专题34 排列组合（讲义）-2027年河北省（对口升学考试）《数学一轮讲练测》（原卷版+解析版）

编写说明：2027年河北省（对口升学考试）《数学一轮讲练测》内含复习讲义、专项训练、综合训练，在编写中融入支架式教学理念，紧扣教材，将知识拆解整合为体系化专题清单，以挖空式讲解搭配知识再现型练习筑牢基础，再通过分层专项训练、综合进阶训练实现知识巩固与能力提升。针对性强，实操性好，为一轮复习搭建从知识梳理到能力突破的完整进阶路径，高效赋能备考提分。 2027年河北省对口升学考试 《数学一轮讲练测》复习讲义 专题34 排列组合 1．理解分类加法计数原理和分步乘法计数原理； 2．会用分类加法计数原理和分步乘法计数原理分析和解决一些简单的实际问题； 3．了解排列、组合的意义，理解排列数、组合数计算公式，并能用它们解决一些简单的实际问题； 4．了解组合数的性质． 【考点1 排列问题】 1.分类加法计数原理 完成一件事有n类不同的方案，在第一类方案中有m1种不同的方法，在第二类方案中有m2种不同的方法，……，在第n类方案中有mn种不同的方法，则完成这件事共有N＝__ _种不同的方法． 2.分步乘法计数原理 完成一件事需要分成n个不同的步骤，完成第一步有m1种不同的方法，完成第二步有m2种不同的方法，……，完成第n步有mn种不同的方法，那么完成这件事共有N＝_ _种不同的方法． 重要结论 分类加法计数原理和分步乘法计数原理的区别 分类加法计数原理针对“分类”问题，其中各种方法相互独立，用其中任何一种方法都可以做完这件事；分步乘法计数原理针对“分步”问题，各个步骤相互联系、相互依存，只有各个步骤都完成了才算完成这件事． 3.排列与排列数 (1)排列的定义：从n个__ _元素中取出m(m≤n)个元素，按照一定的__ __排成一列，叫做从n个不同元素中取出m个元素的一个排列． (2)排列数的定义：从n个不同元素中取出m(m≤n)个元素的__ __的个数叫做从n个不同元素中取出m个元素的排列数，用符号__ __表示． (3)排列数公式：A＝_ _． (4)全排列：n个不同元素全部取出的一个排列，叫做n个元素的一个全排列，A＝n×(n－1)×(n－2)×…×2×1＝__ __．排列数公式写成阶乘的形式为A＝，这里规定0！＝__ __． 4.相邻问题 1、思路：对于相邻问题，一般采用“捆绑法”解决，即将相邻的元素看做是一个整体，在于其他元素放在一起考虑.如果设计到顺序，则还应考虑相邻元素的顺序问题，再与其他元素放在一起进行计算. 2、解题步骤： 第一步：把相邻元素看作一个整体（捆绑法），求出排列种数 第二步：求出其余元素的排列种数 第三步：求出总的排列种数 5. 不相邻问题 1.思路：对于不相邻问题一般采用“插空法”解决，即先将无要求的元素进行全排列，然后将要求不相邻的元素插入到已排列的元素之间，最后进行计算即可 2.解题步骤： ①先考虑不受限制的元素的排列种数 ②再将不相邻的元素插入到已排列元素的空当种（插空法），求出排列种数 ③求出总的排列种数 【即时训练】 1．“回文数”是指从左到右读与从右到左读都一样的正整数，如212，34743等，在所有五位正整数中，有且仅有两位数字是偶数的“回文数”的个数为（   ） A．100 B．125 C．225 D．250 2．等于（   ）. A． B． C． D． 3．已知，则x等于（       ） A．6 B．13 C．6或13 D．12 4．某班周一上午有语文、数学、英语、品德四节课，不同的排课方案共有（    ） A．12种 B．24种 C．36种 D．48种 5．六位选手依次演讲，其中选手甲不是第一个也不是最后一个演讲，则不同的演讲次序共有（    ） A．480种 B．360种 C．240种 D．120种 6．甲、乙、丙、丁、戊五位同学排成一队，乙必须排在丁前面的排法有（    ） A．24种 B．36种 C．60种 D．120种 7．如图五个多面体从左到右排成一列，有三角形面的几何体需要相邻，排列方法有（    ）种    A．120 B．48 C．36 D．12 8．三名男生和三名女生站成一排照相，男生甲与男生乙相邻，且三名女生中恰好有两名女生相邻，则不同的站法共有（    ） A．72种 B．108种 C．36种 D．144种 9．身穿红、黄两种颜色衣服的各有2人，现将这4人排成一行，要求穿相同颜色衣服的人不能相邻，不同的排法共有（    ）. A．4 B．6 C．8 D．12 10．从6名志愿者中选出4人分别从事翻译、安检、导游、导购四项不同的工作，则选派方案共有（    ） A．180种 B．360种 C．15种 D．30种 11．用1，2，3，4，5组成没有重复数字的两位数，其中奇数个数为（   ） A．20 B．