3.3.1函数的单调性（教案）高教版（第三版）《数学 基础模块上册》【上好课】

该中职数学教案聚焦函数的单调性，通过播放气温变化视频、观察图像引导学生描述变化趋势，衔接函数概念与图像知识，为后续学习函数性质搭建直观认知支架。 其特色在于情境教学法与数形结合法结合，以生活实例培养数学眼光，通过定义法证明步骤训练数学思维，分层例题和纠错辨析帮助学生规范表达，提升学习效率，为教师提供完整教学方案。

高等教育出版社《数学 基础模块上册》（第三版） 第三章 函数 3.3.1函数的单调性 一、教材 高等教育出版社《数学 基础模块上册》（第三版） 二、教学时长 1课时 三、授课类型 新授课 4、 教材分析 本节《函数的单调性》是第三章函数核心内容之一，是学生在学习函数概念、函数图像之后，研究函数性质的第一个重要知识点。函数单调性是刻画函数变化规律的核心性质，既是对前面函数图像、变量对应关系知识的深化，也是后续学习函数最值、奇偶性、指数函数、对数函数、三角函数性质的基础，在整个中职函数知识体系中起到承上启下的关键作用。 五、学情分析 学生已经掌握了函数的基本概念、定义域、值域的求解方法，能够绘制简单的一次函数、二次函数、反比例函数图像，具备一定的图像观察和直观分析能力，为本节课学习奠定了基础。 但中职学生数学基础薄弱，逻辑推理能力、数学抽象能力不足，对“从直观图像到严谨数学定义”的转化存在困难，难以理解定义中“区间内任意两点”的核心内涵，容易出现“单点判断单调性”“单调区间乱用并集”等典型错误。 六、教学目标 知识层面 理解函数单调性的概念，掌握增函数与减函数的定义，能准确识别给定区间上的单调性与单调区间。 能力层面 能根据函数图像判断函数在指定区间上的单调性，并能运用定义法证明简单函数在给定区间上的增减性. 核心素养层面 通过单调性的学习，培养数形结合与逻辑推理的能力，提升数学抽象与直观想象的核心素养。 七、教学重点 1.增函数、减函数的概念及单调区间的识别与书写； 2.定义法证明简单函数单调性的步骤。 八、教学难点 1.定义法证明函数单调性中差式的变形与符号判断； 2.掌握单调区间的正确书写规范，规避“并集连接间断单调区间”的易错问题。 九、教学方法 1.情境教学法：结合气温变化、身体指标变化等生活情境，激发学生学习兴趣，直观感知函数变化趋势； 2.数形结合法依托函数图像，化抽象为具象，帮助学生直观理解单调性的本质； 3.讲练结合法：精讲核心知识点与解题方法，搭配例题、随堂练习，及时巩固知识，强化实操能力； 4.纠错辨析法：针对学生易错点进行对比辨析，纠正错误认知，规范解题规范。 十、教学环节设计 教学环节 教学内容 设计意图 教学引入 气温变化 播放视频 下图是某市某天气温 与时间 x (时) 的函数图像，记这个函数为 . 观察图像，描述气温在 0~14 时中的变化趋势. 思考问题: ①在哪些时间段内，气温随时间的增加而升高？从 2 时到 14 时 ②在哪些时间段内，气温随时间的增加而降低？从 0 时到 2 时 ③如何用数学语言描述这种 “上升” 或 “下降” 的变化趋势？ 在给定区间 [4,14] 上，对于图像上的任意两点 和 . 当 时，都有 即 观察二次函数 图像 在给定区间上，对于图像上的任意两点 和 . 当 时，都有 ，即 函数图像的 “上升” 或 “下降” 反映了函数值随自变量变化的规律。 以学生日常生活中熟悉的气温变化情境导入课堂，贴合学生认知经验，有效降低抽象数学知识的入门难度，快速吸引学生课堂注意力。通过直观观察图像变化、层层递进设问的方式，引导学生自主发现函数随自变量变化的增减规律，引发认知思考，自然衔接本节课新知内容。同时初步渗透数形结合的数学思想，让学生体会数学来源于生活、应用于生活，提升学生的课堂探究主动性与学习积极性。 