第2练 充要条件《数学》拓展模块上册（高教版第三版）《一课一练》(原卷版+解析版)

**基本信息** 中职数学高教版第三版《一课一练》同步练，聚焦“充要条件”，以选择、填空、解答三级分层，实现从概念辨析到综合应用的巩固路径，培养推理能力与符号意识。 **分层设计** |层次|知识覆盖|设计特色| |----|----------|----------| |基础认知|单一条件判断|选择题1-3直接辨析（如“6的倍数是3的倍数”），强化符号意识| |概念深化|结合集合/方程的条件关系|填空题9-12关联几何/代数情境（如菱形与对角线关系），发展抽象能力| |综合应用|多情境下条件类型论证|解答题13-14需规范推理过程（如三角形边角关系判断），提升推理能力|

中职数学高教版第三版《一课一练》，依托三阶支架资源体系精心编撰。本专辑作为课堂教学同步配套资源，作业设计严格对标课堂知识点，遵循“由浅入深、循序渐进”的认知逻辑，侧重于基础性与实效性，旨在降低学习门槛，帮助学生巩固课堂所学，通过科学、系统的反复训练，帮助学生打牢数学基础。 《数学》拓展模块上册（高教版第三版） 第一章 充要条件 第 2 练 充要条件 一、选择题 1．“”是“”的（    ） A．充分不必要条件 B．必要不充分条件 C．充要条件 D．既不充分也不必要条件 2．已知集合，则 “” 是 “” 的（    ） A．充分不必要条件 B．必要不充分条件 C．充要条件 D．既不充分也不必要条件 3．设p：一个数是6的倍数；q：一个数是3的倍数.则p是q的（ ） A．充分不必要条件 B．必要不充分条件 C．充要条件 D．既不充分也不必要条件 4．设命题p：“”，命题q：“”，则p是q的（    ） A．充分不必要条件 B．必要不充分条件 C．充要条件 D．既不充分也不必要条件 5．已知命题p：“”，命题q：“”，则命题 “”（即 “p且q”）成立的充要条件是（    ） A． B． C． D．或 6．设，为非零实数，则“”是 “”成立的（    ） A．充分不必要条件 B．必要不充分条件 C．既不充分也不必要条件 D．充要条件 7．“”是“”的（ ） A．充分不必要条件 B．必要不充分条件 C．充分必要条件 D．既不充分也不必要条件 8．已知命题p：x为自然数，命题q：x为整数，则p是q的（    ） A．充分不必要条件 B．必要不充分条件 C．充分必要条件 D．既不充分也不必要条件 二、填空题 9．""是""的________条件. 10．“四边形是菱形”是“四边形对角线互相垂直”的________条件. 11．已知，则的一个充要条件是_______ 12．“方程无实根”的充要条件是_____. 三、解答题 13．判断下列p是否为q的充分条件.​ (1)p：，q：；​ (2)p：a是整数，q：a是有理数；​ (3)p：一个三角形是等腰三角形，q：一个三角形是等边三角形. 14．指出下列各组命题中，p是q的什么条件？ (1)在中，； (2)已知，. 原创精品资源学科网独家享有版权，侵权必究！ 学科网（北京）股份有限公司 学科网（北京）股份有限公司 学科网（北京）股份有限公司 $ 中职数学高教版第三版《一课一练》，依托三阶支架资源体系精心编撰。本专辑作为课堂教学同步配套资源，作业设计严格对标课堂知识点，遵循“由浅入深、循序渐进”的认知逻辑，侧重于基础性与实效性，旨在降低学习门槛，帮助学生巩固课堂所学，通过科学、系统的反复训练，帮助学生打牢数学基础。 《数学》拓展模块上册（高教版第三版） 第一章 充要条件 第 2 练 充要条件 一、选择题 1．“”是“”的（    ） A．充分不必要条件 B．必要不充分条件 C．充要条件 D．既不充分也不必要条件 【答案】A 【分析】由充分、必要条件的定义即可得解. 【详解】由可以推出，充分性成立； 由可以推出或，必要性不成立， 因此“”是“”的充分不必要条件. 故选：A. 2．已知集合，则 “” 是 “” 的（    ） A．充分不必要条件 B．必要不充分条件 C．充要条件 D．既不充分也不必要条件 【答案】A 【分析】根据充分、必要条件的概念求解即可. 【详解】判断充分性：时，x必然满足，充分性成立； 判断必要性：时，x 可能是4，无法推出，必要性不成立. 因此“”是“”的充分不必要条件. 故选：A. 3．设p：一个数是6的倍数；q：一个数是3的倍数.则p是q的（ ） A．充分不必要条件 B．必要不充分条件 C．充要条件 D．既不充分也不必要条件 【答案】A 【分析】根据充分性与必要性的概念求解即可. 【详解】如果一个数是6的倍数，那么它一定是3的倍数，故充分性成立； 如果一个数是3的倍数，它不一定是6的倍数例如3、9、15等都是3的倍数但不是6的倍数，故必要性不成立； 因此p是q的充分不必要条件. 