3.3.2抛物线的几何性质（练习）高教版（第三版）《数学 拓展模块一上册》【上好课】（原卷版+解析版）

**基本信息** 聚焦抛物线几何性质，通过基础认知、技能应用、综合拓展三层设计，实现从概念理解到运算推理再到模型构建的巩固路径，培养数学抽象与应用意识。 **分层设计** |层次|知识覆盖|设计特色| |----|----------|----------| |基础认知|开口方向、顶点坐标、准线方程等基本性质|以选择填空为主，直接考查概念辨析，培养抽象能力| |技能应用|焦点弦长、点到焦点距离等性质应用|通过解答题考查运算推理，强化数学思维| |综合拓展|根据条件求抛物线标准方程|结合情境构建方程，体现模型意识与应用能力|

高教版（第三版）《数学 拓展模块一上册》 第三章 圆锥曲线 3.3.2抛物线的几何性质 一、单选题 1．已知抛物线标准方程为，则该抛物线开口方向为（    ） A．向上 B．向下 C．向左 D．向右 【答案】A 【分析】根据抛物线的标准方程即可求解. 【详解】由抛物线标准方程为，则焦点在轴上，，解得， 即焦点为，故抛物线开口方向向上. 故选：A. 2．抛物线的顶点坐标为（   ） A． B． C． D． 【答案】A 【分析】根据抛物线的顶点式方程即可求解. 【详解】因为是抛物线的顶点式方程， 所以顶点坐标为. 故选：A. 3．抛物线的准线方程为（　　） A． B． C． D． 【答案】D 【分析】先将抛物线化为标准方程，再由抛物线的几何性质求解即可. 【详解】将抛物线化为标准方程， 故焦点在y轴上，所以， 所以，所以， 故其准线方程为. 故选：D. 4．若抛物线上一点到焦点的距离为8，则点的纵坐标为（    ） A．6 B． C．7 D． 【答案】A 【分析】根据抛物线的定义及性质分析求解即可. 【详解】设点，因为抛物线方程为， 则，且抛物线焦点在轴， 所以其准线方程为， 又因为抛物线上点到焦点的距离为8， 由抛物线的定义得：，则， 所以点的纵坐标为6. 故选：A. 5．抛物线的焦点到准线的距离为（    ） A．2 B．4 C．8 D．16 【答案】B 【分析】由抛物线的性质求解即可. 【详解】由抛物线，可得，， 所以焦点到准线距离为 ． 故选：B. 6．抛物线上一点到焦点的距离为4，则它的横坐标是（   ） A． B． C． D． 【答案】B 【分析】利用抛物线的定义即可得解. 【详解】由题意得抛物线的准线方程为：. 设，因为到焦点的距离为4，所以到准线的距离也为4， 故，所以，因为，所以. 故选：B. 7．抛物线的焦点到准线的距离是（   ） A．2 B．1 C． D． 【答案】C 【分析】由抛物线方程确定，进而得到焦点到准线的距离. 【详解】抛物线化为，可得 所以抛物线的焦点到准线的距离为， 故选：C. 8．抛物线上纵坐标为3的点到焦点的距离为4，则a的值是（    ） A．1 B． C． D． 【答案】C 【分析】根据抛物线的定义，抛物线上的点到焦点的距离等于到准线的距离求解. 【详解】抛物线，即 ∵纵坐标为3的点到焦点的距离为4，即纵坐标为3的点到准线的距离为， ，则抛物线方程为 ， 即. 故选:C. 9．已知抛物线，过其焦点且斜率为1的直线交抛物线于A、B两点，则等于（    ） A．6 B．8 C．10 D．12 【答案】B 【分析】联立直线与抛物线的方程，由抛物线的定义即可求解的大小. 【详解】因为抛物线，所以， 所以直线方程为， 设， 联立，消y得， 则有， 所以有抛物线的定义可知，. 故选:B. 10．过抛物线的焦点F的直线l交抛物线于两点，若的中点M的横坐标为2，则线段的长为（   ） A．4 B．5 C．6 D．7 【答案】C 【分析】设，根据焦半径公式可知，再由抛物线方程确定的值，并由中点坐标公式求出的值即可解答. 【详解】已知抛物线，对称轴为轴，开口向右， 其中，且焦点F的直线l交抛物线于两点， 设， 则由焦半径公式可知， 由的中点M的横坐标为2，可得， 即，所以， 故选：C. 二、填空题 11．抛物线的焦点到准线的距离是__________． 