是单项式，因为它不能写成数字与 0 字母的乘积形式. 1 4 2.单项式的系数：单项式中的数字因数叫做这个单项式的系数，例如：-2y,2bc,3不r的系数 分别为-2 技巧点拨 (1)圆周率是常数.单项式中出现π时，算作系数； (2)当一个单项式的系数是1或-1时，“1”通常省略不写； (③)单项式的系数是带分数时，通常写成假分数，如：1山写成b。 3.单项式的次数：单项式中，所有字母的指数和叫做这个单项式的次数，例如： 4 -2xy,2abc,3r3它们的次数分别为：2次，3次，3次.这里切记此处的π是数，不是作为字母， 因此这个单项式的次数计算时只能算r的三次。 技巧点拨 (1)没有写指数的字母，实际上指数是1，请勿遗漏： (2)计算单项式的次数时，数字上的指数不能算. 知识点梳理02：多项式 1.多项式的概念：几个单项式的和叫做多项式，例如：2x十3y-1. 第3页共21页 2026-2027学年苏科版数学七年级上册同步精编培优讲练 2x+3y-1此例子中该多项式可以看成是2x+3y+(1),因此它是单项式2x,3y,(1)的 和。 多项式的概念中所说的和是包含减法的，因为所有的减法都可以转化成加法。 2.多项式的项：每个单项式叫做多项式的项，不含字母的项叫做常数项 2x+3y-1这个多项式包含的项有三项：2x,3y,(←1)，其中最后-项是-1，可不要当成1 了！ (1)多项式的每一项包括它前面的符号； (2)一个多项式含有几项，就叫几项式. 3.多项式的次数：多项式里次数最高项的次数，叫做这个多项式的次数 技巧点拨 多项式的次数不是所有项的次数之和，而是多项式中次数最高的单项式的次数，不要 与单项式的次数混淆. 知识点梳理03：整式 单项式与多项式统称为整式.它们之间关系如下图： 整式 单项式 多项式 技巧点拨 (1)整式包括单项式、多项式两种，也就是说一个式子如果时整式，那它要么是单项式，要 么时多项式；如果一个式子是单项式，或是多项式，那它一定是整式. (2)分母中含有字母的式子一定不是整式，更不可能是单项式或多项式. 知识点梳理04：同类项的概念 1.同类项：所含字母相同，并且相同字母的指数也相同的单项式叫做同类项. 技巧点拨 。正确理解同类项的概念，要深入理解“两相同，两无关”： (1)“两相同”是指：①所含字母相同；②相同字母的指数相同； (2)“两无关”是指：①与系数无关；②与字母的顺序无关. 第4页共21页 2026-2027学年苏科版数学七年级上册同步精编培优讲练 ●所有的常数项都是同类项， 2.合并同类项：把多项式中的同类项合并成一项，叫做合并同类项， 技巧点拨 合并同类项法则简记：系数相加减，其它都不变. 知识点梳理05：去括号法测 1.去括号法则：去括号就是用括号外的数乘括号内的每一项，再把所得的积相加。 技巧点拨 (1)括号前面是“+”，把括号和它前面的“+”去掉后，原括号里各项的符号都不改变： (2)括号前面是“-”，把括号和它前面的“-”号去掉后，原括号里各项的符号都要改变. 2.添括号法则： (1)添括号后，括号前面是“+”，括号内各项的符号都不改变； (2)添括号后，括号前面是“-”，括号内各项的符号都要改变 知识点梳理06：整式的加法和减法 整式的加减运算法则：几个整式相加减，如果有括号就先去括号，然后再合并同类项. 技巧点拨 (1)整式加减的一般步骤是：①先去括号：②再合并同类项. (2)两个整式相加减时，“减数”一定要用括号“装”起来. (3)整式加减的最后结果的检查： ●要合并到不能再合并为止； ●一般按照某一字母的降幂或升幂排列； ●不能出现带分数. 题型讲练 题型一同类项的判断 【典例精讲】（26-27七年级上·全国·课后作业)将如图所示的两个圈中的同类项用线连起来 第5页共21页 2026-2027学年苏科版数学七年级上册同步精编培优讲练 3x2y ba -2 -6xy2 4m 3 5xy2 4x2y -ab 【变式训练】(25-26七年级上·河南郑州·期末)下列各式中，是同类项的是( A.3x与3y B.2a2b与-5ab2 C.-mn与4nm D.x2与2x 题型二已知同类项求指数中字母或代数式的值 【典例精讲】（26-27七年级上·全国·课后作业)m和n分别取何值时，2xmy3与-3xy3m是同类项？ 【变式训练】(25-26七年级上·湖南湘潭·期末)若3amb5与-4a2b+1是同类项，则m+n=( A.5 B.6 C.7 D.8 题型三合并同类项 【典例精讲】(26-27七年级上·全国·课后作业)把x-y看作一个整体，化简： (1)5(x-y)+2(x-y)-4(x-y): (2)3(x-y)2-4(x-y)+7(x-y)-6(x-y)2. 【变式训练】（26-27七年级上·全国·课后作业)合并同类项： (1)2ax+3by-4ax+3by-2ax;(2)-2x2+x-3+x2-3x: (3)3x2y-xy2-2x2y+3xy2. 第6页共21页 2026-2027学年苏科版数学七年级上册同步精编培优讲练 题型四去括号 【典例精讲】(25-26七年级上·湖南湘潭·期中)下列各式中，去括号后得a-b+2的是( A.a-(b-2) B.a+(b-2) C.a-(b+2) D.a+(b+2) 【变式训练】（25-26六年级下·黑龙江绥化·期末)3x2-[2x-(x2-3x)+1]的结果是 题型五添括号 【典例精讲】（25-26九年级下·河北石家庄·开学考试)下列各式中添括号正确的是( A.-x-3y=-(x-3y) B.2x-y=-(2x+y) C.2m-m2=2m(1-m) D.3-4x=-(4x-3) 【变式训练】(25-26七年级上·福建漳州·期末)当x=2时，整式px3+qx-1的值等于2025，那么当 x=-2时，整式px3+qx+1的值为( A.2024 B.-2024 C.2025 D.-2025 题型六整式的加减运算 【典例精讲】（26-27七年级上·全国·课后作业)已知M=3x2-2xy+y2,N=2x2+xy-3y2. (1)求M-N; (2)求M+N. 【变式训练】(25-26七年级上·黑龙江牡丹江·期中)某同学做一道数学题：已知两个多项式A,BB=2x2+ 2xy+y2,计算A-2B.这名同学误将“A一2B”看成“2A-B”,求出的结果是2x2-14xy-5y2.请你 求出正确的结果. 第7页共21页 2026-2027学年苏科版数学七年级上册同步精编培优讲练 题型七整式的加减中的化简求值 【典例精讲】(26-27七年级上·全国·课后作业)先合并同类项，再求各多项式的值： (1)4a2-4a+1-4+12a-9a2,其中a=-1: 2)9a2-12ab+4b2-4a2-12ab-9b2,其中a=b=- 【变式训练】(26-27七年级上·全国·课后作业)先化简，再求值： (1)3x2+(2x2-3x)-(-x+5x2),其中x=314: (2)(5xy-8x2)-（-12x2+4xy),其中x=-y=2. 题型八整式加减中的无关型问题 【典例精讲】(25-26七年级上·江苏扬州·期末)已知A=3x2+8x+1,B=a(x2-2)-b(2x+3).若 A+B的值与x的取值无关，则a+b=-一： 【变式训练】（25-26七年级下·湖南邵阳·阶段检测)己知kx+2y-3x+6的值与x的取值无关，求 的值 解决这类题目时，我们通常将代数式合并同类项，得到(k-3)x+2y+6,因为代数式的值与x的取值无关， 第8页共21页 2026-2027学年苏科版数学七年级上册同步精编培优讲练 所以k-3=0,得到k=3. 根据上述方法，求解： (1)若代数式m(3x+1)-6x的值与x的取值无关，求m的值： (2)已知A=2x2+(1-3n)x,B=2m(x2-x+1),且A-B的值与x无关，求m,n的值 题型九整式加减的应用 【典例精讲】(26-27七年级上·全国·课后作业)如图所示的窗框，上部分为半圆，下部分为6个大小一 样的长方形，长方形的长与宽的比为3：2.如果长方形的长分别为0.4m、0.5m、0.6m等，那么窗框所需材 料的长度分别是多少？如果长方形的长为am呢？ 【变式训练】（26-27七年级上·全国·课后作业)一个两位数，它的十位数字为a,个位数字为b.若把 它的十位数字与个位数字对调，将得到一个新的两位数 (1)计算新数与原数的和，这个和能被11整除吗？为什么？ (2)计算新数与原数的差，这个差会被什么数整除？ 第9页共21页 2026-2027学年苏科版数学七年级上册同步精编培优讲练 题型十单项式的判断 【典例精讲】(24-25七年级上·江苏苏州·阶段检测)下列判断中，错误的是( A.1-a-ab是二次三项式 B.-1是单项式 。.生是多项式 D.-3π2ab2的次数是5 【变式训练125-26七年级上上海期中)在整式5xy,2-受a,a2+2中，单项式的个数是( A.1个 B.2个 C.3个 D.4个 题型十一单项式的系数、次数 【典例精讲】(26-27七年级上·全国·课后作业)说出下列单项式的系数和次数： (1)5a2: (2)mn: (3)-ab2c: (④-2空 【变式训练】(25-26七年级上·湖南湘潭·期中)单项式2的次数是 题型十二写出满足某些特征的单项式 【典例精讲】(2026·河南平顶山·三模)请写出一个只含字母x,y的三次单项式： 【变式训练】（2026·河南平项山·三模)请写出一个含有字母mn,且次数是3，系数为-的单项式： 题型十三单项式规律题 【典例精讲】（2026·云南昆明·模拟预测)按一定规律排列的多项式：x+y2,x2+y4,x3+y6,x4+y8, x5+y10,…,第n个多项式是( A.x2n +y2n-1 B.xn +y2n C.x2n-1+y2n D.x2n+y2n 第10页共21页 2026-2027学年苏科版数学七年级上册同步精编培优讲练 【变式训练】（25-26七年级上·湖北孝感·期中)观察下列代数式：-x,2x2,-3x3,4x4,-5x5,…, 按照上述规律，第2025个代数式是一-，第n个代数式是 题型十四多项式的判断 【典例精讲】(25-26七年级上·广东江门·期末)下列代数式中，是多项式的是( A.2a2 B.3m2-5n C.xyz D.-fvt 【变式训练】(25-26七年级上·河北秦皇岛·期末)在代数式少、2y2-y+1、5、3-2-4 中，多项式有() A.2个 B.3个 C.4个 D.5个 题型十五多项式的项、项数或次数 【典例精讲】(26-27七年级上·全国·课后作业)指出下列多项式的项和次数： (1)a3-a2b+ab2-b3: (2)3n4-2m2+1. 【变式训练】(26-27七年级上·全国·课后作业)把多项式x3-6x2y+12xy2-8y3+1写成三个整式的 和，使其中一个不含字母x,一个不含字母y 题型十六多项式系数、指数中字母求值 【典例精讲】(25-26七年级上·湖南湘潭·期末)若多项式6am-(n-2)a+4是关于a的二次二项式， 则mm= 【变式训练】(24-25七年级上·浙江金华·阶段检测)多项式2x2yk1-(k-2)xy+1是关于x,y的四次 二项式，则k的值为 第11页共21页 2026-2027学年苏科版数学七年级上册同步精编培优讲练 题型十七将多项式按某个字母升幂（降幂）排列 【典例精讲】(26-27七年级上·全国·课后作业)把多项式2x3y-4y2+5x2重新排列： (1)按x的降幂排列： (2)按y的升幂排列. 