第四单元 指数函数与对数函数（B卷·能力提升卷）-《数学 基础模块上册》（北师大版）单元过关卷(原卷版+解析版)

**基本信息** 紧扣北师大版中职数学第四单元指数函数与对数函数，设A/B卷分层训练，B卷通过15选择+5填空+4解答（40分），整合概念应用与实际问题，适配单元复习，发展数学思维与应用意识。 **题型特征** |题型|题量/分值|知识覆盖|命题特色| |----|-----------|----------|----------| |单项选择题|15/45|指数对数运算（第2题）、函数性质（第4题单调性）|基础概念辨析，梯度分布| |填空题|5/15|定义域（第19题）、值域（第17题）|核心知识查漏，简洁考查| |解答题|4/40|综合应用（24题人口增长模型）、参数求解（23题定义域）|实际情境融入，发展运算能力与推理意识|

编写说明：本套试卷紧扣《数学 基础模块上册》（北师大版）教材，以教材章节为基准精准覆盖核心考点。 每个章节设置AB卷，A卷为基础巩固卷，侧重基础考点训练，帮助学生扎实掌握知识要点；B卷为能力提升卷，注重知识整合与全面检测，引导学生构建知识网络。全书设计4份综合测试卷，模拟实战情境，聚焦解题能力突破，全面提升应试能力与知识应用水平。 第四单元 指数函数与对数函数 （B卷·能力提升） 考试时间：60分钟 满分：100分 班级 姓名 学号 成绩 一、单项选择题(本大题共15小题，每小题3分，共45分.在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的). 1．已知，下列等式成立的是（   ） A． B． C． D． 2．计算的结果为（    ） A． B． C． D． 3．函数的值域是（ ） A． B． C． D． 4．已知函数，且，在区间上的最大值与最小值之差为，则（ ） A．2 B．4 C． D． 5．若，则函数的最小值为（ ） A．4 B．0 C．5 D．9 6．若，则（　　） A． B． C． D． 7．设，那么m等于（ ） A． B．9 C．18 D．27 8．若，则的值为（    ） A．6 B．3 C． D． 9．已知，则的大小关系是（    ） A． B． C． D． 10．下列函数中既是奇函数又是增函数的是（    ） A． B． C． D． 11．设 ，则（    ） A． B． C． D． 12．已知，且，函数与的图象只能是下图中的（　　） A．   B．   C．   D．   13．某种新鲜蔬菜在储藏过程中，保鲜时间（单位：小时）与储藏温度（单位：）满足指数函数关系，其中 为常数且.已知在 的条件下保鲜时间为小时，在的条件下保鲜时间为小时，则在不进行冷藏时，该蔬菜的保鲜时间为（    ） A． B． C． D． 14．地震能量与震级满足，若8.0级地震能量为，6.0级地震能量为，则是的（    ） A．倍 B．倍 C．倍 D．倍 15．方程的解有（   ） A．0个 B．1个 C．2个 D．3个 二、填空题(本大题共5小题，每小题3分，共15分). 16．已知为奇函数，为偶函数，，则________． 17．已知函数的定义域和值域都是，则__________. 18．_______ 19．函数的定义域是__________ 20．某地区2025年粮食总产量为120亿，如果按每年平均的速度增长，则该地区5年后的年粮食总产量为________亿（用式子表示出来）. 三、解答题（本大题共4小题，每小题10分，共40分.解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤). 21．已知，求： (1) (2) 22．已知函数． (1)若，求的单调区间 (2)若有最大值3，求的值 23．已知函数：. (1)若，求的值，并求此时的值域； (2)若定义域为R，求实数的取值范围. 24．某城市现有人口万，年增长率为. (1)写出年后人口（万）与的函数关系式； (2)求大约多少年后人口达到万？给出整年.（已知，） 原创精品资源学科网独家享有版权，侵权必究！1 学科网（北京）股份有限公司 学科网（北京）股份有限公司 学科网（北京）股份有限公司 $ 编写说明：本套试卷紧扣《数学 基础模块上册》（北师大版）教材，以教材章节为基准精准覆盖核心考点。 每个章节设置AB卷，A卷为基础巩固卷，侧重基础考点训练，帮助学生扎实掌握知识要点；B卷为能力提升卷，注重知识整合与全面检测，引导学生构建知识网络。全书设计4份综合测试卷，模拟实战情境，聚焦解题能力突破，全面提升应试能力与知识应用水平。 