第二十一章 因式分解（必备知识+8题型+分层检测）（复习讲义）数学新教材人教版五四制八年级上册

该初中数学因式分解复习讲义通过知识框架图系统梳理了单元体系，涵盖因式分解的定义、提公因式法、公式法等核心方法，以“一提二套三查”步骤为主线串联知识，用对比表格呈现各方法适用条件与内在联系。 讲义亮点在于分层题型设计，从基础的公因式判断到综合的分组分解法，结合“完美数”实际应用题型，培养运算能力与应用意识。基础题巩固步骤规范，提升题如参数求解发展推理意识，助力教师实施分层教学，学生自主复习时可精准突破重难点。

第二十一章 因式分解（复习讲义） 1. 了解因式分解的意义，体会其与整式乘法的互逆联系，明确因式分解需分解至每一个因式不能再分的要求。 2. 能用提公因式法（准确确定公因式）、公式法（平方差公式、完全平方公式）、十字相乘法进行因式分解。 3. 理解“一提、二套、三查”的因式分解步骤，能按步骤规范完成多项式的因式分解。 4. 能利用因式分解解决简化运算、代数式求值、实际问题建模等相关问题，提升运算与问题解决的能力。 知识点01 因式分解的定义 把一个多项式化成几个整式的乘积的形式，这种变形叫做把这个多项式因式分解。需注意分解对象是多项式，结果必须是积的形式且因式为整式，是恒等变形，还要分解到每个因式都不能再分解为止，它与整式乘法是互逆变形。 知识点02 因式分解的方法 1.提公因式法：pa + pb + pc = p(a + b + c)。确定公因式时，系数取多项式各项系数的最大公约数，字母取各项中都含有的相同字母，相同字母的指数取各项中最小的一个。 2.公式法：平方差公式为a2 - b2 = (a + b)(a - b)，适用于两项、符号相反、均为平方形式的多项式；完全平方公式为a2 + 2ab + b2 = (a + b)2 ，a2 - 2ab + b2 = (a - b)2 ，适用于三项、含两个平方项、中间项为两倍乘积的多项式。 3.十字相乘法：a2+(p + q)a + pq=(a + p)(a + q)。 知识点03 因式分解的步骤 可概括为“一提、二套、三查”。首先看多项式的各项是否有公因式，若有则先提取公因式；然后在各项提出公因式以后或各项没有公因式的情况下，观察多项式的项数，两项式可尝试运用平方差公式分解因式，三项式可尝试运用完全平方公式或十字相乘法分解因式，四项式及四项式以上的可以尝试分组分解法分解因式；最后检查分解是否彻底，必须分解到每一个因式都不能再分解为止。 知识点04 因式分解的应用 因式分解在简化运算、代数式求值、实际问题建模等方面有重要应用，例如在计算一些复杂的数值时，通过因式分解可以将式子化简，从而更方便地进行计算。 题型一、判断是否因式分解 【例1】（25-26九年级上·山东·阶段练习）下列变形中是分解因式的是（   ） A． B． C． D． 【答案】D 【分析】本题考查了分解因式的定义，分解因式是将多项式化为几个整式的积的形式，据此求解即可． 【详解】A选项右边为，含加法运算“”，不符合积的形式，不符合题意． B选项左边是乘积，右边是展开后的多项式，属于整式乘法而非分解因式，不符合题意． C选项左边为单项式，分解为两个单项式的积，但分解因式针对的是多项式，故不符合题意． D选项左边为多项式，右边为两个整式的积，符合分解因式的定义， 故选D． 【变式1-1】（25-26八年级上·吉林·阶段练习）下列各式从左到右的变形，是因式分解的是（   ） A． B． C． D． 【答案】B 【分析】本题考查了因式分解，将一个多项式化成几个整式的积的形式叫因式分解，据此判断即可求解，掌握因式分解的定义是解题的关键． 【详解】解：、是整式乘法运算且运算错误，不是因式分解，该选项不合题意； 、是因式分解，该选项符合题意； 、是整式的恒等变形，不是因式分解，该选项不合题意； 、是整式乘法运算，不是因式分解，该选项不合题意； 故选：． 【变式1-2】（25-26八年级上·全国·课后作业）下列各式中，从左到右的变形是因式分解的是（    ） A． B． C． D． 【答案】D 【分析】此题考查了因式分解的定义，正确记忆相关知识点是解题关键． 根据因式分解的定义，判断各选项是否将多项式分解为整式的乘积形式． 【详解】解：A、，右边是，仍是多项式相加的形式，未形成乘积，不符合题意； B、，左边是乘积形式，右边是展开后的多项式，属于乘法运算而非因式分解，不符合题意； C、，右边是，仍是多项式相加的形式，未形成乘积，不符合题意； D、，是因式分解，符合题意； 故选：D． 【变式1-3】（25-26八年级上·全国·课后作业）下列各式从左到右的变形是因式分解且正确的是（   ） A． B． C． D． 【答案】C 【分析】本题考查了因式分解的意义，把一个多项式化为几个整式的积的形式，这种变形叫做把这个多项式因式分解，结合选项进行判断即可． 【详解】解：A、是整式的乘法，不符合题意； B、没把一个多项式化为几个整式的积的形式，不符合题意； C、,符合题意； D、，不符合题意． 故选：C ． 题型二、已知因式分解的结果求参数 【例2】（25-26八年级上·山东淄博·阶段练习）如果是的一个因式，则的值为（    ） A． B．6 C．7 D． 【答案】D 【分析】本题考查了因式分解的意义，求出x的值是解决问题的关键． 根据是的一个因式得出的值，再将的值代入原式求解m即可． 【详解】解：∵是的一个因式， ∴， ∴， 将代入得， ， ∴． 故选：D． 【变式2-1】（25-26八年级上·全国·单元测试）若可以分解为，那么的值为（    ） A． B． C． D． 【答案】D 【分析】本题考查因式分解与多项式乘积之间的关系，先根据多项式乘以多项式进行计算，得出方程，，求出即可 【详解】解：， 可以分解为， ，， ，， ， 故选：D． 【变式2-2】（25-26八年级上·全国·单元测试）多项式可分解因式为，那么等于（　　） A． B． C． D． 【答案】D 【分析】本题考查了因式分解-提公因式法，利用单项式乘以多项式，进行计算即可解答． 【详解】解：由题意得： ∴M为：， 故选：D． 【变式2-3】（24-25七年级下·浙江杭州·期末）若多项式因式分解后的结果是，则的值是（　　） A．10 B． C． D．13 【答案】C 【分析】本题考查了因式分解．将给定的因式分解形式展开，与原多项式比较对应项的系数，求出参数的值即可． 【详解】解：， ∵多项式因式分解后的结果是， ∴，， ∴， 故选：C． 题型三、公因式 【例3】（24-25七年级下·全国·单元测试）下列选项不是和的公因式的是（   ） A． B． C． D．5 【答案】A 【分析】本题考查了公因式，根据公因式的定义先找出和的最大公因式，进而可得答案． 【详解】解：，， ∴、、5是和的公因式，不是和的公因式， 故选：A． 【变式3-1】（25-26八年级上·全国·课后作业）n为正整数，若的公因式是M，则M等于（    ） A． B． C． D． 