新知讲授 单调性与单调区间 设函数 的定义域为 D , 区间 增函数 如果对于区间 I 上的任意两点 当 时，都有 , 那么称函数 在区间 I 上是增函数，区间 I 称为函数 的增区间 减函数 如果对于区间 I 上的任意两点 当 时，都有 , 那么称函数 在区间 I 上是减函数，区间 I 称为函数 的减区间 如果函数 在区间 I 上是增函数或减函数，那么称函数 在区间 I 上具有单调性，区间 I 称为单调区间。 增区间也称为单调增区间；减区间也称为单调减区间 注意 单调性是对区间而言的，不是对单个点。 一个函数在不同区间上可能有不同的单调性。 单调区间是定义域的子集。 对比辨析 分类 单调递增 (增函数) 单调递减 (减函数) 定义（区间上任意两点） 当时，都有 当时，都有 图像特征 上升趋势 下降趋势 定义法判断函数单调性 1.在区间 I 上任取 , , 且设 2.计算 3.对差式进行因式分解、配方、通分等变形，便于判断符号 4.判断 的正负 (与 0 比较大小) 5.根据定义下结论：若差则为增函数，若差则为减函数 取值、作差、变形、判号、结论 图像法判断函数单调性 增函数：图像从左到右上升；减函数：图像从左到右下降 新知速记 判断函数单调性的方法 1.图像法 在区间内图像从左往右上升为增函数； 在区间内图像从左往右下降为减函数。 2.定义法 在区间 I 上任取 , , 且设 计算 若 , 则函数在区间 I 上是增函数； 若 , 则函数在区间 I 上是减函数。 【同增异减】 承接导入环节的直观感知，逐步引导学生从图像表象过渡到严谨的数学定义，完成从感性认知到理性抽象的知识升华，契合中职学生由浅入深的认知规律。通过细化核心概念、梳理关键注意点、对比辨析易混知识点，帮助学生精准把握重难点，突破本节课的教学难点。系统归纳图像法与定义法两种核心解题方法，构建清晰完整的知识框架，同时纠正学生常见的认知误区，培养学生严谨规范的数学思维，夯实本节课的知识基础。 案例分析 例 1根据函数在 上的图像，写出其单调区间。 解:函数 的定义域为 增区间为 ，减区间为 解：函数 的定义域为 ，也可表示为 增区间为 和 思考：增区间能写成 吗？ 答：0处无意义，所以增区间不能连贯，不能用并集符号连接。 例 2讨论函数 在 上的单调性。 解:画出函数 的图像，由图像可以看出，函数 在定义域 上可能是增函数， 下面利用函数单调性的定义证明这一结论。 任取 ，且 ， ， 所以，函数 在 上是增函数。 例 3证明函数 在区间 上是减函数。 解：任取 , 且 。 所以，函数 在区间 上是减函数。 归纳 1.一次函数： 当 时，函数是增函数；当 时，函数是减函数。 2.反比例函数： 当 时，函数在各自区间上是减函数；当 时，函数在各自区间上是增函数。 选取教材经典典型例题，采用分层递进的讲解模式，贴合学生的知识接受节奏，实现从识图判断到严谨证明的梯度训练。通过完整示范解题步骤，规范学生答题格式，针对性解决定义法证明中变形难、判号难的核心问题，有效突破教学难点。同时归纳基础函数单调性通用规律，帮助学生总结解题技巧、积累解题经验，提升学生知识迁移与灵活应用的能力，让学生做到学以致用、举一反三。 学以致用 1.判断函数 的单调性 解：函数 的定义域为 任取 ，且 ， ， 所以，函数 在 上是减函数。 2.求函数 的增区间。 解：函数 是反比例函数， 定义域为 增区间为 和 3.已知函数 在区间 上是增函数，比较 与 的大小。 解：已知 在 上是增函数， 因为 ，，且 所以 4.某人的某项身体指标 随时间 (时) 变化的函数图像如图所示。求该函数的减区间。 解：减区间为 和 本环节立足“学用结合”的教学原则，紧扣本节课核心知识点设置针对性习题，实现从例题模仿到独立应用的过渡训练。题目涵盖基础函数单调性判断、单调区间书写、单调性性质应用、生活情境应用等维度，全面覆盖课堂重难点，帮助学生及时内化新知。