2.3.2-3《乘方》整理与练习（核心知识点+易错点汇总+基本概念定义+数学思想+真题练习）2026-2027学年人教版七年级上册

本初中数学讲义聚焦有理数运算中的科学记数法与近似数，系统梳理科学记数法的概念（a×10ⁿ，1≤a<10，n为正整数）、表示方法（确定a和n）及还原方法，衔接准确数与近似数的区分、精确度含义（如1.8与1.80的区别）和四舍五入法，形成从概念到应用的完整学习支架。 资料采用两日分段预习设计，含核心知识点挖空、高频易错点汇总及真题训练，通过实例（如用科学记数法表示人口、还原数）培养模型意识与应用意识，借助四舍五入规则训练运算能力与推理意识。课中辅助教师高效授课，课后助力学生自检纠错，弥补知识盲点。

人教版七年级上册预习 第二章 有理数的运算 2.3.2 科学记数法 2.3.3 近似数 📅 两日分段预习打卡安排 【Day1 预习任务（建议 25min・科学记数法模块）】 ✅ 达成目标：理解科学记数法的概念，掌握用科学记数法表示大数的方法，能将科学记数法表示的数还原为原数 通读课本 P54-P55 科学记数法的概念和例5内容，自主完成下文「核心知识点 1-3」「基本概念 1」的挖空填写。 熟记科学记数法的形式（a×10ⁿ，其中1≤a<10，n是正整数），掌握a和n的确定方法，理解整数位数与10的指数的关系（n = 整数位数 - 1）。 完成基础训练选择题第1-5题，对照答案订正错题。 打卡自检：能用科学记数法表示大数，能将科学记数法表示的数还原为原数，能正确确定a和n的值。 【Day2 预习任务（建议 30min・近似数与综合应用模块）】 ✅ 达成目标：理解准确数和近似数的概念，掌握精确度的含义，能用四舍五入法取近似数，能在实际问题中应用科学记数法和近似数 通读课本 P55-P56 近似数的概念、精确度和例6内容，完成「核心知识点 4-6」「基本概念 2-5」剩余挖空填写。 掌握准确数和近似数的区别，理解精确度的含义（精确到哪一位），能用四舍五入法按要求取近似数，理解1.8与1.80精确度的不同。 完成基础训练选择题第6-10题、填空题和解答题，整理个人易错点。 打卡自检：能区分准确数和近似数，能用四舍五入法按要求取近似数，能判断近似数的精确度，能在实际问题中应用科学记数法。 一、核心知识点梳理 知识点 1：科学记数法的概念 在现实生活中，我们会遇到一些比较大的数。例如，太阳的半径约为696000 km；光的速度约为300000000 m/s；2022年11月15日，联合国宣布世界人口达到8000000000人。读、写这样大的数有一定的困难。 观察10的乘方，有如下特点：10²=100，10³=1000，10⁴=10000，…。一般地，10的n次幂等于1后面有n个0，因此可以利用10的乘方表示一些大数。 例如，696000 = 6.96×10⁵，读作"6.96乘10的5次方（幂）"。这样不仅可以使书写简短，同时还便于读数。 像上面这样，把一个大于10的数表示成a×10ⁿ的形式（其中a大于或等于1，且a小于10，n是正整数），使用的是科学记数法。 对于小于-10的数也可以类似表示，例如，-567000000 = -5.67×10⁸。 💡重要结论：科学记数法的形式是a×10ⁿ，其中1≤a<10，n是正整数。a必须满足大于或等于1且小于10，不能等于10，也不能小于1。 知识点 2：科学记数法的表示方法 用科学记数法表示一个数的步骤： （1）确定a：将原数的小数点向左移动，使a满足1≤a<10； （2）确定n：数出小数点向左移动的位数，即为n的值； （3）写成a×10ⁿ的形式。 例如：用科学记数法表示10100000。 将小数点向左移动7位，得到a=1.01，n=7，所以10100000 = 1.01×10⁷。 整数位数与10的指数的关系：用科学记数法表示一个n位整数（n大于或等于2），其中10的指数是n-1。 例如，1000000是7位整数，10的指数是6，即1000000 = 1×10⁶；300000000是9位整数，10的指数是8，即300000000 = 3×10⁸。 ⚠️易错提醒：确定a时，a必须满足1≤a<10。如果原数是整数，a通常是原数最高位数字后面加小数点和其余数字；如果原数末尾有多个0，a只保留非零部分。 知识点 3：科学记数法的还原 将科学记数法表示的数a×10ⁿ还原为原数的方法： （1）将a的小数点向右移动n位； （2）位数不够时用0补足。 例如：将3.96×10⁷还原为原数。 将3.96的小数点向右移动7位，得到39600000，所以3.96×10⁷ = 39600000。 又如：将8.5×10⁶还原为原数。 将8.5的小数点向右移动6位，得到8500000，所以8.5×10⁶ = 8500000。 还原规律：a×10ⁿ还原后的整数位数是n+1位（因为a至少有1位整数部分）。 💡重要结论：科学记数法的表示和还原是互逆的过程。表示时小数点向左移动n位，还原时小数点向右移动n位。 知识点 4：准确数与近似数的概念 准确数：确切地反映了实际数量的数，叫做准确数。 例如，"会议秘书处宣布，参加今天会议的有505人"，这里数字505确切地反映了实际人数，它是一个准确数。 近似数：接近实际数量，但与实际数量还有差别的数，叫做近似数。 