12 C．10 D．6 12．如图所示，用6种不同的颜色给图中的4个格子涂色，每个格子涂一种颜色，要求相邻的两个格子颜色不同，则不同的涂色方法共有（    ）种．    A． B． C． D． 【考点2 组合问题】 组合与组合数 (1)组合的定义：一般地，从n个__ __元素中取出m(m＜n)个元素__ __，叫做从n个不同元素中取出m个元素的一个组合． (2)组合数的定义：从n个不同元素中取出m(m≤n)个元素的__ __的个数，叫做从n个不同元素中取出m个元素的组合数，用符号__ _表示． (3)组合数的计算公式：C＝＝＝，这里规定C＝__ __． (4)组合数的性质：①C＝__ __；②C＝__ __＋__ __． 【即时训练】 1．某班计划从3位男生和4位女生中选出2人参加辩论赛，并且至少1位女生入选，则不同的选法的种数为（  ） A．12 B．18 C．21 D．24 2．若，则整数（    ） A．8 B．9 C．10 D．11 3．已知，则x的值为（    ） A．3 B．5 C．3或5 D．3或1 4．已知，则（    ） A．6 B．7 C．8 D．9 5．第二届消博会暨中国国际消费品博览会于2022年5月在海南举办．某展馆将5件相同的纪念品分别赠送给前来参观的3位游客，每人至少1件，则不同的赠送方案数共有（    ） A．6 B．9 C．12 D．24 6．在含有3件次品的50件产品中，任取2件，则恰好取到1件次品的不同方法数共有（    ） A． B． C． D． 7．某学校安排甲、乙等6名同学到三个社区开展服务活动，每个社区均安排2名同学，其中甲乙二人必须安排在同一社区，则不同的安排的方法的个数为（     ） A．6 B．18 C．36 D．90 8．从1、2、3、4、5中任取两个不同的数字构成一个两位数，则这个两位数为偶数的概率是（    ） A． B． C． D． 9．由0，1，2，5四个数组成没有重复数字的四位数中，能被5整除的个数是（    ） A．24 B．12 C．10 D．6 10．平面内有A，B，C，D共4个点，以其中2个点为端点的线段共有多少条（    ） A．4 B．6 C． D． 11．若将6本不同的书，平均分给甲乙丙三人，则不同的分发有（    ） A．15种 B．30种 C．60种 D．90种 12．某医院为支援湖北疫情，从4名医生和6名护士中选派3名医生和3名护士参加援鄂医疗小分队，不同的选派方法共有（   ） A．20种 B．40种 C．60种 D．80种 【考点3 排列、组合综合问题】 重要结论 对于有附加条件的排列、组合应用题，通常从三个途径考虑 (1)以元素为主考虑，即先满足特殊元素的要求，再考虑其他元素． (2)以位置为主考虑，即先满足特殊位置的要求，再考虑其他位置． (3)先不考虑附加条件，计算出排列数或组合数，再减去不合要求的排列数或组合数． 【即时训练】 1．某商务中心的大屏幕连续播放5个广告，其中3个不同的商业广告和2个不同的公益宣传广告.若要求最后播放的必须是公益宣传广告，且2个公益宣传广告不能连续播放，则不同的播放方式有（   ） A．120种 B．48种 C．36种 D．18种 2．小明所在的蓝球队共有10名同学，若从中选出包括小明在内的3名同学逐一上场参加投篮比赛，则不同的安排方法有（    ） A．108种 B．120种 C．216种 D．720种 3．将5名学生随机分到5个不同的小组，则恰好有一个小组没有分到学生的概率（   ） A． B． C． D． 4．为加强精准扶贫工作，某地市委方案从8名处级干部（包括甲、乙、丙三位同志）中选派4名同志去4个贫困村工作，每村一人.问： (1)甲、乙必须去，但丙不去的不同选派方案有多少种？ (2)甲必须去，但乙和丙都不去的不同选派方案有多少种？ (3)甲、乙、丙都不去的不同选派方案有多少种？ 5．某职高二年级有，，，个班，从中选派4个班分别到4个工厂进行专业实习，每个工厂一个班，试回答下列问题. (1)若班和班必须去，但班不去，问有多少种不同的选派方案？ (2)若，班恰好有一个班去，问有多少种不同的选派方案？ 6．由0，1，2，3，4，5这6个数字， (1)能组成多少个无重复数字的四位数? (2)能组成多少个无重复数字的四位偶数? (3)组成的无重复数字的四位数中，比4032大的有多少个? 7．将4个编号为1，2，3，4的小球放入4个编号为1，2，3，4的盒子中． (1)有多少种放法？ (2)每盒至多一球，有多少种放法？ (3)恰好有一个空盒，有多少种放法？ (4)把4个不同的小球换成4个相同的小球，恰有一个空盒，有多少种放法？ 8．