【答案】C 【分析】本题主要考查提公因式，熟练掌握提公因式是解题的关键；因此此题可根据提公因式进行求解． 【详解】解：， 所以公因式； 故选C． 【变式3-2】（25-26八年级上·全国·课后作业）有下列各组多项式：①（1）和；②和；③和；④和．其中含有公因式的是（   ） A．①② B．②③ C．③④ D．①④ 【答案】B 【分析】判断各组多项式是否存在公因式，需逐一分析各组的因式分解关系. 【详解】1. 第①组：和 无法提取作为公因式，且两式无其他共同因式，故无公因式. 2. 第②组：和 = ，因此两式可分别写为和，公因式为. 3. 第③组：和 两式分别写为和，公因式为. 4. 第④组：和 与符号不同且不可分解，且不是的因式，故无公因式. 综上，含有公因式的组为②③. 故选：B. 【变式3-3】（24-25八年级下·陕西榆林·期末）多项式与多项式的公因式是（   ） A． B． C． D． 【答案】B 【分析】此题考查的是公因式的定义，对每个多项式先因式分解，然后即可选出有公因式的项． 【详解】解：∵，， ∴多项式与多项式的公因式是， 故选：B． 题型四、判断是用公式法因式分解 【例4】（25-26八年级上·山东淄博·阶段练习）下列各多项式中，能运用公式法分解因式的有（    ） （1）   （2）   （3）    （4） A．1个 B．2个 C．3个 D．4个 【答案】B 【分析】本题考查了因式分解中的公式法，具体包括平方差公式和完全平方公式．依次对每个多项式进行判断是否符合公式特征，从而确定能分解的个数． 【详解】解：（1），符合题意； （2）不能运用公式法分解因式，不符合题意； （3），符合题意； （4）不能运用公式法分解因式，不符合题意． ∴能运用公式法分解因式的有2个． 故选：B． 【变式4-1】（2025八年级上·全国·专题练习）给出下列式子：①；②；③；④；⑤其中在实数范围内能用完全平方公式分解因式的有（   ） A．1个 B．2个 C．3个 D．4个 【答案】C 【分析】本题考查了用完全平方公式分解因式. 逐一整理后根据完全平方公式进行判断即可． 【详解】解：①，不能用完全平方公式分解因式； ②，能用完全平方公式分解因式； ③，不能用完全平方公式分解因式； ④，能用完全平方公式分解因式； ⑤，能用完全平方公式分解因式； 所以能用完全平方公式分解因式的有3个． 故选：C． 【变式4-2】（24-25八年级下·四川成都·期末）下列多项式中不能用平方差公式分解因式的是（    ） A． B． C． D． 【答案】B 【分析】本题考查了公式法分解因式，熟练掌握平方差公式的结构特点是解题的关键．根据平方差公式的结构特征对各选项分析判断后即可得答案． 【详解】解：A．，能利用平方差公式分解因式，故本选项不符合题意． B．，不能利用平方差公式分解因式，故本选项符合题意． C．，能利用平方差公式分解因式，故本选项不符合题意． D．，能利用平方差公式分解因式，故本选项不符合题意． 故选B． 【变式4-3】（24-25七年级下·安徽六安·期末）下列多项式中，能用公式法分解因式的是（    ） A． B． C． D． 【答案】C 【分析】本题主要考查了分式因式，熟知分解因式的方法是解题的关键，公式法为． 【详解】解：A． ：可提取公因式得，属于提公因式法，非公式法，不符合题意． B． ：平方和无法在实数范围内用公式法分解，不符合题意． C． ：可利用平方差公式分解为，符合题意． D． ：可提取公因式得，同样属于提公因式法，非公式法，不符合题意． 故选：C． 题型五、综合提公因式和公式法因式分解 【例5】（25-26八年级上·重庆·阶段练习）分解因式． (1)； (2) 【答案】(1) (2) 【分析】本题考查因式分解，熟练掌握因式分解的方法，是解题的关键： （1）先提公因式，再利用完全平方公式进行因式分解即可； （2）先利用十字相乘法，再利用平方差公式法进行因式分解即可． 【详解】（1）解：原式； （2）解：原式． 【变式5-1】（25-26八年级上·全国·课后作业）因式分解： (1)． (2)． 【答案】(1) (2) 【分析】本题考查的是因式分解， （1）先提取公因式，再利用平方差公式进行因式分解； （2）先提取公因式，再利用平方差公式进行因式分解． 【详解】（1）解：（1）原式． （2）解：原式 ． 【变式5-2】（24-25八年级上·北京·期中）因式分解： (1)； (2)； (3)． 【答案】(1) (2) (3) 【分析】（）先提公因式，再利用平方差公式因式分解即可； （）先提公因式，再利用完全平方公式因式分解即可； （）先提公因式，再利用平方差公式因式分解即可； 本题考查了因式分解，掌握因式分解的方法是解题的关键． 【详解】（1）解：原式 ； （2）解：原式 ； （3）解：原式 ． 【变式5-3】（25-26九年级上·山东·阶段练习）把下列各式分解因式 (1)； (2)； (3)； (4)； (5)． 【答案】(1) (2) (3) (4) (5) 【分析】此题考查了因式分解，解题的关键是熟练掌握因式分解的方法：提公因式法，平方差公式法，完全平方公式法，十字相乘法等． （1）直接提取进行因式分解； （2）先提取公因式，再由平方差公式进行分解； （3）利用平方差公式进行分解即可； （4）连续运用两次利用平方差公式进行分解； （5）先化简，再由十字相乘法分解． 【详解】（1）解： ； （2）解： ； （3）解： （4）解： ； （5）解： ． 题型六、十字相乘法因式分解 【例6】（25-26八年级上·全国·单元测试）某些形如的二次三项式可利用十字相乘法分解因式．十字相乘法：先分解二次项系数，分别写在十字交叉线的左上角和左下角；再分解常数项，分别写在十字交叉线的右上角和右下角；然后交叉相乘，求代数和，使其等于一次项系数．如：将式子和分解因式，如图，；． 请你用十字相乘法将下列多项式分解因式： (1)； (2)． 【答案】(1) (2) 【分析】本题考查用十字相乘法分解因式： （1）仿照题干，利用十字相乘法分解因式； （2）仿照题干，利用十字相乘法分解因式． 【详解】（1）解：如图① 由答图①知． （2）解：如图②． 由答图②可知． 【变式6-1】（25-26八年级上·全国·单元测试）阅读与思考：将式子分解因式．这个式子的常数项，一次项系数，这个过程可以用十字相乘的形式形象地表示：先分解二次项系数，分别写在十字交叉线的左上角和左下角；再分解常数项，分别写在十字交叉线的右上角和右下角；然后交叉相乘，求代数和，使其等于一次项系数．如图所示： 这种分解二次三项式的方法叫“十宇相乘法”．请认真观察，分析理解后，解答下列问题． (1)分解因式：； (2)填空：若可分解为两个一次因式的积，则整数p的所有可能值是______． 【答案】(1) (2)7，，2， 【分析】本题考查的是因式分解的应用， （1）仿照题中十字相乘法将原式分解即可； （2）把分为两个整数相乘，其和即为整数的值，写出即可． 