例如，"约有五百人参加了今天的会议"，五百这个数只是接近实际人数，但与实际人数还有差别，它是一个近似数。 在许多情况下，很难取得准确数，或者不必使用准确数，而可以使用近似数。例如，宇宙的年龄约为138亿年，长江长约6300 km，圆周率π约为3.14，这里都使用了近似数。 💡重要结论：判断一个数是准确数还是近似数，关键看它是否与实际数量完全相符。带有"约"、"大约"、"估计"等词语的数通常是近似数。 知识点 5：精确度与四舍五入法 精确度：近似数与准确数的接近程度，可以用精确度表示。 例如，在前面的例子中，五百是精确到百位的近似数，它与准确数505的误差为5。 四舍五入法：取近似数的常用方法。按四舍五入法对圆周率π取近似数时，有： π≈3（精确到个位）， π≈3.1（精确到0.1，或叫作精确到十分位）， π≈3.14（精确到0.01，或叫作精确到百分位）， π≈3.142（精确到0.001，或叫作精确到千分位）， π≈3.1416（精确到0.0001，或叫作精确到万分位）， …… 四舍五入法的规则：要看精确到的那一位的下一位数字，如果下一位数字小于5，则舍去；如果下一位数字大于或等于5，则向前一位进1。 例如，1.804精确到0.1时，看百分位数字0，0<5，舍去，得1.8；1.804精确到百分位时，看千分位数字4，4<5，舍去，得1.80。 ⚠️易错提醒：1.8和1.80的精确度不同：1.8精确到十分位（0.1），1.80精确到百分位（0.01）。表示近似数时，不能简单地把1.80后面的0去掉，因为0表示精确度。 知识点 6：科学记数法与近似数的实际应用 科学记数法和近似数在实际生活中有广泛的应用： （1）表示大数：用科学记数法表示人口、距离、速度、面积等大数，使书写简短、便于读数； （2）表示测量结果：测量得到的数通常是近似数，需要按要求取近似数； （3）数据比较和计算：用科学记数法表示的数便于比较大小和进行计算。 例如，我国的陆地面积约为9600000 km²，用科学记数法表示为9.6×10⁶ km²；太阳的半径约为696000 km，用科学记数法表示为6.96×10⁵ km。 在实际应用中，要根据问题的需要选择合适的精确度，既不能过于精确造成不必要的麻烦，也不能过于粗略影响结果的准确性。 💡重要结论：科学记数法和近似数是处理实际数据的重要工具。科学记数法解决了大数书写困难的问题，近似数解决了实际测量和估算中无法或不必得到准确数的问题。 ⚠️ ⚠️ 高频易错点汇总（必看！） 易错点1：科学记数法中a的取值范围错误。a必须满足1≤a<10，不能等于10，也不能小于1。如把696000表示成69.6×10⁴是错误的，因为69.6>10，正确表示应为6.96×10⁵。 易错点2：科学记数法中10的指数n确定错误。n等于原数的整数位数减1，也等于小数点向左移动的位数。如1000000是7位整数，n应为6，不是7。 易错点3：负数的科学记数法表示错误。对于小于-10的数，负号保留在a前面，如-567000000 = -5.67×10⁸，不能写成5.67×10⁸而漏掉负号。 易错点4：近似数的精确度判断错误。1.8精确到十分位（0.1），1.80精确到百分位（0.01），两者精确度不同。不能简单地认为1.80后面的0可以去掉。 易错点5：四舍五入时进位错误。四舍五入要看精确到的那一位的下一位数字，下一位大于或等于5才进位。如0.0158精确到0.001时，看万分位数字8，8≥5，向千分位进1，得0.016，不是0.015。 易错点6：混淆准确数和近似数。带有"约"、"大约"、"估计"等词语的数通常是近似数，而通过计数得到的确切数量是准确数。如"班级有45名学生"是准确数，"学校约有2000名学生"是近似数。 二、基本概念定义 科学记数法：把一个大于10的数表示成__a×10ⁿ__的形式（其中a大于或等于__1__，且a小于__10__，n是正整数），使用的是科学记数法。 准确数：__确切__地反映了实际数量的数，叫做准确数。 近似数：接近实际数量，但与实际数量还有__差别__的数，叫做近似数。 精确度：近似数与准确数的__接近程度__，可以用精确度表示。 四舍五入法：取近似数的常用方法。要看精确到的那一位的__下一位__数字，如果下一位数字小于5，则__舍去__；如果下一位数字大于或等于5，则向前一位__进1__。 三、数学思想方法 1. 转化思想 转化思想是指将未知的、陌生的问题转化为已知的、熟悉的问题来解决的思想方法。在本节中，用科学记数法表示大数，就是将复杂的大数转化为简单的a×10ⁿ的形式；将科学记数法表示的数还原为原数，就是将a×10ⁿ转化为普通的数；取近似数就是将精确数转化为满足精确度要求的近似数，体现了转化思想。转化思想使复杂的数的表示和处理变得简单、方便。 2. 模型思想 模型思想是指通过建立数学模型来描述和解决实际问题的思想方法。在本节中，科学记数法a×10ⁿ就是表示大数的数学模型，通过这个模型可以简洁、规范地表示各种大数；近似数和精确度是描述测量和估算结果的数学模型，通过这个模型可以合理地表示实际问题中的近似数量，体现了模型思想。模型思想使数学知识与实际生活紧密联系。 3. 分类讨论思想 分类讨论思想是指根据问题的不同情况进行分类，分别研究各类情况的思想方法。