33.1投影（第2课时）（导学案）数学新教材人教版九年级下册

该初中数学导学案聚焦“33.1投影（第2课时）”，核心内容为正投影概念及线段、平面图形的正投影规律。课堂以复习引入为起点，通过对比不同投影线差异引出正投影，再分线段、平面图形探究位置关系对正投影的影响，构建从具体到抽象的学习支架。 导学案以“观察-探究-归纳”为主线，结合动手操作与情境问题（如阳光投影木框），培养学生几何直观与空间观念。典例分析与分层练习融入中考题，提升推理能力和应用意识，助力学生用数学思维解决实际问题。

33.1投影（第2课时） 导学案 一、学习目标 1.了解正投影的概念。 2.掌握线段、平面图形的正投影规律。 3.能根据正投影的性质画出简单平面图形的正投影，并进行相关计算。 学习重点：掌握线段、平面图形的正投影规律。 学习难点：根据正投影的性质画出简单平面图形的正投影，并进行相关计算。 二、学习过程 （一）复习引入 （二）合作探究 思考 如图表示一块平行于投影面的三角尺在光线照射下形成的投影， 其中图(1)与图(2)(3)的投影线有什么区别?图(2)(3)的投影线与投影面的位置关系有什么区别? 正投影的概念 像图(3)这样，投影线 于投影面产生的投影叫作正投影 .在实际制图中，经常应用正投影. 探究 如图，把一根直的细铁丝(记为线段AB)分别放在平行于投影面、倾斜于投影面、垂直于投影面(铁丝不一定要与投影面有交点) 的三个不同位置.三种情形下铁丝的正投影各是什么形状? 通过观察、测量可知： (1)当线段AB平行于投影面时，它的正投影是 ，它们的大小关系为 ； (2)当线段AB倾斜于投影面时，它的正投影是 ，它们的大小关系为 ； (3)当线段AB垂直于投影面时，它的正投影是 . 探究 如图，把一块正方形硬纸板P(记为正方形ABCD)分别放在平行于投影面、倾斜于投影面、垂直于投影面的三个不同位置.三种情形下纸板的正投影各是什么形状? 通过观察、测量可知： (1)当纸板P平行于投影面时，它的正投影与P的形状、大小 ； (2)当纸板P倾斜于投影面时，它的正投影与P的形状、大小 ； (3)当纸板P垂直于投影面时，它的正投影 . . 归纳 当物体的某个面 于投影面时，这个面的正投影与这个面的形状、 大小 . （三）典例分析 例1 分别画出正方体在投影面上的正投影. (1) 正方体的一个面ABCD平行于投影面； 分析 当正方体在如图所示的位置时，正方体的一 个面ABCD及与其相对的另一面与投影面 ，这两个面的正投影是 ； 正方体其余四个面(这些面 于投影面)的正投影分别是 的四条边. 因此，此时正方体的正投影是 . (2)正方体的一个面ABCD倾斜于投影面，底面ADEF垂直于投影面，并且其对角线AE垂直于投影面. 分析 当正方体在如图所示的位置时，正方体的面ABCD和面ABGF 于投影面，这两个面的正投影分别是矩形 和 ； 正方体其余两个侧面的正投影也分别是上述两个矩形；上、下底面的正投影分别是线段 和 .因此，正方体的正投影是 ，其中线段A'B′是 的正投影，且点A'和B'分别是 的中点. 例2 一位小朋友拿一个等边三角形木框在阳光下玩，等边三角形木框在地面上的影子不可能是（ ） A． B． C． D． （四）巩固练习 1.如图，投影线的方向如箭头所示，画出圆柱形物体的正投影. 2.画出下列立体图形投影线从上方射向下方的正投影. 3．光线由上到下照射，下列立体图形的正投影不是圆形的是（    ） A． B． C． D． 4．小华手拿一个矩形木框，在阳光的照射下，矩形木框在地面上的影子不可能是（   ） A． B． C． D． 5．如图，把正方体一个顶点朝上立放，在它下面放一张白纸，使纸面与太阳光垂直，则正方体在纸上的正投影是（    ） A． B． C． D． 6.一个圆柱的轴截面平行于投影面，其正投影是一个边长为10的正方形. 求这个圆柱的体积和表面积. 7．如图，一条线段在平面内的正投影为，求的度数. （五）归纳总结 （六）感受中考 1．（2021年江苏南京）如图，正方形纸板的一条对角线垂直于地面，纸板上方的灯（看作一个点）与这条对角线所确定的平面垂直于纸板，在灯光照射下，正方形纸板在地面上形成的影子的形状可以是（     ） A． B． C． D． 2．（广西百色）如图，长方体的一个底面ABCD在投影面P上，M，N分别是侧棱BF，CG的中点，矩形EFGH与矩形EMNH的投影都是矩形ABCD，设它们的面积分别是S1，S2，S，则S1，S2，S的关系是 （用“=、＞或＜”连起来） （七）布置作业 1.必做题：习题33.1 第3，4题. 2.探究性作业：习题33.1 第5题. 1 / 10 学科网（北京）股份有限公司 $ 33.1投影（第2课时） 导学案 一、学习目标 1.了解正投影的概念。 2.掌握线段、平面图形的正投影规律。 3.能根据正投影的性质画出简单平面图形的正投影，并进行相关计算。 学习重点：掌握线段、平面图形的正投影规律。 学习难点：根据正投影的性质画出简单平面图形的正投影，并进行相关计算。 