【详解】（1）解： ； （2）若可分解为两个一次因式的积， 则整数p的所有可能值是． 【变式6-2】（24-25七年级下·安徽六安·期末）阅读与思考 整式乘法与因式分解是方向相反的变形． ，得． 利用这个式子可以将某些二次三项式进行因式分解，我们把这种方法称为“十字相乘法” 例如：将式子分解因式． 解：． 请仿照上面的方法，解答下列问题： (1)分解因式：． (2)分解因式： (3)若可进行因式分解，求整数所有可能的值． 【答案】(1) (2) (3)8或 【分析】本题考查了提公因式法、“十字相乘法”进行因式分解．熟练掌握因式分解的方法是解题关键． （1）利用“十字相乘法”即可求解； （2）利用提公因式法、“十字相乘法”即可求解； （3）先把原式整理得，再将常数3进行分解即可． 【详解】（1）解： ； （2）解： （3）解：依题意，， ∴， ∴或 ∴或， 因此整数p的值可能为8或． 【变式6-3】（24-25八年级上·甘肃临夏·阶段练习）阅读下列材料： 将分解因式，我们可以按下面的方法解答： 解：步骤：①竖分二次项与常数项：，． ②交叉相乘，验中项：． ③横向写出两因式：． 我们将这种用十字交叉相乘分解因式的方法叫做十字相乘法． 试用上述方法分解因式： (1)； (2)； (3)． 【答案】(1) (2) (3) 【分析】本题考查因式分解—十字相乘法， （1）根据十字相乘法分解因式即可； （2）根据十字相乘法分解因式即可； （3）根据十字相乘法分解因式即可； 理解阅读材料，掌握十字相乘法的步骤是解题的关键． 【详解】（1）解：∵常数项，一次项系数， ∴； （2）∵常数项，一次项系数， ∴； （3）①竖分二次项与常数项：，， ②交叉相乘，验中项：， ③横向写出两因式：． 题型七、分组分解法因式分解 【例7】（24-25八年级下·陕西咸阳·期末）将一个多项式分组后，可提公因式或运用公式继续分解的方法是分组分解法．例如：． 请仔细阅读上述解法后，解决下列问题： (1)分解因式：； (2)已知，，求的值． 【答案】(1) (2)9 【分析】本题考查了因式分解的应用，解决本题的关键是运用分组分解法分解因式． （1）将式子分成两组，提出公因式后，先运用完全平方公式，再运用平方差公式计算即可； （2）将式子进行分组，运用提公因式法、平方差公式分解因式即可． 【详解】（1）解： ； （2）解： ， 因为，， 所以原式． 【变式7-1】（24-25八年级下·陕西榆林·期末）在学习《因式分解》的相关知识时，“探究性学习”小组的甲、乙两名同学分别对下面式子进行了因式分解，具体如下： 甲： （分成两组） （直接提公因式） ． 乙： （分成两组） （直接运用公式） ． 请你在他们的启发下，解答下面各题： (1)因式分解：； (2)因式分解：． 【答案】(1) (2) 【分析】本题主要考查分组分解因式，掌握乘法公式，提取公因式法因式分解是关键． （1）先分组为，运用完全平方公式，平方差公式因式分解即可； （2）先分组为，运用提取公因式法因式分解即可． 【详解】（1）解： ． （2）解： ． 【变式7-2】（24-25七年级下·安徽安庆·阶段练习）将一个多项式分组后，可用提公因式法或公式法继续分解的方法是因式分解中的分组分解法，一般的分组分解法有四种形式，即“”分法，“”分法，“”分法及“”分法． “”分法如：． 请你仿照以上方法，分解因式： (1)． (2)． 【答案】(1) (2) 【分析】本题考查的是分组分解法因式分解，掌握分组分解法、公式法的一般步骤是解题的关键． （1）利用分组分解法得出，再根据公式法进行因式分解． （2）利用分组分解法得出、再根据公式法进行因式分解． 【详解】（1）解： ． （2）解： ． 【变式7-3】（24-25八年级下·陕西宝鸡·期末）【阅读材料】某校“数学社团”的成员研究发现常用的分解因式的方法有提取公因式法、公式法，但还有很多的多项式只用上述方法无法分解．例如和．社团成员经过讨论交流后发现可以将这样的式子先分组，再分解． 方法如下：； ．请在这种方法的启发下，解决下列问题： 【问题解决】 （1）因式分解：； （2）因式分解：； 【方法延伸】 （3）因式分解：． 【答案】（1） （2） （3） 【分析】本题主要考查因式分解，掌握分组分解法是关键． （1）根据分组分解法求解即可； （2）根据分组分解法求解即可； （3）根据分组分解法求解即可． 【详解】解：（1） ； （2） ； ； （3） ． 题型八、因式分解的应用 【例8】（25-26七年级上·上海松江·阶段练习）若一个整数能表示成（a、b是整数）的形式，则称这个数为“完美数”，例如：5是“完美数”，因为，再如：（x、y是整数），所以M也是“完美数”． (1)请你判断29是否为“完美数”； (2)已知（x、y是整数，k是常数）要使S为“完美数”，试求出符合条件的一个k的值，并说明理由． 【答案】(1)是 (2)时，为“完美数”，理由见解析 【分析】本题考查了因式分解的应用，完全平方公式的运用 （1）利用“完美数”的定义可得； （2）利用完全平方公式，将配成完美数，可求的值， 【详解】（1）解：， 是完美数， （2）解：时，为“完美数”，理由如下： ， ∵是整数， ∴，也是整数， ∴当，即，是完美数． 【变式8-1】（24-25八年级上·全国·期中）颖颖同学将一张长方形纸板按图中虚线裁剪成九块，如图，其中有两块是边长都为m的大正方形，两块是边长都为n的小正方形，五块是长为m、宽为n的相同小长方形，且． (1)观察图形，可以发现代数式可以因式分解为　　　； (2)若每块小长方形的面积为10，两个大正方形和两个小正方形的面积和为58，试求的值． 【答案】(1) (2) 【分析】本题考查因式分解，完全平方公式的变形运用． （1）利用数形结合的思想，表示大长方形的面积，根据大长方形的面积等于长乘以宽，即可得出结论； （2）由题意，得到，，利用完全平方公式进行求解即可． 【详解】（1）解：由图可知：表示大长方形的面积， 大长方形的边长分别为：， ∴； 故答案为：； （2）解：由题意，得：，， ∴， ∴， ∴（负值舍去）． 【变式8-2】（2025八年级上·全国·专题练习）问题：已知多项式含有因式和，求，的值． 解：设（其中为整式）， 取，得，① 取，得，② 由①，②解得，． 根据以上阅读材料，解决下列问题： (1)若多项式含有因式，求实数的值； (2)若多项式含有因式，求实数，的值； (3)如果一个多项式与某正数的差含有某个一次因式，则称这个正数是这个多项式除以该一次因式的余数．请求出多项式除以一次因式的余数． 【答案】(1) (2)， (3) 【分析】本题考查了因式分解的应用、二元一次方程组和一元一次方程的应用，理解阅读材料中的方法是解题关键． （1）设，其中为整式，取可得一个关于的方程，解方程即可得； （2）设，其中为整式，分别取，，和，，可得一个关于、的方程组，解方程组即可得； （3）设，其中是一个正数，为整式，取可得一个关于的方程，解方程即可得． 