33.1投影（第2课时）（教学设计）数学新教材人教版九年级下册

该初中数学教学设计聚焦正投影概念、简单图形正投影规律及相关画图与计算，通过复习投影、平行投影等旧知，对比斜平行投影引出正投影，搭建前后知识联系的学习支架。 此资料以动态演示线段、正方形三种位置投影变化为亮点，直观呈现投影规律，发展学生几何直观与空间观念。典例从平面到立体梯度递进，结合分层练习与中考真题，培养推理意识与应用意识，助力学生突破空间想象难点，为教师提供清晰教学策略与高效课堂路径。

33.1投影（第2课时） 教学设计 一、内容和内容解析 1. 内容 正投影的概念；简单图形的正投影变化规律；画出简单图形的正投影，结合正投影开展简单几何计算。 2. 内容分析 本节课是《投影》的第 2 课时，是在上一节课学习投影、平行投影、中心投影基础之上的延伸拓展。正投影属于特殊的平行投影，是绘制三视图的理论基础，三视图本质就是几何体在不同方向上的正投影。 本节课先对比斜平行投影引出正投影定义，再分别探究线段、正方形相对于投影面处于平行、倾斜、垂直三种位置时正投影的形状与大小变化，归纳得到正投影的核心性质。通过例题、练习落实画正投影以及相关计算，建立实物‑投影‑几何图形之间的联系，发展学生的空间观念与几何直观，为下一节三视图的学习做好铺垫。 基于以上分析，确定本节课的教学重点为：掌握线段、平面图形的正投影规律。 二、目标和目标解析 1. 目标 （1）了解正投影的概念。 （2）掌握线段、平面图形的正投影规律。 （3）能根据正投影的性质画出简单平面图形的正投影，并进行相关计算。 2. 目标解析 （1）通过对比斜平行投影与正投影，能够说出正投影的定义，分清正投影与一般平行投影的区别，明白正投影的投影线必须垂直于投影面。 （2）分类探究线段、正方形在三种位置下的正投影，结合动态演示，归纳总结正投影的变化规律，能准确判断物体位置改变时正投影的形状、大小变化。 （3）能够依据正投影的性质，画出简单平面图形、常见几何体的正投影；可以结合勾股定理、解直角三角形、立体图形体积表面积公式完成相关计算，建立空间物体与平面投影的转化关系。 三、教学问题诊断分析 学情分析： 学生已经掌握投影、平行投影、中心投影的基础概念，具备初步几何直观。但是学生空间想象能力参差不齐，容易混淆物体相对投影面不同位置时投影的变化情况；学生容易混淆 “平行投影” 和 “正投影”，错误认为所有平行投影都是正投影；在画立体图形的正投影时，无法准确想象出立体图形经过正投影之后的平面图形；把空间实际情境转化为平面几何模型进行计算，是学生的一大障碍。 应对策略： 复习旧知导入新课，对比斜平行投影，突出正投影 “投影线垂直于投影面” 的核心条件，明确正投影是特殊的平行投影。借助动画演示线段、正方形纸板三种摆放位置下的投影变化，把抽象过程可视化；组织学生想象、观察、归纳，自主总结正投影规律。例题由简单平面过渡到正方体立体图形，梯度递进；画图教学中带领学生分析几何体每个面的位置，判断每一部分的投影形状。计算类习题引导学生做辅助线，把空间投影问题转化为平面问题，拆解难点；设置分层练习，基础识图、画图、计算依次推进。 基于以上分析，确定本节课的教学难点为：根据正投影的性质画出简单平面图形的正投影，并进行相关计算。 四、教学过程设计 （一）复习引入 设计意图：借助上节课的知识表格复习投影、平行投影、中心投影，巩固旧知。建立前后课时的知识联系，为本节课的探究做好铺垫。 （二）合作探究 思考 如图表示一块平行于投影面的三角尺在光线照射下形成的投影， 其中图(1)与图(2)(3)的投影线有什么区别?图(2)(3)的投影线与投影面的位置关系有什么区别? 答：图(1)的投影线集中于一点，形成中心投影.此时三角尺的投影与三角尺的形状一样、大小不同，也就是说，它们是相似的. 图(2)、 图(3)的投影线互相平行，形成平行投影.此时三角尺的投影与三角尺的形状、大小完全一样，也就是说，它们是全等的. 图(2)的投影线斜着照射投影面；图(3)的投影线垂直照射投影面(即投影线正对着投影面)，我们也称这种情形为投影线垂直于投影面. 正投影的概念 像图(3)这样，投影线垂直于投影面产生的投影叫作正投影 .在实际制图中，经常应用正投影. 探究 如图，把一根直的细铁丝(记为线段AB)分别放在平行于投影面、倾斜于投影面、垂直于投影面(铁丝不一定要与投影面有交点) 的三个不同位置.三种情形下铁丝的正投影各是什么形状? 通过观察、测量可知： (1)当线段AB平行于投影面时，它的正投影是线段A₁B₁，它们的大小关系为AB=A₁B₁； (2)当线段AB倾斜于投影面时，它的正投影是线段A₂B₂，它们的大小关系为AB>A₂B₂； (3)当线段AB垂直于投影面时，它的正投影是一个点A₃(B₃). （动态演示） 探究 如图，把一块正方形硬纸板P(记为正方形ABCD)分别放在平行于投影面、倾斜于投影面、垂直于投影面的三个不同位置.三种情形下纸板的正投影各是什么形状? 