在本节中，科学记数法中a的取值需要分类讨论（a=1、1<a<10）；取近似数时需要根据精确到的位数分类讨论（精确到个位、十分位、百分位等）；判断一个数是准确数还是近似数也需要分类讨论，体现了分类讨论思想。分类讨论使数的表示和处理更加有条理、更加全面。 4. 数形结合思想 数形结合思想是指将数量关系与图形表示相结合来研究问题的思想方法。在本节中，10的乘方10ⁿ与1后面n个0的对应关系，体现了数与形的结合；科学记数法中a×10ⁿ的形式，通过小数点的移动（形）来确定a和n的值（数），也体现了数形结合思想。数形结合使科学记数法的表示和还原更加直观、易于理解。 5. 应用意识 应用意识是指运用数学知识解决实际问题的意识和能力。在本节中，科学记数法广泛应用于表示人口、距离、速度、面积等实际生活中的大数；近似数广泛应用于测量、估算、统计等实际场景中。通过学习科学记数法和近似数，培养用数学知识解决实际问题的意识和能力，体现了应用意识。应用意识使数学学习与实际生活紧密结合，体现了数学的实用价值。 四、真题训练 一、选择题 1.（2024-2025学年·人教版同步）用科学记数法表示696000，正确的是（　　　） A. 69.6×10⁴ B. 6.96×10⁵ C. 6.96×10⁶ D. 0.696×10⁶ 【答案】B 【解析】本题考查科学记数法的表示。科学记数法的形式是a×10ⁿ，其中1≤a<10，n是正整数。696000 = 6.96×10⁵。 【解答】解：将696000的小数点向左移动5位，得到a=6.96，n=5， 所以696000 = 6.96×10⁵。 故选：B。 2.（2025-2026学年·北京期中）300000000用科学记数法表示为（　　　） A. 3×10⁸ B. 3×10⁹ C. 30×10⁷ D. 0.3×10⁹ 【答案】A 【解析】本题考查科学记数法的表示。300000000是9位整数，10的指数是8，即300000000 = 3×10⁸。 【解答】解：300000000是9位整数，n = 9 - 1 = 8，a = 3， 所以300000000 = 3×10⁸。 故选：A。 3.（2024-2025学年·山东济南期末）用科学记数法表示-567000000，正确的是（　　　） A. 5.67×10⁸ B. -5.67×10⁸ C. -56.7×10⁷ D. -0.567×10⁹ 【答案】B 【解析】本题考查负数的科学记数法表示。对于小于-10的数，负号保留在a前面，-567000000 = -5.67×10⁸。 【解答】解：将567000000的小数点向左移动8位，得到a=5.67，n=8， 负号保留在a前面，所以-567000000 = -5.67×10⁸。 故选：B。 4.（2025-2026学年·广东广州海珠期末）下列各数中，是准确数的是（　　　） A. 小明的身高约为165 cm B. 教室里有45张课桌 C. 今天的气温约为25℃ D. 我国人口约为14亿 【答案】B 【解析】本题考查准确数和近似数的概念。准确数是确切地反映了实际数量的数，带有"约"、"大约"等词语的数通常是近似数。 【解答】解：A. "约为165 cm"是近似数； B. "45张课桌"是通过计数得到的确切数量，是准确数； C. "约为25℃"是近似数； D. "约为14亿"是近似数。 故选：B。 5.（2024-2025学年·江苏南京期中）用四舍五入法对0.0158取近似数，精确到0.001，结果是（　　　） A. 0.015 B. 0.016 C. 0.01 D. 0.02 【答案】B 【解析】本题考查四舍五入法取近似数。精确到0.001（千分位），看万分位数字8，8≥5，向千分位进1，得0.016。 【解答】解：0.0158精确到0.001，看万分位数字8， 因为8≥5，所以向千分位进1， 0.0158 ≈ 0.016。 故选：B。 6.（2025-2026学年·福建福州期末）近似数1.80精确到（　　　） A. 个位 B. 十分位 C. 百分位 D. 千分位 【答案】C 【解析】本题考查近似数的精确度。1.80的最后一位数字0在百分位上，所以1.80精确到百分位（0.01）。 【解答】解：1.80的最后一位数字0在百分位上， 所以1.80精确到百分位（即精确到0.01）。 故选：C。 7.（2024-2025学年·河南周口期末）将科学记数法表示的数3.96×10⁷还原为原数，结果是（　　　） A. 3960000 B. 39600000 C. 396000000 D. 3960000000 【答案】B 【解析】本题考查科学记数法的还原。将a的小数点向右移动n位，3.96×10⁷ = 39600000。 【解答】解：将3.96的小数点向右移动7位， 得到39600000， 所以3.96×10⁷ = 39600000。 故选：B。 8.（2025-2026学年·辽宁大连甘井子期末）用四舍五入法对304.35取近似数，精确到个位，结果是（　　　） A. 304 B. 305 C. 304.4 D. 304.3 【答案】A 【解析】本题考查四舍五入法取近似数。精确到个位，看十分位数字3，3<5，舍去，得304。 