同时引导学生主动运用图像法与定义法解决问题，强化数形结合思想，锻炼学生独立解题、规范作答的能力，切实提升学生的知识应用与迁移水平。 课堂练习 1.填空题 (填 “增” 或 “减”)。 (1) 函数 在 上是增函数； (2) 函数 在 上是减函数； (3) 函数 在 上是减函数； (4) 函数 在 上是增函数。 2.已知函数 , , 如图所示，试写出函数的单调区间，并说明在每一单调区间上函数的单调性。 解：单调区间有, , , 增区间为 减区间为, , 3.观察函数图像，判断函数 的单调递减区间为 (C ) A. B. C. D. 4.已知 是 上的增函数， 是其图像上的一点，则不等式 的解集是 A. B. C. D. 解：因为 在图像上，所以 求解 又由于 是 上的增函数 可得 解集是 5.如图是定义在区间上的函数 , 则下列关于函数 的说法错误的是 (C ) A. 函数在区间上单调递增 B 函数在区间上单调递增 C. 函数在区间上单调递减 D 函数在区间上不存在单一单调性 解：选 C；函数在和上单调递减，不能用并集符号。 6.证明：(1) 函数 在 上是减函数。 (2) 函数 在 上是减函数。 解：(1) 任取 ，且 ， ， 所以，函数 在 上是减函数。 (2) 任取 ，且 ， ， 因为 ，所以 ，， 所以。 所以，函数 在 上是减函数。 课堂练习采用多题型、分层梯度的设计思路，兼顾基础性、针对性与辨析性，全面适配不同层次学生的学习需求。基础题型巩固概念记忆，辨析题型专门击破学生高频易错点，证明题型强化逻辑推理与步骤规范。通过当堂训练、当堂纠错、当堂巩固的模式，快速检测课堂教学成效，精准定位学生知识漏洞，及时弥补短板，帮助学生彻底吃透本节课知识，夯实课堂教学效果。 课堂小结 分类 单调递增 (增函数) 单调递减 (减函数) 定义（区间上任意两点） 当时，都有 当时，都有 图像特征 上升趋势 下降趋势 判断函数单调性的方法 1.图像法 在区间内图像从左往右上升为增函数； 在区间内图像从左往右下降为减函数。 2.定义法 在区间 I 上任取 , , 且设 计算 若 , 则函数在区间 I 上是增函数； 若 , 则函数在区间 I 上是减函数。 【同增异减】 通过师生共同梳理总结，系统复盘本节课的核心知识点、解题方法及易错要点，帮助学生梳理清晰的知识脉络，整合碎片化的课堂知识，形成完整的知识体系。 作业布置 1. 书面作业：完成《学习指导与练习》中本节相关习题； 2. 查漏补缺：根据课堂练习和课堂小结，结合个人情况，对本节课知识进行复习与回顾，弥补知识漏洞； 3. 拓展作业：预习下一节内容，阅读教材扩展延伸部分。 通过分层作业，既巩固本节课所学知识，又培养学生自主学习和查漏补缺的能力，为后续学习做好铺垫。 板书设计 分类 单调递增 (增函数) 单调递减 (减函数) 定义（区间上任意两点） 当时，都有 当时，都有 图像特征 上升趋势 下降趋势 判断函数单调性的方法 1.图像法 在区间内图像从左往右上升为增函数； 在区间内图像从左往右下降为减函数。 2.定义法 在区间 I 上任取 , , 且设 计算 若 , 则函数在区间 I 上是增函数； 若 , 则函数在区间 I 上是减函数。 【同增异减】 能够在课堂教学过程中同步配合授课节奏，逐步书写、层层展开，帮助学生跟随课堂思路构建清晰的知识框架。 11、 教学反思 本节课以生活情境导入，贴合中职学生认知特点，通过数形结合、讲练结合的教学方式，顺利完成了单调性概念理解、图像判断、定义证明的核心教学目标，大部分学生能够掌握基础题型的解题方法，理解函数单调性的本质。 本节课依托具象图像弱化抽象概念的难度，通过易错点辨析、分层练习，有效规避了学生常见解题错误，同时渗透数形结合、逻辑推理的数学核心素养，课堂氛围轻松，学生参与度较高。 原创精品资源学科网独家享有版权，侵权必究！1 学科网（北京）股份有限公司 学科网（北京）股份有限公司 学科网（北京）股份有限公司 $