广西玉林市第一中学2026-2027学年高三上学期数学自主练习（9.4）

**基本信息** 高三数学一轮复习自主练习，以浙BA篮球联赛、AI知识竞赛等现实情境为载体，覆盖集合、函数、概率统计等核心知识，注重数学思维与实际问题解决能力的结合。 **题型特征** |题型|题量|知识覆盖|命题特色| |----|----|----------|----------| |单选题|8|集合运算、函数零点、二项式定理等|基础概念辨析，如函数零点与充要条件判断| |多选题|2|二项分布、超几何分布、组合计数|结合实际情境考查概率模型辨析，如志愿者分配问题| |填空题|2|函数性质、分段函数求解|抽象函数与不等式结合，考查数学抽象能力| |解答题|4|相关系数、独立性检验、条件概率、导数应用|以浙BA联赛数据、AI竞赛为背景，融合统计分析与数学建模，如第13题用真实数据推断相关程度|

玉林一中高三数学自主练习（9.4） 一、单选题 1．设集合，集合，则集合（    ） A． B． C． D． 2．若函数在区间上的图象是一条不间断的曲线，则“函数在区间上有零点”是“”的（   ） A．充分不必要条件 B．必要不充分条件 C．充要条件 D．既不充分也不必要条件 3．若，则函数的图象必定不经过（    ） A．第一象限 B．第二象限 C．第三象限 D．第四象限 4．已知函数且，则（     ） A．8 B．4 C．2 D．1 5．已知函数是偶函数，则实数（   ） A． B． C． D． 6．已知展开式中项的系数为，则（    ） A．2 B． C．4 D． 7．某校派出 6 名志愿者派往 4 个社区参与志愿服务，每个社区至少去 1 名志愿者，其中甲志愿者去 A 社区. 则不同的分配方法种数为（    ） A．360 B．390 C．750 D．1170 8．已知，，，则、、的大小关系是（    ）． A． B． C． D． 二、多选题 9．下列说法正确的有（     ） A．若随机变量的数学期望，则 B．若随机变量的方差，则 C．将一枚质地均匀的硬币抛掷次，记正面向上的次数为，则服从二项分布 D．从男女共名学生干部中随机选取名学生干部，记选出女学生干部的人数为，则服从超几何分布 10．盒子内有20个大小相同的球，其中有15个蓝球，5个红球，现从中取出3个球，则（    ） A．取出的3个球中恰好有1个蓝球的取法有种 B．取出的3个球中至少有2个蓝球的取法有种 C．取出的3个球中至多有2个蓝球的取法有种 D．取出的3个球中至少有1个红球的取法有种 三、填空题 11．已知函数满足，则__________． 12．设函数，则满足的实数的取值范围是___________． 四、解答题 13．浙江城市篮球联赛（简称“浙BA”）是全省性群众篮球赛事，这场覆盖全省的草根赛事以最纯粹的体育魅力点燃了全民健身的热情，参加健身活动的市民人数显著增加．下表是自赛事开展5周以来某城镇参与健身活动的人数（万人）与第周的数据： （周） 1 2 3 4 5 （万人） 2 2 4 6 6 (1)根据表格数据计算变量与的相关系数（精确到0.01），并推断它们的相关程度； (2)组委会随机抽取了1000位市民，对他们是否有意愿观看比赛的情况进行了统计，得到了如下的列联表： 性别 观看比赛的意愿 合计 有 无 男 400 100 500 女 300 200 500 合计 700 300 1000 请依据小概率值的独立性检验，能否认为观看比赛的意愿与性别有关联？ 参考数据及公式：，样本相关系数 ， 0.010 0.005 0.001 6.635 7.879 10.828 14．甲罐中有个红球，个白球，乙罐中有个红球，个白球（球除颜色外，大小质地均相同）．先从甲罐中随机取出一球放入乙罐；再从乙罐中随机取出一球． (1)求在甲罐中取出白球的条件下，乙罐中取出红球的概率； (2)求乙罐中取出红球的概率． 15．2026年，软件已广泛覆盖办公、学习、创作、生活等多个场景，给人们的生活带来了便捷，实现了从“生成式”向“决策式”的全面跨越．