专题34 排列组合（练习）-2027年河北省（对口升学考试）《数学一轮讲练测》（原卷版+解析版）

**基本信息** 以支架式教学为核心，通过分层训练构建排列组合从基础概念到综合应用的完整进阶路径，融入真题强化应试能力。 **专项设计** |模块|题量/典例|题型特征|知识逻辑| |----|-----------|----------|----------| |排列|14题（含3道公式计算）|基础应用题（穿搭/选班）→排列数计算→实际情境排列|从分步计数原理引入，通过具体案例抽象排列概念，逐步过渡到公式应用| |组合|10题（含2道概率结合题）|组合数计算→混合选取→概率应用|以排列为基础，通过“无序性”对比生成组合概念，结合概率深化应用| |综合问题|11题（含涂色/分配问题）|分配问题→涂色模型→复杂排列组合|整合排列与组合，通过多情境综合题（如人员分配、区域涂色）培养逻辑推理与模型意识| |历年真题|7题|古代著作排列/回文数/分配方案|紧扣河北对口升学命题趋势，强化高频考点的实际应用与创新思维|

编写说明：2027年河北省（对口升学考试）《数学一轮讲练测》内含复习讲义、专项训练、综合训练，在编写中融入支架式教学理念，紧扣教材，将知识拆解整合为体系化专题清单，以挖空式讲解搭配知识再现型练习筑牢基础，再通过分层专项训练、综合进阶训练实现知识巩固与能力提升。针对性强，实操性好，为一轮复习搭建从知识梳理到能力突破的完整进阶路径，高效赋能备考提分。 2027年河北省对口升学考试 《数学一轮讲练测》练习 专题34 排列组合 【考点1 排列】 1．某同学有3件上衣和2条裤子，不同的穿搭方式有（    ） A．5种 B．6种 C．8种 D．9种 2．某学校高一年级共8个班，高二年级6个班从中选一个班级担任学校星期一早晨升旗任务，共有多少种安排方法（    ） A．8 B．6 C．14 D．48 3．用组成没有重复数字的两位数，这样的两位数个数为（ ） A．6 B．12 C．16 D．24 4．排列数的值为（    ） A．5 B．10 C．15 D．20 5．若，则（ ） A．3 B．4 C．5 D．6 6．从3，5，7，11这四个质数中，每次取出两个不同的数，分别记为a，b，则共可得到的不同值的个数为（    ） A．6 B．8 C．12 D．16 【考点2 组合】 7．从5名学生中选3人参加比赛，不同的选法种数是（    ） A．10 B．15 C．60 D．125 8．某班有男生20人，女生18人，从中要选出男生、女生各2人，参加学校组织的志愿者活动，则不同的选法有（   ） A． B． C． D． 9．在100件产品中，有95件正品5件次品，从中任取2件，则正、次品各半的概率为（   ） A． B． C． D． 10．已知，则的值是（    ） A．6 B．3 C．6或3 D．7 11．若，则n的值是（　　） A．5 B．7 C．6 D．8 【考点3 排列、组合综合问题】 12．三名数学教师教4个班的数学课，每名教师至少选教一个班，一个班只能选一名教师教，有种不同的任课方法（    ） A．12 B．24 C．36 D．18 13．如图，用4种不同的颜色对图中5个区域涂色（4种颜色全部使用），要求每个区域涂一种颜色，相邻的区域不能涂相同的颜色，则不同的涂色方法有（   ） A．72种 B．96种 C．108种 D．120种 14．在由这六个数字组成的无重复数字的六位数中，个位数字小于十位数字的个数是（    ） A．210 B．300 C．464 D．600 【答案】B 15．从7人中选择3人分别担任学习委员，劳动委员，体育委员，且甲、乙两人中至少有1人入选的不同选法种数为（    ） A． B． C． D． 【考点1 排列】 16．数字0，1，2，3，4可以组成_____________个无重复数字的三位偶数. 17．将四封信投入三个不同的信箱，不同的方法有_________种． 