【详解】（1）解：设（其中为整式）， 取，得， 解得； （2）设（其中为整式）， 取，，得，① 取，，得，② 由①，②解得，； （3）设多项式除以一次因式的余数为，另一个因式为， 则， 取，得， 解得， 除以一次因式的余数为． 【变式8-3】（24-25八年级下·陕西咸阳·期末）对于一些多项式，不能直接进行因式分解，我们可以进行适当的变形后再分解． 例1：因式分解：． 解：． 例2：因式分解：． 解：将看成一个整体，设， 则原式， 再将代入，得原式． 根据以上解法，解答下列问题： (1)请你利用例1的方法，因式分解：； (2)请你利用例2的方法，因式分解：； (3)拓展：已知的三边长分别是，，，均是正整数，且满足，求边长的最大值． 【答案】(1) (2) (3)8 【分析】本题考查了因式分解，完全平方公式的变形运算，三角形三边关系，正确掌握相关性质内容是解题的关键． （1）模仿例1的方法，进行作答即可； （2）模仿例2的方法，进行作答即可； （3）先把原式整理得，再求出，运用三角形三边关系得，因为是正整数，故边长的最大值为，即可作答． 【详解】（1）解： ． （2）解： （3）解：∵ ∴ 则 ∴ ∵的三边长分别是，，， ∴ 即 ∵是正整数， ∴边长的最大值为． 基础巩固通关测 一、单选题 1．（24-25七年级下·全国·单元测试）下列各式从左边到右边的变形中，属于因式分解的是（   ） A． B． C． D． 【答案】B 【分析】本题考查因式分解的意义，把一个多项式化为几个整式的积的形式，这种变形叫做把这个多项式因式分解，也叫做分解因式．根据分解因式把一个多项式化为几个整式的积的形式的定义判断，利用排除法求解即可． 【详解】解：A、等式右边不是整式积的形式，故不是因式分解，不符合题意； B、等式右边是整式积的形式，故是因式分解，符合题意； C、等式右边不是整式积的形式，故不是因式分解，不符合题意； D、因为 ，所以该等式不成立，不是正确的变形，故不是因式分解，不符合题意． 故选：B． 2．（24-25八年级上·全国·期中）把多项式提取公因式后，余下的部分是（    ） A． B． C． D． 【答案】B 【分析】本题考查了提公因式． 将原多项式提取公因式计算即可． 【详解】解：， 即余下的部分是， 故选：B． 3．（24-25九年级下·河北沧州·阶段练习）下列多项式能用完全平方公式分解的有 （   ） （1）；（2）；（3）；（4） A．1 个 B．2 个 C．3 个 D．4 个 【答案】B 【分析】本题考查的是运用完全平方公式进行因式分解的能力，根据完全平方公式结构特征：两数的平方和加上或减去它们乘积的2倍，对各选项验证即可． 【详解】解：（1） 中，乘积项不是，不能运用完全平方公式； （2） ，符合题意； （3） ，乘积项不是，不符合能用完全平方公式； （4），符合题意； 所以（2）（4） 能用完全平方公式分解，共2个． 故选：B． 4．（19-20八年级上·广东·期末）设a，b，c是三角形的三边，则多项式的值为（   ） A．大于零 B．小于零 C．等于零 D．无法确定 【答案】A 【分析】本题主要考查了多项式的因式分解，三角形的三边关系，熟练掌握多项式的因式分解的方法，三角形的三边关系是解题的关键． 先将原式因式分解为，再根据三角形的三边关系求解． 【详解】解： ， ∵a，b，c是三角形的三边， ∴， ∴， ∴，即， 故选：A． 二、填空题 5．（25-26八年级上·山东淄博·阶段练习）分解因式： ． 【答案】 【分析】本题主要考查了因式分解，熟练运用提取公因式法和十字相乘法进行因式分解是解题的关键． 先提取公因式，再利用十字相乘法进行因式分解，即可解题． 【详解】解：原式． 故本题答案为：． 6．（2025八年级上·全国·专题练习）将因式分解，则应提取的公因式为 ． 【答案】 【分析】本题主要考查公因式的确定，找出系数的最大公约数，相同字母（多项式）的最低次幂，即可确定公因式． 【详解】解：因式分解时，应提取的公因式是． 故答案为：． 7．（25-26九年级上·山东·阶段练习）若多项式可分解为则 ， ． 【答案】 【分析】本题考查了因式分解的相关知识，注意是解答本题的关键． 根据多项式乘以多项式法则展开，即可得出答案． 【详解】解：多项式可以被分解为， ， ，， 故答案为： ，． 8．（25-26七年级下·全国·单元测试）分解因式 ；若a是整数，则一定能被一个常数整除，这个常数的最大值是 ． 【答案】 6 【分析】本题考查了因式分解的应用，数的整除，综合提公因式和公式法分解因式，解题关键是注意两个连续整数中必有一个是偶数． 先提公因式，然后利用平方差公式因式分解即可，再根据三个连续的整数的积的性质求解． 【详解】解：， a是整数，则，，是三个连续的整数， ∴能被、整除， ∴也能被整除， ∴最大的常数是6， 故答案为：，6． 三、解答题 9．（25-26八年级上·山东淄博·阶段练习）把下列各式分解因式： (1)； (2)； (3)； (4)． 【答案】(1) (2) (3) (4) 【分析】本题考查了提公因式法和公式法因式分解． （1）先将变为，提取公因式后，得，再提取公因式m得到最终结果； （2）先提取公因式a，再利用平方差公式即可得到结果； （3）先将提取公因式，得到，再提取公因式，最后利用平方差公式分解即可得到结果； （4）利用完全平方公式得到，通过计算后得到，再利用平方差公式即可得到最终结果． 【详解】（1）解：原式 ． （2）解：原式 ． （3）解：原式 ． （4）解：原式 ． 10．（25-26八年级上·湖南·阶段练习）完成下面各题： (1)若二次三项式可分解为，则__________；___________． (2)已知二次三项式有一个因式是，求另一个因式以及的值． 【答案】(1)； (2)另一个因式为，的值为． 【分析】本题考查了因式分解的意义，掌握相关知识是解题的关键． （1）将展开，可得到一次项的系数，继而可求出的值； （2）设另一个因式为，则，得到，求解即可得出答案． 【详解】（1）解：∵， ∴， ∴， 故答案为：； （2）解：设另一个因式为， ∴， ∴， ∴， ∴， ∴另一个因式为，的值为． 11．（25-26八年级上·山东东营·阶段练习）下面是某同学对多项式进行因式分解的过程． 解∶设 原式(第一步) (第二步) (第三步) (第四步) 请问∶ (1)该同学第二步到第三步运用了因式分解的______ A．提取公因式法 B．平方差公式 C．两数和的完全平方公式 D．两数差的完全平方公式 (2)该同学因式分解的结果是否彻底？______．(填"彻底"或"不彻底")若不彻底，请直接写出因式分解的最后结果______ (3)请你模仿以上方法尝试对多项式进行因式分解． 【答案】(1)C (2)不彻底； (3) 【分析】本题考查因式分解，熟练掌握整体思想和公式法进行因式分解，是解题的关键： （1）根据完全平方公式法进行因式分解，作答即可； （2）根据完全平方公式法继续进行因式分解即可； （3）仿照题干方法，进行因式分解即可． 