某校数学学习小组有3名男生和4名女生，这7人站成一排留影，求以下有多少种不同的站法． (1)甲乙两人必须站在两头； (2)男生必须排在一起； (3)男生互不相邻； (4)甲乙两人之间恰好间隔1人． 9．一个正方形花圃被分成5份． （1）若给这5个部分种植花，要求相邻两部分种植不同颜色的花，已知现有红、黄、蓝、绿4种颜色不同的花，求有多少种不同的种植方法? （2）若将6个不同的盆栽都摆放入这5个部分，且要求每个部分至少有一个盆栽，问有多少种不同的放法? 1. （2025·河北对口升学·真题T18）《九章算术》《孙子算经》《海岛算经》《周髀算经》《五曹算经》是我国古代数学的重要著作，将这5部著作排成一排，则《九章算术》与《孙子算经》之间恰有2部著作的排法种数为（ ） A. 6 B. 12 C. 24 D. 36 2. （2024·河北对口升学·真题T15）“回文数”是指从左到右读与从右到左读都一样的正整数，如212，34743等，在所有五位正整数中，有且仅有两位数字是偶数的“回文数”的个数为（ ） A. 100 B. 125 C. 225 D. 250 3. （2023·河北对口升学·真题T15）现有语、数、外、历史四本书，分给甲、乙、丙三人，每人至少一本书，则甲分到数学书的方案有（ ）种. A. 6 B. 9 C. 12 D. 24 4. （2023·河北对口升学·真题T30）已知，则_______.. 5.（2022·河北对口升学·真题T26）将桃树、苹果树、梨树、山楂树、杏树各一棵种成一排，则山楂树与梨树不能相邻的种植方法有___________种. 6.（2026·河北对口升学·真题T08）把“温、良、恭、俭、让”五个字排成一排，则恭、俭必须相邻的概率（ ） A. B. C. D. 7.（2025·河北对口升学·真题T24）生肖文化是我国传统文化的重要组成部分.现有十二生肖吉祥物各一个，分别为鼠、牛、虎、兔、龙、蛇、马、羊、猴、鸡、狗、猪.甲、乙两人从中不放回地依次随机选取一个，则甲选到牛或虎，且乙选到龙或马的概率为______. 原创精品资源学科网独家享有版权，侵权必究！ 学科网（北京）股份有限公司 学科网（北京）股份有限公司 学科网（北京）股份有限公司 $ 编写说明：2027年河北省（对口升学考试）《数学一轮讲练测》内含复习讲义、专项训练、综合训练，在编写中融入支架式教学理念，紧扣教材，将知识拆解整合为体系化专题清单，以挖空式讲解搭配知识再现型练习筑牢基础，再通过分层专项训练、综合进阶训练实现知识巩固与能力提升。针对性强，实操性好，为一轮复习搭建从知识梳理到能力突破的完整进阶路径，高效赋能备考提分。 2027年河北省对口升学考试 《数学一轮讲练测》复习讲义 专题34 排列组合 【复习目标】 1．理解分类加法计数原理和分步乘法计数原理； 2．会用分类加法计数原理和分步乘法计数原理分析和解决一些简单的实际问题； 3．了解排列、组合的意义，理解排列数、组合数计算公式，并能用它们解决一些简单的实际问题； 4．了解组合数的性质． 【考点1 排列问题】 1.分类加法计数原理 完成一件事有n类不同的方案，在第一类方案中有m1种不同的方法，在第二类方案中有m2种不同的方法，……，在第n类方案中有mn种不同的方法，则完成这件事共有N＝__m1＋m2＋…＋mn__种不同的方法． 2.分步乘法计数原理 完成一件事需要分成n个不同的步骤，完成第一步有m1种不同的方法，完成第二步有m2种不同的方法，……，完成第n步有mn种不同的方法，那么完成这件事共有N＝__m1·m2·…·mn__种不同的方法． 重要结论 分类加法计数原理和分步乘法计数原理的区别 分类加法计数原理针对“分类”问题，其中各种方法相互独立，用其中任何一种方法都可以做完这件事；分步乘法计数原理针对“分步”问题，各个步骤相互联系、相互依存，只有各个步骤都完成了才算完成这件事． 3.排列与排列数 (1)排列的定义：从n个__不同__元素中取出m(m≤n)个元素，按照一定的__顺序__排成一列，叫做从n个不同元素中取出m个元素的一个排列． (2)排列数的定义：从n个不同元素中取出m(m≤n)个元素的__所有不同排列__的个数叫做从n个不同元素中取出m个元素的排列数，用符号__A__表示． (3)排列数公式：A＝__n(n－1)(n－2)…(n－m＋1)__． (4)全排列：n个不同元素全部取出的一个排列，叫做n个元素的一个全排列，A＝n×(n－1)×(n－2)×…×2×1＝__n！__．排列数公式写成阶乘的形式为A＝，这里规定0！＝__1__． 4.相邻问题 1、思路：对于相邻问题，一般采用“捆绑法”解决，即将相邻的元素看做是一个整体，在于其他元素放在一起考虑.如果设计到顺序，则还应考虑相邻元素的顺序问题，再与其他元素放在一起进行计算. 