【解答】解：304.35精确到个位，看十分位数字3， 因为3<5，所以舍去， 304.35 ≈ 304。 故选：A。 9.（2024-2025学年·四川成都期中）我国的陆地面积约为9600000 km²，用科学记数法表示为（　　　） A. 96×10⁵ km² B. 9.6×10⁶ km² C. 0.96×10⁷ km² D. 9.6×10⁷ km² 【答案】B 【解析】本题考查科学记数法的实际应用。9600000是7位整数，n=6，a=9.6，所以9600000 = 9.6×10⁶。 【解答】解：9600000是7位整数，n = 7 - 1 = 6，a = 9.6， 所以9600000 = 9.6×10⁶ km²。 故选：B。 10.（2025-2026学年·广东信宜期末）下列说法正确的是（　　　） A. 近似数1.8与1.80的精确度相同 B. 近似数2.0精确到个位 C. 用科学记数法表示的数a×10ⁿ中，a可以是任意数 D. 0.0158精确到0.001是0.016 【答案】D 【解析】本题考查科学记数法和近似数的综合概念。逐个判断：A中1.8精确到十分位，1.80精确到百分位，精确度不同；B中2.0精确到十分位；C中a必须满足1≤a<10；D正确。 【解答】解：A. 1.8精确到十分位，1.80精确到百分位，精确度不同，错误； B. 2.0精确到十分位，不是个位，错误； C. a必须满足1≤a<10，不能是任意数，错误； D. 0.0158精确到0.001，看万分位8≥5，进1，得0.016，正确。 故选：D。 二、填空题 11.（2024-2025学年·人教版同步）用科学记数法表示：1000000 = __1×10⁶ ______；8000000000 = ____8×10⁹____。 【答案】1×10⁶；8×10⁹ 【解析】本题考查科学记数法的表示。1000000是7位整数，n=6；8000000000是10位整数，n=9。 【解答】解：1000000是7位整数，n = 7 - 1 = 6，所以1000000 = 1×10⁶； 8000000000是10位整数，n = 10 - 1 = 9，所以8000000000 = 8×10⁹。 故答案为：1×10⁶；8×10⁹。 12.（2025-2026学年·北京期中）将科学记数法表示的数还原：4×10³ = ___4000_____；7.04×10⁵ = ____704000____。 【答案】4000；704000 【解析】本题考查科学记数法的还原。将a的小数点向右移动n位。 【解答】解：4×10³ = 4000； 7.04×10⁵ = 704000。 故答案为：4000；704000。 13.（2024-2025学年·广东海伦期末）用四舍五入法对1.804取近似数：精确到0.1是____1.8____；精确到百分位是__1.80______。 【答案】1.8；1.80 【解析】本题考查四舍五入法取近似数。精确到0.1看百分位0，0<5舍去，得1.8；精确到百分位看千分位4，4<5舍去，得1.80。 【解答】解：1.804精确到0.1，看百分位数字0，0<5，舍去，得1.8； 1.804精确到百分位，看千分位数字4，4<5，舍去，得1.80。 故答案为：1.8；1.80。 14.（2025-2026学年·北师大版同步）近似数3.14精确到___百分_____位；近似数3.142精确到_____千分___位。 【答案】百分；千分 【解析】本题考查近似数的精确度。3.14的最后一位4在百分位，精确到百分位；3.142的最后一位2在千分位，精确到千分位。 【解答】解：3.14的最后一位数字4在百分位上，所以精确到百分位； 3.142的最后一位数字2在千分位上，所以精确到千分位。 故答案为：百分；千分。 15.（2024-2025学年·江苏泰州期末）光的速度约为300000000 m/s，用科学记数法表示为____3×10⁸____ m/s。 【答案】3×10⁸ 【解析】本题考查科学记数法的实际应用。300000000是9位整数，n=8，a=3。 【解答】解：300000000是9位整数，n = 9 - 1 = 8，a = 3， 所以300000000 = 3×10⁸ 。 故答案为：3×10⁸。 16.（2025-2026学年·山东济南期末）用科学记数法表示一个n位整数（n≥2），其中10的指数是___n-1_____。 【答案】n-1 【解析】本题考查科学记数法中整数位数与10的指数的关系。用科学记数法表示一个n位整数，10的指数是n-1。 【解答】解：用科学记数法表示一个n位整数（n≥2），其中10的指数是n-1。 例如，1000000是7位整数，10的指数是6 = 7-1。 故答案为：n-1。 三、解答题 17.（2025-2026学年·人教版同步）用科学记数法表示下列各数： （1）100000；　　（2）7400000；　　（3）56000000；　　（4）567000000。 【答案】（1）1×10⁵；（2）7.4×10⁶；（3）5.6×10⁷；（4）5.67×10⁸。 【解析】本题考查科学记数法的表示。确定a和n的值，写成a×10ⁿ的形式。 