【详解】（1）解：该同学第二步到第三步运用了因式分解的两数和的完全平方公式； 故选C； （2）分解结果不彻底， 原式 ； （3）设， 原式． 12．（24-25七年级下·河北石家庄·阶段练习）七年级兴趣小组活动时，老师提出了如下问题：将因式分解． 【观察】经过小组合作交流，小明得到了如下的解决方法： 解法一：原式； 解法二：原式． 【感悟】对项数较多的多项式无法直接进行因式分解时，我们可以将多项式分为若干组，再利用提公因式法、公式法达到因式分解的目的，这就是因式分解的分组分解法．分组分解法在代数式的化简、求值及方程、函数等学习中起着重要的作用．（温馨提示：因式分解一定要分解到不能再分解为止） 【类比】（1）请用分组分解法将因式分解； 【挑战】（2）请用分组分解法将因式分解； 【应用】（3）已知的三边长、、都是正整数，满足，求的周长． 【答案】（1）；（2）；（3）9． 【分析】（1）根据题意，得，提取公因式解答即可； （2）根据题意，得，后因式分解解答即可； （3）根据题意，得，根据非负性，确定a，b的值，再利用三角形三边关系定理，结合边长为正整数的属性，解答即可． 本题考查了分组分解法分解因式，实数的非负性，三角形三边关系定理，正整数的属性，熟练掌握因式分解，非负性，三角形三边关系定理是解题的关键． 【详解】（1）解：根据题意，得 ； （2）解：根据题意，得 ； （3）解：由得， 故， 解得， 故c的取值范围为即， 由的三边长、、都是正整数， 故， 故的周长为． 能力提升进阶练 一、单选题 1．（2025八年级上·全国·专题练习）下列多项式的分解因式，正确的是（    ） A． B． C． D． 【答案】B 【分析】本题考查了多项式的分解因式，解题的关键是掌握因式分解的方法．根据提公因式法因式分解即可逐一判断． 【详解】解：A、，故该选项错误； B、，故该选项正确； C、，故该选项错误； D、，故该选项错误； 故选：B． 2．（21-22八年级上·河南信阳·阶段练习）多项式①；②；③；④，分解因式后，结果中含有相同因式的是（    ） A．①和② B．③和④ C．①和④ D．②和③ 【答案】D 【分析】本题主要考查提公因式法分解因式和利用完全平方公式分解因式，熟练掌握公式结构是求解的关键．利用提公因式法和公式法分别分解因式，进而即可得到答案． 【详解】解：①； ②； ③； ④； ∴②和③有相同因式：， 故选：D． 3．（24-25九年级下·山东青岛·阶段练习）因式分解：（   ） A． B． C． D． 【答案】D 【分析】本题考查的是因式分解，直接利用平方差公式分解因式即可. 【详解】解：； 故选：D 4．（24-25七年级下·河北唐山·阶段练习）下面是课堂投影屏上显示的抢答题，需要回答横线上序号处缺少的内容．下列回答错误的是（    ） 分解因式：． 解：原式 = A．①填 B．②填 C．该过程用到了提公因式法 D．该过程用到了公式法 【答案】B 【分析】本题考查了提公因式法与公式法的综合运用，先提公因式，再利用平方差公式分解因式即可． 【详解】解： ， 故①填，②填，同时用到了提公因式法和公式法， 故选：B． 5．（24-25七年级下·安徽淮南·阶段练习）多项式分解因式为，其中a，m，n为整数，则a的取值有（    ） A．2个 B．3个 C．4个 D．无数个 【答案】C 【分析】本题考查了用十字相乘法进行因式分解．得出之积为，之和为是解题的关键．把分解为两个整数的积的形式，等于这两个整数的和． 【详解】时，，故； 时，，故； 时，，故； 时，，故； 的取值有4个． 故选：C． 二、填空题 6．（24-25九年级下·云南临沧·阶段练习）因式分解： ． 【答案】 【分析】本题考查因式分解，熟记乘法公式是解答的关键．先根据完全平方公式分解因式，再根据平方差公式分解因式即可求解． 【详解】解： ． 故答案为：． 7．（24-25八年级下·四川成都·阶段练习）多项式中各项的公因式是 ． 【答案】 【分析】根据公因式中系数是各系数的最大公约数，相同字母的最低次幂的积，解答即可． 本题考查了提取公因式，熟练掌握公因式的定义是解题的关键． 【详解】解：多项式中各项的公因式是． 故答案为：． 8．（24-25九年级下·河北邢台·阶段练习）如图，嘉琪同学准备设计一个矩形的手工作品，已知矩形的边长为、，周长为，面积为，请计算的值为 ． 【答案】 【分析】本题考查的知识点是已知式子的值，求代数式的值、提公因式法分解因式，解题关键是根据题意得出、的值． 由题意得出、的值，再结合提公因式法分解因式后代入已知式子的值即可得解． 【详解】解：依题得：，， ， ． 故答案为：． 9．（24-25八年级下·广东江门·开学考试）已知，且满足两个等式，，则的值为 ． 【答案】4 【分析】本题考查的是因式分解的应用，完全平方公式，掌握“提公因式与利用完全平方公式分解因式”是解本题的关键． 由等量代换可得，可得，从而可得答案． 【详解】解：∵，， ∴ ∴ ∴ ∴ ∵，则 ∴，则， ∴． 故答案为：4． 10．（24-25七年级下·重庆忠县·阶段练习）若一个四位数满足①千位数字-百位数字后两位数，则称为“美妙数”．例如：，为“美妙数”．②7×（千位数字-百位数字）=后两位数，则称是“奇特数”．例如：．∴8521为“奇特数”．一个“美妙数”与一个“奇特数”的千位数字均为，百位数字均为，且这个“美妙数”比“奇特数”大14，则满足条件的“美妙数”为 ． 【答案】或 【分析】本题主要考查了新定义，解二元一次方程组，整式的加减运算，因式分解的应用，关键是根据新定义列出代数式和方程． 根据新定义表示出美妙数为，奇特数为，根据这个“美妙数”比“奇特数”大14，得到，因式分解得到，再分类讨论列二元一次方程组求解即可． 【详解】解：∵一个“美妙数”与一个“奇特数”的千位数字均为，百位数字均为， ∴后两位数为， ∴美妙数为：，奇特数为：， ∵“美妙数”比“奇特数”大14， ∴， 整理得：， ∴ 解得：（舍） 或， 解得：（舍） 或， 解得：； 或， 解得： ∴这个美妙数为或 故答案为：或． 三、解答题 11．（25-26八年级上·全国·周测）将下列多项式因式分解： (1)． (2)． (3)． (4)． 【答案】(1)； (2)； (3)； (4)． 【分析】本题主要考查了因式分解． 利用提公因式法分解因式，提出公因式即可； 首先提出公因式，再利用平方差公式分解因式即可； 首先利用完全平方公式把分解因式，可得：原式，再利用平方差公式分解因式即可； 首先提公因式，再利用完全平方公式分解因式即可． 【详解】（1）解： ； （2）解： ； （3）解： ； （4）解： ． 12．（24-25七年级下·山东聊城·阶段练习）将下列各式因式分解： (1)； (2)； (3)； (4)． 