33.1投影（第1课时）（导学案）数学新教材人教版九年级下册

该初中数学导学案聚焦“投影（第1课时）”，核心内容为投影、投影线、投影面等概念及平行投影与中心投影的特征、区别和应用。通过生活中物体影子现象情境引入，以问题链引导学生探究投影要素，逐步区分两种投影类型，搭建从具体到抽象的学习支架。 此导学案突出生活情境与数学概念的联结，合作探究环节培养学生几何直观与空间观念，典例分析和巩固练习结合实际问题及中考题，强化应用意识，助力学生用数学思维观察和解决现实问题，适合自主学习与课堂教学使用。

33.1投影（第1课时） 导学案 一、学习目标 1.了解投影、投影线、投影面、平行投影和中心投影的概念。 2.了解平行投影和中心投影的含义、特征、区别与联系。 3.能利用平行投影和中心投影的相关知识解决实际问题。 学习重点： 了解平行投影和中心投影的含义、特征、区别与联系。 学习难点： 能利用平行投影和中心投影的相关知识解决实际问题。 二、学习过程 （一）情境引入 引言 物体在日光或灯光的照射下，会在地面、墙壁等处形成影子. 影子既与物体的形状有关，也与光线的照射方式有关.影子能在一定程度上反映物体的外形. （二）合作探究 问题1 物体在日光或灯光的照射下会形成影子，形成影子的因素除这个物体本身外，还需要哪些因素？ 问题2 你能说明上面实例中投影、投影线、投影面分别是什么吗？ 投影的概念 一般地，用光线照射物体，在某个平面(地面、墙壁等)上得到的影子叫作物体的投影，照射光线叫作 ，投影所在的平面叫作 . 问题3 在上面的投影中，投影线有什么不同？ 平行投影的概念 由 形成的投影叫作平行投影. 物体在 的照射下形成的影子就是平行投影. 平行投影的应用 日影的方向可以反映当地时间，我国古代的计时器日晷就是根据日影测定时间的. 日晷通常由铜制的指针和石制的带有刻度的圆盘组成.用针影落在刻度盘的不同位置表示一天中不同的时刻. 中心投影的概念 由 发出的光线形成的投影叫作中心投影. 物体在 的照射下形成的影子就是中心投影. 中心投影的应用 生活中室内灯光下物体的影子、路灯下行人的身影、手影与皮影戏，还有教室投影仪成像，都是中心投影的实际应用，物体距离点光源的远近不同，得到影子的大小也会随之发生变化. （三）典例分析 例1 如图，有可能表示两棵小树在同一时刻阳光下影子的图形是哪一个？（    ） A．B．C．D． 例2 下列现象中，不属于中心投影的是（    ） A．路灯下人的影子 B．电影院银幕上的影子 C．阳光下窗框的影子 D．路灯下物体的影子 例3 观察下图，思考下列问题： （1）图（1）与图（2）（3）的投影线有什么区别？ （2）图中的三幅图表示的投影中哪些是平行投影？哪些是中心投影？ （3）图（2）（3）的投影线与投影面的位置关系有什么不同？ （四）巩固练习 1.把图中各物体与光线从前面照射它们的平行投影连接起来. 2.小华在不同时间于天安门前拍了几幅照片，下面哪幅照片是小华在下午拍摄的？(天安门是坐北朝南的建筑.) 3．槐荫区某校兴趣小组在下午分三次测量了学校旗杆的影子长度，按时间顺序排列正确的是（    ） A．，， B．，， C．，， D．，， 4.如图，晚上刘伟在路灯下行走，在他从A处径直走到B处的过程中，他在地面上的影子的长短是如何变化的？ 5.如图，小明在时测得某树的影长为，时又测得该树的影长为，若两次日照的光线互相垂直，求树的高度. （五）归纳总结 （六）感受中考 1．（2025年宁夏）下列判断正确的是（     ） A．若点关于轴的对称点在第二象限，则 B．夜晚，小明走向一盏路灯，他在地面上的影长由短变长 C．4的平方根是2 D．