2、解题步骤： 第一步：把相邻元素看作一个整体（捆绑法），求出排列种数 第二步：求出其余元素的排列种数 第三步：求出总的排列种数 5. 不相邻问题 1.思路：对于不相邻问题一般采用“插空法”解决，即先将无要求的元素进行全排列，然后将要求不相邻的元素插入到已排列的元素之间，最后进行计算即可 2.解题步骤： ①先考虑不受限制的元素的排列种数 ②再将不相邻的元素插入到已排列元素的空当种（插空法），求出排列种数 ③求出总的排列种数 【即时训练】 1．“回文数”是指从左到右读与从右到左读都一样的正整数，如212，34743等，在所有五位正整数中，有且仅有两位数字是偶数的“回文数”的个数为（   ） A．100 B．125 C．225 D．250 【答案】C 【分析】根据偶数数字的位置分类讨论，结合计数原理计算求解. 【详解】由题意，在所有五位正整数中，有且仅有两位数字是偶数的“回文数”，则有以下情形： （1）第一位和第五位数字相同且为偶数，第二位和第四位数字相同且为奇数，第三位为奇数， 此时满足条件的“回文数”的个数为； （2）第二位和第四位数字相同且为偶数，第一位和第五位数字相同且为奇数，第三位为奇数， 此时满足条件的“回文数”的个数为， 故满足条件的“回文数”的个数为， 故选：C． 2．等于（   ）. A． B． C． D． 【答案】D 【分析】根据排列数公式的求解. 【详解】，与不相等，故A错误； ，与不相等，故B错误； ， 而，，故C错误； 对于式子，从开始依次递减相乘，共乘了个数， 根据排列数公式，可知，故D正确， 故选：D. 3．已知，则x等于（       ） A．6 B．13 C．6或13 D．12 【答案】A 【分析】根据排列数公式，化简计算，结合x的范围，即可得答案. 【详解】由题意得， 化简可得，解得或6， 因为，所以且，故. 故选：A. 4．某班周一上午有语文、数学、英语、品德四节课，不同的排课方案共有（    ） A．12种 B．24种 C．36种 D．48种 【答案】B 【分析】根据排列的应用求解即可. 【详解】上午有语文、数学、英语、品德四节课， 不同的排课方案共有(种). 故选：B. 5．六位选手依次演讲，其中选手甲不是第一个也不是最后一个演讲，则不同的演讲次序共有（    ） A．480种 B．360种 C．240种 D．120种 【答案】A 【分析】根据排列组合的知识点求解即可. 【详解】因为六位选手依次演讲，其中选手甲不是第一个也不是最后一个演讲，所以甲有种情况， 剩余的选手有种情况，所以不同的演讲次序共有（种）， 故选：A． 6．甲、乙、丙、丁、戊五位同学排成一队，乙必须排在丁前面的排法有（    ） A．24种 B．36种 C．60种 D．120种 【答案】C 【分析】根据除序法求解即可. 【详解】可知甲、乙、丙、丁、戊五位同学排成一队， 乙和丁只有两种站位，要么乙排在丁前面，要么乙排在丁后面， 所以乙必须排在丁前面的排法有种， 故选：C. 7．如图五个多面体从左到右排成一列，有三角形面的几何体需要相邻，排列方法有（    ）种    A．120 B．48 C．36 D．12 【答案】C 【分析】先观察这几个几何体有几个三角形面，再根据排列数计算即可. 【详解】一共有5个几何体，其中从左至右第1、3、5个几何体有三角形面， 第一步，这3个有三角形面的几何体排在一起，排列方法有种，将其看作一个元素； 第二步，再与其余2个几何体一起共3个元素进行全排列，有种方法， 所以共有排列方法（种）. 故选：C. 8．三名男生和三名女生站成一排照相，男生甲与男生乙相邻，且三名女生中恰好有两名女生相邻，则不同的站法共有（    ） A．72种 B．108种 C．36种 D．144种 【答案】D 【分析】根据题意，利用捆绑法和插空法，再利用分步乘法原理，即可求出结果. 【详解】先将男生甲和男生乙“捆绑”，有种方法， 再与另外一名男生排列，则有种方法， 三名女生任选两名“捆绑”，有种方法， 再将两组女生插空，插入男生个空位中，则有种方法， 利用分步乘法原理，共有种方法. 故选:D. 9．身穿红、黄两种颜色衣服的各有2人，现将这4人排成一行，要求穿相同颜色衣服的人不能相邻，不同的排法共有（    ）. A．4 B．6 C．8 D．12 【答案】C 【分析】通过分步计数与插空法求解. 【详解】首先将两个穿红衣服的人排列，构成三个空， 再把一个穿黄色衣服的人安排在最中间的空中， 把另一个穿黄色衣服的安排在两边的空中， 所以共有种. 故选：C. 10．从6名志愿者中选出4人分别从事翻译、安检、导游、导购四项不同的工作，则选派方案共有（    ） A．180种 B．360种 C．15种 D．30种 【答案】B 【分析】利用排列的实际意义与计算即可得解. 【详解】从6名志愿者中选出4人分别从事翻译、安检、导游、导购四项不同的工作， 则选派方案共有种. 