【答案】(1) (2) (3) (4) 【分析】（1）先提公因式，再利用完全平方公式继续分解，即可解答； （2）利用提公因式法解题即可； （3）先提公因式，再用完全平方公式因式分解即可； （4）先利用平方差公式分解因式，再利用完全平方公式分解因式． 本题考查了提公因式法因式分解，公式法因式分解，熟练掌握其运算规则是解题的关键． 【详解】（1）原式 （2）原式 （3）原式 （4）原式 13．（25-26八年级上·全国·随堂练习）先阅读下列因式分解的过程，再回答所提出的问题． ． (1)上述分解因式的方法是________，共应用了________次； (2)分解因式：； (3)若分解，则需应用上述方法________次，结果是________．（为正整数） 【答案】(1)提公因式法，2 (2) (3)； 【分析】本题考查了提取公因式法分解因式，读懂题意得出分解因式的规律是解题的关键． （1）已知材料的运算过程符合提取公因式法，根据运算步骤即可得出答案； （2）利用已知材料提取公因式，根据运算规律可得答案； （3）利用已知材料提取公因式，根据运算规律可得答案． 【详解】（1）解：上述分解因式的方法是提公因式法，共应用了2次， 故答案为：提公因式法，2； （2） ； （3） ， 故需应用上述方法次，结果是． 14．（24-25八年级上·山东德州·阶段练习）先阅读下面的内容，再解决问题， 原题呈现：若求m和n的值． 方法介绍：看到，想：如果添上，恰好就是，这个过程叫作“配方”， 解：∵， ∴， ∴， ∴，， ∴， 方法运用： (1)若，求的值． (2)已知、、是的三边长且各边不相等，其中，c是中最长的边，求的取值范围． 【答案】(1) (2) 【分析】本题考查了因式分解，配方法的应用，求整式的值，构成三角形的条件；掌握完全平方公式，构成三角形的条件是解题的关键． （1）根据已知同理可求，求出、的值，代入计算，即可求解； （2）同理求出，，由构成三角形的条件得，即可求解； 【详解】（1）解：， ， ， ，， ，， ； （2）解：， ， ， ， ，， ，， ， ， a、b、c是的三边长且各边不相等， c是中最长的边， ． 15．（24-25八年级上·福建福州·阶段练习）数学来于生活，同样数学也服务于生活，请同学们认真阅读下面材料，并完成相应任务． 现今“互联网+”的时代，密码与我们的生活已经密切相连，密不可分，而诸如“123456”、 生日等简单密码又容易被破解，因此利用简单方法产生一组容易记忆的密码就很有必要了．有一种用“因式分解”法产生的密码，方便记忆，其原理是：将一个多项式分解因式，如 多项式因式分解的结果为，当时，，，此时可以得到数字密码 2504 或 0425；如多项式，因式分解的结果为， 当 时， ， ，，此时可以得到数字密码 091112 ． 任务一：根据上述方法，当，时，将多项式分解因式后可以形成的数字密码有： （写出三个）； 任务二：一个直角三角形的两直角边分别为 x和 y，且它的周长为 12，面积为 6，斜边长为 5 ，将一个由多项式分解因式后可得到数字密码： (写一个即可)； 任务三：若多项式因式分解后，利用本题的方法，当 时可以得到一个密码 2821 ，求 m 、n 的值． 【答案】任务一：120717；121707，171207；任务二：1225或；任务三： 【分析】此题主要考查了因式分解的应用，解二元一次方程组，以及用“因式分解”法产生的密码的方法，要熟练掌握． 任务一：首先把分解因式，然后求出当，时，、的值各是多少，写出可以形成的三个数字密码即可． 任务二：由题意得：，求出的值是多少，再根据，求出可得的数字密码为多少即可． 任务三：首先根据密码为2821，可得：当时，，据此求出m、n的值各是多少即可． 【详解】解：任务一：， 当，时，，， 可得数字密码是120717；也可以是121707，171207． 任务二：由题意得：， 解得：， ∴， 而， ∴可得数字密码为1225或． 任务三：∵密码为2821， ∴当时， 而，， ∴， 即：， ∴， 解得． 1 / 3 学科网（北京）股份有限公司 学科网（北京）股份有限公司 $ 第二十一章 因式分解（复习讲义） 1. 了解因式分解的意义，体会其与整式乘法的互逆联系，明确因式分解需分解至每一个因式不能再分的要求。 2. 能用提公因式法（准确确定公因式）、公式法（平方差公式、完全平方公式）、十字相乘法进行因式分解。 3. 理解“一提、二套、三查”的因式分解步骤，能按步骤规范完成多项式的因式分解。 4. 能利用因式分解解决简化运算、代数式求值、实际问题建模等相关问题，提升运算与问题解决的能力。 知识点01 因式分解的定义 把一个多项式化成几个整式的乘积的形式，这种变形叫做把这个多项式因式分解。需注意分解对象是多项式，结果必须是积的形式且因式为整式，是恒等变形，还要分解到每个因式都不能再分解为止，它与整式乘法是互逆变形。 知识点02 因式分解的方法 1.提公因式法：pa + pb + pc = p(a + b + c)。确定公因式时，系数取多项式各项系数的最大公约数，字母取各项中都含有的相同字母，相同字母的指数取各项中最小的一个。 2.公式法：平方差公式为a2 - b2 = (a + b)(a - b)，适用于两项、符号相反、均为平方形式的多项式；完全平方公式为a2 + 2ab + b2 = (a + b)2 ，a2 - 2ab + b2 = (a - b)2 ，适用于三项、含两个平方项、中间项为两倍乘积的多项式。 3.十字相乘法：a2+(p + q)a + pq=(a + p)(a + q)。 知识点03 因式分解的步骤 可概括为“一提、二套、三查”。首先看多项式的各项是否有公因式，若有则先提取公因式；然后在各项提出公因式以后或各项没有公因式的情况下，观察多项式的项数，两项式可尝试运用平方差公式分解因式，三项式可尝试运用完全平方公式或十字相乘法分解因式，四项式及四项式以上的可以尝试分组分解法分解因式；最后检查分解是否彻底，必须分解到每一个因式都不能再分解为止。 知识点04 因式分解的应用 因式分解在简化运算、代数式求值、实际问题建模等方面有重要应用，例如在计算一些复杂的数值时，通过因式分解可以将式子化简，从而更方便地进行计算。 题型一、判断是否因式分解 【例1】（25-26九年级上·山东·阶段练习）下列变形中是分解因式的是（   ） A． B． C． D． 【变式1-1】（25-26八年级上·吉林·阶段练习）下列各式从左到右的变形，是因式分解的是（   ） A． B． C． D． 【变式1-2】（25-26八年级上·全国·课后作业）下列各式中，从左到右的变形是因式分解的是（    ） A． B． C． D． 【变式1-3】（25-26八年级上·全国·课后作业）下列各式从左到右的变形是因式分解且正确的是（   ） A． B． C． D． 题型二、已知因式分解的结果求参数 【例2】（25-26八年级上·山东淄博·阶段练习）如果是的一个因式，则的值为（    ） A． B．6 C．7 D． 