18．某校高中部，高一有6个班，高二有7个班，高三有8个班，学校利用星期六组织学生到某厂进行社会实践活动．选2个班参加社会实践，要求这2个班不同年级，有__________种不同的选法． 19．在所有的两位数中，个位数大于十位数的两位数共有________个. 20．正方体的8个顶点中，选取4个共面的顶点，有______种不同选法 21．把4名男生和4名女生排成一排，女生要排在一起，不同的排法种数为___________． 22．4名男生和3名女生站在一排照相，则男生和女生相间的排法种数为______ 23．有3位家长带2位儿童去爬山，5个人需要排成一条队列，要求队列的头和尾均是家长，则不同的排列种数有__________种（用数字作答）. 【考点2 组合】 24．某学校参加2019北京世界园艺博览会志原活动，计划从5名女生，3名男生中选出4人组成小分队，则选出的4人中有2名女生2名男生的选法有__________种. 25．平面上有10个点，其中4个点在一直线上，此外没有3个点在一条直线上，最多可以确定______条直线. 26．现有长度分别为的五条线段，从中任取三条线段可以构成一个三角形的概率为__________. 27．以三棱柱的顶点为顶点的四棱锥的个数是______． 28．在如图所示的三角形边上的9个点中任取3个，可构成三角形的个数是__________. 29．已知9名学生到3个计算机机房进行实训，每个机房分到3名学生，则不同的分配方法有_____种. 【考点3 排列、组合综合问题】 30．从6名男生，5名女生中选举3人分别担任班长，学习委员和体育委员. (1)若担任班长，学习委员和体育委员的3人中有女生，则不同的情况有多少种？ (2)若担任班长和学习委员的学生性别不同，则不同的情况有多少种？ 31．现有0、1、2、3、4、5、6、7、8、9共十个数字． (1)可以组成多少个无重复数字的三位数？ (2)可以组成多少个无重复数字的四位偶数？ 32．已知从左到右有5个空格. (1)若向这5个格子填入0，1，2，3，4五个数，要求每个数都要用到，且第三个格子不能填0，则一共有多少不同的填法？ (2)若向这5个格子放入7个不同的小球，要求每个格子里都有球，问有多少种不同的放法？ 33．一个文具盒内装有形状、大小都相同的2支红色签字笔和3支黑色签字笔． (1)从中一次随机拿出两支笔，求两支笔恰好颜色不同的概率； (2)从中随机拿出一支笔，不放回后再随机拿出一支笔，求两支笔同时是黑色签字笔的概率； (3)从中随机拿出一支笔，放回后再随机拿出一支笔，求两支笔恰好颜色不同的概率． 34．从包含甲、乙2人的8人中选4人参加米接力赛，求在下列条件下，各有多少种不同的排法？（结果用数字作答） (1)甲、乙2人都被选中且必须跑中间两棒； (2)甲、乙2人都被选中且必须跑相邻两棒； (3)甲、乙2人都被选中且不能相邻两棒； (4)甲、乙2人都被选中且甲不能跑第一棒，乙不能跑第四棒. 35．用0，1，2，3，4这五个数字组成没有重复数字的五位数 (1)在组成的五位数中，所有偶数有多少个？ (2)在组成的五位数中，大于31000的数有多少个？ (3)在组成的五位数中，数字2和数字4不相邻的数有多少个？ 1. （2025·河北对口升学·真题T18）《九章算术》《孙子算经》《海岛算经》《周髀算经》《五曹算经》是我国古代数学的重要著作，将这5部著作排成一排，则《九章算术》与《孙子算经》之间恰有2部著作的排法种数为（ ） A. 6 B. 12 C. 24 D. 36 2. （2024·河北对口升学·真题T15）“回文数”是指从左到右读与从右到左读都一样的正整数，如212，34743等，在所有五位正整数中，有且仅有两位数字是偶数的“回文数”的个数为（ ） A. 100 B. 125 C. 225 D. 250 3. （2023·河北对口升学·真题T15）现有语、数、外、历史四本书，分给甲、乙、丙三人，每人至少一本书，则甲分到数学书的方案有（ ）种. A. 6 B. 9 C. 12 D. 24 4. （2023·河北对口升学·真题T30）已知，则_______.. 