二、学习过程 （一）复习引入 （二）合作探究 思考 如图表示一块平行于投影面的三角尺在光线照射下形成的投影， 其中图(1)与图(2)(3)的投影线有什么区别?图(2)(3)的投影线与投影面的位置关系有什么区别? 答：图(1)的投影线集中于一点，形成中心投影.此时三角尺的投影与三角尺的形状一样、大小不同，也就是说，它们是相似的. 图(2)、 图(3)的投影线互相平行，形成平行投影.此时三角尺的投影与三角尺的形状、大小完全一样，也就是说，它们是全等的. 图(2)的投影线斜着照射投影面；图(3)的投影线垂直照射投影面(即投影线正对着投影面)，我们也称这种情形为投影线垂直于投影面. 正投影的概念 像图(3)这样，投影线垂直于投影面产生的投影叫作正投影 .在实际制图中，经常应用正投影. 探究 如图，把一根直的细铁丝(记为线段AB)分别放在平行于投影面、倾斜于投影面、垂直于投影面(铁丝不一定要与投影面有交点) 的三个不同位置.三种情形下铁丝的正投影各是什么形状? 通过观察、测量可知： (1)当线段AB平行于投影面时，它的正投影是线段A₁B₁，它们的大小关系为AB=A₁B₁； (2)当线段AB倾斜于投影面时，它的正投影是线段A₂B₂，它们的大小关系为AB>A₂B₂； (3)当线段AB垂直于投影面时，它的正投影是一个点A₃(B₃). 探究 如图，把一块正方形硬纸板P(记为正方形ABCD)分别放在平行于投影面、倾斜于投影面、垂直于投影面的三个不同位置.三种情形下纸板的正投影各是什么形状? 通过观察、测量可知： (1)当纸板P平行于投影面时，它的正投影与P的形状、大小一样； (2)当纸板P倾斜于投影面时，它的正投影与P的形状、大小不完全一样； (3)当纸板P垂直于投影面时，它的正投影是一条线段. . 归纳 当物体的某个面平行于投影面时，这个面的正投影与这个面的形状、 大小完全相同. （三）典例分析 例1 分别画出正方体在投影面上的正投影. (1) 正方体的一个面ABCD平行于投影面； 分析 当正方体在如图所示的位置时，正方体的一 个面ABCD及与其相对的另一面与投影面平行，这两个面的正投影是与正方体的一个面的形状、大小完全相同的正方形A'B'C′D'； 正方体其余四个面(这些面垂直于投影面)的正投影分别是正方形A'B'C′D'的四条边. 因此，此时正方体的正投影是一个正方形. (2)正方体的一个面ABCD倾斜于投影面，底面ADEF垂直于投影面，并且其对角线AE垂直于投影面. 分析 当正方体在如图所示的位置时，正方体的面ABCD和面ABGF倾斜于投影面，这两个面的正投影分别是矩形A'B'C′D'和A'B'G′F′； 正方体其余两个侧面的正投影也分别是上述两个矩形；上、下底面的正投影分别是线段D′F′和C′G' .因此，正方体的正投影是矩形F'G'C′D′，其中线段A'B′是线段AB和EH的正投影，且点A'和B'分别是线段D'F′和 C′G′的中点. 解：(1)如图，正方体的正投影为正方形A'B'C′D'，它与正方体的一个面是全等关系 . (2)如图，正方体的正投影为矩形F'G′C′D′，这个矩形的长等于正方体的底面对角线长，矩形的宽等于正方体的棱长.矩形上、下两边中点连线A'B′是正方体的侧棱AB及它所对的另一条侧棱EH的正投影. 例2 一位小朋友拿一个等边三角形木框在阳光下玩，等边三角形木框在地面上的影子不可能是（ B ） A． B． C． D． （四）巩固练习 1.如图，投影线的方向如箭头所示，画出圆柱形物体的正投影. 2.画出下列立体图形投影线从上方射向下方的正投影. 3．光线由上到下照射，下列立体图形的正投影不是圆形的是（  D  ） A． B． C． D． 4．小华手拿一个矩形木框，在阳光的照射下，矩形木框在地面上的影子不可能是（  A  ） A． B． C． D． 5．如图，把正方体一个顶点朝上立放，在它下面放一张白纸，使纸面与太阳光垂直，则正方体在纸上的正投影是（ C  ） A． B． C． D． 6.一个圆柱的轴截面平行于投影面，其正投影是一个边长为10的正方形. 求这个圆柱的体积和表面积. 解： 由题意得： 圆柱的底面直径为10，高为10. ∴圆柱的底面半径为5. ∴圆柱的体积为：π×52×10=250π. 圆柱的表面积为：2π×52+2π×5×10=150π. 7．如图，一条线段在平面内的正投影为，求的度数. 解：过作，交于点， ∵线段在平面内的正投影为，， ∴， ∴，且，则即为所求， ， ∴. （五）归纳总结 （六）感受中考 1．（2021年江苏南京）如图，正方形纸板的一条对角线垂直于地面，纸板上方的灯（看作一个点）与这条对角线所确定的平面垂直于纸板，在灯光照射下，正方形纸板在地面上形成的影子的形状可以是（  D  ） A． B． C． D． 2．（广西百色）如图，长方体的一个底面ABCD在投影面P上，M，N分别是侧棱BF，CG的中点，矩形EFGH与矩形EMNH的投影都是矩形ABCD，设它们的面积分别是S1，S2，S，则S1，S2，S的关系是S1=S＜S2（用“=、＞或＜”连起来） （七）布置作业 1.必做题：习题33.1 第3，4题. 2.探究性作业：习题33.1 第5题. 1 / 10 学科网（北京）股份有限公司 $