【变式2-1】（25-26八年级上·全国·单元测试）若可以分解为，那么的值为（    ） A． B． C． D． 【变式2-2】（25-26八年级上·全国·单元测试）多项式可分解因式为，那么等于（　　） A． B． C． D． 【变式2-3】（24-25七年级下·浙江杭州·期末）若多项式因式分解后的结果是，则的值是（　　） A．10 B． C． D．13 题型三、公因式 【例3】（24-25七年级下·全国·单元测试）下列选项不是和的公因式的是（   ） A． B． C． D．5 【变式3-1】（25-26八年级上·全国·课后作业）n为正整数，若的公因式是M，则M等于（    ） A． B． C． D． 【变式3-2】（25-26八年级上·全国·课后作业）有下列各组多项式：①（1）和；②和；③和；④和．其中含有公因式的是（   ） A．①② B．②③ C．③④ D．①④ 【变式3-3】（24-25八年级下·陕西榆林·期末）多项式与多项式的公因式是（   ） A． B． C． D． 题型四、判断是用公式法因式分解 【例4】（25-26八年级上·山东淄博·阶段练习）下列各多项式中，能运用公式法分解因式的有（    ） （1）   （2）   （3）    （4） A．1个 B．2个 C．3个 D．4个 【变式4-1】（2025八年级上·全国·专题练习）给出下列式子：①；②；③；④；⑤其中在实数范围内能用完全平方公式分解因式的有（   ） A．1个 B．2个 C．3个 D．4个 【变式4-2】（24-25八年级下·四川成都·期末）下列多项式中不能用平方差公式分解因式的是（    ） A． B． C． D． 【变式4-3】（24-25七年级下·安徽六安·期末）下列多项式中，能用公式法分解因式的是（    ） A． B． C． D． 题型五、综合提公因式和公式法因式分解 【例5】（25-26八年级上·重庆·阶段练习）分解因式． (1)； (2) 【变式5-1】（25-26八年级上·全国·课后作业）因式分解： (1)． (2)． 【变式5-2】（24-25八年级上·北京·期中）因式分解： (1)； (2)； (3)． 【变式5-3】（25-26九年级上·山东·阶段练习）把下列各式分解因式 (1)； (2)； (3)； (4)； (5)． 题型六、十字相乘法因式分解 【例6】（25-26八年级上·全国·单元测试）某些形如的二次三项式可利用十字相乘法分解因式．十字相乘法：先分解二次项系数，分别写在十字交叉线的左上角和左下角；再分解常数项，分别写在十字交叉线的右上角和右下角；然后交叉相乘，求代数和，使其等于一次项系数．如：将式子和分解因式，如图，；． 请你用十字相乘法将下列多项式分解因式： (1)； (2)． 【变式6-1】（25-26八年级上·全国·单元测试）阅读与思考：将式子分解因式．这个式子的常数项，一次项系数，这个过程可以用十字相乘的形式形象地表示：先分解二次项系数，分别写在十字交叉线的左上角和左下角；再分解常数项，分别写在十字交叉线的右上角和右下角；然后交叉相乘，求代数和，使其等于一次项系数．如图所示： 这种分解二次三项式的方法叫“十宇相乘法”．请认真观察，分析理解后，解答下列问题． (1)分解因式：； (2)填空：若可分解为两个一次因式的积，则整数p的所有可能值是______． 【变式6-2】（24-25七年级下·安徽六安·期末）阅读与思考 整式乘法与因式分解是方向相反的变形． ，得． 利用这个式子可以将某些二次三项式进行因式分解，我们把这种方法称为“十字相乘法” 例如：将式子分解因式． 解：． 请仿照上面的方法，解答下列问题： (1)分解因式：． (2)分解因式： (3)若可进行因式分解，求整数所有可能的值． 【变式6-3】（24-25八年级上·甘肃临夏·阶段练习）阅读下列材料： 将分解因式，我们可以按下面的方法解答： 解：步骤：①竖分二次项与常数项：，． ②交叉相乘，验中项：． ③横向写出两因式：． 我们将这种用十字交叉相乘分解因式的方法叫做十字相乘法． 试用上述方法分解因式： (1)； (2)； (3)． 题型七、分组分解法因式分解 【例7】（24-25八年级下·陕西咸阳·期末）将一个多项式分组后，可提公因式或运用公式继续分解的方法是分组分解法．例如：． 请仔细阅读上述解法后，解决下列问题： (1)分解因式：； (2)已知，，求的值． 【变式7-1】（24-25八年级下·陕西榆林·期末）在学习《因式分解》的相关知识时，“探究性学习”小组的甲、乙两名同学分别对下面式子进行了因式分解，具体如下： 甲： （分成两组） （直接提公因式） ． 乙： （分成两组） （直接运用公式） ． 请你在他们的启发下，解答下面各题： (1)因式分解：； (2)因式分解：． 【变式7-2】（24-25七年级下·安徽安庆·阶段练习）将一个多项式分组后，可用提公因式法或公式法继续分解的方法是因式分解中的分组分解法，一般的分组分解法有四种形式，即“”分法，“”分法，“”分法及“”分法． “”分法如：． 请你仿照以上方法，分解因式： (1)． (2)． 【变式7-3】（24-25八年级下·陕西宝鸡·期末）【阅读材料】某校“数学社团”的成员研究发现常用的分解因式的方法有提取公因式法、公式法，但还有很多的多项式只用上述方法无法分解．例如和．社团成员经过讨论交流后发现可以将这样的式子先分组，再分解． 方法如下：； ．请在这种方法的启发下，解决下列问题： 【问题解决】 （1）因式分解：； （2）因式分解：； 【方法延伸】 （3）因式分解：． 题型八、因式分解的应用 【例8】（25-26七年级上·上海松江·阶段练习）若一个整数能表示成（a、b是整数）的形式，则称这个数为“完美数”，例如：5是“完美数”，因为，再如：（x、y是整数），所以M也是“完美数”． (1)请你判断29是否为“完美数”； (2)已知（x、y是整数，k是常数）要使S为“完美数”，试求出符合条件的一个k的值，并说明理由． 【变式8-1】（24-25八年级上·全国·期中）颖颖同学将一张长方形纸板按图中虚线裁剪成九块，如图，其中有两块是边长都为m的大正方形，两块是边长都为n的小正方形，五块是长为m、宽为n的相同小长方形，且． (1)观察图形，可以发现代数式可以因式分解为　　　； (2)若每块小长方形的面积为10，两个大正方形和两个小正方形的面积和为58，试求的值． 【变式8-2】（2025八年级上·全国·专题练习）问题：已知多项式含有因式和，求，的值． 解：设（其中为整式）， 取，得，① 取，得，② 由①，②解得，． 根据以上阅读材料，解决下列问题： (1)若多项式含有因式，求实数的值； (2)若多项式含有因式，求实数，的值； (3)如果一个多项式与某正数的差含有某个一次因式，则称这个正数是这个多项式除以该一次因式的余数．请求出多项式除以一次因式的余数． 【变式8-3】（24-25八年级下·陕西咸阳·期末）对于一些多项式，不能直接进行因式分解，我们可以进行适当的变形后再分解． 