3.3.2抛物线的几何性质（教案）高教版（第三版）《数学 拓展模块一上册》【上好课】

该教案聚焦抛物线的范围、对称性、顶点、离心率等几何性质，以赵州桥拱形曲线为实例导入，结合椭圆、双曲线性质的学习方法，搭建新旧知识衔接的学习支架。 通过数形结合推导性质培养数学思维，工程案例（隧道建设）强化数学建模与应用意识，对比离心率明晰圆锥曲线差异，分层例题和练习提升直观想象，助力教师高效教学，学生掌握知识并解决实际问题。

高等教育出版社《数学 拓展模块一上册》（第三版） 第三章 圆锥曲线 3.3.2抛物线的几何性质 一、教材 高等教育出版社《数学 拓展模块一上册》（第三版） 二、教学时长 1课时 三、授课类型 新授课 4、 教材分析 本节《3.3.2抛物线的几何性质》内容是第三章圆锥曲线的核心内容之一，承接抛物线标准方程的学习，是对抛物线定义与方程的深度延伸。在此之前，学生已系统学习椭圆、双曲线的几何性质，掌握了通过曲线方程研究几何特征的基本方法，为本节课的学习奠定了方法基础。 抛物线的几何性质是圆锥曲线知识体系的重要组成部分，充分完善了学生对三大圆锥曲线的认知体系。 五、学情分析 学生已掌握平面直角坐标系、函数图像、椭圆与双曲线几何性质等基础知识，能够熟练写出抛物线的四种标准方程，具备初步的数形结合分析能力和逻辑推理能力。 但学生存在知识迁移能力较弱、逻辑推导不够严谨的问题，容易混淆抛物线四种不同标准方程对应的几何特征，对离心率的几何意义、利用对称性简化作图和解题的技巧掌握不熟练。 六、教学目标 知识层面 理解抛物线的范围､ 对称性､顶点､离心率等几何性质，掌握抛物线四种标准方程对应的几何特征 能力层面 能借助抛物线的几何性质分析抛物线，能根据标准方程写出范围､轴､顶点､离心率，完成简单计算 核心素养层面 通过抛物线几何性质的学习与实例应用，培养数形结合分析问题的能力，提升直观想象核心素养 七、教学重点 1.抛物线的范围、对称性、顶点、离心率四大几何性质； 2.利用抛物线几何性质求解标准方程。 八、教学难点 根据不同条件分类讨论，求解抛物线的标准方程。 九、教学方法 1.讲授法：系统梳理抛物线几何性质，清晰讲解知识点推导过程，夯实理论基础； 2.数形结合法：结合方程与图像，直观展示抛物线几何特征，降低抽象知识理解难度； 3.案例探究法：通过典型例题、生活工程案例，引导学生自主探究解题思路，强化知识应用； 4.讲练结合法：知识点讲解后即时配套练习，及时巩固新知，查漏补缺； 5.对比分析法：对比椭圆、双曲线、抛物线的离心率，区分三类圆锥曲线的差异。 十、教学环节设计 教学环节 教学内容 设计意图 教学引入 赵州桥 赵州桥始建于隋代 (公元 595—605 年), 由匠人李春设计建造，是世界上现存最古老､跨度最大的单孔石拱桥 其拱形曲线近似于抛物线. 完美体现了数学与工程的结合. 复习回顾 标准方程 焦点坐标 准线方程 开口方向 正半轴 负半轴 正半轴 负半轴 抛物线之美 以抛物线的标准方程 为例，研究抛物线的几何性质 范围 对称性 顶点 离心率 以经典古建筑为真实情境导入，将抽象的解析几何知识具象化。借助传统文化素材激发学生学习兴趣，渗透美育与数学文化，让学生感受“数学源于生活、用于工程”，体会抛物线的曲线之美与实用价值，自然衔接新课内容，提升课堂代入感。 新知讲授 性质 1: 范围 由方程 , 因 且 , 所以 说明抛物线在 y 轴的右侧，当 的值增大时， 的值也随着增大，即 的值增大. 得到结论：抛物线位于轴右侧，向右上方和右下方无限延伸. 性质 2: 对称性 在标准方程 中，将 换成 即 方程形式不变，故点 与 同时满足方程 因此，抛物线关于轴对称，轴为其对称轴 一般地，把抛物线的对称轴称为抛物线的轴. 性质 3: 顶点 在标准方程 中， 令 解得 故抛物线的顶点为原点 一般地，抛物线与它的轴的交点称为抛物线的顶点. 