过一点有且只有一条直线与已知直线垂直 2．（2024年四川凉山州）如图，一块面积为的三角形硬纸板（记为）平行于投影面时，在点光源的照射下形成的投影是，若，则的面积是（     ） A． B． C． D． 3．（2020年四川省攀枝花）实验学校某班开展数学“综合与实践”测量活动．有两座垂直于水平地面且高度不一的圆柱，两座圆柱后面有一斜坡，且圆柱底部到坡脚水平线的距离皆为．王诗嬑观测到高度矮圆柱的影子落在地面上，其长为；而高圆柱的部分影子落在坡上，如图所示．已知落在地面上的影子皆与坡脚水平线互相垂直，并视太阳光为平行光，测得斜坡坡度，在不计圆柱厚度与影子宽度的情况下，请解答下列问题： （1）若王诗嬑的身高为，且此刻她的影子完全落在地面上，则影子长为多少？ （2）猜想：此刻高圆柱和它的影子与斜坡的某个横截面一定同在一个垂直于地面的平面内．请直接回答这个猜想是否正确？ （3）若同一时间量得高圆柱落在坡面上的影子长为，则高圆柱的高度为多少？ （七）布置作业 必做题：习题33.1 第1，2题. 1 / 10 学科网（北京）股份有限公司 $ 33.1投影（第1课时） 导学案 一、学习目标 1.了解投影、投影线、投影面、平行投影和中心投影的概念。 2.了解平行投影和中心投影的含义、特征、区别与联系。 3.能利用平行投影和中心投影的相关知识解决实际问题。 学习重点： 了解平行投影和中心投影的含义、特征、区别与联系。 学习难点： 能利用平行投影和中心投影的相关知识解决实际问题。 二、学习过程 （一）情境引入 引言 物体在日光或灯光的照射下，会在地面、墙壁等处形成影子. 影子既与物体的形状有关，也与光线的照射方式有关.影子能在一定程度上反映物体的外形. （二）合作探究 问题1 物体在日光或灯光的照射下会形成影子，形成影子的因素除这个物体本身外，还需要哪些因素？ 问题2 你能说明上面实例中投影、投影线、投影面分别是什么吗？ 投影的概念 一般地，用光线照射物体，在某个平面(地面、墙壁等)上得到的影子叫作物体的投影，照射光线叫作投影线，投影所在的平面叫作投影面. 问题3 在上面的投影中，投影线有什么不同？ 答：太阳离我们非常远，照射到地面的太阳光可以看成一组互相平行的射线. 灯泡发出的光线可以看成一组共端点的射线. 平行投影的概念 由平行光线形成的投影叫作平行投影. 物体在太阳光、探照灯的照射下形成的影子就是平行投影. 平行投影的应用 日影的方向可以反映当地时间，我国古代的计时器日晷就是根据日影测定时间的. 日晷通常由铜制的指针和石制的带有刻度的圆盘组成.用针影落在刻度盘的不同位置表示一天中不同的时刻. 中心投影的概念 由点光源发出的光线形成的投影叫作中心投影. 物体在灯泡的照射下形成的影子就是中心投影. 中心投影的应用 生活中室内灯光下物体的影子、路灯下行人的身影、手影与皮影戏，还有教室投影仪成像，都是中心投影的实际应用，物体距离点光源的远近不同，得到影子的大小也会随之发生变化. （三）典例分析 例1 如图，有可能表示两棵小树在同一时刻阳光下影子的图形是哪一个？（ D  ） A．B．C．D． 例2 下列现象中，不属于中心投影的是（ C  ） A．路灯下人的影子 B．电影院银幕上的影子 C．阳光下窗框的影子 D．路灯下物体的影子 例3 观察下图，思考下列问题： （1）图（1）与图（2）（3）的投影线有什么区别？ 答：图（1）的投影线是一组共端点的射线. 图（2）（3）的投影线是一组互相平行的射线. （2）图中的三幅图表示的投影中哪些是平行投影？哪些是中心投影？ 答：图（1）是中心投影. 图（2）（3）是平行投影. （3）图（2）（3）的投影线与投影面的位置关系有什么不同？ 