例1：因式分解：． 解：． 例2：因式分解：． 解：将看成一个整体，设， 则原式， 再将代入，得原式． 根据以上解法，解答下列问题： (1)请你利用例1的方法，因式分解：； (2)请你利用例2的方法，因式分解：； (3)拓展：已知的三边长分别是，，，均是正整数，且满足，求边长的最大值． 基础巩固通关测 一、单选题 1．（24-25七年级下·全国·单元测试）下列各式从左边到右边的变形中，属于因式分解的是（   ） A． B． C． D． 2．（24-25八年级上·全国·期中）把多项式提取公因式后，余下的部分是（    ） A． B． C． D． 3．（24-25九年级下·河北沧州·阶段练习）下列多项式能用完全平方公式分解的有 （   ） （1）；（2）；（3）；（4） A．1 个 B．2 个 C．3 个 D．4 个 4．（19-20八年级上·广东·期末）设a，b，c是三角形的三边，则多项式的值为（   ） A．大于零 B．小于零 C．等于零 D．无法确定 二、填空题 5．（25-26八年级上·山东淄博·阶段练习）分解因式： ． 6．（2025八年级上·全国·专题练习）将因式分解，则应提取的公因式为 ． 7．（25-26九年级上·山东·阶段练习）若多项式可分解为则 ， ． 8．（25-26七年级下·全国·单元测试）分解因式 ；若a是整数，则一定能被一个常数整除，这个常数的最大值是 ． 三、解答题 9．（25-26八年级上·山东淄博·阶段练习）把下列各式分解因式： (1)； (2)； (3)； (4)． 10．（25-26八年级上·湖南·阶段练习）完成下面各题： (1)若二次三项式可分解为，则__________；___________． (2)已知二次三项式有一个因式是，求另一个因式以及的值． 11．（25-26八年级上·山东东营·阶段练习）下面是某同学对多项式进行因式分解的过程． 解∶设 原式(第一步) (第二步) (第三步) (第四步) 请问∶ (1)该同学第二步到第三步运用了因式分解的______ A．提取公因式法 B．平方差公式 C．两数和的完全平方公式 D．两数差的完全平方公式 (2)该同学因式分解的结果是否彻底？______．(填"彻底"或"不彻底")若不彻底，请直接写出因式分解的最后结果______ (3)请你模仿以上方法尝试对多项式进行因式分解． 12．（24-25七年级下·河北石家庄·阶段练习）七年级兴趣小组活动时，老师提出了如下问题：将因式分解． 【观察】经过小组合作交流，小明得到了如下的解决方法： 解法一：原式； 解法二：原式． 【感悟】对项数较多的多项式无法直接进行因式分解时，我们可以将多项式分为若干组，再利用提公因式法、公式法达到因式分解的目的，这就是因式分解的分组分解法．分组分解法在代数式的化简、求值及方程、函数等学习中起着重要的作用．（温馨提示：因式分解一定要分解到不能再分解为止） 【类比】（1）请用分组分解法将因式分解； 【挑战】（2）请用分组分解法将因式分解； 【应用】（3）已知的三边长、、都是正整数，满足，求的周长． 能力提升进阶练 一、单选题 1．（2025八年级上·全国·专题练习）下列多项式的分解因式，正确的是（    ） A． B． C． D． 2．（21-22八年级上·河南信阳·阶段练习）多项式①；②；③；④，分解因式后，结果中含有相同因式的是（    ） A．①和② B．③和④ C．①和④ D．②和③ 3．（24-25九年级下·山东青岛·阶段练习）因式分解：（   ） A． B． C． D． 4．（24-25七年级下·河北唐山·阶段练习）下面是课堂投影屏上显示的抢答题，需要回答横线上序号处缺少的内容．下列回答错误的是（    ） 分解因式：． 解：原式 = A．①填 B．②填 C．该过程用到了提公因式法 D．该过程用到了公式法 5．（24-25七年级下·安徽淮南·阶段练习）多项式分解因式为，其中a，m，n为整数，则a的取值有（    ） A．2个 B．3个 C．4个 D．无数个 二、填空题 6．（24-25九年级下·云南临沧·阶段练习）因式分解： ． 7．（24-25八年级下·四川成都·阶段练习）多项式中各项的公因式是 ． 8．（24-25九年级下·河北邢台·阶段练习）如图，嘉琪同学准备设计一个矩形的手工作品，已知矩形的边长为、，周长为，面积为，请计算的值为 ． 9．（24-25八年级下·广东江门·开学考试）已知，且满足两个等式，，则的值为 ． 10．（24-25七年级下·重庆忠县·阶段练习）若一个四位数满足①千位数字-百位数字后两位数，则称为“美妙数”．例如：，为“美妙数”．②7×（千位数字-百位数字）=后两位数，则称是“奇特数”．例如：．∴8521为“奇特数”．一个“美妙数”与一个“奇特数”的千位数字均为，百位数字均为，且这个“美妙数”比“奇特数”大14，则满足条件的“美妙数”为 ． 三、解答题 11．（25-26八年级上·全国·周测）将下列多项式因式分解： (1)． (2)． (3)． (4)． 12．（24-25七年级下·山东聊城·阶段练习）将下列各式因式分解： (1)； (2)； (3)； (4)． 13．（25-26八年级上·全国·随堂练习）先阅读下列因式分解的过程，再回答所提出的问题． ． (1)上述分解因式的方法是________，共应用了________次； (2)分解因式：； (3)若分解，则需应用上述方法________次，结果是________．（为正整数） 14．（24-25八年级上·山东德州·阶段练习）先阅读下面的内容，再解决问题， 原题呈现：若求m和n的值． 方法介绍：看到，想：如果添上，恰好就是，这个过程叫作“配方”， 解：∵， ∴， ∴， ∴，， ∴， 方法运用： (1)若，求的值． (2)已知、、是的三边长且各边不相等，其中，c是中最长的边，求的取值范围． 15．（24-25八年级上·福建福州·阶段练习）数学来于生活，同样数学也服务于生活，请同学们认真阅读下面材料，并完成相应任务． 现今“互联网+”的时代，密码与我们的生活已经密切相连，密不可分，而诸如“123456”、 生日等简单密码又容易被破解，因此利用简单方法产生一组容易记忆的密码就很有必要了．有一种用“因式分解”法产生的密码，方便记忆，其原理是：将一个多项式分解因式，如 多项式因式分解的结果为，当时，，，此时可以得到数字密码 2504 或 0425；如多项式，因式分解的结果为， 当 时， ， ，，此时可以得到数字密码 091112 ． 任务一：根据上述方法，当，时，将多项式分解因式后可以形成的数字密码有： （写出三个）； 任务二：一个直角三角形的两直角边分别为 x和 y，且它的周长为 12，面积为 6，斜边长为 5 ，将一个由多项式分解因式后可得到数字密码： (写一个即可)； 任务三：若多项式因式分解后，利用本题的方法，当 时可以得到一个密码 2821 ，求 m 、n 的值． 1 / 3 学科网（北京）股份有限公司 学科网（北京）股份有限公司 $