【变式训练】(25-26七年级上·上海·期中)整式a3b-a2+3ab2-4a5+3b3按a降幂排列的结果是 题型十八整式的判断 【典例精讲】(25-26七年级上·上海·阶段检测)下列说法中，正确的是( ) A.0不是单项式 B.-a2b3的系数是-1，次数是5 C.6πx3不是整式 D.-2的系数是-2，次数是3 3 【变式训练】（25-26七年级上·河南信阳·期末)若整式ab2-2a3+6=8,则整式-3ab2+6a3-2025 的值为一· 题型十九数字类规律探索 【典例精讲】(2526七年级上·黑龙江牡丹江·期中)观察下列一组数：，1一品品-岩 …它们是 按一定规律排列的，那么这组数的第n个数是 【变式训练】(26-27七年级上·广东·开学考试)有一数值转换器，原理如图所示，如果开始输入x的值 是5，则第一次输出的结果是8，第二次输出的结果是7，…那么第2026次输出的结果是 x为奇数 x+3 输入x 输出 r+3 x为偶数 第12页共21页 2026-2027学年苏科版数学七年级上册同步精编培优讲练 题型二十图形类规律探索 【典例精讲】(26-27七年级上·全国·课后作业)按如图示的方式摆放餐桌和餐椅. 口口 ▣口口▣ 口口口口口▣ 00 0 0 ▣口▣口 ▣▣口 (1)n张餐桌可以摆放多少把餐椅？ (2)8张餐桌可以摆放多少把餐椅？10张呢？15张呢？ 【变式训练】(25-26七年级上·湖南湘潭·期中)观察下图： ①②③ (④ ● ●】 ● ● (1)图中的点被线段隔开分成了四层，则第1层有1个点，第2层有3个点，第5层有_个点： (2)第n层应该有多少个点？ (3)第27层有多少个点？ 题型二十一带有字母的绝对值化简问题 【典例精讲】（25-26七年级上·湖南湘潭·期中)有理数a、b在数轴上的位置如图所示： 0 0b (1)用“>”或“<”填空：a0,b+1_一_0； (2)化简：12+lal-2b+1. 第13页共21页 2026-2027学年苏科版数学七年级上册同步精编培优讲练 【变式训练】(25-26七年级上广东揭阳阶段检测)有理数a、b、c在数轴上的位置如图所示，则化简|a-bl+ la +cl-lb-cl e b o a 冒山中考真题演练 【真题演练1】(2025·湖南湘潭·中考真题)一个多项式与-x2-4x+1的和是x-4,则这个多项式为 ) A.x2-5x+3 B.-x2+X-1 C.x2+5x-5 D.x2-5x-13 【真题演练2】(2025·辽宁大连·中考真题)下列说法正确的是( A.0和a不是单项式 B.-的次数是1 C华的系数则 D.-2x2y3的次数是5 【真题演练3】(2025·上海·中考真题)填空： (1)一打铅笔有12支，n打铅笔有支： (2)三角形的三边长分别为3a、4a、5a,这个三角形的周长为一一： (3)如图，某广场四角均铺上了四分之一圆形的草地，若圆形的半径为m,则共有草地m2. 【真题演练4】(2025·北京·中考真题)在下列各式的括号内填入适当的项： (1)3x2-2xy2+2y2=3x2-( (2)3x2y2-2x3+y3=3x2y2-( (3)-a3+2a2-a+1=-( )-( ). 第14页共21页 2026-2027学年苏科版数学七年级上册同步精编培优讲练 x(x>0) 【真题演练5】(2025·安徽毫州·中考真题)阅读材料x= 0(x=0)即当x>0时，高==1：当x<0 -x(x<0) 时，高三=-1，用这个结论解决下列问思： a 0 (1)已知数a,b在数轴上对应点的位置如图所示，则回+回- (2)已知a,b是有理数，当ab>0时，a+= 3)若bc>0,测则叫+合+4+-一 山难度分层训练 【基础夯实】 1.(25-26七年级上·黑龙江牡丹江·期中)已知，有7个完全相同的边长为mn的小长方形（如图1） 和两个阴影部分的长方形拼成1个宽为10的大长方形（如图2），小明把这7个小长方形按如图所示放置 在大长方形中.下列说法正确的是() B 不 10 图1 图2 ①大长方形的长是m+4n:②阴影A的面积是10m-3mn: ③阴影A与阴影B的周长的和与m的取值无关；④阴影B的面积是40n-4m. A.①②③ B.②③④ C.①②④ D.①③④ 2.(25-26七年级上·湖南湘潭·期中)代数式(5x2-10x+7)-5(x2-2x-1)的值( A.当x=0时，原式=2 第15页共21页 2026-2027学年苏科版数学七年级上册同步精编培优讲练 B.当x=1时，原式=-8 C.当x=-1时，原式=8 D.不论x取何值，原式都等于12 3.（25-26九年级上·云南昆明·期末)有一列式子，按一定规律排列成2a2,-4a,8a8,-16a11,32a14,…, 则第n个式子为( A.-2"a3n-1 B.(-2)nan-1 C.(-1)"a3-1 D.(-1)n+12na3n-1 4.(25-26七年级上·四川广元·期末)已知单项式x3ym+n与-2x1-my的和为单项式，则m-nl=_ 5.(26-27七年级上·江苏宿迁·开学考试)古希腊著名的毕达哥拉斯学派经常用“数形结合”的方法研 究数学问题.如图，由黑白两种正六边形地砖组成，第1幅图中白色六边形地砖有6块，第2幅图中白色 六边形地砖有10块，第3幅图中白色六边形地砖有14块，那么第5幅图中白色六边形地砖有( 块，第n幅图中白色六边形地砖有( )块， 第1幅 第2幅 第3幅 6.(25-26七年级上·黑龙江牡丹江·期中)若引x=3,y2=4,且|x+y川=x+y,则2xy= 7.(25-26七年级上·黑龙江牡丹江·期中)若2a-b+2=5,则-4a+2b-2019= 8.(25-26七年级上·四川广元·期末)定义：将图①中的长方形纸片剪成1号，2号，3号，4号正方形 和5号长方形. 3 4 图① 图② (1)设3号正方形的边长为a,4号正方形的边长为b,求1号，2号正方形的边长分别是多少？（用a,b的 代数式表示) (2)若图①中裁剪前长方形的周长为64，试求3号正方形的边长： (3)在(2)的情况下，若将这五个图形按图②的方式放入周长为140的长方形中，求阴影部分的周长。 第16页共21页 2026-2027学年苏科版数学七年级上册同步精编培优讲练 9.(26-27七年级上·全国·课后作业)完成下列小题 88 ① ② ③ ④ (1)观察下面图中小圆圈的排列方式，你发现了什么规律？ (2)根据(1)中的规律猜想：1+3+5+7+.+99= (3)一般地，你能得到什么猜想？请用代数式表示. 10.（26-27七年级上·全国·课后作业)某学校食堂的餐桌椅有两种摆放方式 (1)按下图方式摆放餐桌和椅子，照这样的方式继续排列餐桌，摆4张桌子可坐多少人？摆5张桌子呢？摆 n张桌子呢？ (2)按下图方式摆放餐桌和椅子，照这样的方式继续排列餐桌，摆4张桌子可坐多少人？摆5张桌子呢？摆 n张桌子呢？ (3)在食堂就餐的高峰时段，要求同时能坐下300人，上面哪种方式所需要的餐桌数较少？ 第17页共21页 2026-2027学年苏科版数学七年级上册同步精编培优讲练 【培优拔高】 1.(26-27七年级上·全国·开学考试)观察图中每个大三角形中白色三角形的排列规律，则第⑥个大三 角形中白色的三角形有( )个 7入入 ① ② ③ A.121 B.154 C.364 D.467 2.(25-26八年级下·重庆巫山·期末)在整式4x,2x+y之间插入它们的平均数：3x+y,记作第一次 操作，在4x与3x+y之间和3x+y与2x+y之间分别插入它们各自的平均数记作第二次操作，以此类推. ①第二次操作后，从左往右第四个整式为x+子y: ②经过三次操作后，若x=,y=-1,则所有整式的值之和为10： ③经过10次操作后，将得到1025个整式， 以上三个结论正确的个数为( A.0个 B.1个 C.2个 D.3个 3.(25-26七年级下·河北张家口·期末)任取一个正整数，若是奇数，就将该数乘3加1；若是偶数， 就将该数除以2.反复进行上述运算，经过有限次的步骤，必然进入循环圈1→4→2→1.这就是数学史 上著名的“冰雹猜想”.如果对于正整数m,经过步变换，第一次到达1，就称为n步“雹程”.如取m=3, 由上述运算法则得出：3→10→5→16→8→4→2→1，共需经过7个步骤变成1，得n=7,则下列结 论错误的是( ) A.当m=13时，n=9 B.随着m的增大，n不一定也增大 C.若n=2,则m只能是4 D.若n=5,则m只能是5 4.(25-26七年级上·四川广元·期末)如图，这是2026年1月的月历，其中“T”形、“L”形两个阴影 图形均覆盖四个数字，它们在框内可上下左右移动，可重叠.设“T”形阴影图形覆盖的最小数字为，四 个数字之和为M;“L”形阴影图形覆盖的最小数字为b,四个数字之和为N.若M-N=-21,则M+N的 最大值为 第18页共21页 2026-2027学年苏科版数学七年级上册同步精编培优讲练 四五六 6 10 1121314151617 18192021222324 25262728293031 5.(25-26七年级上·河南郑州·阶段检测)口袋里装有51张卡片，其中50张上面分别写着150，剩下 的一张小雄没有看清楚写的是什么数，但是知道这是一个大于100且不超过200的整数.小雄每次从袋中 任意摸出5张卡片，然后算出这5张卡片上所有数的和，再将这个和的后两位数写在一张新卡片上放入袋 中（如果此时袋中卡片不足5张但又多于1张，则全部取出计算，并放入）.经过若干次这样的操作后， 袋中还剩下一张卡片，上面写的是86.那么小雄没有看清楚的那一张卡片上写的整数是 6.(25-26七年级上·重庆沙坪坝·开学考试)在式子x-y+m-n(其中x>y>0>m>n)中，任选 两个字母，在这两个字母及它们之间的部分两侧加绝对值后再去掉绝对值并化简（不改变字母的位置）， 称为第一轮“绝对操作”.例如，选择m,n进行第一轮“绝对操作”，得到x-y+m-n=x-y+m-n, 再对第一轮“绝对操作”后得到的式子进行同样的操作，称为第二轮“绝对操作”，例如，选择y,n进行 第二轮“绝对操作”，得到x-y+m-=x-y-m+n,…,按此方法，进行k(k≥1)轮“绝对操作”.对 原式子进行第一轮“绝对操作”后，则有」 种不同的结果；若对原式子进行四轮“绝对操作”， 且每轮操作中绝对值里只含两个字母，则有 种不同的结果。 7.(2026·江苏徐州·模拟预测)观察如图，图(1)有2个三角形，记作α1=2：图(2)有3个三角形， 记作a2=3:图（3)有6个三角形，记作a3=6:图(4)有11个三角形，记作a4=11;按此方法继续下 去，则a100 △△ △△△ △公公A △△△ 图(1) 图(2) 图(3) 图(4) 8.(25-26八年级下·安徽宣城·期末)综合实践： 【问题背景】在生活中经常看到一些拼合图案如图1，它们或是用单独的正方形或是用多种正多边形混合拼 接成的，拼成的图案要求严丝合缝，不留空隙.从数学角度看，这些工作就是用一些不重叠摆放的多边形 把平面的一部分覆盖，通常把这类问题叫做用多边形覆盖平面（或平面镶嵌）的问题， 【问题情境】如图2是某广场用正十二边形、正方形和正三角形地板砖铺设的图案，图案中央是一块正十 二边形地板砖，周围是正方形和正三角形的地板砖.从里向外第1层包括6块正方形和18块正三角形地板 砖，第2层包括6块正方形和30块正三角形地板砖，第3层包括6块正方形和42块正三角形地板砖，…， 第19页共21页 2026-2027学年苏科版数学七年级上册同步精编培优讲练 依此类推。 