5.（2022·河北对口升学·真题T26）将桃树、苹果树、梨树、山楂树、杏树各一棵种成一排，则山楂树与梨树不能相邻的种植方法有___________种. 6.（2026·河北对口升学·真题T08）把“温、良、恭、俭、让”五个字排成一排，则恭、俭必须相邻的概率（ ） A. B. C. D. 7.（2025·河北对口升学·真题T24）生肖文化是我国传统文化的重要组成部分.现有十二生肖吉祥物各一个，分别为鼠、牛、虎、兔、龙、蛇、马、羊、猴、鸡、狗、猪.甲、乙两人从中不放回地依次随机选取一个，则甲选到牛或虎，且乙选到龙或马的概率为______. 原创精品资源学科网独家享有版权，侵权必究！ 学科网（北京）股份有限公司 学科网（北京）股份有限公司 学科网（北京）股份有限公司 $ 编写说明：2027年河北省（对口升学考试）《数学一轮讲练测》内含复习讲义、专项训练、综合训练，在编写中融入支架式教学理念，紧扣教材，将知识拆解整合为体系化专题清单，以挖空式讲解搭配知识再现型练习筑牢基础，再通过分层专项训练、综合进阶训练实现知识巩固与能力提升。针对性强，实操性好，为一轮复习搭建从知识梳理到能力突破的完整进阶路径，高效赋能备考提分。 2027年河北省对口升学考试 《数学一轮讲练测》练习 专题34 排列组合 【考点1 排列】 1．某同学有3件上衣和2条裤子，不同的穿搭方式有（    ） A．5种 B．6种 C．8种 D．9种 【答案】B 【分析】根据排列组合中的分步乘法计数原理求解即可. 【详解】某同学有3件上衣和2条裤子,则不同的穿搭方式有. 故选：B. 2．某学校高一年级共8个班，高二年级6个班从中选一个班级担任学校星期一早晨升旗任务，共有多少种安排方法（    ） A．8 B．6 C．14 D．48 【答案】C 【分析】利用分类计数加法原理进行求解. 【详解】若选高一班级有8种选法； 若选高二班级有6种选法； 共有种方法， 故选：C． 3．用组成没有重复数字的两位数，这样的两位数个数为（ ） A．6 B．12 C．16 D．24 【答案】B 【分析】根据分步乘法计数原理，即可求解. 【详解】由题意，先排个位，有4种排法，再排十位，有3种排法， 因此共有种排法. 故选：B. 4．排列数的值为（    ） A．5 B．10 C．15 D．20 【答案】D 【分析】根据题意，结合排列数的计算，即可求解. 【详解】因为. 故选：D. 5．若，则（ ） A．3 B．4 C．5 D．6 【答案】C 【分析】根据排列数公式求解即可. 【详解】由，得，得， 所以或（舍去）． 故选：C. 6．从3，5，7，11这四个质数中，每次取出两个不同的数，分别记为a，b，则共可得到的不同值的个数为（    ） A．6 B．8 C．12 D．16 【答案】C 【分析】应用排列数求从四个数中任选2个的种数，即可得结果. 【详解】值的个数为从3，5，7，11这四个数中任选2个数的排列数. 故选：C 【考点2 组合】 7．从5名学生中选3人参加比赛，不同的选法种数是（    ） A．10 B．15 C．60 D．125 【答案】A 【分析】根据题意列组合数计算即可. 【详解】从5名学生中选3人参加比赛，不同的选法种数是种. 故选：A. 8．某班有男生20人，女生18人，从中要选出男生、女生各2人，参加学校组织的志愿者活动，则不同的选法有（   ） A． B． C． D． 【答案】B 【分析】根据组合数定义及分步乘法计数原理列式即可. 【详解】第一步：从男生20人中选出2人的选法有：种， 第二步：从女生18人中选出2人的选法有：种， 则总的选法有：种. 故选：B 9．