第8练 向量的内积《数学》拓展模块上册（高教版第三版）《一课一练》(原卷版+解析版)

**基本信息** 中职数学高教版第三版《一课一练》平面向量内积同步练，以三阶分层设计（选择/填空/解答）实现从概念理解到综合应用的递进，通过基础巩固与适度提升，培养数学抽象能力、运算能力及模型意识。 **分层设计** |层次|知识覆盖|设计特色| |----|----------|----------| |基础（选择8题）|向量内积概念、夹角计算、基本性质|直接考查定义辨析与公式直接应用，如向量夹角求解| |巩固（填空4题）|模长与内积关系、单位向量运算|强化公式变式应用，如已知模长和夹角求内积| |应用（解答2题）|综合运算、平行垂直条件应用|结合参数求解与夹角综合问题，如已知平行求参数|

中职数学高教版第三版《一课一练》，依托三阶支架资源体系精心编撰。本专辑作为课堂教学同步配套资源，作业设计严格对标课堂知识点，遵循“由浅入深、循序渐进”的认知逻辑，侧重于基础性与实效性，旨在降低学习门槛，帮助学生巩固课堂所学，通过科学、系统的反复训练，帮助学生打牢数学基础。 《数学》拓展模块上册（高教版第三版） 第二章 平面向量 第 8 练 向量的内积 一、选择题 1．已知两个非零向量和满足，则与的夹角为（   ） A． B． C． D． 2．已知向量与的夹角为，，则（   ） A．6 B．5 C．3 D．2 3．已知向量满足，，，则（   ） A． B． C． D． 4．已知平面向量 满足，且与的夹角为，则的值为（    ） A． B． C． D． 5．已知，则与的夹角为（   ） A． B． C． D． 6．下列各式中不表示向量的是（   ） A． B． C． D． 7．若向量满足，与的夹角为，则等于（    ） A．2 B． C． D． 8．若向量，满足，则（ ） A． B． C． D． 二、填空题 9．已知向量和的夹角为，，，则________. 10．已知，，若，则与的夹角为___________. 11．若平面向量，，与的夹角为，则________. 12．已知，为单位向量，其夹角为，则__________. 三、解答题 13．已知与的夹角为，求. 14．已知，． (1)若，求； (2)若，求和夹角． 原创精品资源学科网独家享有版权，侵权必究！ 学科网（北京）股份有限公司 学科网（北京）股份有限公司 学科网（北京）股份有限公司 $ 中职数学高教版第三版《一课一练》，依托三阶支架资源体系精心编撰。本专辑作为课堂教学同步配套资源，作业设计严格对标课堂知识点，遵循“由浅入深、循序渐进”的认知逻辑，侧重于基础性与实效性，旨在降低学习门槛，帮助学生巩固课堂所学，通过科学、系统的反复训练，帮助学生打牢数学基础。 《数学》拓展模块上册（高教版第三版） 第二章 平面向量 第 8 练 向量的内积 一、选择题 1．已知两个非零向量和满足，则与的夹角为（   ） A． B． C． D． 【答案】B 【分析】根据向量垂直以及向量内积求解即可. 【详解】已知两个非零向量和满足，则与的夹角为. 故选：B. 2．已知向量与的夹角为，，则（   ） A．6 B．5 C．3 D．2 【答案】C 【分析】根据向量的内积公式求解即可. 【详解】已知向量与的夹角为，，则. 故选：C. 3．已知向量满足，，，则（   ） A． B． C． D． 【答案】D 【分析】利用向量的夹角公式求解. 【详解】已知，，， 则. 故选：D. 4．已知平面向量 满足，且与的夹角为，则的值为（    ） A． B． C． D． 【答案】B 【分析】根据平面向量的运算法则算出即可得解. 【详解】平面向量 满足，且与的夹角为， ， 所以， 故选：. 5．已知，则与的夹角为（   ） A． B． C． D． 【答案】D 【分析】根据向量夹角的公式求值即可. 【详解】已知， 则， 因为，所以， 故选：D. 6．下列各式中不表示向量的是（   ） A． B． C． D． 【答案】C 【分析】根据平面向量的相关定义即可得解. 【详解】对于A，结果是零向量，属于向量； 对于B，结果是向量； 对于C，表示模长，不表示向量； 对于D，表示向量， 故选：. 7．若向量满足，与的夹角为，则等于（    ） A．2 B． C． D． 【答案】D 【分析】根据内积的定义可得结果. 【详解】由已知可得，. 故选：D 8．若向量，满足，则（ ） A． B． C． D． 【答案】C 【分析】分别求出，，，再利用平方求模即可. 由，可得.由，可得， 即，所以. 由，可得. 所以，则. 二、填空题 9．已知向量和的夹角为，，，则________. 【答案】0 【分析】利用平面向量数量积的定义进行计算即可. 【详解】由平面向量数量积的定义可得. 故答案为：. 10．已知，，若，则与的夹角为___________. 【答案】 【分析】利用向量的夹角公式求解即可. 【详解】已知，，若， 则， 因为，所以， 所以与的夹角为， 故答案为：. 11．若平面向量，，与的夹角为，则________. 【答案】3 【分析】根据向量内积的定义即可求解. 【详解】因为向量，，与的夹角为， 所以. 故答案为：3. 12．已知，为单位向量，其夹角为，则__________. 【答案】0 【分析】根据题意结合平面向量的运算律即可得解. 【详解】已知，为单位向量，其夹角为， 则， 故答案为：. 三、解答题 13．已知与的夹角为，求. 【答案】 【详解】 14．已知，． (1)若，求； (2)若，求和夹角． 【答案】(1) (2)（或） 【分析】（1）向量内积的定义式为（是与的夹角），时，夹角只有两种可能：（同向）或（反向），代值计算即可； （2）是与的夹角，由内积定义式，可推导出夹角的余弦值公式，计算出的值，根据夹角的取值范围找到对应的夹角即可． 【详解】（1）设是向量的夹角， ∵，∴（同向）或（反向）， 当时，，则； 当时，，则． 故或； （2）设是向量的夹角， ， ， ∵，且， ∴（或）． 原创精品资源学科网独家享有版权，侵权必究！ 学科网（北京）股份有限公司 学科网（北京）股份有限公司 学科网（北京）股份有限公司 $