图1 图2 (1)【问题探究】①第4层中分别含有块正方形和 块正三角形地板砖： ②第n层中含有 块正三角形地板砖（用含n的代数式表示). (2)观察下列算式，并完成填空： 3=22-1; 3+5=32-1: 3+5+7=42-1: 3+5+7+9=52-1; 3+5+7+9+…+(2m+1)= (3)【问题拓展】现打算在此广场中央，采用如图2样式的图案铺设地面，现有1块正十二边形、120块正 方形和870块正三角形地板砖，问：铺设这样的图案，从里向外最多能铺多少层？请说明理由， 第20页共21页 2026-2027学年苏科版数学七年级上册同步精编培优讲练 9.(25-26七年级上·湖南衡阳·期中)定义：若一个三位数的百位数字为a,十位数字为b,个位数字为c (a、b、c为整数，且a≠0)，满足a+c=2b,则这个三位数叫做“杨山数”.例如：三位数135，因为 1+5=2×3,所以它是“杨山数” (1)三位数258是“杨山数”吗？请说明理由： (2)设一个“杨山数”为N,请用含a,b,c的代数式表示N,并证明N一定能被3整除； (3)请写出所有百位数字为1的“杨山数”. 10.(26-27七年级上·全国·课后作业)对于3×9=27，可以用10个手指直观地展示出来：如图，将 两手平伸，手心向上，从左边开始数至第3个手指，将它弯起，此时它的左边有2个手指，右边有7个手 指，“27”正是“3×9”的结果.类似地，1×9=9,2×9=18,4×9=36，…，9×9=81也可以 用手指直观地展示出来.请用本章学过的知识解释其中的道理. 3×9=27 第21页共21页 3.3 整式的加减［同步精编培优讲义］ （知识梳理+21个题型讲练+中考真题演练+难度分层练 共67题） 【2026-2027学年苏科版数学新教材•七年级上册（解析版）】 思维导图 2 知识梳理 2 知识点梳理01：单项式 2 知识点梳理02：多项式 3 知识点梳理03：整式 4 知识点梳理04：同类项的概念 4 知识点梳理05：去括号法则 4 知识点梳理06：整式的加法和减法 5 题型讲练 5 题型一 同类项的判断 5 题型二 已知同类项求指数中字母或代数式的值 6 题型三 合并同类项 7 题型四 去括号 8 题型五 添括号 8 题型六 整式的加减运算 9 题型七 整式的加减中的化简求值 10 题型八 整式加减中的无关型问题 11 题型九 整式加减的应用 12 题型十 单项式的判断 14 题型十一 单项式的系数、次数 15 题型十二 写出满足某些特征的单项式 16 题型十三 单项式规律题 16 题型十四 多项式的判断 17 题型十五 多项式的项、项数或次数 18 题型十六 多项式系数、指数中字母求值 18 题型十七 将多项式按某个字母升幂(降幂)排列 19 题型十八 整式的判断 20 题型十九 数字类规律探索 20 题型二十 图形类规律探索 22 题型二十一 带有字母的绝对值化简问题 23 中考真题演练 24 难度分层训练 27 【基础夯实】 27 【培优拔高】 34 知识点梳理01：单项式 1.单项式的概念：数与字母的乘积，叫作单项式；例如：等等。 技巧点拨 （1）单项式包括三种类型： 数与字母相乘或字母与字母相乘组成的式子；例如：等等。 单独的一个数；例如：等等。 单独的一个字母．例如：等等。 （2）单项式中不能含有加减运算，但可以含有除法运算． 例如：或也是单项式，但分母中含有字母的不可以，如不是单项式，因为它不能写成数字与字母的乘积形式． 2.单项式的系数：单项式中的数字因数叫做这个单项式的系数，例如：的系数分别为． 技巧点拨 （1）圆周率π是常数．单项式中出现π时，算作系数； （2）当一个单项式的系数是1或-1时，“1”通常省略不写； （3）单项式的系数是带分数时，通常写成假分数，如：写成． 3.单项式的次数：单项式中，所有字母的指数和叫做这个单项式的次数，例如： 它们的次数分别为：2次，3次，3次．这里切记此处的π是数，不是作为字母，因此这个单项式的次数计算时只能算r的三次。 技巧点拨 （1）没有写指数的字母，实际上指数是1，请勿遗漏； （2）计算单项式的次数时，数字上的指数不能算． 知识点梳理02：多项式 1. 多项式的概念：几个单项式的和叫做多项式，例如：． 此例子中该多项式可以看成是，因此它是单项式的和。 多项式的概念中所说的和是包含减法的，因为所有的减法都可以转化成加法。 2. 多项式的项：每个单项式叫做多项式的项，不含字母的项叫做常数项． 这个多项式包含的项有三项： ，其中最后一项是，可不要当成1了！名师点拨 （1）多项式的每一项包括它前面的符号； （2）一个多项式含有几项，就叫几项式． 3. 多项式的次数：多项式里次数最高项的次数，叫做这个多项式的次数． 技巧点拨 多项式的次数不是所有项的次数之和，而是多项式中次数最高的单项式的次数，不要与单项式的次数混淆． 知识点梳理03：整式 单项式与多项式统称为整式．它们之间关系如下图： 技巧点拨 （1）整式包括单项式、多项式两种，也就是说一个式子如果时整式，那它要么是单项式，要么时多项式；如果一个式子是单项式，或是多项式，那它一定是整式． （2）分母中含有字母的式子一定不是整式，更不可能是单项式或多项式． 知识点梳理04：同类项的概念 1． 同类项：所含字母相同，并且相同字母的指数也相同的单项式叫做同类项． 技巧点拨 · 正确理解同类项的概念，要深入理解“两相同，两无关”： （1）“两相同”是指：①所含字母相同；②相同字母的指数相同； （2）“两无关”是指：①与系数无关； ②与字母的顺序无关． · 所有的常数项都是同类项． 2．合并同类项：把多项式中的同类项合并成一项，叫做合并同类项． 技巧点拨 合并同类项法则简记：系数相加减，其它都不变． 知识点梳理05：去括号法则 1． 去括号法则：去括号就是用括号外的数乘括号内的每一项，再把所得的积相加。 技巧点拨 （1） 括号前面是“+”，把括号和它前面的“+”去掉后，原括号里各项的符号都不改变； （2） 括号前面是“-”，把括号和它前面的“-”号去掉后，原括号里各项的符号都要改变． 2． 添括号法则： （1） 添括号后，括号前面是“+”，括号内各项的符号都不改变； （2） 添括号后，括号前面是“-”，括号内各项的符号都要改变． 知识点梳理06：整式的加法和减法 整式的加减运算法则：几个整式相加减，如果有括号就先去括号，然后再合并同类项． 技巧点拨 （1）整式加减的一般步骤是：①先去括号；②再合并同类项． （2）两个整式相加减时，“减数”一定要用括号“装”起来． （3）整式加减的最后结果的检查： · 要合并到不能再合并为止； · 一般按照某一字母的降幂或升幂排列； · 不能出现带分数． 题型一 同类项的判断 【典例精讲】（26-27七年级上·全国·课后作业）将如图所示的两个圈中的同类项用线连起来． 【答案】 【分析】同类项的定义为所含字母相同，并且相同字母的指数也相同的项，所有常数项都是同类项．根据同类项的定义，逐个对比两个圈中的项，找出同类项配对即可． 【详解】解：与，与，与，与，与是同类项． 【变式训练】（25-26七年级上·河南郑州·期末）下列各式中，是同类项的是（     ） A．与 B． 与 C．与 D．与 【答案】C 【详解】解：与所含字母不同，A错误； 与中相同字母的指数不相同，B错误； 与所含字母均为、，且相同字母指数均为1，C正确； 与中的指数不同，D错误． 题型二 已知同类项求指数中字母或代数式的值 【典例精讲】（26-27七年级上·全国·课后作业）和分别取何值时，与是同类项？ 【答案】， 【分析】根据同类项的定义：所含字母相同，并且相同字母的指数也相同，列出关于和的方程，求解后计算即可． 【详解】解：∵与是同类项， ∴，， 解得， ∴，时，与是同类项． 【变式训练】（25-26七年级上·湖南湘潭·期末）若与是同类项，则（     ） A．5 B．6 C．7 D．8 【答案】B 【分析】根据同类项的定义求出，，代入即可求出答案． 【详解】解：∵与是同类项， ∴，， 解得， ∴． 题型三 合并同类项 【典例精讲】（26-27七年级上·全国·课后作业）把看作一个整体，化简： (1)； (2)． 【答案】(1) (2) 【详解】（1）解： ； （2）解： ． 【变式训练】（26-27七年级上·全国·课后作业）合并同类项： (1)； (2)； (3)． 【答案】(1) (2) (3) 【详解】（1）解： ； （2）解： ； （3）解： ． 题型四 去括号 【典例精讲】（25-26七年级上·湖南湘潭·期中）下列各式中，去括号后得的是（     ） A． B． C． D． 【答案】A 【分析】根据去括号的法则依次进行运算，即可得到答案． 【详解】解：选项A：，选项A符合题意； 选项B：，选项B不符合题意； 选项C：，选项C不符合题意； 选项D：，选项D不符合题意． 【变式训练】（25-26六年级下·黑龙江绥化·期末）的结果是________． 【答案】 【分析】先去括号，再合并即可； 【详解】解： ． 题型五 添括号 【典例精讲】（25-26九年级下·河北石家庄·开学考试）下列各式中添括号正确的是（   ） A． B． C． D． 【答案】D 【分析】本题考查添括号法则与提公因式，根据添括号法则，即添括号时，括号前为负号，括号里的各项都改变符号，括号前为正号，各项不变符号，逐一判断各选项即可． 【详解】解：选项A、，则A错误； 选项B、，则B错误； 选项C、，则C错误； 选项D、根据添括号法则可得，变形符合规则，则D正确 故选：D． 【变式训练】（25-26七年级上·福建漳州·期末）当时，整式的值等于，那么当时，整式的值为（    ） A． B． C． D． 【答案】D 【分析】首先将代入已知等式，求出的值；然后将代入目标代数式，变形后代入的值计算最终结果． 【详解】解：∵当时，， ，即， 移项得． 当时，， ∴． 题型六 整式的加减运算 【典例精讲】（26-27七年级上·全国·课后作业）已知． (1)求； (2)求． 【答案】(1) (2) 【详解】（1）解：∵， ∴ （2）解：∵， ∴ 【变式训练】（25-26七年级上·黑龙江牡丹江·期中）某同学做一道数学题：已知两个多项式A，B，，计算．这名同学误将“”看成“”，求出的结果是．请你求出正确的结果． 【答案】 【分析】首先根据错误的运算关系求出，然后代入求解即可． 【详解】解：根据题意得， ∴ ∴， ∴ ． 题型七 整式的加减中的化简求值 【典例精讲】（26-27七年级上·全国·课后作业）先合并同类项，再求各多项式的值： (1)，其中； (2)，其中． 【答案】(1)， (2)，6 【详解】（1）解： ， 当时， 原式； （2）解： ， 当时， 原式． 【变式训练】（26-27七年级上·全国·课后作业）先化简，再求值： (1)，其中； (2)，其中． 【答案】(1) ， (2) ， 【详解】（1）解：原式 ； 当时，原式； （2）解：原式 ； 当时，原式； 题型八 整式加减中的无关型问题 【典例精讲】（25-26七年级上·江苏扬州·期末）已知，．若的值与x的取值无关，则___． 【答案】1 【分析】本题考查整式的加减运算，理解代数式的值与某个字母取值无关的含义，即该字母各项的系数均为，掌握合并同类项法则即可求解． 【详解】解： ， 因为的值与的取值无关，所以的各项系数为，可得 ，， 解得，， 则． 