在100件产品中，有95件正品5件次品，从中任取2件，则正、次品各半的概率为（   ） A． B． C． D． 【答案】B 【分析】根据组合数和古典概型概率公式计算即可. 【详解】在100件产品中任取2件的方法数为， 正、次品各半为1件正品，1件次品，方法数为， 所以正、次品各半的概率为. 故选：B. 10．已知，则的值是（    ） A．6 B．3 C．6或3 D．7 【答案】C 【分析】利用组合数的性质进行解方程求解. 【详解】因为，故或，即或，故A，B，D错误. 故选：C. 11．若，则n的值是（　　） A．5 B．7 C．6 D．8 【答案】C 【分析】根据组合数的性质，建立方程，可得答案. 【详解】，，解得． 故选：C． 【考点3 排列、组合综合问题】 12．三名数学教师教4个班的数学课，每名教师至少选教一个班，一个班只能选一名教师教，有种不同的任课方法（    ） A．12 B．24 C．36 D．18 【答案】C 【分析】利用排列组合公式，解决实际问题. 【详解】必定是一位老师教学两个班级，另外两位老师分别教学一个班级， 故将四个班级分成三组，有种不同的组合， 再对三位老师进行排列，有种不同的排列组合， 故共有种不同的任课方法. 故选：C. 13．如图，用4种不同的颜色对图中5个区域涂色（4种颜色全部使用），要求每个区域涂一种颜色，相邻的区域不能涂相同的颜色，则不同的涂色方法有（   ） A．72种 B．96种 C．108种 D．120种 【答案】B 【分析】按照1，3是否同色进行分类讨论，再根据分类加法计数原理求解即可. 【详解】若1，3不同色，则1，2，3，4必不同色，有种涂色法；若1，3同色，有种涂色法. 根据分类加法计数原理可知，共有种涂色法. 故选：B. 14．在由这六个数字组成的无重复数字的六位数中，个位数字小于十位数字的个数是（    ） A．210 B．300 C．464 D．600 【答案】B 【分析】根据个位数可能为，分别进行讨论求解，再由分类计数原理进行求解即可. 【详解】由题意可得，个位数可能为， 当个位数为0时，其他数位全排列，共有个； 当个位数为1时，十位数只能是，有种选择，最高位数有3种选择，其他数位全排列， 故满足条件的六位数共有个； 当个位数为2时，十位数只能是，有3种选择，最高位数有3种选择，其他数位全排列， 故满足条件的六位数共有个； 当个位数为3时，十位数只能是，有2种选择，最高位数有3种选择，其他数位全排列， 故满足条件的六位数共有个； 当个位数为4时，十位数只能是5，有1种选择，最高位数有3种选择，其他数位全排列， 满足条件的六位数共有个； 所以个位数字小于十位数字的无重复数字的六位数共有个， 故选：B. 15．从7人中选择3人分别担任学习委员，劳动委员，体育委员，且甲、乙两人中至少有1人入选的不同选法种数为（    ） A． B． C． D． 【答案】B 【分析】分情况讨论，运用分类加法和分步乘法计数原理即可解得. 【详解】①甲、乙两人中有人入选： 甲、乙两人选人入选有种选法， 从甲、乙之外的人中选人有种选法， 对入选的三人进行排列有种排列方法. 故共有种选法. ②甲、乙两人都入选： 甲、乙之外的人中选人有种选法， 再对入选三人进行排列有种排列方法. 故共有种选法， 综上共有种选法. 故选：B 【考点1 排列】 16．数字0，1，2，3，4可以组成_____________个无重复数字的三位偶数. 【答案】30 【分析】根据分类加法计数原理与分步乘法计数原理即可求解. 【详解】组成无重复数字的偶数要求个位是. 由题意得，第一类：当个位是时，有种. 第二类：当个位是或时，有种. 所以一共有个无重复数字的三位偶数. 故答案为：30. 17．将四封信投入三个不同的信箱，不同的方法有_________种． 【答案】 【分析】根据分步计数原理计算即可. 【详解】根据题意可知，每封信都有种不同的投法. 则四封信共有种不同的投法 故答案为：. 18．