第四单元 指数函数与对数函数 （B卷·能力提升） 考试时间：60分钟 满分：100分 班级 姓名 学号 成绩 一、单项选择题(本大题共15小题，每小题3分，共45分.在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的). 1．已知，下列等式成立的是（   ） A． B． C． D． 【答案】C 【分析】根据指数幂的运算法则求解. 【详解】选项A，，所以选项A错误； 选项B，，所以选项B错误； 选项C，，所以选项C正确； 选项D，，所以选项D错误， 故选：C. 2．计算的结果为（    ） A． B． C． D． 【答案】B 【分析】根据指数幂的运算求解即可. 【详解】 . 故选：B. 3．函数的值域是（ ） A． B． C． D． 【答案】D 【分析】对复合函数拆分，由二次函数的性质求出内函数的值域，再由指数函数求出外函数的值域，即可得到复合函数的值域. 【详解】令，对称轴，开口向上，∴， ∴，∵，∴函数在上单调递减， ∴， 故选：D 4．已知函数，且，在区间上的最大值与最小值之差为，则（ ） A．2 B．4 C． D． 【答案】B 【分析】讨论、，结合指数函数的单调性求区间最值，再由已知列方程求参数值，进而求函数值. 当时，在区间上的最大值为，最小值为， 所以，即，又，解得， 此时函数，所以， 当时，在区间上的最大值为，最小值为， 所以，方程无解. 综上，. 故选：B 5．若，则函数的最小值为（ ） A．4 B．0 C．5 D．9 【答案】A 【分析】设，则利用函数单调性可得答案. 设，则（）， 对称轴为，所以在上单调递增， 所以. 故选：A. 6．若，则（　　） A． B． C． D． 【答案】B 【分析】根据对数的运算法则求解. 【详解】若， 则. 故选：B. 7．设，那么m等于（ ） A． B．9 C．18 D．27 【答案】B 【分析】利用换底公式化简得到对数方程，求出即可. ， ，， 故选：B. 8．若，则的值为（    ） A．6 B．3 C． D． 【答案】A 【分析】根据指数与对数的互换求解即可. 【详解】若，则，进而. 故选：A. 9．已知，则的大小关系是（    ） A． B． C． D． 【答案】B 【分析】根据指数函数与对数函数的单调性比较大小即可. 【详解】已知， 因为在上为增函数， 且，所以，即， 因为在上为减函数， 且，所以， 即，所以， 故选：B. 10．下列函数中既是奇函数又是增函数的是（    ） A． B． C． D． 【答案】B 【分析】根据题意，结合奇函数的定义，及指数函数、正比例函数、对数函数、反比例函数的单调性，即可判断求解. 【详解】因为的定义域是R，关于原点对称， 又，，所以函数不是奇函数， 又是指数函数，底数为，故函数在R上是增函数，故选项A不符合题意； 因为的定义域是R，关于原点对称， 又，所以，故函数是奇函数， 又是正比例函数，一次项系数是，故在R上是增函数，故选项B符合题意； 因为的定义域是，不关于原点对称， 故函数是非奇非偶函数， 又是对数函数，底数为，故函数在定义域上是增函数，故选项C不符合题意； 因为的定义域是，关于原点对称， 又，所以，故函数是奇函数， 又是反比例函数，在区间和上是减函数，故选项D不符合题意； 故选：B. 11．设 ，则（    ） A． B． C． D． 【答案】D 【分析】根据对数的单调性比较大小即可. 【详解】因为在上为增函数， 所以，即， 又因为在上为增函数， 所以，即， 所以， 故选：D. 12．已知，且，函数与的图象只能是下图中的（　　） A．   B．   C．   D．   【答案】B 【分析】根据题意利用指数函数与对数函数的图像即可得解. 【详解】因为函数有意义，所以，则， 令，即，此时，所以对数函数的图像过点，故错误； 因为函数与图像关于轴对称， 由选项可知，函数为增函数，所以， 又因为当时，函数为增函数，故正确；错误， 故选：B. 13．某种新鲜蔬菜在储藏过程中，保鲜时间（单位：小时）与储藏温度（单位：）满足指数函数关系，其中 为常数且.已知在 的条件下保鲜时间为小时，在的条件下保鲜时间为小时，则在不进行冷藏时，该蔬菜的保鲜时间为（    ） A． B． C． D． 【答案】C 【分析】将代入函数解析式得到参数，进求解即可. 【详解】由题意可知经过点， 代入解析式中得， 两式相除得，则 , 所以指数函数关系， 当 时， . 故选：C. 14．地震能量与震级满足，若8.0级地震能量为，6.0级地震能量为，则是的（    ） A．