【变式训练】（25-26七年级下·湖南邵阳·阶段检测）已知的值与x的取值无关，求k的值． 解决这类题目时，我们通常将代数式合并同类项，得到，因为代数式的值与x的取值无关，所以，得到． 根据上述方法，求解： (1)若代数式的值与x的取值无关，求m的值； (2)已知，，且的值与x无关，求m，n的值 【答案】(1)2 (2) 【分析】（1）把原多项式去括号后合并同类项，再仿照题意求解即可； （2）根据整式的加减运算法则求出的结果，再根据的值与x无关得到的结果中含x的项的系数为0，据此列式求解即可． 【详解】（1）解： ， ∵代数式的值与x的取值无关， ∴， ∴； （2）解：∵， ∴ ， ∵的值与x无关， ∴， ∴． 题型九 整式加减的应用 【典例精讲】（26-27七年级上·全国·课后作业）如图所示的窗框，上部分为半圆，下部分为6个大小一样的长方形，长方形的长与宽的比为．如果长方形的长分别为、、等，那么窗框所需材料的长度分别是多少？如果长方形的长为呢？ 【答案】；；；. 【分析】先表示出长方形的宽，再根据所需材料的长度等于所有长方形的周长和半圆的周长以及三个半径的长度之和列式整理即可. 【详解】解：长方形的长和宽的比为，长方形的长为， 长方形的宽为， 所需材料的长度 ； 长方形的长和宽的比为，长方形的长为， 长方形的宽为， 所需材料的长度， ， ； 长方形的长和宽的比为，长方形的长为， 长方形的宽为， 所需材料的长度 ； 长方形的长和宽的比为，长方形的长为， 长方形的宽为， 所需材料的长度 . 【变式训练】（26-27七年级上·全国·课后作业）一个两位数，它的十位数字为a，个位数字为b．若把它的十位数字与个位数字对调，将得到一个新的两位数. (1)计算新数与原数的和，这个和能被11整除吗？为什么？ (2)计算新数与原数的差，这个差会被什么数整除？ 【答案】(1)能，理由：根据题意得原数为，调换后的新数为． 因为新数与原数的和为， 所以新数与原数的和能被11整除． (2)这个差会被9整除，理由：新数与原数的差为， 所以这个差会被9整除． 【分析】（1）根据题意表示出新数与原数，求出之和，即可作出判断； （2）求出新数与原数的差，即可作出判断． 题型十 单项式的判断 【典例精讲】（24-25七年级上·江苏苏州·阶段检测）下列判断中，错误的是（     ） A．是二次三项式 B．是单项式 C．是多项式 D．的次数是5 【答案】D 【详解】解：A．的最高次项是，次数为，共有个项，是二次三项式，判断正确，不符合题意； B．单独的一个数是单项式，因此是单项式，判断正确，不符合题意； C．，是两个单项式的和，属于多项式，判断正确，不符合题意； D．中是常数，单项式的次数是所有字母的指数和，即，因此次数是不是，判断错误，符合题意． 【变式训练】（25-26七年级上·上海·期中）在整式，，，，中，单项式的个数是（    ） A．1个 B．2个 C．3个 D．4个 【答案】C 【分析】本题考查单项式的定义，解题思路为根据单项式定义逐个判断题干中的整式，统计单项式个数即可得到答案，单项式定义为：由数与字母的乘积组成的代数式，单独的一个数或一个字母也叫做单项式，几个单项式的和为多项式． 【详解】解：∵是数与字母的乘积，是单项式 ∵，是两个单项式的差，属于多项式，不是单项式 ∵是数与字母的乘积，是单项式 ∵是单独的一个字母，是单项式 ∵是单项式和单项式的和，属于多项式，不是单项式 综上，单项式共有个，因此选C． 题型十一 单项式的系数、次数 【典例精讲】（26-27七年级上·全国·课后作业）说出下列单项式的系数和次数： (1)； (2)； (3)； (4)． 【答案】(1)系数是5，次数是2 (2)系数是1，次数是2 (3)系数是，次数是4 (4)系数是，次数是3 【详解】（1）解：的系数是5，次数是2； （2）解：的系数是1，次数是； （3）解：的系数是，次数是； （4）解：的系数是，次数是； 【变式训练】（25-26七年级上·湖南湘潭·期中）单项式的次数是________． 【答案】 【详解】∵ 单项式中，的指数为，的指数为， ∴ 该单项式的次数为． 题型十二 写出满足某些特征的单项式 【典例精讲】（2026·河南平顶山·三模）请写出一个只含字母的三次单项式：________． 【答案】（答案不唯一） 【分析】只要写出的单项式只含有字母，并且所有字母的指数和为即可． 【详解】解：∵只含的三次单项式， ∴只需满足和的指数和为，且系数不为即可， 例如中，指数为，指数为，指数和，符合要求． 【变式训练】（2026·河南平顶山·三模）请写出一个含有字母m，n，且次数是3，系数为的单项式：______． 【答案】或（答案不唯一） 【详解】解：符合题意的单项式可以是或． 题型十三 单项式规律题 【典例精讲】（2026·云南昆明·模拟预测）按一定规律排列的多项式：，，，，，…，第n个多项式是（     ） A． B． C． D． 【答案】B 【分析】本题为规律探究题，将多项式拆分为含x的项和含y的项，分别找出两项指数随n变化的规律，即可得到第n个多项式． 【详解】解：∵第1个多项式中，x的指数为，第2个多项式中，x的指数为，第3个多项式中，x的指数为…… ∴第个多项式中，x的指数为，即含x的项为． ∵第1个多项式中，y的指数为，第2个多项式中，y的指数为，第3个多项式中，y的指数为…… ∴第个多项式中，y的指数为，即含y的项为． 综上，第n个多项式为． 【变式训练】（25-26七年级上·湖北孝感·期中）观察下列代数式：，，，，，，按照上述规律，第个代数式是______，第个代数式是______． 【答案】 【分析】本题主要考查了数字变化的规律及单项式，能根据所给单项式发现其系数及次数的变化规律是解题的关键． 观察代数式序列，符号交替变化，系数和指数均为项数，利用表示符号规律． 【详解】解：序列中第个代数式的系数为，指数为，符号由决定， 故第个代数式为； 当时，， 故第个代数式为， 故答案为：；． 题型十四 多项式的判断 【典例精讲】（25-26七年级上·广东江门·期末）下列代数式中，是多项式的是（    ） A． B． C． D． 【答案】B 【分析】本题考查单项式与多项式的定义，明确“多项式是几个单项式的和”这一概念，据此区分单项式与多项式． 【详解】解：A：是数与字母的积，属于单项式； B：是两个单项式与的和，属于多项式； C：是数与字母的积，属于单项式； D：是数与字母的积，属于单项式； 故选：B． 【变式训练】（25-26七年级上·河北秦皇岛·期末）在代数式、、、5、、中，多项式有（   ） A．2个 B．3个 C．4个 D．5个 【答案】B 【分析】本题考查多项式的判断，根据多项式的定义，几个单项式的和的形式，进行判断即可． 【详解】解：在代数式、、、5、、中，多项式有、、，共3个； 故选B． 题型十五 多项式的项、项数或次数 【典例精讲】（26-27七年级上·全国·课后作业）指出下列多项式的项和次数： (1)； (2)． 【答案】(1)项为，，，；次数是3． (2)项为，，；次数是4． 【详解】（1）解：的项为，，，；次数是3； （2）解：的项为，，；次数是4． 【变式训练】（26-27七年级上·全国·课后作业）把多项式写成三个整式的和，使其中一个不含字母x，一个不含字母y． 【答案】 答案不唯一，例如 【分析】按字母包含情况对多项式的项分类，既含x又含y的项单独作为一个整式，其余项分配到另外两个整式中，使其分别满足不含x、不含y的要求. 【详解】解： 原多项式为，将各项按字母包含情况分类： 仅含x不含y的项： ；仅含y不含x的项： ；既含x又含y的项：， ；常数项： ， ∵ 不含x的整式不能有含x的项，不含y的整式不能有含y的项， ∴ 既含x又含y的项需作为第三个整式的组成部分， 取作为不含y的整式， 取作为不含x的整式， 取作为第三个整式， 三者的和为，与原式相等，符合题意. 题型十六 多项式系数、指数中字母求值 【典例精讲】（25-26七年级上·湖南湘潭·期末）若多项式是关于的二次二项式，则________． 【答案】 【分析】根据二次二项式的定义，最高次数为，且多项式只含两项，据此确定和的值，再计算即可． 【详解】解：∵多项式是关于的二次二项式． ∴多项式的最高次数为，可得． ∵多项式为二项式，即总共只有个非零项，最高次项系数，常数项． ∴一次项的系数为，即， 解得． ∴． 【变式训练】（24-25七年级上·浙江金华·阶段检测）多项式是关于x，y的四次二项式，则k的值为_________． 【答案】2 【分析】本题考查多项式的次数与项数的定义，利用多项式定义求参数的值，掌握多项式的相关定义是解题关键，根据四次二项式的定义，得到最高次项的次数为，且项的系数为，据此列方程求解即可． 【详解】解：多项式是关于，的四次二项式， 最高次项的次数为，可得： ， 解得，即或， 又多项式为二项式， 项的系数为，可得： ， 解得， 验证得符合四次二项式的要求． 题型十七 将多项式按某个字母升幂(降幂)排列 【典例精讲】（26-27七年级上·全国·课后作业）把多项式重新排列： (1)按x的降幂排列； (2)按y的升幂排列． 【答案】(1) (2) 【详解】（1）解：多项式按x的降幂排列为； （2）解：多项式按y的升幂排列为． 【变式训练】（25-26七年级上·上海·期中）整式按a降幂排列的结果是________________________． 【答案】 【分析】本题考查多项式的降幂排列，解题思路是先确定多项式中每一项的指数，再按照的指数从高到低排列各项，排列时保留各项原有的符号，不要遗漏项． 【详解】解：确定多项式中各项的指数分别为，按照的降幂排列，即按的指数从大到小排列各项， 可得 题型十八 整式的判断 【典例精讲】（25-26七年级上·上海·阶段检测）下列说法中，正确的是（     ） A．不是单项式 B．的系数是，次数是 C．不是整式 D．的系数是，次数是 【答案】B 【分析】本题根据单项式、整式的定义，以及单项式系数、次数的计算方法，逐一判断选项即可． 【详解】解：∵单独的一个数是单项式，∴是单项式，A选项错误； ∵的数字因数为，所有字母的指数和为，∴它的系数是，次数是，B选项正确； ∵是单项式，单项式属于整式，∴是整式，C选项错误； ∵的数字因数是，∴它的系数是，不是，D选项错误． 【变式训练】（25-26七年级上·河南信阳·期末）若整式，则整式的值为______． 【答案】 【分析】本题考查了整式、求代数式的值，利用整体代入法求值是解题的关键． 根据题意可得，然后整体代入所求代数式进行计算即可． 【详解】解：∵， ∴， ∴． 故答案为：． 题型十九 数字类规律探索 【典例精讲】（25-26七年级上·黑龙江牡丹江·期中）观察下列一组数：，…它们是按一定规律排列的，那么这组数的第n个数是_________ 【答案】 【分析】分别从符号、分子、分母三个方向寻找排列规律，先改写为分数形式，再归纳得到第个数的表达式． 【详解】解：按序号整理给出的数： 当时，， 当时，， 当时，， 当时，， 当时，， ∴ 可归纳出规律： 符号规律：第个数的符号为，奇数项为负，偶数项为正； 分子规律：分子为连续奇数，等于； 分母规律：分母为序号的平方加，等于； ∴ 这组数的第个数是． 【变式训练】（26-27七年级上·广东·开学考试）有一数值转换器，原理如图所示，如果开始输入的值是5，则第一次输出的结果是8，第二次输出的结果是7，……那么第2026次输出的结果是______． 