某校高中部，高一有6个班，高二有7个班，高三有8个班，学校利用星期六组织学生到某厂进行社会实践活动．选2个班参加社会实践，要求这2个班不同年级，有__________种不同的选法． 【答案】146 【分析】根据分类加法计数原理易得答案. 【详解】选2个班参加社会实践，这2个班不同年级， 若2个班为高一和高二各一个班有， 若2个班为高二和高三各一个班有， 若2个班为高三和高一各一个班有， 所以不同的选法共有. 故答案为：． 19．在所有的两位数中，个位数大于十位数的两位数共有________个. 【答案】36 【分析】按十位数字分类讨论，结合个位数大于十位数的条件计算个数. 【详解】根据题意个位数上的数字分别是2，3，4，5，6，7，8，9共8种情况， 在每一类中满足题目要求的两位数分别有1个，2个，3个，4个，5个，6个，7个，8个， 由分类加法计数原理知，符合题意的两位数共有（个）． 故答案为：36. 20．正方体的8个顶点中，选取4个共面的顶点，有______种不同选法 【答案】12 【分析】正方体的侧棱出发找到与之共面的2个顶点，确定共面的情况数，注意重复计数的情况. 【详解】 从任意一个侧棱出发，其它6个顶点中任选2个点都有3种共面的情况， 所以，所有共面的情况有种，而每条棱均重复计数一次， 综上，正方体的8个顶点中，选取4个共面的顶点，有种. 故答案为：12 21．把4名男生和4名女生排成一排，女生要排在一起，不同的排法种数为___________． 【答案】2880 【分析】将4名女生看成一个整体，再进行全排列即可得解. 【详解】先把4名女生捆绑在一起，看成一个整体，有种， 再把这个整体与另外4名男生进行排列，有种， 故不同的排法种数有种， 故答案为：． 22．4名男生和3名女生站在一排照相，则男生和女生相间的排法种数为______ 【答案】 【分析】首先先将4名男生全排列，再将3名女生放入4名男生中间的个空中全排列，再运用排列数计算即可. 【详解】4名男生和3名女生站在一排照相， 先将4名男生全排列有种排法， 再将3名女生放入4名男生中间的个空中全排列有种排法， 则男生和女生相间的排法种数为种， 故答案为：. 23．有3位家长带2位儿童去爬山，5个人需要排成一条队列，要求队列的头和尾均是家长，则不同的排列种数有__________种（用数字作答）. 【答案】36 【分析】根据题意结合排列数的计算即可得解. 【详解】3位家长带2位儿童去爬山，5个人需要排成一条队列， 先将位家长排在队列的头和尾，有种排法， 再将剩下的位家长和位儿童排在中间，有种排法， 则共有种排法， 故答案为：. 【考点2 组合】 24．某学校参加2019北京世界园艺博览会志原活动，计划从5名女生，3名男生中选出4人组成小分队，则选出的4人中有2名女生2名男生的选法有__________种. 【答案】30 【分析】分别从女生和男生中各选取2人，再由分步计数原理可求解. 【详解】第一步，从5名女生中选取2名女生，共有种方法； 第二步，从3名男生中选取2名男生，共有种方法； 所以选出的4人中有2名女生2名男生的选法种数有 （种）. 故答案为：30 25．平面上有10个点，其中4个点在一直线上，此外没有3个点在一条直线上，最多可以确定______条直线. 【答案】40 【分析】先分成3大类，再用组合数的公式计算. 【详解】因为两点确定一条直线， 第一类：先从不共线的6个点任取两个点，有条直线， 第二类：从共线的4个点和不共线的6个点中各任取1个点，有条直线， 第三类：共线的4个点可构成1条直线， 所以共有条直线. 故答案为：40. 26．现有长度分别为的五条线段，从中任取三条线段可以构成一个三角形的概率为__________. 【答案】/ 【分析】运用组合数计算出从五条线段中任取三条线段的总的基本事件个数，再找出可以构成三角形的基本事件，最后运用古典概型的概率公式求值即可. 