【答案】2 【分析】根据抛物线标准方程的几何性质即可解得. 【详解】解：由抛物线可得， ，解得. 则焦点坐标为，准线方程为. 由点到直线的距离公式可得， 焦点到准线的距离为. 故答案为：. 12．已知抛物线：（）上一点到焦点的距离为8，则_______. 【答案】4 【分析】由抛物线的性质即可得解. 【详解】因为抛物线：（），准线方程为， 抛物线上点到焦点的距离为， 所以，得. 故答案为：4. 13．若抛物线上的点到焦点的距离为10，则到轴的距离是_____． 【答案】9 【分析】求出抛物线的准线方程，由抛物线的定义，利用焦半径公式求得的横坐标，进而得到点到轴的距离. 【详解】抛物线的焦点，准线为． 由到焦点的距离为10，可知到准线的距离也为10， 故的横坐标满足，解得， 所以点到轴的距离为9， 故答案为：. 14．已知抛物线上一点P的横坐标为5，则点P到抛物线焦点的距离是_________. 【答案】7 【分析】根据抛物线的性质求解即可. 【详解】抛物线的准线为，则该抛物线上点P到准线的距离为. 根据抛物线的性质，则点P到其焦点的距离为. 故答案为：7. 15．若抛物线的准线方程为，则该抛物线的焦点坐标为_____． 【答案】 【分析】由抛物线的性质可知，，进而可得抛物线的标准方程，抛物线的焦点坐标即可得解． 【详解】因为抛物线的准线方程为， 焦点在轴，焦点坐标为， 所以，解得， 所以该抛物线的焦点坐标为． 故答案为：. 三、解答题 16．过抛物线的焦点，且斜率为2的直线交抛物线于，两点. (1)求直线的方程. (2)求线段的长度. 【答案】(1) (2) 【分析】（1）由抛物线方程得到焦点坐标，利用点斜式即可得出直线方程. （2）设出点的坐标，联立直线与抛物线方程，利用弦长公式即可求解. 【详解】（1）抛物线的焦点坐标为， 直线的方程为，即. （2）设两点坐标为， 联立方程组，可得， ， 抛物线中， 所以. 线段的长度为. 17．已知抛物线：过点． (1)求抛物线的方程，并求其准线方程； (2)过该抛物线的焦点，作倾斜角为的直线，交抛物线于、两点，求线段的长度． 【答案】(1)抛物线的方程为，准线方程为 (2) 【分析】（1）直接代入点到抛物线方程，即可求解. （2）先求得直线方程，与抛物线方程联立，得到、两点横坐标的关系，再求弦长. 【详解】（1）根据题意，将代入抛物线方程得，解得， ∴抛物线的方程为，准线方程为． （2）由（1）可知抛物线的标准方程为， ∴抛物线的焦点在轴的正半轴上，， ∴，∴焦点为． ∵直线过该抛物线的焦点，倾斜角为，即斜率， ∴直线的方程为． 设，，联立直线与抛物线方程 得， 则， ∴． 18．根据下列条件求抛物线的标准方程． (1)焦点为； (2)准线方程是； (3)经过点． 【答案】(1) (2) (3)或 【分析】（1）由焦点坐标得到抛物线的开口方向，设定抛物线方程得到，即可求解. （2）由准线方程得到焦点坐标和抛物线开口方向，设定抛物线方程得到，即可求解. （3）考虑焦点位置，分情况设出抛物线方程，代入点坐标解得p. 【详解】（1）由焦点可知抛物线开口向下， 设抛物线的标准方程为， 得到，即， 故抛物线的标准方程为． （2）因为准线方程是，所以其焦点坐标为， 设抛物线的标准方程为， 得到，即， 故抛物线的方程为． （3）若焦点在轴上，可设抛物线的方程为， 将点的坐标代入得，求得， 所以抛物线的方程为． 若焦点在轴上，则可设抛物线的方程为， 将点的坐标代入，求得，故所求的抛物线方程为． 综上，抛物线的标准方程为或． 一、单选题 1．抛物线焦点到顶点的距离是（   ） A．2 B．4 C．8 D．16 【答案】B 【分析】先求出它的焦点坐标和顶点坐标，再计算两者之间的距离. 【详解】因为抛物线方程，所以，解得. 因此，焦点坐标为，顶点坐标为. 焦点到顶点的距离为. 故选：B. 2．抛物线的焦点坐标为（    ） A． B． C． D． 【答案】B 【分析】根据抛物线的标准方程求得焦点坐标. 【详解】∵抛物线方程为，可知抛物线的焦点在轴上，且， ∴，即. 得到抛物线的焦点坐标. 故选：B. 3．