【答案】8 【分析】根据输入数值的奇偶，按照流程图要求代入合适的代数式，求出前四次输出的结果，能够发现输出结果按照8、7、10三个数字进行循环，由此进行求解即可． 【详解】解：开始输入的值是5，5为奇数代入，得到第一次输出的结果是8； 8为偶数代入，得到第二次输出的结果是7； 7为奇数代入，得到第三次输出的结果是10； 10为偶数代入，得到第四次输出的结果是8， 这与第一次输出结果相同，所以输出结果按照8、7、10三个数字进行循环， ， 则第2026次输出的结果是8． 题型二十 图形类规律探索 【典例精讲】（26-27七年级上·全国·课后作业）按如图示的方式摆放餐桌和餐椅． (1)n张餐桌可以摆放多少把餐椅？ (2)8张餐桌可以摆放多少把餐椅？10张呢？15张呢？ 【答案】(1) (2)34；42；62 【分析】（1）观察摆放的餐桌和椅子图示，得到摆放1张，2张，3张桌子，…，放的椅子数依次是6，10，14，…从中得到一个规律，那么根据摆放规律，就能表示出摆放n张餐桌，应放的椅子数为，再进一步解答即可． （2）将，10，15，分别代入进行计算即可． 【详解】（1）解：由图示，摆放1张，2张，3张，…桌子，放的椅子数依次是6，10，14，… ， ， ， … ∴摆放n张餐桌应放的椅子数为． （2）解：当时，， 当时，， 当时，． 【变式训练】（25-26七年级上·湖南湘潭·期中）观察下图： (1)图中的点被线段隔开分成了四层，则第1层有1个点，第2层有3个点，第5层有________个点； (2)第n层应该有多少个点？ (3)第27层有多少个点？ 【答案】(1)9 (2) (3)53 【分析】（1）先统计已知的第1层、第2层、第3层、第4层的点数，分析相邻两层点数的差值规律即可求解； （2）根据层数和对应点数之间的规律，即可归纳出第层的点数公式； （3）将层数代入（2）中的公式计算即可． 【详解】（1）解： 第1层有 个点，第2层有 个点，第3层有 个点，第4层有 个点， 如果继续画下去，那么第5层有 个点 （2）解：第1层： 第2层： 第3层： 第4层： 按照这个规律：第层应该有个点． （3）解：把代入规律公式，得（个）， 所以第27层有个点． 题型二十一 带有字母的绝对值化简问题 【典例精讲】（25-26七年级上·湖南湘潭·期中）有理数a、b在数轴上的位置如图所示： (1)用“”或“”填空：____0，____0； (2)化简：． 【答案】(1)， (2) 【分析】（1）根据有理数a、b在数轴上的位置，结合有理数的加法法则可得答案； （2）根据（1）中结论和绝对值的性质化简即可． 【详解】（1）解：由数轴得：，，则； （2）解：∵，， ∴ ． 【变式训练】（25-26七年级上·广东揭阳·阶段检测）有理数、、在数轴上的位置如图所示，则化简 【答案】 【分析】先根据数轴判断、、大小及、绝对值大小，进而判断各代数式正负，再利用绝对值性质去绝对值符号，最后合并同类项化简式子即可． 【详解】解：由图可知，，， ∴，，， ∴，，， ∴ ． 【真题演练1】（2025·湖南湘潭·中考真题）一个多项式与的和是，则这个多项式为（     ） A． B． C． D． 【答案】C 【详解】解：由题意得 ， ∴这个多项式为． 【真题演练2】（2025·辽宁大连·中考真题）下列说法正确的是（     ） A．0和a不是单项式 B．的次数是1 C．的系数是 D．的次数是5 【答案】D 【分析】注意单项式的系数含符号，次数为所有字母指数和，单独的数或字母均为单项式． 【详解】解：A．0和a都是单项式，故A错误． B．的次数是，故B错误． C．的系数是，故C错误． D．的次数是，故D正确． 【真题演练3】（2025·上海·中考真题）填空： （1）一打铅笔有支，打铅笔有______支； （2）三角形的三边长分别为、、，这个三角形的周长为______； （3）如图，某广场四角均铺上了四分之一圆形的草地，若圆形的半径为，则共有草地______． 【答案】 【详解】解：（1）∵一打铅笔有支， ∴打铅笔有支； （2）三角形的周长为； （3）四块草地可以合并成一个半径为的圆， ∴草地的面积为． 【真题演练4】（2025·北京·中考真题）在下列各式的括号内填入适当的项： （1）( )； （2）( )； （3） ( )( )． 【答案】 （答案不唯一） （答案不唯一） 【分析】 根据添括号法则，括号前为负号时，添括号后括号内各项改变符号，依次计算各空即可． 【详解】解：（1）对等式变形得， 因此括号内填； （2）对等式变形得， 因此括号内填； （3）对等式变形得， 因此两个括号依次填（答案不唯一）和（答案不唯一）． 【真题演练5】（2025·安徽毫州·中考真题）阅读材料即当时，；当时，，用这个结论解决下列问题： (1)已知数a，b在数轴上对应点的位置如图所示，则________； (2)已知a，b是有理数，当时， _________； (3)若，则_________． 【答案】(1) (2)或 (3)或 【分析】（1）由数轴得，再结合题干所给材料计算即可得出结果； （2）由题意可得，同号，再分两种情况，结合题干所给材料计算即可得出结果； （3）由题意可得，，全为正数或其中两个为负数，一个为正数，再分两种情况，结合题干所给材料计算即可得出结果． 【详解】（1）解：由数轴得，， ∴； （2）解：∵a，b是有理数，， ∴，同号， 当，时，， 当，时，； 综上所述，或 （3）解：∵， ∴，，全为正数或其中两个为负数，一个为正数， 当，，全为正数时，， 当，，其中两个为负数，一个为正数时，不妨设，，，则， 综上所述，或． 【基础夯实】 1．（25-26七年级上·黑龙江牡丹江·期中）已知，有7个完全相同的边长为m、n的小长方形（如图1）和两个阴影部分的长方形拼成1个宽为10的大长方形（如图2），小明把这7个小长方形按如图所示放置在大长方形中．下列说法正确的是（） ①大长方形的长是；②阴影A的面积是； ③阴影A与阴影B的周长的和与m的取值无关；④阴影B的面积是． A．①②③ B．②③④ C．①②④ D．①③④ 【答案】A 【分析】根据图形确定大长方形的长、宽以及阴影部分的长和宽，利用长方形周长和面积公式进行计算判断． 【详解】解：大长方形的长可表示为；故①正确； 阴影A的长为m，宽为， ∴阴影A的面积为，故②正确； 阴影长方形的长为，宽为， 阴影长方形的周长为， 阴影长方形的长为，宽为， 阴影长方形的周长为， 阴影与阴影的周长的和为 ， 阴影与阴影的周长的和与的取值无关．故③正确； 阴影B的面积为，故④错误； 综上所述，正确的说法是①②③． 2．（25-26七年级上·湖南湘潭·期中）代数式的值（      ） A．当时，原式 B．当时，原式 C．当时，原式 D．不论x取何值，原式都等于12 【答案】D 【详解】解：原式 ， ∴ 不论取何值，原式都等于． 3．（25-26九年级上·云南昆明·期末）有一列式子，按一定规律排列成，…，则第n个式子为（     ） A． B． C． D． 【答案】D 【分析】分别从符号、系数绝对值、字母指数三部分归纳式子的规律即可得解． 【详解】解：由题意得，奇数项符号为正，偶数项符号为负， ∴第项的符号为， ∵各项系数的绝对值依次为，即， ∴第项的系数绝对值为， ∵第1项的指数为2，第2项为5，第3项为8，第4项的指数为，第5项为， ∴相邻两项指数差为， ∴第项的指数为， 综上所述，第个式子为． 4．（25-26七年级上·四川广元·期末）已知单项式与的和为单项式，则________． 【答案】 【分析】两个单项式的和为单项式，说明二者是同类项，根据同类项定义得到相同字母的指数相等，列方程求解和，再计算即可. 【详解】解：∵单项式与的和为单项式， ∴两个单项式是同类项，相同字母的指数相等， ∴，解得：， ∴. 5．（26-27七年级上·江苏宿迁·开学考试）古希腊著名的毕达哥拉斯学派经常用“数形结合”的方法研究数学问题．如图，由黑白两种正六边形地砖组成，第1幅图中白色六边形地砖有6块，第2幅图中白色六边形地砖有10块，第3幅图中白色六边形地砖有14块，那么第5幅图中白色六边形地砖有( )块，第幅图中白色六边形地砖有( )块． 【答案】 22 【分析】第1幅图中白色六边形地砖可分成最左边两块和余下四块，（块）；第2幅图中白色六边形地砖可分成最左边两块和余下两个四块，（块）；第3幅图中白色六边形地砖可分成最左边两块和余下三个四块，（块）；依次类推，第幅图中白色六边形地砖可分成最左边两块和余下个四块，（块）． 【详解】解：（块）， （块）． 6．（25-26七年级上·黑龙江牡丹江·期中）若，且，则________． 【答案】 【分析】先根据绝对值和乘方的定义得到、的所有可能取值，再根据，判断为非负数，筛选出符合条件的、，最后计算的值． 【详解】解： ， 或， ， 或， ， ， 当时，无论还是，都有，不符合条件，舍去； 当，时，满足，此时； 当，时，满足，此时； 综上，的值为． 7．（25-26七年级上·黑龙江牡丹江·期中）若，则_________ 【答案】 【分析】先从已知等式整理得到的值，将所求代数式变形后，整体代入计算即可得到结果． 【详解】解：∵ ， ∴ ， ∴ ， 把代入上式得： 原式． 8．（25-26七年级上·四川广元·期末）定义：将图①中的长方形纸片剪成号，号，号，号正方形和号长方形． (1)设号正方形的边长为，号正方形的边长为，求号，号正方形的边长分别是多少？（用，的代数式表示） (2)若图①中裁剪前长方形的周长为，试求号正方形的边长； (3)在（2）的情况下，若将这五个图形按图②的方式放入周长为的长方形中，求阴影部分的周长． 【答案】(1)； (2) (3) 【分析】（1）观察图形，易知号正方形的边长为号正方形的边长减去号正方形的边长，同理易知号正方形的边长为号正方形的边长减去号正方形的边长； （2）根据观察可知，图①中大长方形的长为号正方形的边长与号正方形的边长和，宽为号正方形的边长与号正方形的边长和，又知长方形的周长，即可求出号正方形的边长； （3）要求阴影部分的周长，可根据平移的性质得出阴影部分的周长即为长方形的周长，再利用大长方形的周长和大长方形的宽，进而可求出的长，从而解得阴影部分的周长． 【详解】（1）解：号正方形的边长为，号正方形的边长为， 号正方形的边长为，号正方形的边长为． （2）解：设号正方形的边长为，号正方形的边长为， ∴号正方形的边长为，号正方形的边长为， 则图①中的长方形的长为，宽为， 长方形的周长为，即， ． 号正方形的边长为， 号正方形的边长为． （3）解：如图，由平移知识可得阴影部分的周长为长方形的周长， 由（2）可知，号正方形的边长为，号正方形的边长为， 号长方形的宽为号正方形的边长减去号正方形的边长的差即：， ， 周长为的长方形的长为：，宽为， ， ， 则长方形的周长为：， 即阴影部分的周长为． 9．（26-27七年级上·全国·课后作业）完成下列小题 (1)观察下面图中小圆圈的排列方式，你发现了什么规律？ (2)根据（1）中的规律猜想： __________． (3)一般地，你能得到什么猜想？请用代数式表示． 【答案】(1)解：由图可得，图1由1个小圆圈组成，图2由4个小圆圈组成，图3由9个小圆圈组成，图4由16个小圆圈组成，…，图n由个小圆圈组成； 还可以发现图1由1个小圆圈组成，图2由个小圆圈组成，图3由个小圆圈组成，图4由个小圆圈组成，…，图n由个小圆圈组成； (2) (3)(n为正整数） 【分析】（1）根据图形的变化寻找规律进行求解即可； （2）由（1）求解即可； （3）由（1）求解即可． 