【解答】解：（1）100000是6位整数，n = 6 - 1 = 5，a = 1，所以100000 = 1×10⁵； （2）7400000是7位整数，n = 7 - 1 = 6，a = 7.4，所以7400000 = 7.4×10⁶； （3）56000000是8位整数，n = 8 - 1 = 7，a = 5.6，所以56000000 = 5.6×10⁷； （4）567000000是9位整数，n = 9 - 1 = 8，a = 5.67，所以567000000 = 5.67×10⁸。 18.（2024-2025学年·人教版同步）下列用科学记数法表示的数，原来分别是什么数？ （1）1×10⁷；　　（2）4×10³；　　（3）8.5×10⁶；　　（4）7.04×10⁵；　　（5）3.96×10⁷。 【答案】（1）10000000；（2）4000；（3）8500000；（4）704000；（5）39600000。 【解析】本题考查科学记数法的还原。将a的小数点向右移动n位，位数不够时用0补足。 【解答】解：（1）1×10⁷ = 10000000； （2）4×10³ = 4000； （3）8.5×10⁶ = 8500000； （4）7.04×10⁵ = 704000； （5）3.96×10⁷ = 39600000。 19.（2025-2026学年·北京期中）按括号内的要求，用四舍五入法对下列各数取近似数： （1）0.00356（精确到万分位）；　　（2）61.235（精确到个位）； （3）1.8935（精确到0.001）；　　　（4）0.0571（精确到0.1）。 【答案】（1）0.0036；（2）61；（3）1.894；（4）0.1。 【解析】本题考查四舍五入法取近似数。根据精确到的位数，看下一位数字，小于5舍去，大于或等于5进1。 【解答】解：（1）0.00356精确到万分位，看十万分位数字6，6≥5，向万分位进1，得0.0036； （2）61.235精确到个位，看十分位数字2，2<5，舍去，得61； （3）1.8935精确到0.001，看万分位数字5，5≥5，向千分位进1，得1.894； （4）0.0571精确到0.1，看百分位数字5，5≥5，向十分位进1，得0.1。 20.（2024-2025学年·广东广州期末）下列各数中，哪些是准确数？哪些是近似数？ （1）某校七年级有328名学生； （2）小明的体重约为52 kg； （3）数学课本的长度约为26 cm； （4）教室里有25张桌子； （5）我国的国土面积约为960万平方千米。 【答案】准确数：（1）、（4）；近似数：（2）、（3）、（5）。 【解析】本题考查准确数和近似数的判断。准确数是确切地反映了实际数量的数，近似数是接近实际数量但与实际数量还有差别的数。带有"约"、"大约"等词语的数通常是近似数。 【解答】解：（1）"328名学生"是通过计数得到的确切数量，是准确数； （2）"约为52 kg"带有"约"，是近似数； （3）"约为26 cm"带有"约"，是近似数； （4）"25张桌子"是通过计数得到的确切数量，是准确数； （5）"约为960万平方千米"带有"约"，是近似数。 所以准确数是（1）、（4）；近似数是（2）、（3）、（5）。 21.（2025-2026学年·山东济南期末）2022年11月15日，联合国宣布世界人口达到8000000000人。 （1）用科学记数法表示8000000000； （2）如果按人口年均增长率1%计算，一年后世界人口约为多少人？（用科学记数法表示，结果保留2个有效数字） 【答案】（1）8×10⁹；（2）约8.1×10⁹人。 【解析】本题考查科学记数法的实际应用。（1）8000000000是10位整数，n=9；（2）先计算一年后的人口，再用科学记数法表示。 【解答】解：（1）8000000000是10位整数，n = 10 - 1 = 9，a = 8， 所以8000000000 = 8×10⁹。 （2）一年后世界人口 = 8000000000 × (1 + 1%) = 8000000000 × 1.01 = 8080000000， 用科学记数法表示为8.08×10⁹，保留2个有效数字约为8.1×10⁹人。 22.（2024-2025学年·江苏南京期末）某城市的总人口约为5.6×10⁶人。 （1）将5.6×10⁶还原为原数； （2）如果该城市的总面积约为7000 km²，那么该城市的人口密度约为多少人/km²？（用科学记数法表示，精确到百位） 【答案】（1）5600000；（2）约8.0×10²人/km²。 【解析】本题考查科学记数法的还原和实际应用。（1）将5.6的小数点向右移动6位；（2）人口密度 = 总人口 ÷ 总面积。 【解答】解：（1）将5.6的小数点向右移动6位，得到5600000， 所以5.6×10⁶ = 5600000。 （2）人口密度 = 5600000 ÷ 7000 = 800（人/km²）， 用科学记数法表示为8×10²人/km²，精确到百位为8.0×10²人/km²。 学科网（北京）股份有限公司 $ 人教版七年级上册预习 第二章 有理数的运算 2.3.2 科学记数法 2.3.3 近似数 📅 两日分段预习打卡安排 【Day1 预习任务（建议 25min・科学记数法模块）】 ✅ 达成目标：理解科学记数法的概念，掌握用科学记数法表示大数的方法，能将科学记数法表示的数还原为原数 通读课本 P54-P55 科学记数法的概念和例5内容，自主完成下文「核心知识点 1-3」「基本概念 1」的挖空填写。 