第3卷 函数 - 2027年湖南省对口招生《数学45分钟训练卷》(原卷版+解析版)

编写说明：2027年湖南省对口招生《数学45分钟训练卷》，以近三年真题分析为依据，聚焦中职高考复习“时效适配、综合检测”需求。采用“一考一讲”模式，助力师生实现“课堂检测—即时讲解—快速巩固”的复习闭环，是复习中检验学习效果、强化应试能力的核心资源。 湖南省对口招生《45分钟训练卷》 函数 专题训练卷 时间：45分钟 总分：100分 班级_______ 姓名_______ 学号_______ 成绩_______ 一、单选题（本大题共8小题，每题5分，共40分）. 1．函数 f(x) = 的定义域是（　　） A．(−1, 2)∪(2, +∞)　　　　 B．[−1, 2)∪(2, +∞) C．[−1, +∞)　　　　　　　　 D．(2, +∞) 【答案】B 【详解】要使函数有意义，需满足 x+1 ≥ 0 且 x−2 ≠ 0，解得 x ≥ −1 且 x ≠ 2，故定义域为 [−1, 2)∪(2, +∞)，选B. 2．下列各组函数中，表示同一函数的是（　　） A．f(x) = x 与 g(x) = B．f(x) = x² 与 g(x) = x² C．f(x) = |x| 与 g(x) = D．f(x) = x与 g(x) = ()² 【答案】C 【详解】两个函数相同当且仅当定义域相同且对应法则相同．选项A中 g(x) = √x² = |x| 与 f(x) = x 对应法则不同；选项B、D中两函数定义域不同；选项C中 g(x) = √x² = |x|，与 f(x) = |x| 定义域均为R，对应法则也相同，故选C. 3. 已知 f(x) = 2x² − 1，则 f(−1) + f(2) 的值为（　　） A．7　　　　 B．8　　 　　C．9　　 　　D．10 【答案】B 【详解】因为 f(−1) = 2×(−1)² − 1 = 1，f(2) = 2×2² − 1 = 7，所以 f(−1) + f(2) = 1 + 7 = 8，故选B. 4. 已知函数 f(x) 在定义域R上是增函数，则下列各式正确的是（　　） A．f(2) > f(3)　　　　　 　B．f(2) = f(3) C．f(−3) > f(−2)　　　　 　D．f(−2) < f(−1) 【答案】D 【详解】因为 f(x) 在R上是增函数，所以自变量越大，函数值越大．由 −2 < −1 得 f(−2) < f(−1)，故D正确；而 2 < 3 得 f(2) < f(3)，A、B错误；由 −3 < −2 得 f(−3) < f(−2)，C错误．故选D. 5. 二次函数 y = x² − 2x + 3 的最小值是（　　） A．−1　　　　 B．1　　 　　C．2　　 　　D．3 【答案】C 【详解】配方得 y = x² − 2x + 3 = (x−1)² + 2，因为 (x−1)² ≥ 0，所以当 x = 1 时，y 取最小值2，故选C. 6. 下列函数中是偶函数的是（　　） A．y = x³　　　　 B．y = x + 1　　 　　C．y =　　 　　D．y = x² + 1 【答案】D 【详解】逐项判断：A选项定义域为R，f(−x) = −x³ = −f(x)，是奇函数；B选项 f(−x) = −x + 1，既不等于 f(x) 也不等于 −f(x)，是非奇非偶函数；C选项定义域为 {x | x ≠ 0}，f(−x) = − = −f(x)，是奇函数；D选项定义域为R，f(−x) = (−x) ² + 1 = x² + 1 = f(x)，是偶函数．故选D. 7. 已知 f(x) 是定义在R上的奇函数，且 f(2) = 5，则 f(−2) 的值为（　　） A．−5　　　 　B．5　　　　 C．0　　 　　D． 【答案】A 【详解】由奇函数的定义，对定义域内任意x都有 f(−x) = −f(x)，所以 f(−2) = −f(2) = −5，故选A. 8.已知分段函数 f(x) = { x + 2，x ≤ 0；x²，x > 0 }，则 f(−2) + f(3) 的值为（　　） A．5　　　 　B．7　　　 　C．9　　　　 D．11 【答案】C 【详解】因为 −2 ≤ 0，所以 f(−2) = −2 + 2 = 0；因为 3 > 0，所以 f(3) = 3² = 9．