已知抛物线上一点A的横坐标为4，F为抛物线E的焦点，且，则（ ） A．3 B．6 C．12 D． 【答案】B 【分析】根据焦半径公式即可求的值. 【详解】因为抛物线，点在抛物线上，且, 所以，则，解得. 故选：B. 4．抛物线的对称轴是直线（    ） A． B． C． D． 【答案】D 【分析】根据抛物线方程即可求解. 【详解】因为抛物线方程为，开口方向向上，焦点在轴上， 所以其关于轴对称，即对称轴为直线， 故选：D． 5．直线与抛物线交于、两点，则（    ） A． B．8 C． D．16 【答案】D 【分析】联立直线与抛物线的方程，根据焦点弦求解即可. 【详解】设、， 由题意得抛物线的焦点在轴正半轴上， 且，∴，， 焦点坐标为，将焦点代入直线方程有， 所以直线过焦点， 联立方程组，化简得， 则， ∴． 故选:D. 6．已知是抛物线上一点，若点到焦点的距离为，则点到轴的距离为（    ） A．5 B．4 C．3 D．2 【答案】C 【详解】根据抛物线的方程求出值结合焦半径的公式即可得解. 【分析】抛物线，所以抛物线的焦点在轴正半轴上，且， 所以准线方程为， 点到焦点的距离为，所以点到准线的距离也为， 设点的横坐标为，所以，解得， 点到轴的距离为， 故选：C. 7．抛物线的焦点到准线的距离是（    ） A． B．1 C．2 D．4 【答案】C 【分析】根据抛物线标准方程的几何性质即可解得. 【详解】由抛物线可得， ，解得， 则焦点坐标为，准线为， 所以焦点到准线的长度为2. 故选：C. 8．已知抛物线的方程是，过抛物线焦点且与x轴垂直的直线交抛物线于两点，则（   ） A． B．8 C． D．4 【答案】B 【分析】首先根据抛物线方程求出焦点坐标，再由过抛物线焦点且与x轴垂直的直线交抛物线于两点，求出两点坐标，即可求出. 【详解】由抛物线的方程是，可得， 焦点坐标为，过焦点且与x轴垂直的直线交抛物线于两点， 则两点的横坐标均为2，将代入， 得，解得， 所以，则. 故选：B. 9．过抛物线 的焦点且垂直于x轴的直线与抛物线交于两点，则这两点间的距离为（    ） A． B． C．5 D． 【答案】C 【分析】根据抛物线的方程，两点间的距离公式即可求解. 【详解】由题意得，，解得，则抛物线的焦点坐标为， 把代入，解得. 则过焦点且垂直于轴的直线交抛物线于， 所以这两点之间的距离为. 故选：C. 10．已知抛物线的顶点在原点，关于y轴对称，且过点，则抛物线的标准方程为（    ） A． B． C． D． 【答案】A 【分析】根据抛物线的基本性质即可求解. 【详解】解：因为抛物线的顶点在原点，关于y轴对称，且过点， 所以抛物线焦点在y轴且开口向下. 设抛物线的标准方程为. 代入点，得， 解得. 所以抛物线的标准方程为. 故选：A 二、解答题 11．已知抛物线的方程为，其图象过点． (1)求实数p的值； (2)求抛物线的焦点坐标和准线方程． 【答案】(1) (2)； 【分析】（1）将点代入，即可求值； （2）已知抛物线方程，根据抛物线的性质，即可求解. 【详解】（1）将点代入抛物线方程 得； （2）由（1）可知，抛物线方程为， 焦点在x轴，为， 所以焦点坐标为； 准线方程为， 所以准线方程为：. 12．已知抛物线的顶点为原点，焦点在轴上，抛物线上一点到焦点的距离为，求抛物线的标准方程，并求它的焦点坐标、顶点坐标、离心率和准线方程. 【答案】答案见解析 【分析】先根据抛物线上点坐标和焦点位置，设定抛物线的标准方程，结合点的横坐标和到准线的距离，即可求解. 【详解】点位于第二或第三象限，抛物线焦点在轴上， 因此可知抛物线的开口向左， 设抛物线的标准方程为 ， 由题意可知，点到抛物线准线的距离为， 因此准线方程为，则有，， 即抛物线的标准方程为， 焦点坐标为，顶点坐标为， 离心率，准线方程为. 13．抛物线的顶点在原点，焦点坐标为， (1)求抛物线的标准方程； (2)若抛物线上点M到焦点的距离为7，求点M的坐标. 【答案】(1) (2) 【分析】（1）根据焦点坐标求出，即可求解； （2）由抛物线的定义得出点的横坐标，代入抛物线方程，即可求解. 