3.3.2抛物线的几何性质（课件）高教版（第三版）《数学 拓展模块一上册》【上好课】

该中职数学课件聚焦抛物线的范围、对称性、顶点、离心率等几何性质及四种标准方程的几何特征，课堂导入以赵州桥实例引出，通过复习标准方程的图形、焦点、准线等知识，搭建前后衔接的学习支架，引导学生自然过渡到新知识。 其亮点在于结合生活实例与分层案例教学，通过赵州桥、隧道工程等实例培养直观想象，性质推导和分类讨论（如例1分情况求方程）发展数学思维，表格小结性质强化数学语言表达。帮助学生提升数形结合能力，为教师提供系统教学流程和实用案例，提高教学效率。

3.3.2抛物线的几何性质 高教版（第三版）·拓展模块 第三单元 圆锥曲线 学习目标 知识层面 理解抛物线的范围、对称性、顶点、离心率等几何性质，掌握抛物线四种标准方程对应的几何特征 能力层面 能借助抛物线的几何性质分析抛物线，能根据标准方程写出范围、轴、顶点、离心率，完成简单计算 核心素养层面 通过抛物线几何性质的学习与实例应用，培养数形结合分析问题的能力，提升直观想象核心素养 教学流程 教学导入 知识讲授 学以致用 课堂练习 课堂小结 1 教学导入 教学导入 赵州桥 赵州桥始建于隋代(公元年)，由匠人李春设计建造，是世界上现存最古老、跨度最大的单孔石拱桥 其拱形曲线近似于 抛物线 . 完美体现了数学与工程的结合. 教学导入 复习回顾 图形 标准方程 焦点坐标 准线方程 开口方向 正半轴 负半轴 正半轴 负半轴 教学导入 抛物线之美 以抛物线的标准方程为例，研究抛物线的几何性质 范围 对称性 顶点 离心率 2 知识讲授 知识讲授 性质1：范围 由方程，因且， 分析的取值 所以 说明抛物线在轴的右侧 当的值增大时,的值也随着增大,即的值增大. 得到结论：抛物线位于轴右侧，向右上方和右下方无限延伸. 知识讲授 性质2：对称性 在标准方程中， 将换成 即 方程形式不变 故点与同时满足方程 因此，抛物线关于轴对称，轴为其对称轴 对称轴 一般地, 把抛物线的对称轴称为抛物线的轴. 知识讲授 性质3：顶点 在标准方程中， 令 解得 故抛物线的顶点为原点 一般地, 抛物线与它的轴的交点称为抛物线的顶点. 顶点 知识讲授 性质4：离心率 抛物线上的点到焦点的距离与它到准线的距离的比称为抛物线的离心率, 记作. 由抛物线的定义知, . 对比 椭圆，双曲线，抛物线 知识讲授 新知速记 范围 对称性 顶点 离心率 抛物线的几何性质 位于轴右侧，向右上、右下无限延伸 关于轴对称 对称轴为轴，又称抛物线的轴 抛物线与对称轴的交点，位于坐标原点 区别于椭圆与双曲线 知识讲授 案例分析 例1 解： 根据条件,求抛物线的标准方程. (1)关于轴对称,且过点; (2)对称轴为坐标轴,且过点. (1)由于物线关于轴对称,而点为第四象限的点,故抛物线的焦点在轴的负半轴上. 设拋物线的标准方程为. 将点的坐标代人方程,得,解得.  因此,抛物线的标准方程为; 知识讲授 案例分析 例1 解： 根据条件,求抛物线的标准方程. (1)关于轴对称,且过点; (2)对称轴为坐标轴,且过点. (2)设标准方程为：. 将点的坐标代入 分析：对称轴为坐标轴，但未指明是轴或轴， 故需分两种情形讨论，设标准方程为：或 知识讲授 案例分析 例1 解： 根据条件,求抛物线的标准方程. (1)关于轴对称,且过点; (2)对称轴为坐标轴,且过点. (2)设标准方程为：. 将点的坐标代入 得,解得.  分析：对称轴为坐标轴，但未指明是轴或轴， 故需分两种情形讨论，设标准方程为：或 知识讲授 案例分析 例2 解： 用“描点法”画出抛物线的图形. 分析：抛物线具有对称性,因此只需先画出抛物线在第一象限内的图形,然后根据对称性画出全部图形. 时，抛物线变形成 在上,选取几个整数作为的值,计算出对应的值,列表 以表中的值为横坐标,对应的值为纵坐标,在直角坐标系中依次描出相应的点,用光滑的曲线顺次链接各点得到抛物线在第一象限内的图形.然后利用对称性,画出全部图形. 知识讲授 案例分析 例2 解： 用“描点法”画出抛物线的图形. 分析：抛物线具有对称性,因此只需先画出抛物线在第一象限内的图形,然后根据对称性画出全部图形. 知识讲授 案例分析 例3 解： 建设交通强国是全面建成社会主义现代化强国的重要支撑.