故 f(−2) + f(3) = 0 + 9 = 9，选C. 二、填空题（本大题共4小题，每题5分，共20分）. 9. 函数 f(x) = 的定义域是 . 【答案】[ , +∞) 【详解】要使函数有意义，需满足 2x − 1 ≥ 0，解得 x ≥ ，故定义域为 [ , +∞). 10. 已知 f(x) = 3x − 1，且 f(a) = 8，则实数 a = . 【答案】3 【详解】由 f(a) = 3a − 1 = 8，解得 3a = 9，所以 a = 3. 11. 函数 f(x) = x² − 2x − 3 的零点是 . 【答案】−1 和 3 【详解】令 f(x) = 0，即 x² − 2x − 3 = 0，因式分解得 (x + 1)(x − 3) = 0，解得 x = −1 或 x = 3，故函数的零点为 −1 和 3. 12. 已知二次函数 f(x) = x² − 2ax + 3 在区间 (−∞, 2] 上单调递减，则实数 a 的取值范围是 . 【答案】[2, +∞) 【详解】二次函数图象开口向上，对称轴为直线 x = a，其单调递减区间为 (−∞, a]．要使函数在 (−∞, 2] 上单调递减，需满足对称轴 x = a ≥ 2，即 a 的取值范围为 [2, +∞). 三、解答题（本大题共4小题，每题10分，共40分）. 13. 已知函数 f(x) = ． (1) 求函数 f(x) 的定义域； (2) 求 f(0) 与 f(3) 的值； (3) 当 f(x) = 3 时，求 x 的值．。 【答案】(1) 定义域为 {x | x ≠ 1}；(2) f(0) = −1，f(3) = 2；(3) x = 2 【详解】(1) 要使分式有意义，需分母 x − 1 ≠ 0，即 x ≠ 1，故定义域为 {x | x ≠ 1}． (2) f(0) = (0 + 1)/(0 − 1) = −1；f(3) = (3 + 1)/(3 − 1) = 4/2 = 2． (3) 由 f(x) = 3，得 (x + 1)/(x − 1) = 3，去分母得 x + 1 = 3(x − 1)，展开得 x + 1 = 3x − 3，解得 x = 2．经检验 x = 2 ≠ 1，符合条件，所以 x = 2. 14.判断函数 f(x) = 在区间 (0, +∞) 上的单调性，并用定义加以证明。 【答案】函数 f(x) = 在 (0, +∞) 上是减函数. 【详解】函数 f(x) = 在 (0, +∞) 上是减函数，证明如下： 任取 x₁，x₂ ∈ (0, +∞)，且 x₁ < x₂， 则 f(x₁) − f(x₂) = = ． 因为 0 < x₁< x₂，所以 x₂− x₁> 0，x₁x₂ > 0， 于是 f(x₁) − f(x₂) = 3(x₂− x₁)/(x₁x₂) > 0，即 f(x₁) > f(x₂)． 所以函数 f(x) = 在区间 (0, +∞) 上是减函数. 15.已知二次函数 f(x) = x²−2x −3． (1) 求该函数图象的对称轴方程与顶点坐标； (2) 求该函数在区间 [0, 3] 上的最大值与最小值． 【答案】(1) 对称轴为直线 x = 1，顶点坐标为 (1, −4)； (2) 最小值为 −4，最大值为 0． 【详解】(1) 配方得 f(x) = x²−2x − 3 = (x − 1)²− 4，所以图象的对称轴为直线 x = 1，顶点坐标为 (1, −4)． (2) 因为对称轴 x = 1 ∈ [0, 3]，抛物线开口向上， 所以当 x = 1 时，函数取最小值 f(1) = −4； 又 f(0) = −3，f(3) = 9 −6 −3 = 0，比较端点函数值知当 x = 3 时取最大值0． 综上，函数在 [0, 3] 上的最小值为 −4，最大值为 0. 16.已知 f(x) 是定义在R上的奇函数，当 x > 0 时，f(x) = x²− 2x． (1) 求 f(0) 的值； (2) 求 f(−1) 的值； (3) 求当 x < 0 时 f(x) 的解析式. 【答案】(1) f(0) = 0；(2) f(−1) = 1；(3) 当 x < 0 时，f(x) = −x²− 2x. 