熟记科学记数法的形式（a×10ⁿ，其中1≤a<10，n是正整数），掌握a和n的确定方法，理解整数位数与10的指数的关系（n = 整数位数 - 1）。 完成基础训练选择题第1-5题，对照答案订正错题。 打卡自检：能用科学记数法表示大数，能将科学记数法表示的数还原为原数，能正确确定a和n的值。 【Day2 预习任务（建议 30min・近似数与综合应用模块）】 ✅ 达成目标：理解准确数和近似数的概念，掌握精确度的含义，能用四舍五入法取近似数，能在实际问题中应用科学记数法和近似数 通读课本 P55-P56 近似数的概念、精确度和例6内容，完成「核心知识点 4-6」「基本概念 2-5」剩余挖空填写。 掌握准确数和近似数的区别，理解精确度的含义（精确到哪一位），能用四舍五入法按要求取近似数，理解1.8与1.80精确度的不同。 完成基础训练选择题第6-10题、填空题和解答题，整理个人易错点。 打卡自检：能区分准确数和近似数，能用四舍五入法按要求取近似数，能判断近似数的精确度，能在实际问题中应用科学记数法。 一、核心知识点梳理 知识点 1：科学记数法的概念 在现实生活中，我们会遇到一些比较大的数。例如，太阳的半径约为696000 km；光的速度约为300000000 m/s；2022年11月15日，联合国宣布世界人口达到8000000000人。读、写这样大的数有一定的困难。 观察10的乘方，有如下特点：10²=100，10³=1000，10⁴=10000，…。一般地，10的n次幂等于1后面有n个0，因此可以利用10的乘方表示一些大数。 例如，696000 = 6.96×10⁵，读作"6.96乘10的5次方（幂）"。这样不仅可以使书写简短，同时还便于读数。 像上面这样，把一个大于10的数表示成a×10ⁿ的形式（其中a大于或等于1，且a小于10，n是正整数），使用的是科学记数法。 对于小于-10的数也可以类似表示，例如，-567000000 = -5.67×10⁸。 💡重要结论：科学记数法的形式是a×10ⁿ，其中1≤a<10，n是正整数。a必须满足大于或等于1且小于10，不能等于10，也不能小于1。 知识点 2：科学记数法的表示方法 用科学记数法表示一个数的步骤： （1）确定a：将原数的小数点向左移动，使a满足1≤a<10； （2）确定n：数出小数点向左移动的位数，即为n的值； （3）写成a×10ⁿ的形式。 例如：用科学记数法表示10100000。 将小数点向左移动7位，得到a=1.01，n=7，所以10100000 = 1.01×10⁷。 整数位数与10的指数的关系：用科学记数法表示一个n位整数（n大于或等于2），其中10的指数是n-1。 例如，1000000是7位整数，10的指数是6，即1000000 = 1×10⁶；300000000是9位整数，10的指数是8，即300000000 = 3×10⁸。 ⚠️易错提醒：确定a时，a必须满足1≤a<10。如果原数是整数，a通常是原数最高位数字后面加小数点和其余数字；如果原数末尾有多个0，a只保留非零部分。 知识点 3：科学记数法的还原 将科学记数法表示的数a×10ⁿ还原为原数的方法： （1）将a的小数点向右移动n位； （2）位数不够时用0补足。 例如：将3.96×10⁷还原为原数。 将3.96的小数点向右移动7位，得到39600000，所以3.96×10⁷ = 39600000。 又如：将8.5×10⁶还原为原数。 将8.5的小数点向右移动6位，得到8500000，所以8.5×10⁶ = 8500000。 还原规律：a×10ⁿ还原后的整数位数是n+1位（因为a至少有1位整数部分）。 💡重要结论：科学记数法的表示和还原是互逆的过程。表示时小数点向左移动n位，还原时小数点向右移动n位。 知识点 4：准确数与近似数的概念 准确数：确切地反映了实际数量的数，叫做准确数。 例如，"会议秘书处宣布，参加今天会议的有505人"，这里数字505确切地反映了实际人数，它是一个准确数。 近似数：接近实际数量，但与实际数量还有差别的数，叫做近似数。 例如，"约有五百人参加了今天的会议"，五百这个数只是接近实际人数，但与实际人数还有差别，它是一个近似数。 在许多情况下，很难取得准确数，或者不必使用准确数，而可以使用近似数。例如，宇宙的年龄约为138亿年，长江长约6300 km，圆周率π约为3.14，这里都使用了近似数。 💡重要结论：判断一个数是准确数还是近似数，关键看它是否与实际数量完全相符。带有"约"、"大约"、"估计"等词语的数通常是近似数。 知识点 5：精确度与四舍五入法 精确度：近似数与准确数的接近程度，可以用精确度表示。 例如，在前面的例子中，五百是精确到百位的近似数，它与准确数505的误差为5。 四舍五入法：取近似数的常用方法。按四舍五入法对圆周率π取近似数时，有： π≈3（精确到个位）， π≈3.1（精确到0.1，或叫作精确到十分位）， π≈3.14（精确到0.01，或叫作精确到百分位）， π≈3.142（精确到0.001，或叫作精确到千分位）， π≈3.1416（精确到0.0001，或叫作精确到万分位）， …… 四舍五入法的规则：要看精确到的那一位的下一位数字，如果下一位数字小于5，则舍去；如果下一位数字大于或等于5，则向前一位进1。 