故选：B. 11．用1，2，3，4，5组成没有重复数字的两位数，其中奇数个数为（   ） A．20 B．12 C．10 D．6 【答案】B 【分析】根据分步乘法计数原理求解. 【详解】因为要求组成的数是奇数，所以个位数字只能从、、这个数字中任选一个，有种选法， 十位数字就只能从剩下的个数字中任选一个，有种选法， 所以组成没有重复数字的两位奇数的个数为个， 故选：B. 12．如图所示，用6种不同的颜色给图中的4个格子涂色，每个格子涂一种颜色，要求相邻的两个格子颜色不同，则不同的涂色方法共有（    ）种．    A． B． C． D． 【答案】D 【分析】由分步乘法计数原理即可得解. 【详解】首先给最左边的一个格子涂色，有6种选择， 左边第二个格子有5种选择， 第三个格子有5种选择，第四个格子也有5种选择， 根据分步计数原理得，共有（种）涂色方法． 故选：D. 【考点2 组合问题】 组合与组合数 (1)组合的定义：一般地，从n个__不同__元素中取出m(m＜n)个元素__合成一组__，叫做从n个不同元素中取出m个元素的一个组合． (2)组合数的定义：从n个不同元素中取出m(m≤n)个元素的__所有不同组合__的个数，叫做从n个不同元素中取出m个元素的组合数，用符号__C__表示． (3)组合数的计算公式：C＝＝＝，这里规定C＝__1__． (4)组合数的性质：①C＝__C__；②C＝__C__＋__C__． 【即时训练】 1．某班计划从3位男生和4位女生中选出2人参加辩论赛，并且至少1位女生入选，则不同的选法的种数为（  ） A．12 B．18 C．21 D．24 【答案】B 【分析】利用组合相关知识可求. 【详解】共名学生选名有种， 一个女生也没有的选法有种， 则至少1位女生入选的选法有种； 故选：B. 2．若，则整数（    ） A．8 B．9 C．10 D．11 【答案】A 【分析】根据排列组合的两个公式即可求解. 【详解】， ， 因为， 所以， 得， 故选：A 3．已知，则x的值为（    ） A．3 B．5 C．3或5 D．3或1 【答案】C 【分析】根据组合数的性质，得到方程，即可求得答案． 【详解】由可得或， 解得或. 故选：C. 4．已知，则（    ） A．6 B．7 C．8 D．9 【答案】C 【分析】根据组合数性质有，再由即可得解. 【详解】由组合数性质知，， 因为，所以， 所以，得. 故选：C. 5．第二届消博会暨中国国际消费品博览会于2022年5月在海南举办．某展馆将5件相同的纪念品分别赠送给前来参观的3位游客，每人至少1件，则不同的赠送方案数共有（    ） A．6 B．9 C．12 D．24 【答案】A 【分析】根据题意分成一位游客得一个纪念品，其余两位游客每人二个纪念品和一位游客得三个纪念品，其余两位游客各一个纪念品两种情况即可得解. 【详解】因为纪念品的相同的，而游客不同，所以以游客为对象分类： 第一种情况，一位游客得一个纪念品，其余两位游客每人二个纪念品，共有种； 第二种情况，一位游客得三个纪念品，其余两位游客各一个纪念品，共有种； 共计种赠送方案． 故选：. 6．在含有3件次品的50件产品中，任取2件，则恰好取到1件次品的不同方法数共有（    ） A． B． C． D． 【答案】A 【分析】利用分步乘法计数原理和组合数的概念求解. 【详解】在50件产品中含有3件次品，所以有47件不是次品，任取2件， 则恰好取到1件次品的不同方法数共有． 故选：A． 7．某学校安排甲、乙等6名同学到三个社区开展服务活动，每个社区均安排2名同学，其中甲乙二人必须安排在同一社区，则不同的安排的方法的个数为（     ） A．6 B．18 C．36 D．90 【答案】B 【分析】根据组合的优先考虑法和捆绑法易得答案. 【详解】先排甲乙二人，所以有种情况， 所以不同的安排的方法的个数为种. 故选：B. 8．从1、2、3、4、5中任取两个不同的数字构成一个两位数，则这个两位数为偶数的概率是（    ） A． B． C． D． 【答案】B 【分析】先根据排列数的概念计算任取两个不同的数字构成两位数的情况，再求出这个两位数为偶数的情况，最后根据古典概型即可求解. 【详解】因为从中任取两个不同的数字构成一个两位数有种情况， 两位数为偶数有种情况， 故这个两位数为偶数的概率是. 故选：B. 9．由0，1，2，5四个数组成没有重复数字的四位数中，能被5整除的个数是（    ） A．24 B．12 C．10 D．6 【答案】C 【分析】利用分类计数原理，分别讨论个位数是0和个位数是5两种情况，结合排列组合的意义与计算即可得解. 【详解】依题意，当个位数是0时，这样的四位数有个， 当个位数是5时，这样的四位数有个， 则所求为. 