【详解】(1) 因为 f(x) 是定义在R上的奇函数，所以 f(−0) = −f(0)，即 f(0) = −f(0)，解得 f(0) = 0． (2) 因为 1 > 0，所以 f(1) = 1² − 2×1 = −1，由奇函数性质得 f(−1) = −f(1) = −(−1) = 1． (3) 当 x < 0 时，−x > 0，于是 f(−x) = (−x)² − 2(−x) = x² + 2x， 由奇函数性质 f(−x) = −f(x)，得 −f(x) = x² + 2x，即 f(x) = −x² − 2x． 所以当 x < 0 时，f(x) = −x² − 2x. 试卷第6页，共6页 原创精品资源学科网独家享有版权，侵权必究！ 学科网（北京）股份有限公司 $ 编写说明：2027年湖南省对口招生《数学45分钟训练卷》，以近三年真题分析为依据，聚焦中职高考复习“时效适配、综合检测”需求。采用“一考一讲”模式，助力师生实现“课堂检测—即时讲解—快速巩固”的复习闭环，是复习中检验学习效果、强化应试能力的核心资源。 湖南省对口招生《45分钟训练卷》 函数 专题训练卷 时间：45分钟 总分：100分 班级_______ 姓名_______ 学号_______ 成绩_______ 一、单选题（本大题共8小题，每题5分，共40分）. 1．函数 f(x) = 的定义域是（　　） A．(−1, 2)∪(2, +∞)　　　　 B．[−1, 2)∪(2, +∞) C．[−1, +∞)　　　　　　　　 D．(2, +∞) 2．下列各组函数中，表示同一函数的是（　　） A．f(x) = x 与 g(x) = B．f(x) = x² 与 g(x) = x² C．f(x) = |x| 与 g(x) = D．f(x) = x与 g(x) = ()² 3. 已知 f(x) = 2x² − 1，则 f(−1) + f(2) 的值为（　　） A．7　　　　 B．8　　 　　C．9　　 　　D．10 4. 已知函数 f(x) 在定义域R上是增函数，则下列各式正确的是（　　） A．f(2) > f(3)　　　　　 　B．f(2) = f(3) C．f(−3) > f(−2)　　　　 　D．f(−2) < f(−1) 5. 二次函数 y = x² − 2x + 3 的最小值是（　　） A．−1　　　　 B．1　　 　　C．2　　 　　D．3 6. 下列函数中是偶函数的是（　　） A．y = x³　　　　 B．y = x + 1　　 　　C．y =　　 　　D．y = x² + 1 7. 已知 f(x) 是定义在R上的奇函数，且 f(2) = 5，则 f(−2) 的值为（　　） A．−5　　　 　B．5　　　　 C．0　　 　　D． 8.已知分段函数 f(x) = { x + 2，x ≤ 0；x²，x > 0 }，则 f(−2) + f(3) 的值为（　　） A．5　　　 　B．7　　　 　C．9　　　　 D．11 二、填空题（本大题共4小题，每题5分，共20分）. 9. 函数 f(x) = 的定义域是 . 10. 已知 f(x) = 3x − 1，且 f(a) = 8，则实数 a = . 11. 函数 f(x) = x² − 2x − 3 的零点是 . 12. 已知二次函数 f(x) = x² − 2ax + 3 在区间 (−∞, 2] 上单调递减，则实数 a 的取值范围是 . 三、解答题（本大题共4小题，每题10分，共40分）. 13. 已知函数 f(x) = ． (1) 求函数 f(x) 的定义域； (2) 求 f(0) 与 f(3) 的值； (3) 当 f(x) = 3 时，求 x 的值．。 13. 判断函数 f(x) = 在区间 (0, +∞) 上的单调性，并用定义加以证明。 15.已知二次函数 f(x) = x²−2x −3． (1) 求该函数图象的对称轴方程与顶点坐标； (2) 求该函数在区间 [0, 3] 上的最大值与最小值． 16.已知 f(x) 是定义在R上的奇函数，当 x > 0 时，f(x) = x²− 2x． (1) 求 f(0) 的值； (2) 求 f(−1) 的值； (3) 求当 x < 0 时 f(x) 的解析式. 试卷第6页，共6页 原创精品资源学科网独家享有版权，侵权必究！ 学科网（北京）股份有限公司 $