例如，1.804精确到0.1时，看百分位数字0，0<5，舍去，得1.8；1.804精确到百分位时，看千分位数字4，4<5，舍去，得1.80。 ⚠️易错提醒：1.8和1.80的精确度不同：1.8精确到十分位（0.1），1.80精确到百分位（0.01）。表示近似数时，不能简单地把1.80后面的0去掉，因为0表示精确度。 知识点 6：科学记数法与近似数的实际应用 科学记数法和近似数在实际生活中有广泛的应用： （1）表示大数：用科学记数法表示人口、距离、速度、面积等大数，使书写简短、便于读数； （2）表示测量结果：测量得到的数通常是近似数，需要按要求取近似数； （3）数据比较和计算：用科学记数法表示的数便于比较大小和进行计算。 例如，我国的陆地面积约为9600000 km²，用科学记数法表示为9.6×10⁶ km²；太阳的半径约为696000 km，用科学记数法表示为6.96×10⁵ km。 在实际应用中，要根据问题的需要选择合适的精确度，既不能过于精确造成不必要的麻烦，也不能过于粗略影响结果的准确性。 💡重要结论：科学记数法和近似数是处理实际数据的重要工具。科学记数法解决了大数书写困难的问题，近似数解决了实际测量和估算中无法或不必得到准确数的问题。 ⚠️ ⚠️ 高频易错点汇总（必看！） 易错点1：科学记数法中a的取值范围错误。a必须满足1≤a<10，不能等于10，也不能小于1。如把696000表示成69.6×10⁴是错误的，因为69.6>10，正确表示应为6.96×10⁵。 易错点2：科学记数法中10的指数n确定错误。n等于原数的整数位数减1，也等于小数点向左移动的位数。如1000000是7位整数，n应为6，不是7。 易错点3：负数的科学记数法表示错误。对于小于-10的数，负号保留在a前面，如-567000000 = -5.67×10⁸，不能写成5.67×10⁸而漏掉负号。 易错点4：近似数的精确度判断错误。1.8精确到十分位（0.1），1.80精确到百分位（0.01），两者精确度不同。不能简单地认为1.80后面的0可以去掉。 易错点5：四舍五入时进位错误。四舍五入要看精确到的那一位的下一位数字，下一位大于或等于5才进位。如0.0158精确到0.001时，看万分位数字8，8≥5，向千分位进1，得0.016，不是0.015。 易错点6：混淆准确数和近似数。带有"约"、"大约"、"估计"等词语的数通常是近似数，而通过计数得到的确切数量是准确数。如"班级有45名学生"是准确数，"学校约有2000名学生"是近似数。 二、基本概念定义 科学记数法：把一个大于10的数表示成____的形式（其中a大于或等于____，且a小于____，n是正整数），使用的是科学记数法。 准确数：____地反映了实际数量的数，叫做准确数。 近似数：接近实际数量，但与实际数量还有____的数，叫做近似数。 精确度：近似数与准确数的____，可以用精确度表示。 四舍五入法：取近似数的常用方法。要看精确到的那一位的____数字，如果下一位数字小于5，则____；如果下一位数字大于或等于5，则向前一位____。 三、数学思想方法 1. 转化思想 转化思想是指将未知的、陌生的问题转化为已知的、熟悉的问题来解决的思想方法。在本节中，用科学记数法表示大数，就是将复杂的大数转化为简单的a×10ⁿ的形式；将科学记数法表示的数还原为原数，就是将a×10ⁿ转化为普通的数；取近似数就是将精确数转化为满足精确度要求的近似数，体现了转化思想。转化思想使复杂的数的表示和处理变得简单、方便。 2. 模型思想 模型思想是指通过建立数学模型来描述和解决实际问题的思想方法。在本节中，科学记数法a×10ⁿ就是表示大数的数学模型，通过这个模型可以简洁、规范地表示各种大数；近似数和精确度是描述测量和估算结果的数学模型，通过这个模型可以合理地表示实际问题中的近似数量，体现了模型思想。模型思想使数学知识与实际生活紧密联系。 3. 分类讨论思想 分类讨论思想是指根据问题的不同情况进行分类，分别研究各类情况的思想方法。在本节中，科学记数法中a的取值需要分类讨论（a=1、1<a<10）；取近似数时需要根据精确到的位数分类讨论（精确到个位、十分位、百分位等）；判断一个数是准确数还是近似数也需要分类讨论，体现了分类讨论思想。分类讨论使数的表示和处理更加有条理、更加全面。 4. 数形结合思想 数形结合思想是指将数量关系与图形表示相结合来研究问题的思想方法。在本节中，10的乘方10ⁿ与1后面n个0的对应关系，体现了数与形的结合；科学记数法中a×10ⁿ的形式，通过小数点的移动（形）来确定a和n的值（数），也体现了数形结合思想。数形结合使科学记数法的表示和还原更加直观、易于理解。 5. 应用意识 应用意识是指运用数学知识解决实际问题的意识和能力。在本节中，科学记数法广泛应用于表示人口、距离、速度、面积等实际生活中的大数；近似数广泛应用于测量、估算、统计等实际场景中。通过学习科学记数法和近似数，培养用数学知识解决实际问题的意识和能力，体现了应用意识。应用意识使数学学习与实际生活紧密结合，体现了数学的实用价值。 