【详解】（1）略 （2）解：由（1）可得：， ∴， ∴； （3）解：由（1）可得：(n为正整数）． 10．（26-27七年级上·全国·课后作业）某学校食堂的餐桌椅有两种摆放方式． (1)按下图方式摆放餐桌和椅子，照这样的方式继续排列餐桌，摆4张桌子可坐多少人？摆5张桌子呢？摆n张桌子呢？ (2)按下图方式摆放餐桌和椅子，照这样的方式继续排列餐桌，摆4张桌子可坐多少人？摆5张桌子呢？摆n张桌子呢？ (3)在食堂就餐的高峰时段，要求同时能坐下300人，上面哪种方式所需要的餐桌数较少？ 【答案】(1)摆4张桌子可坐12人，摆5张桌子可坐14人，摆n张桌子可坐人 (2)摆4张桌子可坐18人，摆5张桌子可坐22人，摆n张桌子可坐人 (3)按第二种方式所需要的餐桌数较少 【分析】（1）观察发现第一张餐桌上可以坐6人，每多一张餐桌，多坐2人，n张餐桌共可坐（人）； （2）观察发现第一张餐桌上可以坐6人，每多一张餐桌，多坐4人，n张餐桌共可坐（人）． （3）分别求出两种方式坐300人各需多少张桌子，再比较大小即可得解． 【详解】（1）解：观察发现：摆1张桌子可坐6人， 摆2张桌子可坐（人）， 摆3张桌子可坐（人）， 每增加一张桌子，增加2人， ∴摆4张桌子可坐（人）， 摆5张桌子可坐（人） 摆n张桌子可坐（人）； （2）解：观察发现：摆1张桌子可坐6人， 摆2张桌子可坐（人）， 摆3张桌子可坐（人）， 每增加一张桌子，增加4人， ∴摆4张桌子可坐（人）， 摆5张桌子可坐（人）， 摆n张桌子可坐（人）； （3）解：若按第一种方式， 由， 得， 则需要148张桌子； 若按第二种方式， 由， 得， 则需要75张桌子； ∵， ∴按第二种方式所需要的餐桌数较少． 【培优拔高】 1．（26-27七年级上·全国·开学考试）观察图中每个大三角形中白色三角形的排列规律，则第⑥个大三角形中白色的三角形有（     ）个． A．121 B．154 C．364 D．467 【答案】C 【分析】观察可知第2个图在第1个图的基础上增加3个白色三角形，第3个图在第2个图的基础上增加个三角形，第4个图在第3个图的基础上增加个三角形，，第n个图在第个图的基础上增加个三角形，据此规律求解即可． 【详解】解：第①个大三角形中白色三角形有个， 第②个大三角形中白色三角形有个， 第③个大三角形中白色三角形有个， ， 以此类推可知，第个大三角形中白色三角形有个， ∴第⑥个大三角形中白色的三角形有个． 2．（25-26八年级下·重庆巫山·期末）在整式，之间插入它们的平均数：，记作第一次操作，在与之间和与之间分别插入它们各自的平均数记作第二次操作，以此类推． ①第二次操作后，从左往右第四个整式为； ②经过三次操作后，若，，则所有整式的值之和为10； ③经过10次操作后，将得到1025个整式． 以上三个结论正确的个数为（     ） A．0个 B．1个 C．2个 D．3个 【答案】C 【分析】抓住每次操作插入相邻两整式的平均数、两端整式不变的特点，分别验证三个结论． 【详解】解：初始整式为，，每次操作仅在相邻整式间插入平均数，两端整式不变． ① 第一次操作插入的平均数为， ∴ 第一次操作后整式序列为，，，共3个． ∵ 第二次操作需在相邻两组间分别插入平均数，与的平均数为，与的平均数为， ∴ 第二次操作后整式序列为，，，，，共5个． ∴ 从左往右第四个整式为， 故①正确． ② 代入，，得初始两整式的值为，． 第一次操作后三个整式的值为，，，和为． 第二次操作后五个整式的值为，，，，，和为． 第三次操作后九个整式的值为，，，，，，，，， 和为， 故②错误． ③ 设第次操作后整式个数为，初始． ∵ 每次操作后新增整式个数等于原有整式的间隔数，即， ∴ ． 计算得：，，，．．． ∴ 第次操作后整式个数为．当时，， 故③正确． 综上，正确的结论有2个． 3．（25-26七年级下·河北张家口·期末）任取一个正整数，若是奇数，就将该数乘加；若是偶数，就将该数除以．反复进行上述运算，经过有限次的步骤，必然进入循环圈．这就是数学史上著名的“冰雹猜想”．如果对于正整数，经过步变换，第一次到达，就称为步“雹程”．如取，由上述运算法则得出：，共需经过个步骤变成，得，则下列结论错误的是（     ） A．当时， B．随着的增大，不一定也增大 C．若，则只能是 D．若，则只能是 【答案】D 【分析】对已知m的选项顺推计算步数，对已知n的选项逆推求m的可能值，结合“第一次到达1”的条件判断正误即可． 【详解】解：A、当时，变换过程为，共9步，即，故该选项正确，不符合题意； B、∵当时，变换过程为，共2步，即， 又∵当时，， ∴随着的增大，不一定也增大，故该选项正确，不符合题意； C、∵当时，即经过2步第一次到达1， ∴倒数第1步只能是（无正整数解）， ∴初始数只能是（无正整数解），故该选项正确，不符合题意； D、∵当时， ∴变换过程可以为，共5步；或，共5步， ∴不只能是，故该选项错误，符合题意． 4．（25-26七年级上·四川广元·期末）如图，这是2026年1月的月历，其中“”形、“”形两个阴影图形均覆盖四个数字，它们在框内可上下左右移动，可重叠．设“”形阴影图形覆盖的最小数字为，四个数字之和为；“”形阴影图形覆盖的最小数字为，四个数字之和为．若，则的最大值为________． 【答案】 【分析】“”形阴影图形覆盖的四个数分别为，，，，“”形阴影图形覆盖的四个数分别为，，，，可得，，即可由得，进而得到，最后取b的最大值22代入计算即可求解，正确识图是解题的关键． 【详解】解：“”形阴影图形覆盖的四个数分别为，，，，“”形阴影图形覆盖的四个数分别为，，，， 则， ， ∵， ∴， ∴， ∴， ∴， ∴， ∴ ， ∵a，b都是正整数，由日历表可知b的最大值为22， 此时，取得最大值，最大值为， ∴的最大值为203． 5．（25-26七年级上·河南郑州·阶段检测）口袋里装有51张卡片，其中50张上面分别写着1~50，剩下的一张小雄没有看清楚写的是什么数，但是知道这是一个大于100且不超过200的整数．小雄每次从袋中任意摸出5张卡片，然后算出这5张卡片上所有数的和，再将这个和的后两位数写在一张新卡片上放入袋中（如果此时袋中卡片不足5张但又多于1张，则全部取出计算，并放入）．经过若干次这样的操作后，袋中还剩下一张卡片，上面写的是86．那么小雄没有看清楚的那一张卡片上写的整数是___________． 【答案】 【分析】每次操作后，所有卡片上数的总和除以100的余数不变，最终剩下的数等于所有卡片数总和除以100的余数，据此建立关系求解未知的数. 【详解】解：设小雄没看清楚的数为，由题意得，且为整数， ∵每次取出若干个数计算后，放入它们和的后两位，总和减少的部分是100的倍数， ∴所有数总和除以的余数始终不变，最终剩下的就是所有数总和除以的余数， 计算的和：， 故所有数总和为， ∴除以的余数为， ∵除以的余数为， ∴除以的余数为， ∵， ∴. 6．（25-26七年级上·重庆沙坪坝·开学考试）在式子（其中）中，任选两个字母，在这两个字母及它们之间的部分两侧加绝对值后再去掉绝对值并化简（不改变字母的位置），称为第一轮“绝对操作”．例如，选择，进行第一轮“绝对操作”，得到，再对第一轮“绝对操作”后得到的式子进行同样的操作，称为第二轮“绝对操作”，例如，选择，进行第二轮“绝对操作”，得到，…，按此方法，进行轮“绝对操作”．对原式子进行第一轮“绝对操作”后，则有___________种不同的结果；若对原式子进行四轮“绝对操作”，且每轮操作中绝对值里只含两个字母，则有___________种不同的结果． 【答案】 6 【分析】根据新定义“绝对操作”的规则，结合绝对值的化简，按顺序枚举所有操作后的不同结果，统计数量即可． 【详解】解：先计算第一轮“绝对操作”的结果数量： 原式子为，，从个字母中任选个加绝对值，共种选法，分别化简： ①选：； ②选：，当时结果为，与上述结果重复，当时结果为，得到新结果； ③选：，与第一个结果重复； ④选：，当时结果为（新结果），当时结果为（新结果）； ⑤选：，得到新结果； ⑥选：，与第一个结果重复； 综上，第一轮共得到种不同结果； 接下来计算四轮每轮绝对值含两个字母的不同结果： 第一轮操作：； 或； ； ∴第一轮操作后，得到种不同结果：，，； 第二轮操作：对于仍然有3种结果：，，； 对于：， ， ； 对于：， 或， ， ∴第二轮操作后，共得到种不同结果：，，，； 第三轮操作：对于，，，最终结果仍为4种， 对于：， ， ， ∴第三轮操作后，共得到种不同结果：，，，，； 第四轮操作：对于，，，，最终结果仍为5种， 对于：， 或， ， ∴第四轮操作后，共得到6种不同结果：，，，，，． 7．（2026·江苏徐州·模拟预测）观察如图，图（1）有2个三角形，记作；图（2）有3个三角形，记作；图（3）有6个三角形，记作；图（4）有11个三角形，记作；按此方法继续下去，则=________． 【答案】9803 【分析】根据图形的一般规律，找出第个的规律即可求解． 【详解】解：由题意可得：； ； ； ； ， 由此可知：第n个图形有：， ∴． 8．（25-26八年级下·安徽宣城·期末）综合实践： 【问题背景】在生活中经常看到一些拼合图案如图1，它们或是用单独的正方形或是用多种正多边形混合拼接成的，拼成的图案要求严丝合缝，不留空隙．从数学角度看，这些工作就是用一些不重叠摆放的多边形把平面的一部分覆盖，通常把这类问题叫做用多边形覆盖平面（或平面镶嵌）的问题． 【问题情境】如图2是某广场用正十二边形、正方形和正三角形地板砖铺设的图案，图案中央是一块正十二边形地板砖，周围是正方形和正三角形的地板砖．从里向外第1层包括6块正方形和18块正三角形地板砖，第2层包括6块正方形和30块正三角形地板砖，第3层包括6块正方形和42块正三角形地板砖，…，依此类推． (1)【问题探究】①第4层中分别含有______块正方形和______块正三角形地板砖； ②第层中含有_______块正三角形地板砖（用含的代数式表示）． (2)观察下列算式，并完成填空： ； ； ； ； _______． (3)【问题拓展】现打算在此广场中央，采用如图2样式的图案铺设地面，现有1块正十二边形、120块正方形和870块正三角形地板砖，问：铺设这样的图案，从里向外最多能铺多少层？请说明理由． 【答案】(1)①6，54；② (2) (3)铺设这样的图案，最多能铺11层．理由如下： （层）， 块正方形地板砖可以铺设这样的图案20层； 由（1）（2）知，铺设层需要正三角形地板砖的数量为 ， 令， ， 因为，，且为正整数， 所以最大取12，即最大取11， 所以最多可以铺设这样的图案11层． 【分析】（1）列出前面几层正方形和三角形个数，找出规律，利用规律求解； （2）观察前面几个式子，找出规律，利用规律求解； （3）先计算出正方形地板可以铺多少层，由（1）（2）知，铺设层需要正三角形地板砖的数量为：，令，即可求解． 【详解】（1）解：①第1层包括6块正方形和18块正三角形地板砖， 第2层包括6块正方形和30块正三角形地板砖，， 第3层包括6块正方形和42块正三角形地板砖，， …… 以此类推，第4层包括正方形地板砖6块，正三角形地板砖：（块）； ②由①可知，第层含有正三角形地板砖的数量为； （2）解：由题意知，； （3）略 9．