故选：C 10．平面内有A，B，C，D共4个点，以其中2个点为端点的线段共有多少条（    ） A．4 B．6 C． D． 【答案】B 【分析】由组合数的计算即可解得. 【详解】由题，从四个点中选两个为端点， 则组成的线段共有条. 故选：B. 11．若将6本不同的书，平均分给甲乙丙三人，则不同的分发有（    ） A．15种 B．30种 C．60种 D．90种 【答案】D 【分析】由组合及分步计数原理可求解. 【详解】先从6本书中取出2本给甲，有种取法， 再从剩下的4本书中取出2本给乙，有种取法， 最后把剩下的2本书给丙，有种取法， 所以不同的分发有：（种）. 故选：D 12．某医院为支援湖北疫情，从4名医生和6名护士中选派3名医生和3名护士参加援鄂医疗小分队，不同的选派方法共有（   ） A．20种 B．40种 C．60种 D．80种 【答案】D 【分析】分步计算选择医生和护士的选法，进而得到总的选法. 【详解】根据题意，分两步完成. 第一步，从4名医生中选出3名医生有种选法. 第二步，从6名护士中选出3名护士有种选法. 所以总的不同选法有种. 故选：D. 【考点3 排列、组合综合问题】 重要结论 对于有附加条件的排列、组合应用题，通常从三个途径考虑 (1)以元素为主考虑，即先满足特殊元素的要求，再考虑其他元素． (2)以位置为主考虑，即先满足特殊位置的要求，再考虑其他位置． (3)先不考虑附加条件，计算出排列数或组合数，再减去不合要求的排列数或组合数． 【即时训练】 1．某商务中心的大屏幕连续播放5个广告，其中3个不同的商业广告和2个不同的公益宣传广告.若要求最后播放的必须是公益宣传广告，且2个公益宣传广告不能连续播放，则不同的播放方式有（   ） A．120种 B．48种 C．36种 D．18种 【答案】C 【分析】结合排列数与组合数的应用，利用特殊元素优先考虑和不相邻问题的插空法，即可求解. 【详解】由题意，第一步，先从2个不同的公益宣传广告中选1个排到最后，有种方法； 第二步，将3个不同的商业广告全排列，有种方法； 第三步，将剩下的一个公益宣传广告插到前3个空中的其中一个位置，有种方法； 故共有种不同的播放方式. 故选：C. 2．小明所在的蓝球队共有10名同学，若从中选出包括小明在内的3名同学逐一上场参加投篮比赛，则不同的安排方法有（    ） A．108种 B．120种 C．216种 D．720种 【答案】C 【分析】先选出除了小明之外的另外两名同学，再将这3名同学进行排序即可. 【详解】选出包括小明在内的3名同学的方法有种. 然后将这3名同学进行排序的方法有种. 依分步计数原理，不同的安排方法有种. 故选：C. 3．将5名学生随机分到5个不同的小组，则恰好有一个小组没有分到学生的概率（   ） A． B． C． D． 【答案】C 【分析】首先根据分步乘法计数原理求出基本事件的总数，再运用组合数计算出恰好有一个小组没有分到学生的基本事件的数量，再由古典概型的概率公式求值即可. 【详解】将5名学生随机分到5个不同的小组， 每名学生都有5种选择，基本事件的总数为， 恰好有一个小组没有分到学生， 则其余4个小组必有两个学生分到一组， 第一步，5个小组选出一个没有分到学生，有选法， 第二步，从5名学生中选出两名分到一起，有选法， 第三步，从4个有学生的小组中选出一个分两名学生，有选法， 第四步，余下的3名同学分到三个不同的小组，有种分法， 所以好有一个小组没有分到学生的基本事件有， 所以恰好有一个小组没有分到学生的概率为， 故选：C. 4．为加强精准扶贫工作，某地市委方案从8名处级干部（包括甲、乙、丙三位同志）中选派4名同志去4个贫困村工作，每村一人.问： (1)甲、乙必须去，但丙不去的不同选派方案有多少种？ (2)甲必须去，但乙和丙都不去的不同选派方案有多少种？ (3)甲、乙、丙都不去的不同选派方案有多少种？ 【答案】(1) (2) (3) 【分析】（1）甲和乙必须去但丙不去，即甲和乙必选，然后从甲乙丙之外的5人选2人，利用排列组合计数即可. （2）甲去但乙和丙不去，即甲必选，然后从甲乙丙之外的5人选3人，利用排列组合计数即可. （3）甲、乙、丙都不去，即从甲乙丙之外的5人选4人，利用排列组合计数即可. 【详解】（1）由甲和乙必须去但丙不去， 得甲和乙必选，然后从甲乙丙之外的5人选2人， 共有种选派方案. （2）由甲去但乙和丙不去， 得甲必选，然后从甲乙丙之外的5人选3人， 共有种选派方案. （3）由甲、乙、丙都不去， 得从甲乙丙之外的5人选4人， 共有种选派方案. 5．某职高二年级有，，，个班，从中选派4个班分别到4个工厂进行专业实习，每个工厂一个班，试回答下列问题. (1)若班和班必须去，但班不去，问有多少种不同的选派方案？ (2)若，班恰好有一个班去，问有多少种不同的选派方案？ 【答案】(1) (2) 【分析】（1）从除班以外的7个班选个班，再对选中的4个班全排列即可. （2）首先从，班选一个，再从余下的8个班选个班，再对选中的4个班全排列即可. 【详解】（1）已知班和班必须去，班不去， 则从余下的7个班选个班共有种选法， 再对选中的4个班全排列，共有种， 所以共有种不同的选派方案. （2）已知，班恰好有一个班去， 首先从，班选一个有种选法， 再从余下的8个班选个班，有种选法， 再对选中的4个班全排列，共有种， 所以共有种不同的选派方案. 6．由0，1，2，3，4，5这6个数字， (1)能组成多少个无重复数字的四位数? (2)能组成多少个无重复数字的四位偶数? (3)组成的无重复数字的四位数中，比4032大的有多少个? 【答案】(1)个 (2)个 (3)个 【分析】（1）限制首位不能为零，先排首位再排后三位即可解得. （2）限制首位不能为零且末尾数为偶数，分类排列再根据分类计数原理即可解得. （3）由限制条件从首位依次分类讨论，再根据分类计数原理即可解得. 【详解】（1）六个数字任选四个，先确定首位不能为零， 则由剩余个数字任选一个放在首位，有种结果， 再从余下个数字中任选个进行全排列，共有种结果， 故能组成个无重复数字的四位数. （2）当末尾数字为时，剩下的个数字任选个进行全排列，共有种结果， 当末尾数字为时，首位数字不能是，则首位数字有种结果， 剩下的个数字任选两个全排列有种结果，即共有种结果. 同理当末尾数字为时，首位数字不能为，则首位数字有种结果， 剩下的个数字任选两个全排列有种结果，即共有种结果. 则能组成个无重复数字的四位偶数. （3）由题当首位是时，其它几个数字在三个位置上全排列，有种排法， 当首位是时，第二位从中任选一个，剩余两位全排列，有种排法， 当前两位为，第三位为时，最后一位从剩余数字中任选，有种排法， 当前三位为时，只有一个，即， 故组成的无重复数字的四位数中，比大的有个. 7．将4个编号为1，2，3，4的小球放入4个编号为1，2，3，4的盒子中． (1)有多少种放法？ (2)每盒至多一球，有多少种放法？ (3)恰好有一个空盒，有多少种放法？ (4)把4个不同的小球换成4个相同的小球，恰有一个空盒，有多少种放法？ 【答案】(1)（种） (2)（种） (3)（种） (4)（种） 【分析】（1）由题意可知，每个球有4种盒子的选择，计算即可； （2）由题意可知，该题为全排列问题，根据全排列公式计算即可； （3）根据题意，利用捆绑法，结合分步计数原理和排列数的计算，求解即可； （4）根据题意，结合分步计数原理和组合数的计算求解即可. 【详解】（1）每个小球都可能放入4个盒子中的任何一个， 所以将小球一个一个放入盒子，共有（种）放法． （2）由题意可知，该题为全排列问题，共有（种）放法． （3）先取4个球中的两个“捆”在一起，有种选法， 把它与其他两个球共3个元素分别放入4个盒子中的3个盒子，有种投放方法， 所以共有（种）放法． （4）先从四个盒子中选出三个盒子，再从三个盒子中选出个盒子放入两个球， 余下两个盒子各放一个．由于球是相同的即没有顺序， 所以属于组合问题，故共有（种）放法． 8．某校数学学习小组有3名男生和4名女生，这7人站成一排留影，求以下有多少种不同的站法． (1)甲乙两人必须站在两头； (2)男生必须排在一起； (3)男生互不相邻； (4)甲乙两人之间恰好间隔1人． 【答案】(1)240 (2)720 (3)1440 (4)1200 【分析】（1）根据特殊元素优先排列的原则，即可求解； （2）根据相邻问题利用捆绑法，即可求解； （3）根据不相邻问题利用插空法，即可求解； （4）结合组合数及排列数的应用，即可求解. 【详解】（1）由题意，可先让甲乙两人站在两头有种，再让其余5人全排列， 故不同的站法种数为种； （2）由题意，可利用捆绑法，男生之间先全排列，再将3名男生看成一个元素与4名女生全排列， 故不同的站法种数为种； （3）由题意，可利用插空法，将4名女生全排列，产生5个空隙，再让3名男生插空站， 故共有不同的站法种数为种； （4）由题意，可从除去甲乙以外的5人中选1人站到甲乙之间，将此3人看成一个元素，和剩余的4人全排列，甲乙内部排列， 故共有不同的站法种数为种. 9．一个正方形花圃被分成5份． （1）若给这5个部分种植花，要求相邻两部分种植不同颜色的花，已知现有红、黄、蓝、绿4种颜色不同的花，求有多少种不同的种植方法? （2）若将6个不同的盆栽都摆放入这5个部分，且要求每个部分至少有一个盆栽，问有多少种不同的放法? 【答案】（1）72；（2）1800 【分析】（1）先对部分种植，再对部分种植，对部分种植进行分类：①若与相同，②若与不同进行讨论即可； （2）将6个盆栽分成5组，即2-1-1-1-1，将分好的5组全排列即可. 