故选：A. 4．设命题p：“”，命题q：“”，则p是q的（    ） A．充分不必要条件 B．必要不充分条件 C．充要条件 D．既不充分也不必要条件 【答案】B 【分析】根据充分性和必要性的概念判断即可. 【详解】由不一定得到，例如，故充分性不成立； 由一定得到，故必要性成立， 则p是q的必要不充分条件. 故选：B. 5．已知命题p：“”，命题q：“”，则命题 “”（即 “p且q”）成立的充要条件是（    ） A． B． C． D．或 【答案】C 【分析】根据p 且 q的定义，结合充要条件的概念即可解答. 【详解】“”（p 且 q）成立的定义是 “p 和 q 同时成立”， 即 x 需同时满足 “” 和 “”， 则， 所以命题 “”（即 “p且q”）成立的充要条件是， 故选：C. 6．设，为非零实数，则“”是 “”成立的（    ） A．充分不必要条件 B．必要不充分条件 C．既不充分也不必要条件 D．充要条件 【答案】C 【分析】根据充分条件与必要条件定义举特殊值判断即可. 【详解】由题意当时，满足，但，故充分性不满足； 当时，满足，但，故必要性不满足； 所以“”是 “”成立的既不充分也不必要条件. 故选：C. 7．“”是“”的（ ） A．充分不必要条件 B．必要不充分条件 C．充分必要条件 D．既不充分也不必要条件 【答案】C 【分析】根据充分条件与必要条件的定义，分别验证充分性和必要性即可. 【详解】当时，，故充分性成立； 而当时也满足，所以必要性不成立. 故选：C. 8．已知命题p：x为自然数，命题q：x为整数，则p是q的（    ） A．充分不必要条件 B．必要不充分条件 C．充分必要条件 D．既不充分也不必要条件 【答案】A 【分析】根据充分条件与必要条件的定义判断. 【详解】若是自然数，则一定是整数，即成立，充分性成立； 若是整数，则不一定是自然数，如，则不成立，必要性不成立， 所以是的充分不必要条件. 故选：A. 二、填空题 9．""是""的________条件. 【答案】充分不必要 【分析】根据充分必要条件概念求解即可. 【详解】能推出，但，不能推出. ""是""的充分不必要条件. 故答案为：充分不必要. 10．“四边形是菱形”是“四边形对角线互相垂直”的________条件. 【答案】充分不必要 【分析】根据充分性与必要性的概念求解即可. 【详解】四边形是菱形可以得到四边形对角线互相垂直，故充分性成立； 若四边形对角线互相垂直，那么该四边形可能为筝形或对角线垂直的不规则四边形，不一定为菱形，故必要性不成立； 故“四边形是菱形”是“四边形对角线互相垂直”的充分不必要条件. 故答案为：充分不必要. 11．已知，则的一个充要条件是_______ 【答案】（答案不唯一） 【分析】利用指数函数的单调性即可得解. 【详解】因为指数函数的底数， 所以在上单调递增， 则， 所以的一个充要条件是（等价于的条件皆可）. 故答案为：（答案不唯一）. 12．“方程无实根”的充要条件是_____. 【答案】 【分析】根据一元二次方程根的判别式以及充要条件的概念求解. 【详解】方程无实根的充要条件是， 即， 即，解得：. 故答案为：. 三、解答题 13．判断下列p是否为q的充分条件.​ (1)p：，q：；​ (2)p：a是整数，q：a是有理数；​ (3)p：一个三角形是等腰三角形，q：一个三角形是等边三角形. 【答案】(1)不是 (2)是 (3)不是 【分析】根据充分条件的概念判断即可. 【详解】（1）p：，q：， 由不一定得到，例，故充分性不成立， 所以p不是q的充分条件； （2）p：a是整数，q：a是有理数， 有理数的定义是“整数和分数的统称”， 若a是整数一定可以得到a是有理数，故充分性成立， 所以p是q的充分条件； （3）p：一个三角形是等腰三角形，q：一个三角形是等边三角形， 若一个三角形是等腰三角形不一定得到该三角形是等边三角形，故充分性不成立， 所以p不是q的充分条件. 14．指出下列各组命题中，p是q的什么条件？ (1)在中，； (2)已知，. 【答案】(1)p是q的充分必要条件 (2)p是q的充分不必要条件 【分析】（1）根据充分、必要条件的定义，结合三角形的性质分析求解即可； （2）根据充分、必要条件的定义，结合方程的解法分析求解即可. 【详解】（1）在中，对应边为，对应边为， 由“大边对大角”可知，，反之也成立， 故p是q的充分必要条件. （2），解得：且； ，解得：或， 所以能推出， 但不一定能推出， 故p是q的充分不必要条件． 原创精品资源学科网独家享有版权，侵权必究！ 学科网（北京）股份有限公司 学科网（北京）股份有限公司 学科网（北京）股份有限公司 $