【详解】已知从的五条线段中任取三条线段， 共有个基本事件， 其中能构成三角形的有，共个基本事件. 所以可以构成一个三角形的概率为. 故答案为：. 27．以三棱柱的顶点为顶点的四棱锥的个数是______． 【答案】6 【分析】根据题意结合组合数运算求解. 【详解】由题意可得：四棱锥的顶点为三棱柱的顶点，底面为三棱柱的侧面且与该顶点不共面， 所以四棱锥的个数是. 故答案为：6. 28．在如图所示的三角形边上的9个点中任取3个，可构成三角形的个数是__________. 【答案】69 【分析】先求出从9个点中任取3个的全部组合数为，然后减去三角形三个边上三点共线的组合数，即可得出答案. 【详解】从9个点中任取3个的全部组合数为， 三角形三个边上三点共线的组合数为， 所以能构成三角形的个数为. 故答案为：. 29．已知9名学生到3个计算机机房进行实训，每个机房分到3名学生，则不同的分配方法有_____种. 【答案】1680 【分析】根据分组分配问题求解即可. 【详解】9名学生到3个计算机机房进行实训，每个机房分到3名学生， 则不同的分配方法有种. 故答案为：1680. 【考点3 排列、组合综合问题】 30．从6名男生，5名女生中选举3人分别担任班长，学习委员和体育委员. (1)若担任班长，学习委员和体育委员的3人中有女生，则不同的情况有多少种？ (2)若担任班长和学习委员的学生性别不同，则不同的情况有多少种？ 【答案】(1)870 (2)540 【分析】（1）从11人中人选3人，减去全是选男生的情况，再分配担任不同的职务，可得答案 （2）先从男女生中各选一人，分别担任班长和学习委员，再从剩余的9人中选一人担任体育委员即可. 【详解】（1）由题意知担任班长，学习委员和体育委员的3人中有女生， 可从11人中人选3人，减去全是选男生的情况，再分配担任不同的职务， 故不同的情况有种； （2）若担任班长和学习委员的学生性别不同， 则不同的情况有种 31．现有0、1、2、3、4、5、6、7、8、9共十个数字． (1)可以组成多少个无重复数字的三位数？ (2)可以组成多少个无重复数字的四位偶数？ 【答案】(1)648 (2)2296 【分析】（1）先从1到9中的9个数取一个数排在百位，然后从剩下的9个数中取两个数排在十位和个位即可； （2）分当个位上是0和当个位上是2，4，6，8中的一个时两种情况，分别求出排列数即可. 【详解】（1）先从1到9中的9个数取一个数排在百位，有种方法， 然后从剩下的9个数中取两个数排在十位和个位，有种方法， 所以由分步乘法原理可知共有个， 即可以组成648个无重复数字的三位数 （2）由题意可知组成的无重复数字的四位偶数，个位必须为0，2，4，6，8，千位上不能为0， 所以当个位上为0时，共有个数， 当个位上是2，4，6，8中的一个时，共有个数， 所以组成的无重复数字的四位偶数有个. 32．已知从左到右有5个空格. (1)若向这5个格子填入0，1，2，3，4五个数，要求每个数都要用到，且第三个格子不能填0，则一共有多少不同的填法？ (2)若向这5个格子放入7个不同的小球，要求每个格子里都有球，问有多少种不同的放法？ 【答案】(1)96 (2)16800 【分析】（1）由题意可知先将数字0排好，再将其余4个数字全排列，根据分步乘法计数原理即可求得结果； （2）先将7个不同的小球分成5组，再按照分组分配问题进行计算即可. 【详解】（1）根据题意，分2步进行分析： ①第三个格子不能填0，则0有4种选法； ②将其余的4个数字全排列，安排在其他四个格子中，有种情况， 则一共有种不同的填法； （2）根据题意，分2步进行分析： ①、将7个小球分成5组，有2种分法： 若分成2－2－1－1－1的5组，有种分法， 若分成3－1－1－1－1的5组，有种分组方法， 则有（）种分组方法， ②、将分好的5组全排列，对应5个空格，有种情况， 则一共有种放法. 33．