（25-26七年级上·湖南衡阳·期中）定义：若一个三位数的百位数字为，十位数字为，个位数字为（为整数，且），满足，则这个三位数叫做“杨山数”．例如：三位数，因为，所以它是“杨山数” (1)三位数是“杨山数”吗？请说明理由； (2)设一个“杨山数”为，请用含的代数式表示，并证明一定能被整除； (3)请写出所有百位数字为的“杨山数”． 【答案】(1) 解：是． 理由：对于三位数，， ∵， ∴， 故是“杨山数”； (2) 解：∵三位数的百位是、十位是、个位是， ∴， 证明：∵是“杨山数”， ∴，即， 则 又∵，且为整数， ∴是整数， 因此一定能被整除； (3). 【分析】（）提取的百位、十位、个位数字，代入“杨山数”的核心等式，验证等式是否成立； （）先写出三位数的通用表达式，再利用“杨山数”的条件消去，化简后判断式子是否为的倍数； （）固定百位数字为，结合得到与的关系，再根据数字的取值范围确定所有符合条件的组合. 【详解】（1）略 （2）略 （3）解：∵， ∴根据，得，即， ∵是的整数，是的整数，且(已满足)， ∴当时，，数为； 当时，，数为； 当时，，数为； 当时，，数为； 当时，，数为； 当时，(不符合，舍去)； 所以百位数字为的“杨山数”有： 10．（26-27七年级上·全国·课后作业）对于，可以用10个手指直观地展示出来：如图，将两手平伸，手心向上，从左边开始数至第3个手指，将它弯起，此时它的左边有2个手指，右边有7个手指，“27”正是“”的结果．类似地，，……，也可以用手指直观地展示出来．请用本章学过的知识解释其中的道理． 【答案】用字母a表示这九个数中的任意一个数，设弯下去的是第个手指，则左边的手指数为，作为十位数字，右边的手指数为，作为个位数字，则组成的两位数为． 【分析】用字母a表示这九个数中的任意一个数，设弯下去的是第个手指，则左边的手指数为，作为十位数字，右边的手指数为，作为个位数字，根据两位数的组成规则列代数式，利用整式的加减运算法则求解即可． 第 1 页 共 12 页 学科网（北京）股份有限公司 $nullnull 3.3 整式的加减［同步精编培优讲义］ （知识梳理+21个题型讲练+中考真题演练+难度分层练 共67题） 【2026-2027学年苏科版数学新教材•七年级上册（原卷版）】 思维导图 2 知识梳理 3 知识点梳理01：单项式 3 知识点梳理02：多项式 3 知识点梳理03：整式 4 知识点梳理04：同类项的概念 4 知识点梳理05：去括号法则 5 知识点梳理06：整式的加法和减法 5 题型讲练 5 题型一 同类项的判断 5 题型二 已知同类项求指数中字母或代数式的值 6 题型三 合并同类项 6 题型四 去括号 7 题型五 添括号 7 题型六 整式的加减运算 7 题型七 整式的加减中的化简求值 8 题型八 整式加减中的无关型问题 8 题型九 整式加减的应用 9 题型十 单项式的判断 10 题型十一 单项式的系数、次数 10 题型十二 写出满足某些特征的单项式 10 题型十三 单项式规律题 10 题型十四 多项式的判断 11 题型十五 多项式的项、项数或次数 11 题型十六 多项式系数、指数中字母求值 11 题型十七 将多项式按某个字母升幂(降幂)排列 12 题型十八 整式的判断 12 题型十九 数字类规律探索 12 题型二十 图形类规律探索 13 题型二十一 带有字母的绝对值化简问题 13 中考真题演练 14 难度分层训练 15 【基础夯实】 15 【培优拔高】 18 知识点梳理01：单项式 1.单项式的概念：数与字母的乘积，叫作单项式；例如：等等。 技巧点拨 （1）单项式包括三种类型： 数与字母相乘或字母与字母相乘组成的式子；例如：等等。 单独的一个数；例如：等等。 单独的一个字母．例如：等等。 （2）单项式中不能含有加减运算，但可以含有除法运算． 例如：或也是单项式，但分母中含有字母的不可以，如不是单项式，因为它不能写成数字与字母的乘积形式． 2.单项式的系数：单项式中的数字因数叫做这个单项式的系数，例如：的系数分别为． 技巧点拨 （1）圆周率π是常数．单项式中出现π时，算作系数； （2）当一个单项式的系数是1或-1时，“1”通常省略不写； （3）单项式的系数是带分数时，通常写成假分数，如：写成． 3.单项式的次数：单项式中，所有字母的指数和叫做这个单项式的次数，例如： 它们的次数分别为：2次，3次，3次．这里切记此处的π是数，不是作为字母，因此这个单项式的次数计算时只能算r的三次。 技巧点拨 （1）没有写指数的字母，实际上指数是1，请勿遗漏； （2）计算单项式的次数时，数字上的指数不能算． 知识点梳理02：多项式 1. 多项式的概念：几个单项式的和叫做多项式，例如：． 此例子中该多项式可以看成是，因此它是单项式的和。 多项式的概念中所说的和是包含减法的，因为所有的减法都可以转化成加法。 2. 多项式的项：每个单项式叫做多项式的项，不含字母的项叫做常数项． 这个多项式包含的项有三项： ，其中最后一项是，可不要当成1了！名师点拨 （1）多项式的每一项包括它前面的符号； （2）一个多项式含有几项，就叫几项式． 3. 多项式的次数：多项式里次数最高项的次数，叫做这个多项式的次数． 技巧点拨 多项式的次数不是所有项的次数之和，而是多项式中次数最高的单项式的次数，不要与单项式的次数混淆． 知识点梳理03：整式 单项式与多项式统称为整式．它们之间关系如下图： 技巧点拨 （1）整式包括单项式、多项式两种，也就是说一个式子如果时整式，那它要么是单项式，要么时多项式；如果一个式子是单项式，或是多项式，那它一定是整式． （2）分母中含有字母的式子一定不是整式，更不可能是单项式或多项式． 知识点梳理04：同类项的概念 1． 同类项：所含字母相同，并且相同字母的指数也相同的单项式叫做同类项． 技巧点拨 · 正确理解同类项的概念，要深入理解“两相同，两无关”： （1）“两相同”是指：①所含字母相同；②相同字母的指数相同； （2）“两无关”是指：①与系数无关； ②与字母的顺序无关． · 所有的常数项都是同类项． 2．合并同类项：把多项式中的同类项合并成一项，叫做合并同类项． 技巧点拨 合并同类项法则简记：系数相加减，其它都不变． 知识点梳理05：去括号法则 1． 去括号法则：去括号就是用括号外的数乘括号内的每一项，再把所得的积相加。 技巧点拨 （1） 括号前面是“+”，把括号和它前面的“+”去掉后，原括号里各项的符号都不改变； （2） 括号前面是“-”，把括号和它前面的“-”号去掉后，原括号里各项的符号都要改变． 2． 添括号法则： （1） 添括号后，括号前面是“+”，括号内各项的符号都不改变； （2） 添括号后，括号前面是“-”，括号内各项的符号都要改变． 知识点梳理06：整式的加法和减法 整式的加减运算法则：几个整式相加减，如果有括号就先去括号，然后再合并同类项． 技巧点拨 （1）整式加减的一般步骤是：①先去括号；②再合并同类项． （2）两个整式相加减时，“减数”一定要用括号“装”起来． （3）整式加减的最后结果的检查： · 要合并到不能再合并为止； · 一般按照某一字母的降幂或升幂排列； · 不能出现带分数． 题型一 同类项的判断 【典例精讲】（26-27七年级上·全国·课后作业）将如图所示的两个圈中的同类项用线连起来． 【变式训练】（25-26七年级上·河南郑州·期末）下列各式中，是同类项的是（     ） A．与 B． 与 C．与 D．与 题型二 已知同类项求指数中字母或代数式的值 【典例精讲】（26-27七年级上·全国·课后作业）和分别取何值时，与是同类项？ 【变式训练】（25-26七年级上·湖南湘潭·期末）若与是同类项，则（     ） A．5 B．6 C．7 D．8 题型三 合并同类项 【典例精讲】（26-27七年级上·全国·课后作业）把看作一个整体，化简： (1)； (2)． 【变式训练】（26-27七年级上·全国·课后作业）合并同类项： (1)； (2)； (3)． 题型四 去括号 【典例精讲】（25-26七年级上·湖南湘潭·期中）下列各式中，去括号后得的是（     ） A． B． C． D． 【变式训练】（25-26六年级下·黑龙江绥化·期末）的结果是________． 题型五 添括号 【典例精讲】（25-26九年级下·河北石家庄·开学考试）下列各式中添括号正确的是（   ） A． B． C． D． 【变式训练】（25-26七年级上·福建漳州·期末）当时，整式的值等于，那么当时，整式的值为（    ） A． B． C． D． 题型六 整式的加减运算 【典例精讲】（26-27七年级上·全国·课后作业）已知． (1)求； (2)求． 【变式训练】（25-26七年级上·黑龙江牡丹江·期中）某同学做一道数学题：已知两个多项式A，B，，计算．这名同学误将“”看成“”，求出的结果是．请你求出正确的结果． 题型七 整式的加减中的化简求值 【典例精讲】（26-27七年级上·全国·课后作业）先合并同类项，再求各多项式的值： (1)，其中； (2)，其中． 【变式训练】（26-27七年级上·全国·课后作业）先化简，再求值： (1)，其中； (2)，其中． 题型八 整式加减中的无关型问题 【典例精讲】（25-26七年级上·江苏扬州·期末）已知，．若的值与x的取值无关，则___． 【变式训练】（25-26七年级下·湖南邵阳·阶段检测）已知的值与x的取值无关，求k的值． 解决这类题目时，我们通常将代数式合并同类项，得到，因为代数式的值与x的取值无关，所以，得到． 根据上述方法，求解： (1)若代数式的值与x的取值无关，求m的值； (2)已知，，且的值与x无关，求m，n的值 题型九 整式加减的应用 【典例精讲】（26-27七年级上·全国·课后作业）如图所示的窗框，上部分为半圆，下部分为6个大小一样的长方形，长方形的长与宽的比为．如果长方形的长分别为、、等，那么窗框所需材料的长度分别是多少？如果长方形的长为呢？ 【变式训练】（26-27七年级上·全国·课后作业）一个两位数，它的十位数字为a，个位数字为b．若把它的十位数字与个位数字对调，将得到一个新的两位数. (1)计算新数与原数的和，这个和能被11整除吗？为什么？ (2)计算新数与原数的差，这个差会被什么数整除？ 题型十 单项式的判断 【典例精讲】（24-25七年级上·江苏苏州·阶段检测）下列判断中，错误的是（     ） A．是二次三项式 B．是单项式 C．是多项式 D．的次数是5 【变式训练】（25-26七年级上·上海·期中）在整式，，，，中，单项式的个数是（    ） A．1个 B．2个 C．3个 D．4个 题型十一 单项式的系数、次数 【典例精讲】（26-27七年级上·全国·课后作业）说出下列单项式的系数和次数： (1)； (2)； (3)； (4)． 【变式训练】（25-26七年级上·湖南湘潭·期中）单项式的次数是________． 题型十二 写出满足某些特征的单项式 【典例精讲】（2026·河南平顶山·三模）请写出一个只含字母的三次单项式：________． 【变式训练】（2026·河南平顶山·三模）请写出一个含有字母m，n，且次数是3，系数为的单项式：______． 题型十三 单项式规律题 【典例精讲】（2026·云南昆明·模拟预测）按一定规律排列的多项式：，，，，，…，第n个多项式是（     ） A． B． C． D． 【变式训练】（25-26七年级上·湖北孝感·期中）观察下列代数式：，，，，，，按照上述规律，第个代数式是______，第个代数式是______． 