【详解】（1）先对部分种植，有4种不同的种植方法； 再对部分种植，又3种不同的种植方法； 对部分种植进行分类： ①若与相同，有2种不同的种植方法，有2种不同的种植方法，共有（种）， ②若与不同，有2种不同的种植方法，有1种不同的种植方法，有1种不同的种植方法， 共有（种）， 综上所述，共有72种种植方法。 （2）将6个盆栽分成5组，则2-1-1-1-1，有种分法； 将分好的5组全排列，对应5个部分，则一共有（种）放法， 综上所述，共有1800种不同的放法。 1. （2025·河北对口升学·真题T18）《九章算术》《孙子算经》《海岛算经》《周髀算经》《五曹算经》是我国古代数学的重要著作，将这5部著作排成一排，则《九章算术》与《孙子算经》之间恰有2部著作的排法种数为（ ） A. 6 B. 12 C. 24 D. 36 【答案】C 【解析】 【分析】利用捆绑法来计算满足条件的排法种数． 【详解】确定《九章算术》与《孙子算经》的排列顺序，有种方法； 从剩下3部著作中选2部放在《九章算术》与《孙子算经》之间进行排列，有种方法； 将《九章算术》、中间2部著作、《孙子算经》看作一个整体与剩下1部著作进行排列，有种方法， 则《九章算术》与《孙子算经》之间恰有2部著作的排法种数为种． 故选：C． 2. （2024·河北对口升学·真题T15）“回文数”是指从左到右读与从右到左读都一样的正整数，如212，34743等，在所有五位正整数中，有且仅有两位数字是偶数的“回文数”的个数为（ ） A. 100 B. 125 C. 225 D. 250 【答案】C 【解析】 【分析】根据偶数数字的位置分类讨论，结合计数原理计算求解. 【详解】由题意，在所有五位正整数中，有且仅有两位数字是偶数的“回文数”，则有以下情形： （1）第一位和第五位数字相同且为偶数，第二位和第四位数字相同且为奇数，第三位为奇数， 此时满足条件的“回文数”的个数为； （2）第二位和第四位数字相同且为偶数，第一位和第五位数字相同且为奇数，第三位为奇数， 此时满足条件的“回文数”的个数为， 故满足条件的“回文数”的个数为， 故选：C． 3. （2023·河北对口升学·真题T15）现有语、数、外、历史四本书，分给甲、乙、丙三人，每人至少一本书，则甲分到数学书的方案有（ ）种. A. 6 B. 9 C. 12 D. 24 【答案】C 【解析】 【分析】首先分情况讨论，然后运用排列和分类计数原理计算出方案的种数. 【详解】当甲分到两本书时，则甲分到数学书的方案有种. 当甲分到一本书时，乙丙二人中需有一人分到两本书， 则甲分到数学书的方案有种. 所以甲分到数学书的方案共有种. 故选：C. 4. （2023·河北对口升学·真题T30）已知，则_______.. 【答案】 【解析】 【分析】根据组合数的性质求出的值，然后根据排列数的计算公式求出即可. 【详解】因为，所以或， 解得或（舍去），则. 故答案为：. 5.（2022·河北对口升学·真题T26）将桃树、苹果树、梨树、山楂树、杏树各一棵种成一排，则山楂树与梨树不能相邻的种植方法有___________种. 【答案】72 【解析】 【分析】先将除去山楂树和梨树之外的三棵树进行排列，再用插空法排列山楂树和梨树，用分步计数原理求解. 【详解】第一步，先将桃树、苹果树、杏树进行全排列，共有种排列方法； 三棵树共有4个空， 第二步，将山楂树和梨树用插空法排列，共有种排列方法； 利用分步计数原理，则山楂树与梨树不能相邻的种植方法有种. 故答案为：72. 6.（2026·河北对口升学·真题T08）把“温、良、恭、俭、让”五个字排成一排，则恭、俭必须相邻的概率（ ） A. B. C. D. 【答案】D 【解析】 【分析】根据捆绑法求解即可. 【详解】要求恭、俭相邻，把恭、俭看作1个整体，此时共4个元素全排列， 同时恭、俭内部可以交换顺序，因此符合条件的排列数为. 则. 故选：D. 7.（2025·河北对口升学·真题T24）生肖文化是我国传统文化的重要组成部分.现有十二生肖吉祥物各一个，分别为鼠、牛、虎、兔、龙、蛇、马、羊、猴、鸡、狗、猪.甲、乙两人从中不放回地依次随机选取一个，则甲选到牛或虎，且乙选到龙或马的概率为______. 【答案】 【解析】 【分析】由分步计数原理及古典概型概率公式计算即可. 【详解】由题意，甲、乙两人从中不放回地依次随机选取一个， 总的基本事件数为， 由分步计数原理，甲选到牛或虎，且乙选到龙或马的基本事件数为， 故概率为. 故答案为：. 原创精品资源学科网独家享有版权，侵权必究！ 学科网（北京）股份有限公司 学科网（北京）股份有限公司 学科网（北京）股份有限公司 $