通过观察、测量可知： (1)当纸板P平行于投影面时，它的正投影与P的形状、大小一样； (2)当纸板P倾斜于投影面时，它的正投影与P的形状、大小不完全一样； (3)当纸板P垂直于投影面时，它的正投影是一条线段. . （动态演示） 归纳 当物体的某个面平行于投影面时，这个面的正投影与这个面的形状、 大小完全相同. 设计意图：设置递进思考问题，对比中心投影、斜平行投影，生成正投影的概念，抓住 “投影线垂直于投影面” 的核心要素。分别对线段、正方形硬纸板开展三种位置的探究，搭配动态演示，让学生直观观察物体平行、倾斜、垂直投影面时，投影形状、大小的变化，引导学生自主归纳正投影的变化规律。落实本节课教学重点，发展学生空间想象、观察归纳的数学素养。 （三）典例分析 例1 分别画出正方体在投影面上的正投影. (1) 正方体的一个面ABCD平行于投影面； 分析 当正方体在如图所示的位置时，正方体的一 个面ABCD及与其相对的另一面与投影面平行，这两个面的正投影是与正方体的一个面的形状、大小完全相同的正方形A'B'C′D'； 正方体其余四个面(这些面垂直于投影面)的正投影分别是正方形A'B'C′D'的四条边. 因此，此时正方体的正投影是一个正方形. (2)正方体的一个面ABCD倾斜于投影面，底面ADEF垂直于投影面，并且其对角线AE垂直于投影面. 分析 当正方体在如图所示的位置时，正方体的面ABCD和面ABGF倾斜于投影面，这两个面的正投影分别是矩形A'B'C′D'和A'B'G′F′； 正方体其余两个侧面的正投影也分别是上述两个矩形；上、下底面的正投影分别是线段D′F′和C′G' .因此，正方体的正投影是矩形F'G'C′D′，其中线段A'B′是线段AB和EH的正投影，且点A'和B'分别是线段D'F′和 C′G′的中点. 解：(1)如图，正方体的正投影为正方形A'B'C′D'，它与正方体的一个面是全等关系 . (2)如图，正方体的正投影为矩形F'G′C′D′，这个矩形的长等于正方体的底面对角线长，矩形的宽等于正方体的棱长.矩形上、下两边中点连线A'B′是正方体的侧棱AB及它所对的另一条侧棱EH的正投影. 注意 物体正投影的形状、大小与它相对于投影面的位置有关. 例2 一位小朋友拿一个等边三角形木框在阳光下玩，等边三角形木框在地面上的影子不可能是（ B ） A． B． C． D． （动态演示） .设计意图：例 1 以正方体为载体，分两种摆放位置，分析立体图形各个面相对于投影面的位置，判断每个面的正投影，示范立体图形正投影的分析思路，强化 “物体相对投影面位置决定正投影的形状和大小”。例 2 利用等边三角形木框影子的选择题，巩固物体倾斜、平行、垂直投影面时投影的变化，借助动画演示，纠正学生想象误区，深化对正投影性质的理解，突破教学难点。 （四）巩固练习 1.如图，投影线的方向如箭头所示，画出圆柱形物体的正投影. 2.画出下列立体图形投影线从上方射向下方的正投影. 3．光线由上到下照射，下列立体图形的正投影不是圆形的是（  D  ） A． B． C． D． 4．小华手拿一个矩形木框，在阳光的照射下，矩形木框在地面上的影子不可能是（  A  ） A． B． C． D． 5．如图，把正方体一个顶点朝上立放，在它下面放一张白纸，使纸面与太阳光垂直，则正方体在纸上的正投影是（ C  ） A． B． C． D． 6.一个圆柱的轴截面平行于投影面，其正投影是一个边长为10的正方形. 求这个圆柱的体积和表面积. 解： 由题意得： 圆柱的底面直径为10，高为10. ∴圆柱的底面半径为5. ∴圆柱的体积为：π×52×10=250π. 圆柱的表面积为：2π×52+2π×5×10=150π. 7．如图，一条线段在平面内的正投影为，求的度数. 解：过作，交于点， ∵线段在平面内的正投影为，， ∴， ∴，且，则即为所求， ， ∴. 设计意图：习题由浅入深，兼顾识图、画图、计算，多层次训练学生的知识迁移能力，及时反馈课堂学习效果，突破本节课重难点。 （五）归纳总结 （六）感受中考 1．（2021年江苏南京）如图，正方形纸板的一条对角线垂直于地面，纸板上方的灯（看作一个点）与这条对角线所确定的平面垂直于纸板，在灯光照射下，正方形纸板在地面上形成的影子的形状可以是（  D  ） A． B． C． D． 2．（广西百色）如图，长方体的一个底面ABCD在投影面P上，M，N分别是侧棱BF，CG的中点，矩形EFGH与矩形EMNH的投影都是矩形ABCD，设它们的面积分别是S1，S2，S，则S1，S2，S的关系是S1=S＜S2（用“=、＞或＜”连起来） 设计意图：选取中考真题，包含中心投影与正投影辨析、投影面积大小比较等题型。对接中考考察方向，区分中心投影、正投影，强化物体摆放位置对投影结果的影响；拓展学生思维，体会本节知识在中考中的考查形式。 （七）小结梳理 （八）布置作业 1.必做题：习题33.1 第3，4题. 2.探究性作业：习题33.1 第5题. 五、教学反思 1 / 10 学科网（北京）股份有限公司 $