【详解】（1）因为抛物线的焦点， 所以，即， 所以抛物线标准方程为. （2）因为抛物线标准方程为， 所以抛物线的准线方程为， 设，由抛物线的定义可知， 所以， 代入抛物线的标准方程得，故， 所以点. 原创精品资源学科网独家享有版权，侵权必究！7 学科网（北京）股份有限公司 学科网（北京）股份有限公司 学科网（北京）股份有限公司 学科网（北京）股份有限公司 $ 高教版（第三版）《数学 拓展模块一上册》 第三章 圆锥曲线 3.3.2抛物线的几何性质 一、单选题 1．已知抛物线标准方程为，则该抛物线开口方向为（    ） A．向上 B．向下 C．向左 D．向右 2．抛物线的顶点坐标为（   ） A． B． C． D． 3．抛物线的准线方程为（　　） A． B． C． D． 4．若抛物线上一点到焦点的距离为8，则点的纵坐标为（    ） A．6 B． C．7 D． 5．抛物线的焦点到准线的距离为（    ） A．2 B．4 C．8 D．16 6．抛物线上一点到焦点的距离为4，则它的横坐标是（   ） A． B． C． D． 7．抛物线的焦点到准线的距离是（   ） A．2 B．1 C． D． 8．抛物线上纵坐标为3的点到焦点的距离为4，则a的值是（    ） A．1 B． C． D． 9．已知抛物线，过其焦点且斜率为1的直线交抛物线于A、B两点，则等于（    ） A．6 B．8 C．10 D．12 10．过抛物线的焦点F的直线l交抛物线于两点，若的中点M的横坐标为2，则线段的长为（   ） A．4 B．5 C．6 D．7 二、填空题 11．抛物线的焦点到准线的距离是__________． 12．已知抛物线：（）上一点到焦点的距离为8，则_______. 13．若抛物线上的点到焦点的距离为10，则到轴的距离是_____． 14．已知抛物线上一点P的横坐标为5，则点P到抛物线焦点的距离是_________. 15．若抛物线的准线方程为，则该抛物线的焦点坐标为_____． 三、解答题 16．过抛物线的焦点，且斜率为2的直线交抛物线于，两点. (1)求直线的方程. (2)求线段的长度. 17．已知抛物线：过点． (1)求抛物线的方程，并求其准线方程； (2)过该抛物线的焦点，作倾斜角为的直线，交抛物线于、两点，求线段的长度． 18．根据下列条件求抛物线的标准方程． (1)焦点为； (2)准线方程是； (3)经过点． 一、单选题 1．抛物线焦点到顶点的距离是（   ） A．2 B．4 C．8 D．16 2．抛物线的焦点坐标为（    ） A． B． C． D． 3．已知抛物线上一点A的横坐标为4，F为抛物线E的焦点，且，则（ ） A．3 B．6 C．12 D． 4．抛物线的对称轴是直线（    ） A． B． C． D． 5．直线与抛物线交于、两点，则（    ） A． B．8 C． D．16 6．已知是抛物线上一点，若点到焦点的距离为，则点到轴的距离为（    ） A．5 B．4 C．3 D．2 7．抛物线的焦点到准线的距离是（    ） A． B．1 C．2 D．4 8．已知抛物线的方程是，过抛物线焦点且与x轴垂直的直线交抛物线于两点，则（   ） A． B．8 C． D．4 9．过抛物线 的焦点且垂直于x轴的直线与抛物线交于两点，则这两点间的距离为（    ） A． B． C．5 D． 10．已知抛物线的顶点在原点，关于y轴对称，且过点，则抛物线的标准方程为（    ） A． B． C． D． 二、解答题 11．已知抛物线的方程为，其图象过点． (1)求实数p的值； (2)求抛物线的焦点坐标和准线方程． 12．已知抛物线的顶点为原点，焦点在轴上，抛物线上一点到焦点的距离为，求抛物线的标准方程，并求它的焦点坐标、顶点坐标、离心率和准线方程. 13．抛物线的顶点在原点，焦点坐标为， (1)求抛物线的标准方程； (2)若抛物线上点M到焦点的距离为7，求点M的坐标. 原创精品资源学科网独家享有版权，侵权必究！7 学科网（北京）股份有限公司 学科网（北京）股份有限公司 学科网（北京）股份有限公司 学科网（北京）股份有限公司 $