倍 B．倍 C．倍 D．倍 【答案】A 【分析】根据地震能量与震级之间的解析式求解即可. 【详解】由得：. 对于8.0级：. 对于6.0级：. 所以：. . 故选：A. 15．方程的解有（   ） A．0个 B．1个 C．2个 D．3个 【答案】C 【分析】利用数形结合，判断函数与的图像交点的个数即可. 【详解】方程解的个数等价于函数与的图像交点的个数，如图所示，两函数共有个交点， 所以方程的解有个. 故选：C 二、填空题(本大题共5小题，每小题3分，共15分). 16．已知为奇函数，为偶函数，，则________． 【答案】 【分析】利用奇函数、偶函数的性质推导的表达式，结合平方差公式和零指数幂的运算计算目标式的值. 【详解】因为，所以， 又因为为奇函数，为偶函数， 所以，即 ， 因为， 所以. 故答案为：. 17．已知函数的定义域和值域都是，则__________. 【答案】或 【分析】因为函数，讨论和，根据函数的单调性，即可求得答案. ①当时，根据指数函数单调可知:是单调递增函数， 此时单调递增， 可得:，解得 ，即 解得:. ②当时，根据指数函数单调可知:是单调递减函数， 此时单调递减， 可得:，解得: ，即 解得:. 综上所述，或 故答案为:或. 【点睛】本题主要考查了根据函数定义域和值域相同求参数问题，解题关键是掌握指数函数的单调性和函数的基础知识，考查了分析能力和计算能力，属于中档题. 18．_______ 【答案】 【分析】根据指数和对数的运算即可解得. 【详解】 原式 . 故答案为： 19．函数的定义域是__________ 【答案】 【分析】根据二次根式的性质、分母的性质及对数的性质列出不等式组即可得解. 【详解】函数， 则，解得， 所以定义域为， 故答案为：. 20．某地区2025年粮食总产量为120亿，如果按每年平均的速度增长，则该地区5年后的年粮食总产量为________亿（用式子表示出来）. 【答案】 【分析】根据初始产量和年增长率建立指数函数模型即可. 【详解】已知某地区2025年粮食总产量为120亿，如果按每年平均的速度增长， 则初始产量，年增长率为， 所以该地区5年后的年粮食总产量为亿. 故答案为：. 三、解答题（本大题共4小题，每小题10分，共40分.解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤). 21．已知，求： (1) (2) 【答案】(1)7 (2)47 【分析】（）将两边进行平方即可得解. （）将两边进行平方即可得解. 【详解】（1）因为， 则. （2）因为， 则. 22．已知函数． (1)若，求的单调区间 (2)若有最大值3，求的值 【答案】(1)单调递增区间是，单调递减区间是. (2)1 【分析】（1）令，利用复合函数的单调性分析求解； （2）令，结合指数函数单调性可知的最小值为，然后分和两种情况，结合二次函数最值分析求解. （1）当时， 令，则在上单调递增，在单调递减， 且在R上为减函数， 所以在上单调递减，在上单调递增， 即函数的单调递增区间是，单调递减区间是. （2）令，则， 因为的最大值为3，且在R上为减函数， 所以的最小值为， 当时，无最大值，不合题意； 当时，则，解得； 综上所述：实数a的值为1. 23．已知函数：. (1)若，求的值，并求此时的值域； (2)若定义域为R，求实数的取值范围. 【答案】(1)；值域为 (2) 【分析】（1）由题意得，解得的值，即可求得的取值范围，结合单调递增，进而可求得的值域； （2）若定义域为R，则有恒成立，结合二次函数开口方向与判别式，即可求得的取值范围. （1）若，则有，解得，此时有， 设，易得二次函数开口向上，所以， 则有在上单调递增，所以， 则的值域为. （2）若的定义域为R，则有恒成立， ①当时，即，解得，故实数的取值范围是. ②当时，不等式，解得，不满足定义域为R，故. 综上，实数的取值范围是. 24．某城市现有人口万，年增长率为. (1)写出年后人口（万）与的函数关系式； (2)求大约多少年后人口达到万？给出整年.（已知，） 【答案】(1) (2)约16年 【分析】（1）利用指数增长模型列出方程，化简即可； （2）两边取对数变形，再代入已知对数值计算即可. 【详解】（1）根据题意， 初始人口为100万，年增长率为， 则函数关系式为：； （2）令， 两边取常用对数： ， 已知， 则， 取整年，大约16年. 原创精品资源学科网独家享有版权，侵权必究！1 学科网（北京）股份有限公司 学科网（北京）股份有限公司 学科网（北京）股份有限公司 $