答：图（2）的投影线与投影面不垂直. 图（3）的投影线与投影面垂直. （四）巩固练习 1.把图中各物体与光线从前面照射它们的平行投影连接起来. 2.小华在不同时间于天安门前拍了几幅照片，下面哪幅照片是小华在下午拍摄的？(天安门是坐北朝南的建筑.) 3．槐荫区某校兴趣小组在下午分三次测量了学校旗杆的影子长度，按时间顺序排列正确的是（  B   ） A．，， B．，， C．，， D．，， 分析 北半球一天中，从正午到傍晚，太阳高度逐渐减小，同一物体的影子长度随时间推移逐渐变长， 本题为下午三次测量，因此按时间顺序影子长度应逐渐增大， 故符合要求的排列为，，． 4.如图，晚上刘伟在路灯下行走，在他从A处径直走到B处的过程中，他在地面上的影子的长短是如何变化的？ 答：刘伟从A处径直走向路灯正下方时，影子逐渐变短；经过路灯正下方再走向B处时，影子逐渐变长.所以全程变化：先变短，后变长. 5.如图，小明在时测得某树的影长为，时又测得该树的影长为，若两次日照的光线互相垂直，求树的高度. 解：如图，即， ， ， ， ，． ． ， ． ． . （五）归纳总结 （六）感受中考 1．（2025年宁夏）下列判断正确的是（ A   ） A．若点关于轴的对称点在第二象限，则 B．夜晚，小明走向一盏路灯，他在地面上的影长由短变长 C．4的平方根是2 D．过一点有且只有一条直线与已知直线垂直 2．（2024年四川凉山州）如图，一块面积为的三角形硬纸板（记为）平行于投影面时，在点光源的照射下形成的投影是，若，则的面积是（  D  ） A． B． C． D． 3．（2020年四川省攀枝花）实验学校某班开展数学“综合与实践”测量活动．有两座垂直于水平地面且高度不一的圆柱，两座圆柱后面有一斜坡，且圆柱底部到坡脚水平线的距离皆为．王诗嬑观测到高度矮圆柱的影子落在地面上，其长为；而高圆柱的部分影子落在坡上，如图所示．已知落在地面上的影子皆与坡脚水平线互相垂直，并视太阳光为平行光，测得斜坡坡度，在不计圆柱厚度与影子宽度的情况下，请解答下列问题： （1）若王诗嬑的身高为，且此刻她的影子完全落在地面上，则影子长为多少？ （2）猜想：此刻高圆柱和它的影子与斜坡的某个横截面一定同在一个垂直于地面的平面内．请直接回答这个猜想是否正确？ （3）若同一时间量得高圆柱落在坡面上的影子长为，则高圆柱的高度为多少？ 解：（1）设王诗嬑的影长为x cm， 由题意可得：， 解得：x=120， 经检验：x=120是分式方程的解， 王诗嬑的影子长为120 cm； （2）正确，理由如下： ∵高圆柱在地面的影子与MN垂直， ∴太阳光的光线与MN垂直， ∴在斜坡上的影子也与MN垂直， ∴过斜坡上的影子的横截面与MN垂直， ∵横截面与地面垂直，高圆柱也与地面垂直， ∴高圆柱和它的影子与斜坡的某个横截面一定同在一个垂直于地面的平面内； （3）如图，AB为高圆柱，AF为太阳光，△CDE为斜坡，CF为圆柱在斜坡上的影子， 过点F作FG⊥CE于点G，由题意可得：BC=100，CF=100， ∵斜坡坡度，∴， ∴设FG=4m，CG=3m，在△CFG中，，解得：m=20， ∴CG=60，FG=80，∴BG=BC+CG=160， 过点F作FH⊥AB于点H， ∵同一时刻，90 cm矮圆柱的影子落在地面上，其长为72 cm， FG⊥BE，AB⊥BE，FH⊥AB， 可知四边形HBGF为矩形， ∴， ∴AH==200， ∴AB=AH+BH=AH+FG=200+80=280， 故高圆柱的高度为280 cm. （七）布置作业 必做题：习题33.1 第1，2题. 1 / 10 学科网（北京）股份有限公司 $