性质 4: 离心率 抛物线上的点 到焦点的距离与它到准线的距离的比称为抛物线的离心率，记作 由抛物线的定义知， 对比 椭圆 , 双曲线 , 抛物线 新知速记 抛物线的几何性质 范围；：位于轴右侧，向右上､右下无限延伸 对称性：关于轴对称；对称轴为轴，又称抛物线的轴 顶点：；抛物线与对称轴的交点，位于坐标原点 离心率：；区别于椭圆与双曲线 遵循“由数推形、数形结合”的解析几何核心思想，通过代数推导得出几何特征，培养学生逻辑推理、归纳概括的数学核心素养。循序渐进拆解重难点，帮助学生理解性质的由来而非机械记忆，通过与椭圆、双曲线对比，完善圆锥曲线知识体系，规避概念混淆，夯实本节课核心新知。 案例分析 例 1根据条件，求抛物线的标准方程. (1) 关于 y 轴对称，且过点 ; (2) 对称轴为坐标轴，且过点 解：(1) 由于抛物线关于 y 轴对称，而点 P 为第四象限的点，故抛物线的焦点在 y 轴的负半轴上. 设抛物线的标准方程为 . 将点 P 的坐标代入方程，得 , 解得 因此，抛物线的标准方程为 . (2) 分析：对称轴为坐标轴，但未指明是 x 轴或 y 轴，故需分两种情形讨论，设标准方程为: 或 解：设标准方程为: 或 . 将点 P 的坐标代入 得 解得 将点 P 的坐标代入 得 , 解得 因此，抛物线的标准方程为 或 例 2用 “描点法” 画出抛物线 的图形. 分析：抛物线具有对称性，因此只需先画出抛物线在第一象限内的图形，然后根据对称性画出全部图形. 解： 时，抛物线 变形成 在[0,+)xy值，列表 0 1 2 3 4 0 2 4 以表中的值为横坐标，对应的值为纵坐标，在直角坐标系中依次描出相应的点 , 用光滑的曲线顺次链接各点得到抛物线在第一象限内的图形。然后利用对称性，画出全部图形. 例 3建设交通强国是全面建成社会主义现代化强国的重要支撑.2021 年年底，我国高速公路里程已位居世界第一。在修建 A 市到 B 市的高速公路过程中，需要挖掘一条横截面如图所示的隧道。已知横截面的顶部是抛物线拱，拱高为, 跨度为. 试建立平面直角坐标系，求抛物拱形线的方程. 解：以抛物线的顶点为坐标原点､拱高所在直线为 y 轴，建立平面直角坐标系，则抛物线方程可设为 因为点在抛物线上，得 解得 , 所以 例 4已知斜率为 1 的直线过抛物线 的焦点 , 且与 相切，求该抛物线的方程. 解：由题知，抛物线的焦点坐标为 则直线方程为 即 圆 的圆心坐标为, 半径 . 由于直线与圆相切，则有 解得或. 所以抛物线的方程为 或 例 5抛物线 上各点向 x 轴作垂线，求垂线段的中点的轨迹方程，并说明轨迹是什么图形. 解：设点 是抛物线上的任一点，作 轴，垂足为 , 则点 的坐标为 设线段 的中点为 则有 , 即 , 由于 在抛物线上，满足 所以 , 即 所以点 M 的轨迹方程为 它是顶点在坐标原点，焦点坐标为 的抛物线. 例题由浅入深、层层递进，贴合学生认知规律。通过基础例题巩固几何性质与标准方程求解方法；通过绘图题型强化数形结合能力；通过工程建模例题落实数学应用素养，呼应课堂导入的实际应用场景；通过综合与拓展例题提升学生知识迁移、综合运算和动态探究能力，实现知识从理解到熟练运用的过渡。 学以致用 1. 抛物线 的对称轴是 (B) A.轴 B.轴 C. 直线 D. 直线 解：根据抛物线的几何性质求解. 抛物线的方程 , 形如抛物线的标准方程 , 其对称轴是轴. 2. 抛物线 的顶点坐标是 (D) A. B. C. D. 解：根据抛物线的几何性质求解. 抛物线的方程 , 其顶点坐标为 . 3. 对于抛物线 , 下列说法正确的是 (A) A 开口向上，焦点为 B 开口向上，焦点为 C 焦点到准线的距离为 D 准线方程是 解：B 错误：焦点不是 C 错误：焦点到准线的距离为, 不是 D 错误：准线不是 , 应是 4. 已知抛物线的顶点在原点，关于 y 轴对称，且过点 , 求其标准方程. 解：设标准方程为: 将坐标 代入 得 解得 标准方程为: 在基础巩固之上进行能力提升，全面覆盖本节课重难点、易错点与高频考点。训练学生分类讨论、数形结合、定义活用的解题思维，纠正常见认知误区，规范解题步骤与答题逻辑，全面检验学生本节课知识掌握程度，便于教师当堂查漏补缺，提升课堂学习效度。 课堂练习 1. 