年年底, 我国高速公路里程已位居世界第一.在修建市到市的高速公路过程中, 需要挖掘一条横截面如图所示的隧道.已知横截面的顶部是抛物线拱, 拱高为, 跨度为.试建立平面直角坐标系, 求抛物拱形线的方程. 以抛物线的顶点为坐标原点、拱高所在直线为轴, 建立平面直角坐标系, 如图所示, 则抛物线方程可设为. 因为点在抛物线上， 得 知识讲授 案例分析 例4 解： 已知斜率为的直线过抛物线的焦点, 且与相切, 求该抛物线的方程. 圆的圆心坐标为, 半径.由于直线与 所以抛物线的方程为 知识讲授 案例分析 例5 解： 抛物线上各点向轴作垂线, 求垂线段的中点的轨迹方程, 并说明轨迹是什么图形. 如图所示, 设点是抛物线上的任一点, 作轴, 垂足为, 则点H的坐标为. 即. 由于在抛物线上, 满足, 所以, 即. 所以点M的轨迹方程为. 3 学以致用 学以致用 练习 解： 1.抛物线的对称轴是( ) 根据抛物线的几何性质求解. 抛物线的方程，形如抛物线的标准方程，其对称轴是轴. 学以致用 练习 解： 2.抛物线的顶点坐标是( ) 根据抛物线的几何性质求解. 抛物线的方程，其顶点坐标为. 学以致用 练习 解： 3.对于抛物线，下列说法正确的是( ) 开口向上，焦点为 开口向上，焦点为 焦点到准线的距离为2 准线方程是 错误：焦点不是 错误：焦点到准线的距离为,不是 错误：准线不是，应是 学以致用 练习 解： 4.已知抛物线的顶点在原点，关于轴对称，且过点，求其标准方程. 设标准方程为：. 将坐标代入 得, 标准方程为：. 4 课堂练习 课堂练习 练习 1.抛物线上点的横坐标范围是( ) 2.若抛物线关于轴对称且向下开口，则其标准方程形式为( ) 课堂练习 练习 解： 3.根据条件, 求抛物线的标准方程. (1)准线方程为; (2)焦点为; (3)关于轴对称, 且过点; (4)对称轴为坐标轴, 且过点. (1)准线方程为，说明抛物线的焦点在轴负半轴. 抛物线的焦点到准线的距离. 根据抛物线的标准方程， 代入，得到. (2)焦点在轴负半轴上. 抛物线的焦点到准线的距离. 根据抛物线的标准方程， 代入，得到. 课堂练习 练习 解： 3.根据条件, 求抛物线的标准方程. (1)准线方程为; (2)焦点为; (3)关于轴对称, 且过点; (4)对称轴为坐标轴, 且过点. (3)抛物线标准方程形式为 抛物线过点，将该点代入方程， 得到： 课堂练习 练习 解： 3.根据条件, 求抛物线的标准方程. (1)准线方程为; (2)焦点为; (3)关于轴对称, 且过点; (4)对称轴为坐标轴, 且过点. (4)对称轴是坐标轴，分两种情况： 抛物线过点，将该点代入方程， 得到： 课堂练习 练习 解： 3.根据条件, 求抛物线的标准方程. (1)准线方程为; (2)焦点为; (3)关于轴对称, 且过点; (4)对称轴为坐标轴, 且过点. (4)对称轴是坐标轴，分两种情况： 抛物线过点，将该点代入方程， 得到： 解得 因此，抛物线的标准方程为 课堂练习 练习 解： 4.判断(正确的打“√”，错误的打“×”) (1)抛物线关于顶点对称.( ) (2)抛物线只有一个焦点，一条对称轴，无对称中心.( ) (3)抛物线的标准方程虽然各不相同，但是其离心率都相同.( ) 抛物线关于其对称轴对称，而不是关于顶点对称.因此，陈述(1)是错误的. 抛物线确实只有一个焦点，一条对称轴，并且没有对称中心.因此，陈述(2)是正确的. 无论抛物线的标准方程如何变化，其离心率始终为1.因此，陈述(3)是正确的. × √ √ 课堂练习 练习 解： 抛物线标准方程形式为 在上 所以即 得 5.已知拋物线的顶点为坐标原点,焦点在轴上,抛物线上一点到焦点的距离为,求拋物线的标准方程. 课堂练习 练习 解： 4.已知垂直于轴的直线交抛物线于两点,且,求直线的方程. 点纵坐标为，代入 解得 所以坐标为 直线的方程为 5 课堂小结 课堂小结 范围 对称性 顶点 离心率 抛物线的几何性质 位于轴右侧，向右上、右下无限延伸 关于轴对称 对称轴为轴，又称抛物线的轴 抛物线与对称轴的交点，位于坐标原点 区别于椭圆与双曲线 课后作业 书面作业 完成《学习指导与练习》相关习题. 查漏补缺 根据个人情况对课堂学习进行复习与回顾. 拓展作业 预习下一节内容，阅读教材扩展延伸内容. $