四、真题训练 一、选择题 1.（2024-2025学年·人教版同步）用科学记数法表示696000，正确的是（　　　） A. 69.6×10⁴ B. 6.96×10⁵ C. 6.96×10⁶ D. 0.696×10⁶ 2.（2025-2026学年·北京期中）300000000用科学记数法表示为（　　　） A. 3×10⁸ B. 3×10⁹ C. 30×10⁷ D. 0.3×10⁹ 3.（2024-2025学年·山东济南期末）用科学记数法表示-567000000，正确的是（　　　） A. 5.67×10⁸ B. -5.67×10⁸ C. -56.7×10⁷ D. -0.567×10⁹ 4.（2025-2026学年·广东广州海珠期末）下列各数中，是准确数的是（　　　） A. 小明的身高约为165 cm B. 教室里有45张课桌 C. 今天的气温约为25℃ D. 我国人口约为14亿 5.（2024-2025学年·江苏南京期中）用四舍五入法对0.0158取近似数，精确到0.001，结果是（　　　） A. 0.015 B. 0.016 C. 0.01 D. 0.02 6.（2025-2026学年·福建福州期末）近似数1.80精确到（　　　） A. 个位 B. 十分位 C. 百分位 D. 千分位 7.（2024-2025学年·河南周口期末）将科学记数法表示的数3.96×10⁷还原为原数，结果是（　　　） A. 3960000 B. 39600000 C. 396000000 D. 3960000000 8.（2025-2026学年·辽宁大连甘井子期末）用四舍五入法对304.35取近似数，精确到个位，结果是（　　　） A. 304 B. 305 C. 304.4 D. 304.3 9.（2024-2025学年·四川成都期中）我国的陆地面积约为9600000 km²，用科学记数法表示为（　　　） A. 96×10⁵ km² B. 9.6×10⁶ km² C. 0.96×10⁷ km² D. 9.6×10⁷ km² 10.（2025-2026学年·广东信宜期末）下列说法正确的是（　　　） A. 近似数1.8与1.80的精确度相同 B. 近似数2.0精确到个位 C. 用科学记数法表示的数a×10ⁿ中，a可以是任意数 D. 0.0158精确到0.001是0.016 二、填空题 11.（2024-2025学年·人教版同步）用科学记数法表示：1000000 = __ ______；8000000000 = ________。 12.（2025-2026学年·北京期中）将科学记数法表示的数还原：4×10³ = ________；7.04×10⁵ = ________。 13.（2024-2025学年·广东海伦期末）用四舍五入法对1.804取近似数：精确到0.1是________；精确到百分位是________。 14.（2025-2026学年·北师大版同步）近似数3.14精确到________位；近似数3.142精确到________位。 15.（2024-2025学年·江苏泰州期末）光的速度约为300000000 m/s，用科学记数法表示为________ m/s。 16.（2025-2026学年·山东济南期末）用科学记数法表示一个n位整数（n≥2），其中10的指数是________。 三、解答题 17.（2025-2026学年·人教版同步）用科学记数法表示下列各数： （1）100000；　　（2）7400000；　　（3）56000000；　　（4）567000000。 【答案】（1）1×10⁵；（2）7.4×10⁶；（3）5.6×10⁷；（4）5.67×10⁸。 【解析】本题考查科学记数法的表示。确定a和n的值，写成a×10ⁿ的形式。 18.（2024-2025学年·人教版同步）下列用科学记数法表示的数，原来分别是什么数？ （1）1×10⁷；　　（2）4×10³；　　（3）8.5×10⁶；　　（4）7.04×10⁵；　　（5）3.96×10⁷。 19.（2025-2026学年·北京期中）按括号内的要求，用四舍五入法对下列各数取近似数： （1）0.00356（精确到万分位）；　　（2）61.235（精确到个位）； （3）1.8935（精确到0.001）；　　　（4）0.0571（精确到0.1）。 20.（2024-2025学年·广东广州期末）下列各数中，哪些是准确数？哪些是近似数？ （1）某校七年级有328名学生； （2）小明的体重约为52 kg； （3）数学课本的长度约为26 cm； （4）教室里有25张桌子； （5）我国的国土面积约为960万平方千米。 21.（2025-2026学年·山东济南期末）2022年11月15日，联合国宣布世界人口达到8000000000人。 （1）用科学记数法表示8000000000； （2）如果按人口年均增长率1%计算，一年后世界人口约为多少人？（用科学记数法表示，结果保留2个有效数字） 22.（2024-2025学年·江苏南京期末）某城市的总人口约为5.6×10⁶人。 （1）将5.6×10⁶还原为原数； （2）如果该城市的总面积约为7000 km²，那么该城市的人口密度约为多少人/km²？（用科学记数法表示，精确到百位） 学科网（北京）股份有限公司 $