行业焦点已从“能说会道”的创造能力，转向其“能落地干活”的自主决策与执行能力．某公司进行知识竞赛．从参赛者中随机选出100人的成绩作为样本，将成绩（满分100分）分为，，，，，共5组，得到如图所示的频率分布直方图． (1)求的值以及第80百分位数； (2)假设用频率估计概率，从全公司中随机抽取3人，用表示其成绩在范围的人数，求的分布列、期望及方差． 16．已知函数. (1)求证：当时，函数存在极大值； (2)若有三个不同的零点，求的取值范围. 试卷第1页（共3页） 试卷第1页（共3页） 学科网（北京）股份有限公司 玉林一中高三数学自主练习（9.4）参考答案 题号 1 2 3 4 6 7 8 9 10 答案 B B B D B B D BCD AD 3． B【详解】当时，函数图象如下图1所示，为得到图象，则需要把图象向下平移个单位，如下图2所示，则其图象必定不经过第二象限. 4．D【详解】由函数，可得，所以， 又由， 即，解得. 5．C【详解】已知函数的定义域为，所以 ，又因为函数是偶函数，所以，解得，故C正确. 6．B【详解】由题设，， 令，得，故项的系数为，所以. 7．B【详解】只有甲前往A社区的总方法数：；甲与另外1个人前往A社区的总方法数：；甲与另外2个人前往A社区的总方法数：；综上，总分配方法数为. 8．D【详解】由题意可知，，， 所以. 9．BCD【详解】对于选项A，因为，故A错误； 对于选项B，因为，故B正确； 对于选项C，根据二项分布的概念可知随机变量服从，故C正确； 对于选项D，根据超几何分布的概念可知服从超几何分布，故D正确． 10．AD【详解】对于A，取出的3个球中恰好有1个蓝球，则还有个红球，故有种，故A正确；对于B，取出的3个球中至少有2个蓝球，包含2个蓝球1个红球和3个蓝球两种情况，故有，故B错误；对于C，取出的3个球中至多有2个蓝球的对立事件为个蓝球，则有种，故C错误；对于D，取出的3个球中至少有1个红球的对立事件为个都是蓝球，有种，故D正确. 11．【详解】，， 解方程组得．故答案为：． 12．【详解】记，定义域为，因为，所以为偶函数， 因为当时，单调递增，由复合函数性质可知单调递增，又在上单调递增，所以在上单调递增，则不等式，平方得，解得，即. 13．(1)，可以推断和这两个变量正线性相关，且相关程度很强． (2)有意愿观看比赛与性别有关． 【详解】（1）由题可得，，，，，所以， 因为，可以推断和这两个变量正线性相关，且相关程度很强． （2）零假设为：有意愿观看比赛与性别无关联．根据列联表中的数据，经计算得到 ， 根据小概率值的独立性检验，我们推断不成立，即认为有意愿观看比赛与性别有关． 14．【详解】（1）设“从甲罐取出白球”为事件，“从乙罐取出红球”为事件， 若发生，乙罐中红球数仍为，白球数变为，总球数为，则； （2）设“从甲罐取出红球”为事件，甲罐中红球数为，白球数为，总球数为，则，，若发生，乙罐中红球数变为，白球数仍为，总球数为，则；所以． 15．(1)，82.5 (2) 0 1 2 3 ， 【详解】（1）由频率分布直方图得，解得． 又，故第80百分位数在，则， 所以第80百分位数为82.5． （2）成绩在的频率为， 用频率估计概率，则从全公司中随机抽取1人，成绩在的概率为0.25． 随机抽取3人，成绩在范围的人数服从二项分布， 则，，，，， 0 1 2 3 得到，． 16．【详解】（1）证明：因为，又因为，令，得，所以，由两函数的图象可知，两函数在上存在唯一一个交点，设此交点的横坐标为，则当时，单调递增；当时，单调递减；所以函数在处取极大值. （3）令，得，令，则直线与函数有三个不同交点，又因为，令，得，所以当时，单调递减，当时，单调递增，当时，单调递减，所以在处取最得极小值，在处取最得极大值为，又因为当时，，当时，，作出的图象，如图所示：由此可得，所以实数的取值范围为. 答案第1页（共2页） 答案第1页（共2页） 学科网（北京）股份有限公司 $