一个文具盒内装有形状、大小都相同的2支红色签字笔和3支黑色签字笔． (1)从中一次随机拿出两支笔，求两支笔恰好颜色不同的概率； (2)从中随机拿出一支笔，不放回后再随机拿出一支笔，求两支笔同时是黑色签字笔的概率； (3)从中随机拿出一支笔，放回后再随机拿出一支笔，求两支笔恰好颜色不同的概率． 【答案】(1) (2) (3) 【分析】（1）根据题意，结合组合数的应用，及古典概率的计算，即可求解； （2）根据题意，结合排列数的应用，及古典概率的计算，即可求解； （3）根据题意，结合分步乘法计数原理，组合数的应用，及古典概率的计算，即可求解. 【详解】（1）记“一次随机拿出两支笔，两支笔恰好颜色不同”为事件A， 拿出两支笔的基本事件共有种，其中两支笔恰好颜色不同的事件有种， ； （2）记“从中随机拿出一支笔，不放回后再随机拿出一支笔，两支笔同时是黑色签字笔”为事件B， 不放回地摸出两支笔的基本事件共有种，其中两支笔同时是黑色签字笔的事件有种， ； （3）记“从中随机拿出一支笔，放回后再随机拿出一支笔，两支笔恰好颜色不同”为事件C， 有放回地摸出两支笔的基本事件共有种，其中两支笔为一红一黑的事件有种， ． 34．从包含甲、乙2人的8人中选4人参加米接力赛，求在下列条件下，各有多少种不同的排法？（结果用数字作答） (1)甲、乙2人都被选中且必须跑中间两棒； (2)甲、乙2人都被选中且必须跑相邻两棒； (3)甲、乙2人都被选中且不能相邻两棒； (4)甲、乙2人都被选中且甲不能跑第一棒，乙不能跑第四棒. 【答案】(1)60 (2)180 (3)180 (4)210 【分析】（1）优先安排甲乙跑中间两棒，再从其余6人中选2人排列在剩下2个位置. （2）使用捆绑法，将甲乙看作是一个元素，与另外选出的2人进行全排列. （3）使用插空法，先从除甲乙外的6人中选出2人进行排列，再将甲乙插入到已经排列好的元素的邻近位置. （4）使用占位法分类讨论，先讨论甲在乙的限制位置，再讨论甲不在乙的限制位置，即可求解. （1）甲乙两人在中间两棒，则有种排法， 从剩下6人选出2人排列到两边，有种排法， 则共有种排法. （2）将甲乙绑定到一起，内部有2种排法， 从剩下6人选出2人，有种选法， 全排列3个元素有种排法， 所以共有种排法. （3）先从剩下6人选出2人先排列，有种排法， 将甲乙插入到已排列的两个元素邻近的3个空位中，以保证甲乙不相邻，有种排法， 所以共有种排法. （4）若甲在第四棒， 则从剩下6人选出2人，有种选法， 3人全排列，共有种排法， 此时共有种排法， 若甲不在第四棒，也不在第一棒，所以甲有2种排列方法， 乙不在第四棒，也不能与甲同棒，所以乙有2种排列方法， 再从剩下6人选出2人排列到剩下的两个位置，有种排法， 此时共有种排法， 综上，共有种排法. 35．用0，1，2，3，4这五个数字组成没有重复数字的五位数 (1)在组成的五位数中，所有偶数有多少个？ (2)在组成的五位数中，大于31000的数有多少个？ (3)在组成的五位数中，数字2和数字4不相邻的数有多少个？ 【答案】(1)60 (2)42 (3)60 【分析】（1）根据当末位是0和末位是2或4，结合分类计数原理，即可求解； （2）分万位是4、万位为3千位为2,4和万位为3千位为1，结合分类计数原理，即可求解； （3）先排0,1,3，根据0排在三个数的第一位和0不排在三个数的第一位，结合分类计数原理，即可求解. 【详解】（1）解：根据题意，当末位是0共有个，当末位是2或4共有个, 所以共有偶数为个. （2）解：由题意，万位是4共有个，万位为3千位为2或4共有个， 万位为3千位为1共有个， 所以大于31000的数共有个. （3）解：先排0,1,3,第一种：0排在三个数的第一位，共有个； 第二种0不排在三个数的第一位，共有个 所以数字2和4不相邻的数共有个. 