题型十四 多项式的判断 【典例精讲】（25-26七年级上·广东江门·期末）下列代数式中，是多项式的是（    ） A． B． C． D． 【变式训练】（25-26七年级上·河北秦皇岛·期末）在代数式、、、5、、中，多项式有（   ） A．2个 B．3个 C．4个 D．5个 题型十五 多项式的项、项数或次数 【典例精讲】（26-27七年级上·全国·课后作业）指出下列多项式的项和次数： (1)； (2)． 【变式训练】（26-27七年级上·全国·课后作业）把多项式写成三个整式的和，使其中一个不含字母x，一个不含字母y． 题型十六 多项式系数、指数中字母求值 【典例精讲】（25-26七年级上·湖南湘潭·期末）若多项式是关于的二次二项式，则________． 【变式训练】（24-25七年级上·浙江金华·阶段检测）多项式是关于x，y的四次二项式，则k的值为_________． 题型十七 将多项式按某个字母升幂(降幂)排列 【典例精讲】（26-27七年级上·全国·课后作业）把多项式重新排列： (1)按x的降幂排列； (2)按y的升幂排列． 【变式训练】（25-26七年级上·上海·期中）整式按a降幂排列的结果是________________________． 题型十八 整式的判断 【典例精讲】（25-26七年级上·上海·阶段检测）下列说法中，正确的是（     ） A．不是单项式 B．的系数是，次数是 C．不是整式 D．的系数是，次数是 【变式训练】（25-26七年级上·河南信阳·期末）若整式，则整式的值为______． 题型十九 数字类规律探索 【典例精讲】（25-26七年级上·黑龙江牡丹江·期中）观察下列一组数：，…它们是按一定规律排列的，那么这组数的第n个数是_________ 【变式训练】（26-27七年级上·广东·开学考试）有一数值转换器，原理如图所示，如果开始输入的值是5，则第一次输出的结果是8，第二次输出的结果是7，……那么第2026次输出的结果是______． 题型二十 图形类规律探索 【典例精讲】（26-27七年级上·全国·课后作业）按如图示的方式摆放餐桌和餐椅． (1)n张餐桌可以摆放多少把餐椅？ (2)8张餐桌可以摆放多少把餐椅？10张呢？15张呢？ 【变式训练】（25-26七年级上·湖南湘潭·期中）观察下图： (1)图中的点被线段隔开分成了四层，则第1层有1个点，第2层有3个点，第5层有________个点； (2)第n层应该有多少个点？ (3)第27层有多少个点？ 题型二十一 带有字母的绝对值化简问题 【典例精讲】（25-26七年级上·湖南湘潭·期中）有理数a、b在数轴上的位置如图所示： (1)用“”或“”填空：____0，____0； (2)化简：． 【变式训练】（25-26七年级上·广东揭阳·阶段检测）有理数、、在数轴上的位置如图所示，则化简 【真题演练1】（2025·湖南湘潭·中考真题）一个多项式与的和是，则这个多项式为（     ） A． B． C． D． 【真题演练2】（2025·辽宁大连·中考真题）下列说法正确的是（     ） A．0和a不是单项式 B．的次数是1 C．的系数是 D．的次数是5 【真题演练3】（2025·上海·中考真题）填空： （1）一打铅笔有支，打铅笔有______支； （2）三角形的三边长分别为、、，这个三角形的周长为______； （3）如图，某广场四角均铺上了四分之一圆形的草地，若圆形的半径为，则共有草地______． 【真题演练4】（2025·北京·中考真题）在下列各式的括号内填入适当的项： （1）( )； （2）( )； （3） ( )( )． 【真题演练5】（2025·安徽毫州·中考真题）阅读材料即当时，；当时，，用这个结论解决下列问题： (1)已知数a，b在数轴上对应点的位置如图所示，则________； (2)已知a，b是有理数，当时， _________； (3)若，则_________． 【基础夯实】 1．（25-26七年级上·黑龙江牡丹江·期中）已知，有7个完全相同的边长为m、n的小长方形（如图1）和两个阴影部分的长方形拼成1个宽为10的大长方形（如图2），小明把这7个小长方形按如图所示放置在大长方形中．下列说法正确的是（） ①大长方形的长是；②阴影A的面积是； ③阴影A与阴影B的周长的和与m的取值无关；④阴影B的面积是． A．①②③ B．②③④ C．①②④ D．①③④ 2．（25-26七年级上·湖南湘潭·期中）代数式的值（      ） A．当时，原式 B．当时，原式 C．当时，原式 D．不论x取何值，原式都等于12 3．（25-26九年级上·云南昆明·期末）有一列式子，按一定规律排列成，…，则第n个式子为（     ） A． B． C． D． 4．（25-26七年级上·四川广元·期末）已知单项式与的和为单项式，则________． 5．（26-27七年级上·江苏宿迁·开学考试）古希腊著名的毕达哥拉斯学派经常用“数形结合”的方法研究数学问题．如图，由黑白两种正六边形地砖组成，第1幅图中白色六边形地砖有6块，第2幅图中白色六边形地砖有10块，第3幅图中白色六边形地砖有14块，那么第5幅图中白色六边形地砖有( )块，第幅图中白色六边形地砖有( )块． 6．（25-26七年级上·黑龙江牡丹江·期中）若，且，则________． 7．（25-26七年级上·黑龙江牡丹江·期中）若，则_________ 8．（25-26七年级上·四川广元·期末）定义：将图①中的长方形纸片剪成号，号，号，号正方形和号长方形． (1)设号正方形的边长为，号正方形的边长为，求号，号正方形的边长分别是多少？（用，的代数式表示） (2)若图①中裁剪前长方形的周长为，试求号正方形的边长； (3)在（2）的情况下，若将这五个图形按图②的方式放入周长为的长方形中，求阴影部分的周长． 9．（26-27七年级上·全国·课后作业）完成下列小题 (1)观察下面图中小圆圈的排列方式，你发现了什么规律？ (2)根据（1）中的规律猜想： __________． (3)一般地，你能得到什么猜想？请用代数式表示． 10．（26-27七年级上·全国·课后作业）某学校食堂的餐桌椅有两种摆放方式． (1)按下图方式摆放餐桌和椅子，照这样的方式继续排列餐桌，摆4张桌子可坐多少人？摆5张桌子呢？摆n张桌子呢？ (2)按下图方式摆放餐桌和椅子，照这样的方式继续排列餐桌，摆4张桌子可坐多少人？摆5张桌子呢？摆n张桌子呢？ (3)在食堂就餐的高峰时段，要求同时能坐下300人，上面哪种方式所需要的餐桌数较少？ 【培优拔高】 1．（26-27七年级上·全国·开学考试）观察图中每个大三角形中白色三角形的排列规律，则第⑥个大三角形中白色的三角形有（     ）个． A．121 B．154 C．364 D．467 2．（25-26八年级下·重庆巫山·期末）在整式，之间插入它们的平均数：，记作第一次操作，在与之间和与之间分别插入它们各自的平均数记作第二次操作，以此类推． ①第二次操作后，从左往右第四个整式为； ②经过三次操作后，若，，则所有整式的值之和为10； ③经过10次操作后，将得到1025个整式． 以上三个结论正确的个数为（     ） A．0个 B．1个 C．2个 D．3个 3．（25-26七年级下·河北张家口·期末）任取一个正整数，若是奇数，就将该数乘加；若是偶数，就将该数除以．反复进行上述运算，经过有限次的步骤，必然进入循环圈．这就是数学史上著名的“冰雹猜想”．如果对于正整数，经过步变换，第一次到达，就称为步“雹程”．如取，由上述运算法则得出：，共需经过个步骤变成，得，则下列结论错误的是（     ） A．当时， B．随着的增大，不一定也增大 C．若，则只能是 D．若，则只能是 4．（25-26七年级上·四川广元·期末）如图，这是2026年1月的月历，其中“”形、“”形两个阴影图形均覆盖四个数字，它们在框内可上下左右移动，可重叠．设“”形阴影图形覆盖的最小数字为，四个数字之和为；“”形阴影图形覆盖的最小数字为，四个数字之和为．若，则的最大值为________． 5．（25-26七年级上·河南郑州·阶段检测）口袋里装有51张卡片，其中50张上面分别写着1~50，剩下的一张小雄没有看清楚写的是什么数，但是知道这是一个大于100且不超过200的整数．小雄每次从袋中任意摸出5张卡片，然后算出这5张卡片上所有数的和，再将这个和的后两位数写在一张新卡片上放入袋中（如果此时袋中卡片不足5张但又多于1张，则全部取出计算，并放入）．经过若干次这样的操作后，袋中还剩下一张卡片，上面写的是86．那么小雄没有看清楚的那一张卡片上写的整数是___________． 6．（25-26七年级上·重庆沙坪坝·开学考试）在式子（其中）中，任选两个字母，在这两个字母及它们之间的部分两侧加绝对值后再去掉绝对值并化简（不改变字母的位置），称为第一轮“绝对操作”．例如，选择，进行第一轮“绝对操作”，得到，再对第一轮“绝对操作”后得到的式子进行同样的操作，称为第二轮“绝对操作”，例如，选择，进行第二轮“绝对操作”，得到，…，按此方法，进行轮“绝对操作”．对原式子进行第一轮“绝对操作”后，则有___________种不同的结果；若对原式子进行四轮“绝对操作”，且每轮操作中绝对值里只含两个字母，则有___________种不同的结果． 7．（2026·江苏徐州·模拟预测）观察如图，图（1）有2个三角形，记作；图（2）有3个三角形，记作；图（3）有6个三角形，记作；图（4）有11个三角形，记作；按此方法继续下去，则=________． 8．（25-26八年级下·安徽宣城·期末）综合实践： 【问题背景】在生活中经常看到一些拼合图案如图1，它们或是用单独的正方形或是用多种正多边形混合拼接成的，拼成的图案要求严丝合缝，不留空隙．从数学角度看，这些工作就是用一些不重叠摆放的多边形把平面的一部分覆盖，通常把这类问题叫做用多边形覆盖平面（或平面镶嵌）的问题． 【问题情境】如图2是某广场用正十二边形、正方形和正三角形地板砖铺设的图案，图案中央是一块正十二边形地板砖，周围是正方形和正三角形的地板砖．从里向外第1层包括6块正方形和18块正三角形地板砖，第2层包括6块正方形和30块正三角形地板砖，第3层包括6块正方形和42块正三角形地板砖，…，依此类推． (1)【问题探究】①第4层中分别含有______块正方形和______块正三角形地板砖； ②第层中含有_______块正三角形地板砖（用含的代数式表示）． (2)观察下列算式，并完成填空： ； ； ； ； _______． (3)【问题拓展】现打算在此广场中央，采用如图2样式的图案铺设地面，现有1块正十二边形、120块正方形和870块正三角形地板砖，问：铺设这样的图案，从里向外最多能铺多少层？请说明理由． 9．（25-26七年级上·湖南衡阳·期中）定义：若一个三位数的百位数字为，十位数字为，个位数字为（为整数，且），满足，则这个三位数叫做“杨山数”．例如：三位数，因为，所以它是“杨山数” (1)三位数是“杨山数”吗？请说明理由； (2)设一个“杨山数”为，请用含的代数式表示，并证明一定能被整除； (3)请写出所有百位数字为的“杨山数”． 10．（26-27七年级上·全国·课后作业）对于，可以用10个手指直观地展示出来：如图，将两手平伸，手心向上，从左边开始数至第3个手指，将它弯起，此时它的左边有2个手指，右边有7个手指，“27”正是“”的结果．类似地，，……，也可以用手指直观地展示出来．请用本章学过的知识解释其中的道理． 第 1 页 共 12 页 学科网（北京）股份有限公司 $