抛物线 上点的横坐标范围是 (A) A. B. C. D. 2. 若抛物线关于 y 轴对称且向下开口，则其标准方程形式为 (D) A. B. C. D. 3. 根据条件，求抛物线的标准方程. (1) 准线方程为 ; (2) 焦点为 ; (3) 关于 x 轴对称，且过点 ; (4) 对称轴为坐标轴，且过点 解：(1) 准线方程为 , 说明抛物线的焦点在 x 轴负半轴. 抛物线的焦点到准线的距离 根据抛物线的标准方程 代入 , 得到 (2) 焦点在 y 轴负半轴上。抛物线的焦点到准线的距离 根据抛物线的标准方程 代入 , 得到 (3) 抛物线标准方程形式为 抛物线过点 , 将该点代入方程 , 得到: , 解得 因此，抛物线的标准方程为 (4) 对称轴是坐标轴，分两种情况: 或 抛物线过点, 将该点代入方程 得到: , 解得 得到方程： 抛物线过点, 将该点代入方程 , 得到: , 解得 得到方程： 综上，抛物线的标准方程为 或 4. 判断 (正确的打 “√”, 错误的打 “×”) (1) 抛物线关于顶点对称.( × ) (2) 抛物线只有一个焦点，一条对称轴，无对称中心.( √ ) (3) 抛物线的标准方程虽然各不相同，但是其离心率都相同.( √ ) 解：抛物线关于其对称轴对称，而不是关于顶点对称。因此，陈述 (1) 是错误的. 抛物线确实只有一个焦点，一条对称轴，并且没有对称中心。因此，陈述 (2) 是正确的. 无论抛物线的标准方程如何变化，其离心率始终为 1. 因此，陈述 (3) 是正确的. 5. 已知抛物线的顶点为坐标原点，焦点在 x 轴上，抛物线上一点 到焦点的距离为 5, 求抛物线的标准方程. 解：点横坐标为负，抛物线焦点在轴，故标准方程形式为 在 上 所以 , 即 由抛物线定义：点到焦点距离等于点到准线距离，准线 , 即 得 . 6. 已知垂直于 x 轴的直线交抛物线 于 A ､ B 两点，且 , 求直线 的方程. 解：垂直轴，关于轴对称，，A 点纵坐标为 , 代入 解得 所以 A 坐标为 直线 的方程为 设置综合性课堂习题，涵盖取值范围判断、方程形式辨析、多条件分类求标准方程、概念正误判断、抛物线定义综合应用、线段与抛物线结合计算等高频重难点题型，题型全面、考点覆盖完整，配有规范解题步骤。 课堂小结 抛物线的几何性质 范围；：位于轴右侧，向右上､右下无限延伸 对称性：关于轴对称；对称轴为轴，又称抛物线的轴 顶点：；抛物线与对称轴的交点，位于坐标原点 离心率：；区别于椭圆与双曲线 通过结构化小结，帮助学生梳理课堂脉络，碎片化知识点系统化、条理化。引导学生自主回顾重难点。 作业布置 1. 书面作业：完成《学习指导与练习》中本节相关习题； 2. 查漏补缺：根据课堂练习和课堂小结，结合个人情况，对本节课知识进行复习与回顾，弥补知识漏洞； 3. 拓展作业：预习下一节内容，阅读教材扩展延伸部分。 通过分层作业，既巩固本节课所学知识，又培养学生自主学习和查漏补缺的能力，为后续学习做好铺垫。 板书设计 抛物线的几何性质 范围；：位于轴右侧，向右上､右下无限延伸 对称性：关于轴对称；对称轴为轴，又称抛物线的轴 顶点：；抛物线与对称轴的交点，位于坐标原点 离心率：；区别于椭圆与双曲线 板书精炼规整、重难点突出，是本节课知识的可视化核心框架。课堂中辅助学生跟随教学节奏梳理重点、理清逻辑；课后可作为学生复习提纲，帮助学生快速抓取主干知识。 11、 教学反思 本节课整体教学流程完整，贴合中职学生学情，以生活实例导入激发学生兴趣，以旧知引新知，层层递进推导抛物线几何性质，通过讲练结合、案例探究的方式落实教学重难点，基本达成知识、能力、核心素养三维教学目标。 课堂优势方面，通过对比三类圆锥曲线的离心率，有效帮助学生区分易混淆知识点；利用赵州桥、隧道工程等实际案例，让学生充分感知数学的实用性，提升了学生的数学建模意识；分层例题和课堂练习适配不同基础的学生，有效夯实了基础知识点。 原创精品资源学科网独家享有版权，侵权必究！1 学科网（北京）股份有限公司 学科网（北京）股份有限公司 学科网（北京）股份有限公司 $