1. （2025·河北对口升学·真题T18）《九章算术》《孙子算经》《海岛算经》《周髀算经》《五曹算经》是我国古代数学的重要著作，将这5部著作排成一排，则《九章算术》与《孙子算经》之间恰有2部著作的排法种数为（ ） A. 6 B. 12 C. 24 D. 36 【答案】C 【解析】 【分析】利用捆绑法来计算满足条件的排法种数． 【详解】确定《九章算术》与《孙子算经》的排列顺序，有种方法； 从剩下3部著作中选2部放在《九章算术》与《孙子算经》之间进行排列，有种方法； 将《九章算术》、中间2部著作、《孙子算经》看作一个整体与剩下1部著作进行排列，有种方法， 则《九章算术》与《孙子算经》之间恰有2部著作的排法种数为种． 故选：C． 2. （2024·河北对口升学·真题T15）“回文数”是指从左到右读与从右到左读都一样的正整数，如212，34743等，在所有五位正整数中，有且仅有两位数字是偶数的“回文数”的个数为（ ） A. 100 B. 125 C. 225 D. 250 【答案】C 【解析】 【分析】根据偶数数字的位置分类讨论，结合计数原理计算求解. 【详解】由题意，在所有五位正整数中，有且仅有两位数字是偶数的“回文数”，则有以下情形： （1）第一位和第五位数字相同且为偶数，第二位和第四位数字相同且为奇数，第三位为奇数， 此时满足条件的“回文数”的个数为； （2）第二位和第四位数字相同且为偶数，第一位和第五位数字相同且为奇数，第三位为奇数， 此时满足条件的“回文数”的个数为， 故满足条件的“回文数”的个数为， 故选：C． 3. （2023·河北对口升学·真题T15）现有语、数、外、历史四本书，分给甲、乙、丙三人，每人至少一本书，则甲分到数学书的方案有（ ）种. A. 6 B. 9 C. 12 D. 24 【答案】C 【解析】 【分析】首先分情况讨论，然后运用排列和分类计数原理计算出方案的种数. 【详解】当甲分到两本书时，则甲分到数学书的方案有种. 当甲分到一本书时，乙丙二人中需有一人分到两本书， 则甲分到数学书的方案有种. 所以甲分到数学书的方案共有种. 故选：C. 4. （2023·河北对口升学·真题T30）已知，则_______.. 【答案】 【解析】 【分析】根据组合数的性质求出的值，然后根据排列数的计算公式求出即可. 【详解】因为，所以或， 解得或（舍去），则. 故答案为：. 5.（2022·河北对口升学·真题T26）将桃树、苹果树、梨树、山楂树、杏树各一棵种成一排，则山楂树与梨树不能相邻的种植方法有___________种. 【答案】72 【解析】 【分析】先将除去山楂树和梨树之外的三棵树进行排列，再用插空法排列山楂树和梨树，用分步计数原理求解. 【详解】第一步，先将桃树、苹果树、杏树进行全排列，共有种排列方法； 三棵树共有4个空， 第二步，将山楂树和梨树用插空法排列，共有种排列方法； 利用分步计数原理，则山楂树与梨树不能相邻的种植方法有种. 故答案为：72. 6.（2026·河北对口升学·真题T08）把“温、良、恭、俭、让”五个字排成一排，则恭、俭必须相邻的概率（ ） A. B. C. D. 【答案】D 【解析】 【分析】根据捆绑法求解即可. 【详解】要求恭、俭相邻，把恭、俭看作1个整体，此时共4个元素全排列， 同时恭、俭内部可以交换顺序，因此符合条件的排列数为. 则. 故选：D. 7.（2025·河北对口升学·真题T24）生肖文化是我国传统文化的重要组成部分.现有十二生肖吉祥物各一个，分别为鼠、牛、虎、兔、龙、蛇、马、羊、猴、鸡、狗、猪.甲、乙两人从中不放回地依次随机选取一个，则甲选到牛或虎，且乙选到龙或马的概率为______. 【答案】 【解析】 【分析】由分步计数原理及古典概型概率公式计算即可. 【详解】由题意，甲、乙两人从中不放回地依次随机选取一个， 总的基本事件数为， 由分步计数原理，甲选到牛或虎，且乙选到龙或马的基本事件数为， 故概率为. 故答案为：. 原创精品资源学科网独家享有版权，侵权必究！ 学科网（北京）股份有限公司 学科网（北京）股份有限公司 学科网（北京）股份有限公司 $